Temperatura ed Energia Cinetica (1)

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1 Temperatura ed Energia Cinetica (1) La temperatura di un corpo è legata alla energia cinetica media dei suoi componenti. Per un gas perfetto si ha: Ek = ½ me vm2 ; Ek = 3/2 kt ; k = costante di Boltzmann = 8, ev/ K ; Questa relazione vale per i valori medi, tuttavia le molecole di un gas non hanno tutte la stessa energia cinetica anche se hanno tutte la stessa energia cinetica media. l energia cinetica di una singola molecola ha una sua distribuzione probabilistica (Maxwell-Boltzmann). 1

2 Legge di Maxwell-Boltzmann Distribuzione delle velocità per un gas di elettroni all interno di un materiale 2

3 Temperatura ed Energia Cinetica (2) Quindi: ad ogni temperatura T la probabilità di trovare una particella con una velocità superiore ad un valore prefissato è non nulla. E applicando questo concetto agli elettroni in un materiale: ci saranno elettroni con energia cinetica superiore all energia necessaria per passare dalla banda di valenza a quella di conduzione ad ogni temperatura. 3

4 Coppia elettrone-lacuna (1) Quando un elettrone ha sufficiente energia, spezza il legame con l atomo di appartenenza e passa nella banda di conduzione. Banda di conduzione elettrone lacuna Banda di valenza 4

5 Coppia elettrone-lacuna (2) L atomo privo di un elettrone acquisisce una carica netta positiva (a) e rimane un buco (lacuna) nella configurazione ottimale. La lacuna può essere colmata da un elettrone di un atomo vicino (b), che tuttavia diventerà lui adesso portatore di una lacuna. 5

6 Coppia elettrone-lacuna nel silicio 6

7 Moto Elettrone-lacuna nel silicio. elettrone di conduzione 7

8 Semiconduttore intrinseco Quando il numero delle impurità è piccolo rispetto al numero di coppie elettrone-lacuna dovute all agitazione termica. una concentrazione di impurità inferiore a 1010 cm-3. Domanda: Da cosa dipende la concentrazione? 8

9 Concentrazione dei portatori (1) Dipende da vari ingredienti ed è funzione dell energia E che stiamo considerando. Servono: F(E) = probabilità che uno stato sia occupato da un elettrone; N(E) = funzione di densità di stati permessi; La concentrazione allora è: C(E) = F(E) x N(E) 9

10 Distribuzione di Fermi-Dirac La probabilità che uno stato elettronico di energia E sia occupato da un elettrone è data dalla funzione: 1 F(E) = 1 + e(e-ef)/kt k = Costante di Boltzmann = 8.62x10-5 ev/k T = Temperatura assoluta EF = Energia di Fermi = quando F(E) =

11 Funzione di Fermi (1) E>E A T=0 K: se F F(E) = 0; nessuna probabilità di avere elettroni di energia E. 11

12 Funzione di Fermi (2) 12

13 Distribuzione della probabilità di avere un elettrone al di sopra dell energia di Fermi a temperatura T = 0 K Funzione di Fermi (3) Distribuzione della probabilità di avere un elettrone al di sopra dell energia di Fermi a temperatura T > 0 K 13

14 Concentrazione dei portatori (2) Integrando in energia le curve precedenti si ottiene la densità volumetrica (portatori /cm3) di carica: per gli elettroni e per le lacune: n = NC e p = NV e (-EC-EF)/kT (-EF-EV)/kT ; NC = 2.8 x1019 cm-3 ; NV = 1.0 x1019 cm-3 14

15 Concentrazione dei portatori (3) Per avere la concentrazione totale dei portatori si devono unire i due pezzi: Legge di azione di massa: np = ni2 = NCNVe(-E /2kT) g Con Eg = EC-EV. 15

16 Concentrazione dei portatori (4) 16

17 Concentrazione dei portatori (5) Per il silicio a temperatura ambiente: ni = 1.45x1010 cm-3 1 elettrone per 1012 atomi (circa 1.x1022 atomi in 1 cm-3) Per un isolante: n = 1.x106 cm-3 Per un conduttore: n = 1.x1022 cm-3 Praticamente nessuna corrente: i = ni q /(1 secondo) = 2.x10-9 A = 2 na 17

18 Drogaggio dei semiconduttori (1) Per avere correnti maggiori si introducono delle impurità nel cristallo (drogaggio). Le impurità sono di due tipi: tipo n (impurità che cedono un elettrone) (atomi donatori: As, Sb, etc.) tipo p (impurità che prendono un elettrone) (atomi accettori: B, In, etc.) 18

19 Struttura del silicio con impurità di tipo n e p. Struttura del silicio drogato p o n Arsenico Boro 19

20 Drogaggio dei semiconduttori (2) Elettroni provenienti dall atomo donatore n = ND + ni p = ni ED = energia di ionizzazione per un atomo donatore Valgono le stesse relazioni trovate per i semiconduttori intrinseci A n si sostituisce ND = concentrazione dei donatori Valori tipici di ND sono: cm-3 20

21 Livelli di un semiconduttore drogato 21

22 Drogaggio dei semiconduttori (3) 1x1015 cm-3 Temperatura ambiente 22

23 Trasporto dei portatori (1) F = m a a = F/m v = a t ; ma non è così. v vn t Moto di elettroni in un cristallo senza (a) e con (b) campo elettrico. vn = - µn E = velocità di deriva Modulo della velocità di un elettrone in un cristallo in funzione del tempo. 23

24 Densità di corrente (1) Prendiamo un conduttore di forma cilindrica di sezione A e immaginiamo che in esso ci sia una distribuzione uniforme di portatori di carica. Se applichiamo un campo elettrico E, otteniamo una velocità di deriva vd = L/T. Vuol dire che i portatori contenuti nel cilindro di lunghezza L attraversano la superficie A in un secondo. L A 24

25 Densità di corrente (2) Allora se N è il numero di portatori presenti nel cilindro lungo L e la carica di ogni portatore è q, la corrente che fluisce attraverso A nel tempo T è data da: I = (qn)/t = (qn)(l/t)/l = (qnvd)/l Si definisce densità di corrente la corrente per unità di area: J = I/A = (qnvd)/(la) ; La densità dei portatori di carica è: n = N/(LA) 25

26 Densità di corrente (3) Quindi: J = (qnvd)/(la) = q n vd= σv vd con: σv = densità volumetrica di carica. J = q n vd = q n µ E = σ E con σ = conducibilità. I = JA = A σ E = (σ A E L)/L = (σ AV)/L = V/R. R = L/(σ A) = ρ (L/A). = resistenza del materiale. ρ = resistività del materiale = 1/ σ 26

27 Densità di corrente (4) Per esempio: dato un parallelepipedo di silicio drogato di dimensioni: 3 mm x 100 µm x 50 µm con una concentrazione di donatori di 5x1014/cm3 a 300 K. Se il parallelepipedo è attraversato da una corrente di 1 µa quali sono le concentrazioni di portatori e la caduta di potenziale lungo il parallelepipedo? n = ND = 5x1014/cm3 ; p = (1,45x1010)2/(5x1014)=4,2x103/cm3 σ = 1,60x10-19x5x1014x1.5x103 = 0.12 (Ωcm)-1 27

28 Densità di corrente (5) E quindi: V = (JL)/σ = (IL)/Aσ) = 0.05 V ; Se invece di un silicio drogato avessimo preso in considerazione un silicio intrinseco: σ = 1,60x10-19x1.45x1010x1.5x103 = 0.348x10-6 (Ωcm)-1 V = (JL)/σ = (IL)/Aσ) = 1380 V ; 28

29 Trasporto dei portatori (2) Un altro fattore che contribuisce al moto dei portatori, e quindi alle correnti è quello della diffusione. La diffusione è un fenomeno che è presente in tutte le situazioni dove c è una situazione di disequilibrio dal punto di vista della concentrazione di particelle libere di muoversi. In tal caso c è la tendenza ad una redistribuzione delle particelle in modo da tendere ad una distribuzione omogenea, cioè ad una concentrazione costante. 29

30 Trasporto dei portatori (3) Una differenza di Concentrazione p(0) > p(x) porta ad un moto dalla zona di p(0) a quelle a concentrazione minore con conseguente apparizione di una corrente la corrente di diffusione: Jp = qdp(dp/dx) Dp/µp = VT = T/ Jp = Corrente di diffusione dovuta alle diverse concentrazioni dei portatori p. 30

31 Trasporto dei portatori (4) In un semiconduttore quindi possono essere presenti contemporaneamente due contributi alla corrente: Jp = q p µp E + q Dp (dp/dx) Il primo dovuto ad un gradiente di potenziale (campo elettrico) ed il secondo ad un gradiente di concentrazione. 31

32 Giunzione p-n (1) La giunzione p-n è il dispositivo formato da due semiconduttori drogati uno di tipo-p ed uno di tipo-n, messi in contatto tra di loro. NA = concentrazione degli ioni accettori non compensati ND = concentrazione degli ioni donori non compensati Portatori maggioritari = lacune nella zone p elettroni nella zona n Portatori minoritari = elettroni nella zona p lacune nella zona n 32

33 Giunzione p-n (2) p n E 33

34 Giunzione p-n (3) Schema della giunzione p-n Concentrazione di portatori Campo elettrico Potenziale elettrico 34

35 Giunzione p-n asimmetrica NA >> ND Schema della giunzione p-n Concentrazione di portatori Campo elettrico Potenziale elettrico 35

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