LA LEZIONE. Si può utilizzare in modo equivalente la funzione coseno. 2. Molti autori preferiscono al termine pacchetto di onde, pacchetto d onda.

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1 LA LEZIONE Propagazione delle onde in un mezzo omogeneo e isotropo. Onde armoniche progressive. La luce, le onde radio, il suono, sono esempi di onde nello spazio che si propagano in tutte le direzioni e nello stesso modo, a causa delle proprietà del mezzo (omogeneità e isotropia). Anche ipotizzando (per un tempo breve) che l energia dell onda sferica non subisca attenuazioni (dovute al mezzo), per questioni puramente geometriche (aumento della superficie interessata dall onda) il flusso di energia si ridurrà rapidamente in funzione del quadrato della distanza della sorgente. Nel caso di un onda circolare che si genera su una superficie (come nel caso di onde sull acqua) il flusso dell energia decrescerà come l inverso della distanza. Per un onda ideale in una dimensione (lungo, ad esempio una corda), trascurando gli effetti del mezzo, l energia si propagherà mantenendo costante il valore iniziale. Ritornando all esempio di un'onda radio (diciamo televisiva) emessa da un antenna è chiaro il motivo (convogliare le informazioni con dissipazione minima) che porta a trasformare, nel punto di ricezione, l onda sferica o piana in un onda a una dimensione che viaggia all interno del cavo coassiale schermato (il filo di rame centrale dell antenna). Noi qui parleremo, per semplicità, essenzialmente di onde unidimensionali. La loro idealizzazione avviene attraverso l introduzione di onde elementari che si propagano lungo la direzione x con velocità v f. L onda armonica ha una lunghezza d onda caratteristica l e una frequenza f tali che l f= v f. L equazione dell onda armonica è A=A max sen[2p(l x-ft)], con A ampiezza dell onda 1. Il quadrato dell ampiezza è proporzionale all energia associata all onda armonica. Le caratteristiche di idealità dell onda sono evidenti. Se si rappresenta l onda al tempo t=0 essa non è limitata spazialmente ed è caratterizzata da un solo valore della lunghezza d onda. Così dal punto di vista temporale (se poniamo x=0) la sinusoide non è limitata nel tempo ed ha una sola frequenza. In altre parole un onda armonica non è localizzata nello spazio e nel tempo e per essa valgono principi di incertezza classici (come abbiamo accennato a esempio nelle lezioni di acustica) sia spaziali che temporali. Il pacchetto di onde. Velocità di fase e velocità di gruppo. Sovrapponendo (sommando algebricamente) moltissime onde armoniche (ognuna con grandezze caratteristiche diverse) si può ottenere un onda limitata spazialmente: un pacchetto di onde. 2 1 Si può utilizzare in modo equivalente la funzione coseno. 2 Molti autori preferiscono al termine pacchetto di onde, pacchetto d onda.

2 Per capire le proprietà dell insieme delle armoniche, limitiamoci per ora alla somma di due sole onde monocromatiche con uguale ampiezza. Nel caso del suono l interferenza, se le frequenze sono molto vicine, produce il fenomeno dei battimenti. Le due armoniche soddisfano alle equazioni: A 1 =A max sen[2p(l x-f 1 t)] e A 2 =A max sen[2p(l 2 x-f 2 t)]. Utilizzando la formula di prostaferesi sena+senb=2sen[½(a+b)]cos[½(a-b)] si può esprimere la somma delle due ampiezze come: A=A 1 +A 2 = A max sen[2p(l x-f 1 t)]+ A max sen[2p(l 2 x-f 2 t)]= 2A max cos{p (l - l 2 )x-(f 1 -f 2 )t)]} sen{p (l + l 2 )x-(f 1 +f 2 )t)]}. L onda risultante ha una nuova lunghezza d onda che soddisfa la relazione: l = ½ l + l 2 ) e una frequenza f pari alla semisomma di f 1 e f 2 (la media delle frequenze delle armoniche). L ampiezza massima dipende dal tempo secondo una funzione coseno, quindi, anche fissando un valore per x, è modulata, varia regolarmente nel tempo con una frequenza pari alla semidifferenza tra le frequenze iniziali. Si può qui distinguere una velocità di fase, ricavabile dal termine seno, propria dell onda: v f =lf=l 1 l 2 (l 1 + l 2 ) (f 1 +f 2 ) e la velocità con cui viaggia l ampiezza dell onda (e quindi l energia) detta velocità di gruppo v g (ricavabile dal termine coseno): v g = l 1 l 2 (l 2 - l 1 ) (f 1 -f 2 ). I due valori della velocità di fase e della velocità di gruppo coincidono se l 1 f 1 = l 2 f 2 ovvero se tutte le velocità di fase sono uguali. In questo caso il mezzo non discrimina le diverse onde armoniche, mentre in mezzi dispersivi i due valori possono essere diversi. Ritornando al caso del suono i battimenti sono prodotti da due diapason di frequenza leggermente diversa, le due note musicali viaggiano nell aria alla stessa velocità che non dipende dalla frequenza. I battimenti sono percepiti da tutti gli uditori, indipendentemente dalla posizione, sempre allo stesso modo. Mentre nel caso della dispersione ottica: il passaggio di luce bianca (composta da moltissime onde monocromatiche) attraverso un prisma comporta la separazione delle componenti

3 colorate proprio per la diversa velocità di fase delle onde all interno del vetro. Il viola si disperde più del rosso proprio perché la velocità aumenta con la lunghezza d onda (nel caso di velocità tutte uguali il raggio di luce non subirebbe una rifrazione, una maggiore deviazione comporta una velocità inferiore) 3. Per concludere questa parte ricordiamo che anche una particella (libera) dal punto di vista della meccanica quantistica è descritta da un pacchetto di onde (un insieme di onde armoniche ciascuna con una propria frequenza f o energia E, e una quantità di moto p o lunghezza d onda l). Per la particella quantistica di massa m la velocità di gruppo deve coincidere con la velocità della particella v, mentre la velocità di fase è la metà della velocità della particella: v f = l f=v/2. Come è facile dimostrare ricordando l espressione di Planck E=hf, quella di de Broglie l h/p e l espressione per l energia cinetica E=p 2 /2m. Onde marine La descrizione della propagazione delle onde sulla superficie marina utilizza principalmente due schematizzazioni. La prima è quella di acque profonde. Se la lunghezza d onda è piccola rispetto alla profondità del fondale, il mezzo risulta dispersivo 4 e la velocità di fase è funzione della lunghezza d onda. In tal caso viaggiano più velocemente le onde con maggiore lunghezza d onda. 5 La forma dell onda varia a causa delle diverse velocità delle componenti dell onda. Il secondo caso limite è quello delle acque basse, per le quali è piccolo il rapporto profondità lunghezza d onda. Allora tutte le onde armoniche viaggiano alla stessa velocità (proporzionale alla radice quadrata della profondità) e la forma risultante dell onda, se la profondità non cambia, è sempre la stessa. Se si analizza una singola onda provocata da un movimento tellurico sottomarino (in realtà un terremoto provoca una serie di onde che a grande distanza dall epicentro presentano una serie di picchi e valli, il primo dei quali non è necessariamente il più intenso), si nota che il trasporto dell energia avviene su distanze dell ordine del migliaio di kilometri. Inizialmente l altezza dell onda è modesta (dell ordine del metro) e la sua velocità è elevata 800 km/h (le normali onde oceaniche provocate dal vento hanno velocità di 90 km/h e periodo dell ordine della decina di secondi, lunghezza d onda metri). In prossimità della terra emersa la velocità dell impulso, che per semplicità si suppone a forma di campana, diminuisce e l altezza dell onda aumenta. Gli tsunami (onde del porto) riflettono il principio di conservazione dell energia. L onda, non potendo più trasportare energia su uno spazio molto ampio (a causa della pendenza del fondo marino in prossimità della spiaggia), concentra l energia in un 3 Sulla dispersione torneremo nella prossima lezione. 4 La relazione di dispersione in acque profonde tra frequenza e lunghezza d onda è la seguente f 2 =(g/2pl) con g accelerazione di gravità. 5 La velocità di fase è proporzionale alla radice quadrata della lunghezza d onda. La velocità di gruppo è la metà della velocità di fase.

4 volume limitato con un abnorme aumento dell altezza, anche considerando la dissipazione dovuta alle turbolenze dell acqua col fondale marino. Vediamo lo stesso problema dal punto di vista della velocità di fase. Le onde anomale sulla superficie oceanica, causate dal terremoto, possono essere considerate come la sovrapposizione di un insieme di onde armoniche. I periodi variano tra 10 minuti e le due ore. Le lunghezze d onda possono superare i 500 kilometri. Per un terremoto che si è verificato a 5 km di profondità moltissime componenti delle onde sono comunque onde in acque basse. Per tutte queste la velocità di fase è uguale alla velocità di gruppo. Indicando con h la profondità del fondale e g l accelerazione di gravità: v f =v g =(gh) ½. Al diminuire della profondità del fondo marino la velocità di ogni singola armonica decresce, ma continua a valere l espressione: v f =lf. Nella figura che segue sono riportati alcuni valori della velocità con il variare della profondità. Nella stessa figura si rappresenta il movimento locale dell acqua durante il passaggio dell onda a diverse altezze. Il moto sotto la superficie si trasforma da circolare a ellittico, via via più schiacciato, fino a diventare, in prossimità del fondo, rettilineo. Osservando un treno d onde, fissando il punto di massima ampiezza dell onda, dove è concentrata l energia, si inizia a notare una sorta di riduzione della distanza tra le creste. Le creste davanti al treno d onde rallentano prima di quelle che seguono. I picchi si infittiscono e il primo tende a salire a causa di un effetto domino in cui l energia viene concentrata quasi totalmente sul picco. Non solo, a bassissime profondità, per opportuni valori, la base dell onda viaggia ora con una velocità inferiore a quella del picco, si produce così la caratteristica forma dell onda (il mezzo è dispersivo) che

5 s infrange, con impeto distruttivo, sulla costa. Un muro d acqua alto trenta metri che si inoltra per centinaia di metri nell entroterra. Non più un onda (trasporto di energia), ma un flusso di materia dovuto alla discontinuità del passaggio acqua-spiaggia.