ANALISI DEI SISTEMI DI CONTROLLO A TEMPO CONTINUO. Schema generale di controllo in retroazione

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1 ANALISI DEI SISTEMI DI CONTROLLO A TEMPO CONTINUO Schema generale di controllo in retroazione Requisiti di un sistema di controllo Stabilità in condizioni nominali Margine di guadagno e margine di fase Analisi della funzione di sensitività complementare Analisi della funzione di sensitività Analisi della funzione di sensitività del controllo Sensitività rispetto a incertezze parametriche Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 1

2 SCHEMA GENERALE DI CONTROLLO IN RETROAZIONE Schema di controllo in retroazione : funzione di trasferimento del sistema sotto controllo (strettamente proprio) : funzione di trasferimento del regolatore (anche non strettamente proprio) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 2

3 REQUISITI DI UN SISTEMA DI CONTROLLO Stabilità Stabilità in condizioni nominali asintotica stabilità Stabilità in condizioni perturbate modello approssimato, variazioni parametriche stabilità robusta Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 3

4 Prestazioni (sca- Prestazioni statiche in condizioni nominali segnali canonici dotati di trasformata di Laplace lino, rampa) segnali sinusoidali con componenti armoniche Prestazioni dinamiche in condizioni nominali segnale di riferimento e disturbo: scalini famiglia di risposte desiderate (,, ) moderazione della variabile di controllo (costo dell azione di controllo) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 4

5 Funzioni di sensitività e limiti alle prestazioni Funzione di sensitività Funzione di sensitività complementare Funzione di sensitività del controllo Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 5

6 Idealmente effetto nullo di su mancanza di attenuazione dell effetto di su e crescente con amplificazione componenti alta frequenza di (in contrasto con il requisito di moderazione!) strettamente propria, al più propria strettamente propria: strettamente propria, propria (,!) Azione combinata di e mediante scelta opportuna di specifiche tradotte in termini di Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 6

7 STABILITÀ IN CONDIZIONI NOMINALI Sistema retroazionato ai fini dell analisi di stabilità (stabilità indipendente dagli ingressi) condizione necessaria: non ha autovalori a parte reale positiva o nulla Asintotica stabilità: tutte le radici dell equazione caratteristica hanno parte reale minore di zero possibile applicazione del criterio di Routh (di scarsa utilità nella sintesi di un regolatore) criterio di Nyquist Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 7

8 Diagramma di Nyquist Percorso di Nyquist Diagramma di Nyquist = diagramma polare Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 8

9 Esempio diagrammi di Nyquist Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 9

10 Criterio di Nyquist Ipotesi P: numero di poli di a N: numero di giri compiuti dal diagramma di Nyquist di attorno al punto (positivi se in senso antiorario, negativi se in senso orario) Condizione necessaria e sufficiente perché il sistema retroazionato sia asintoticamente stabile è che sia ben definito e risulti Dimostrazione senza radici in comune zeri di = poli del sistema in anello chiuso poli di = poli di ( a ) : diagramma di Nyquist passa per l origine del piano complesso ha uno o più zeri in (diagramma di passa per il punto : sistema in anello chiuso non asintoticamente stabile!) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 10

11 non ha zeri in contributo di fase di zeri ( = un giro in senso orario) e poli ( = un giro in senso antiorario) di interni al percorso numero di rotazioni di intorno al punto per l asintotica stabilità (altrimenti poli a numero di giri in senso antiorario attorno all origine ) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 11

12 Esempio sistema in anello chiuso:,,,, :, :, :, :, asintotica stabilità instabilità non definito non definito as. stab. instab. instab. as. stab. Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 12

13 Esempio diagramma di Nyquist asintotica stabilità ( ) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 13

14 Esempio diagramma di Nyquist non definito: Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 14

15 Esempio diagramma di Nyquist, valutazione di non definito ( : pulsazione di attraversamento) asintotica stabilità instabilità : asintotica stabilità, : instabile Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 15

16 Estensioni del criterio di Nyquist Guadagno d anello variabile come sopra, sostituendo al punto il punto e a Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 16

17 Sistemi con retroazione positiva equazione caratteristica come sopra sostituendo al punto il punto Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 17

18 Sistemi in anello aperto asintoticamente stabili asintotica stabilità iff sistema con retroazione (negativa o positiva) con asintoticamente stabile (diagramma di Bode del modulo sotto l asse a db:, asintotica stabilità) nel caso di :, asintotica stabilità come sopra:, asintotica stabilità Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 18

19 Esempio sistema retroazionato asintoticamente stabile (al diminuire di diagramma si avvicina sempre più al punto ) come sopra nel caso di (poli reali negativi) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 19

20 Sistemi a stabilità condizionata sistema retroazionato, asintoticamente stabile per un determinato valore di, diventa instabile al diminuire dello stesso Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 20

21 Esempio, valutazione di non definito asintotica stabilità instabilità : asintotica stabilità, : instabile Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 21

22 Sistemi con ritardo di tempo sfasamento negativo tanto maggiore quanto più è elevato il valore del ritardo probabile instabilità del sistema in retroazione Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 22

23 Esempio diagramma polare, : asintotica stabilità : asintotica stabilità, altrimenti instabile Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 23

24 MARGINE DI GUADAGNO E MARGINE DI FASE Stabilità robusta = distanza nel piano complesso del diagramma polare di dal punto esigenza di indicatori sintetici del grado di robustezza (semplici da calcolare dai diagrammi di Bode): margini di stabilità Margine di guadagno per con diagramma polare con una sola intersezione del semiasse reale negativo margine di guadagno Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 24

25 calcolo dai diagrammi di Bode Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 25

26 Sistema retroazionato con guadagno d anello modificato asintotica stabilità per (grado di robustezza a fronte di possibili incertezze sul guadagno d anello) Esempio Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 26

27 Margine di fase per con guadagno positivo e diagramma polare con una sola intersezione del semiasse reale negativo margine di fase ( : pulsazione critica) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 27

28 calcolo dai diagrammi di Bode Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 28

29 Sistema retroazionato con ritardo asintotica stabilità per (grado di robustezza a fronte di possibili incertezze sulla fase della funzione d anello) Esempio Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 29

30 Sistema del secondo ordine, privo di zeri, con guadagno unitario coppia di poli complessi coniugati, dominanti (nettamente più vicini all asse immaginario rispetto agli altri poli) in maniera approssimata Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 30

31 ANALISI DELLA FUNZIONE DI SENSITIVITÀ COMPLEMENTARE Prestazioni statiche e dinamiche del sistema (asintoticamente stabile) Funzione di sensitività complementare funzione di trasferimento tra il riferimento e l uscita funzione di trasferimento, cambiata di segno, tra il disturbo e l uscita funzione di trasferimento tra il disturbo e l errore Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 31

32 Analisi statica Funzione di trasferimento d anello Prestazioni statiche migliori quando if possiede almeno un polo nell origine then conviene aumentare : instabile if, contiene almeno un azione derivativa ( in corrispondenza di qualunque ) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 32

33 Poli e zeri Comportamento dinamico zeri di = zeri di poli di = radici del polinomio caratteristico del sistema retroazionato (luogo delle radici) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 33

34 Risposta in frequenza per, diagramma di Bode di attraversa una sola volta l asse a db Comportamento da filtro passa-basso con guadagno unitario e banda passante pulsazione critica tutte le componenti di a pulsazione minore di riprodotte fedelmente in (anche per le componenti di!) progetto del sistema di controllo: conveniente aumentare per poter inseguire variazioni veloci di (attenzione componenti di in alta frequenza!) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 34

35 ANALISI DELLA FUNZIONE DI SENSITIVITÀ Funzione di sensitività funzione di trasferimento tra il disturbo e l uscita funzione di trasferimento tra il riferimento e l errore funzione di trasferimento, cambiata di segno, tra il disturbo e l errore Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 35

36 Analisi statica Funzione di trasferimento d anello in forma fattorizzata Prestazioni statiche migliori quando possiede almeno un polo nell origine if then conviene aumentare if, contiene almeno un azione derivativa ( in corrispondenza di qualunque ) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 36

37 Errore a regime con ingresso canonico al variare del tipo della funzione d anello Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 37

38 Poli e zeri Comportamento dinamico zeri di poli di = poli di = poli di Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 38

39 Risposta in frequenza per, diagramma di Bode di attraversa una sola volta l asse a db Comportamento da filtro passa-alto tutte le componenti di a pulsazione minore di in attenuate progetto del sistema di controllo: conveniente aumentare Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 39

40 ANALISI DELLA FUNZIONE DI SENSITIVITÀ DEL CONTROLLO Funzione di sensitività del controllo funzione di trasferimento tra il riferimento di controllo e la variabile funzione di trasferimento, cambiata di segno, tra il disturbo e la variabile di controllo funzione di trasferimento, cambiata di segno, tra il disturbo e la variabile di controllo Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 40

41 Analisi statica Funzione di trasferimento d anello in forma fattorizzata then if : inversamente proporzionale al guadagno del processo da controllare buone pre- stazioni statiche solo con valori elevati della variabile di controllo Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 41

42 Poli e zeri Comportamento dinamico zeri di poli di = zeri di + poli di = poli di Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 42

43 Risposta in frequenza per, diagramma di Bode di attraversa una sola volta l asse a db progetto del sistema di controllo: evitare l impiego di regolatori con elevato ad alta frequenza (per limitare le sollecitazioni sulla variabile di controllo) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 43

44 SENSITIVITÀ RISPETTO A INCERTEZZE PARAMETRICHE Sistema retroazionato affetto da incertezze parametriche per piccole variazioni del parametro Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 44

45 sistema in anello chiuso Nell intervallo di pulsazioni in cui, la presenza della retroazione produce una notevole attenuazione dell effetto dell incertezza Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 45

46 Esempio: sistema retroazionato con guadagno d anello incerto ( ) in anello aperto in anello chiuso Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 46