Metodologia Sperimentale Agraria e Forestale

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1 Metodologia Sperimentale Agraria e Forestale Paride D Ottavio Dipartimento di Scienze ambientali e delle Produzioni vegetali Università Politecnica delle Marche Distribuzione delle lunghezze delle foglie di leccio (n = 36) Classe Freq. ass. Freq. rel. Freq.% < 5 6,0 0,2 16,7 5 - < 6 6,0 0,2 16,7 6 - < 7 11,0 0,3 30,6 7 - < 8 6,0 0,2 16,7 8 - < 9 3,0 0,1 8,3 9 - < 10 0,0 0,0 0, < 11 2,0 0,1 5, < 12 1,0 0,0 2, < 13 1,0 0,0 2,8 36,0 1,0 100,0 Distribuzione delle lunghezze delle foglie di leccio (n = 36) ass. Frequ ,9 5,9 6,9 7,9 8,9 9,9 10,9 11,9 12,9 Lunghezza (cm) Ampiezza di classe: 1 cm 1

2 Distribuzione delle lunghezze delle foglie di leccio (n = 36) glie n fog ,0 4,4 4,8 5,2 5,6 6,0 6,4 6,8 7,2 7,6 8,0 8,4 8,8 9,2 9,6 10,0 10,4 10,8 11,2 11,6 12,0 Lunghezza (cm) Ampiezza di classe: 0,4 cm Distribuzione delle lunghezze delle foglie di leccio (n = 1000) glie n fog Lunghezza (cm) Ampiezza di classe: 1 cm Distribuzione delle lunghezze delle foglie di leccio (n = 1000) n fo oglie ,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 5,6 6,4 7,2 8 8,8 9,6 10,4 11, ,8 lunghezza (cm) Ampiezza di classe: 0,2 cm 2

3 Distribuzione delle altezze degli alberi di pino / leccio in un bosco disetaneo f(x) altezza (m) Distribuzione delle altezze degli studenti di Agraria (n = 1000) Importanza della distribuzione normale in genere, descrive le variabili biologiche quantitative utile per descrivere variabili caratterizzate da distribuzioni di probabilità discontinue e opportunamente trasformate è alla base dell inferenza statistica 3

4 Distribuzione normale - funzione f(x) : frequenza della variabile x distribuita secondo la curva di Gauss μ : media σ : deviazione standard Distribuzione normale - funzione andamento curva dipende solo da σ e μ Media: posizione della curva sull ascissa Deviazione standard: dispersione valori Variabile x caratterizzata da μ diverse e σ ~ uguali 4

5 Caratteristiche peculiari della distribuzione normale simmetrica rispetto ad un asse (x = μ) asse di simmetria coincide con media, moda e mediana area sottesa sotto la curva : 1 σ : distanza tra μ e i punti di flesso della curva: ascissa punti di flesso: μ-σ e μ+σ Variabile x caratterizzata da μ = 3 e σ = 1 Distribuzione normale - funzione andamento curva dipende solo da σ e μ Media: posizione della curva sull ascissa Deviazione standard: dispersione valori (larghezza della "campana ) σ : piccolo curva stretta σ : grande curva larga e più "dispersa" rispetto al valore medio μ 5

6 Variabile x caratterizzata da μ uguali e σ diverse Distribuzione normale Superficie dell area della curva sottesa alle ascisse: μ-σ μ+σ : comprende ca. 68% μ-2σ μ+2σ : comprende ca. 95% μ-3σ μ+3σ : comprende ca. 99,7% del totale delle osservazioni 6

7 Distribuzione normale standardizzata Distribuzione normale è definita da μ e σ => esistono tante distribuzioni quante sono tutte le possibili combinazioni dei valori di μ e σ (infinite) Curva normale più importante : distribuzione normale standardizzata Data la variabile continua x distribuita normalmente con: - media μ - deviazione standard σ Si calcola la nuova variabile continua Z : variabile standardizzata Distribuzione normale standardizzata Scarto dalla media standardizzata standardizzazione della variabile in studio μ=0 e σ =1 cambiamento d origine portata a livello della media cambiamento di scala modifica dispersione dei dati intorno alla media, portando σ = 1 Si esprime la distribuzione di una variabile - non riferita ad una unità di misura - ma in unità di deviazione standard Esempio_Z μ=20 σ=5 Se x = 20, 25, 15, 30, 10, 40, 5 => Z = 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 7

8 Variabile x caratterizzata da μ = 20 e σ = 5 f(μ,σ) Z x Z Distribuzione normale standardizzata Le proprietà della distribuzione normale standardizzata coincidono con quelle della distribuzione normale nella distribuzione di Z P (-1 Z +1) = 0, % P (-2 Z +2) = 0, % P (-3 Z +3) = 0, ,7% Variabile x caratterizzata da μ = 20 e σ = 5 f(μ,σ) ~ 68% Z x Z 8

9 Variabile x caratterizzata da μ = 20 e σ = 5 f(μ,σ) ~ 95% Z x Z Variabile x caratterizzata da μ = 20 e σ = 5 f(μ,σ) ~ 99,7% Z x Z Utilità della distribuzione normale standardizzata Sapendo che un carattere è distribuito normalmente, è sufficiente la sola conoscenza della media e della deviazione standard per specificare completamente la distribuzione delle osservazioni di tale carattere Es.: supponiamo che la produzione di granella del frumento duro nella Regione Marche si distribuisca normalmente con: μ = 5 t ha -1 e σ = 1 ha -1 a) Qual è la probabilità che la produzione di frumento sia superiore a 7 t ha -1? b) Qual è la probabilità che la produzione vari tra 3 e 5 t ha -1? 9

10 Soluzioni Ovviamente tali quesiti si potrebbero risolvere integrando la funzione della curva normale tra gli estremi definiti: tra 7 e + per il quesito a tra 3 e 5 t ha -1 per il quesito b Tale procedura è purtroppo non percorribile perché la primitiva della funzione f(x) non esiste, cioè la funzione non può essere integrata in forma chiusa tra gli estremi a e b di un intervallo Tavole della distribuzione Z Esistono in alternativa delle tavole (vedi file TAVOLE MSAF.xls ) degli integrali di Z che consentono di determinare: i valori delle aree comprese tra 0 (che corrisponde alla media) e un valore Z con Z>0 i valori delle aree comprese tra 0 (che corrisponde alla media) e un valore Z con Z<0 i valori delle aree comprese tra un valore Z e + i valori delle aree comprese tra un valore - e Z NB: la probabilità calcolata è relativa ad un intervallo di valori piuttosto che a quella di trovare un singolo valore probabilità infinitesima 1 Distribuzione normale standardizzata 10

11 Esercizi_Z Calcolare la probabilità che: Z < 1 Z > 2 Z>155 1,55-2 < Z < +2 Consiglio: fare sempre il disegno!! Esercizi_soluzioni Probabilità per: Z < 1 P = Z > 2 P = 1 P (Z<2) = 1-0,9772 Z>155 1,55 P=1 - P (Z<1.55) = < Z < +2 P = P (Z<2) P (Z>2) = ( ) = = ~ 95% Esercizio_95% Quesito: trovare l intervallo attorno alla media che contiene il 95% delle osservazioni: P(x 1 <Z<x) < 2 = 95% Consiglio: fare sempre il disegno!! Soluzione: nelle tavole Z cercare il valore a cui corrisponde la P = 95%?! 11

12 Intervallo che contiene il 95% delle osservazioni f(μ,σ) 95% 25% 2,5% 25% 2,5% -1, ,96 NB: Nelle tavole Z la probabilità va da - a Z Z con P=0,975 P (-1.96 < Z < + 1,96)=95% Infatti P=0,975 0,025 = 0,95 Z Esercizio_68% Quesito: trovare l intervallo attorno alla media che contiene il 68% delle osservazioni: P(x 1 <Z<x) < 2 = 68% Esercizio_68% Quesito: trovare l intervallo attorno alla media che contiene il 68% delle osservazioni: P(x 1 <Z<x) < 2 = 68% Soluzione: Z con P=0,8389 P (-0,99 < Z < +0,99)=68% Infatti P=0,8389 0,16 = 0,68 12

13 Esercizio_99% Quesito: trovare l intervallo attorno alla media che contiene il 99% delle osservazioni: P(x 1 <Z<x) < 2 = 99% Esercizio_99% Quesito: trovare l intervallo attorno alla media che contiene il 99% delle osservazioni: P(x 1 <Z<x) < 2 = 99% Soluzione: Z con P=0,995 P (-2,575 < Z < + 2,575)=99% Infatti P=0,995 0,005 = 0,99 Formule in excel Calcolare la P associata ad un valore di Z =DISTRIB.NORM.ST(Z) Calcolare Z associato ad un valore di P =INV.NORM.ST(P) vedi file Tavole Z (Z1: da - a Z) 13

14 Esercizio_Z Il diametro dei tronchi di leccio (distribuzione normale) è caratterizzata da: μ=20 cm σ=5 5 cm Quesiti 1. Trovare P (x i >20 cm) 2. Trovare P (10<x i <30) 3. Trovare P (x i >23) Esercizio_Z Soluzioni 1. Trovare P (x i >20) Se x=20 Z = (20-20)/5 = 0 P (Z=0) = 0,5 vedi tavole e usa formule μ=20 σ=5 2. Trovare P (10<x i <30) Se x=10 Z = (10-20)/5 = -2 Se x=30 Z = (30-20)/5 = +2 P (-2 < Z < +2) = 0,95 ~ 95% Distribuzione normale standardizzata Le proprietà della distribuzione normale standardizzata coincidono con quelle della distribuzione normale nella distribuzione di Z P (-1 Z +1) = 0, % P (-2 Z +2) = 0, % P (-3 Z +3) = 0, ,7% 14

15 Distribuzione normale Superficie dell area della curva sottesa alle ascisse: μ-σ μ+σ : comprende ca. 68% μ-2σ μ+2σ : comprende ca. 95% μ-3σ μ+3σ : comprende ca. 99,7% del totale delle osservazioni Esercizio_Z Soluzioni 2.Trovare P (10<x i <30) Se x=10 Z=-2 Se x=30 Z=+2 P (-2 < Z < +2) = 0,95 ~ 95% μ=20 σ=5 Intervallo di valori entro cui è contenuto il 95% dei valori attorno alla media μ Z 95 σ < x i < μ + Z 95 σ f(μ,σ) 95% 20-1,96* ,96*5 Z Esercizio_Z Soluzioni μ=20 3. Trovare P (x i >23) σ=5 Se x=23 Z=(23-20)/5 = 0,6 P (Z>0,6) = 1 P (Z<0,6) vedi tavole e usa formule = 1 0, 7257 = 0,2743 f(μ,σ) 27% Z 15

16 Compiti per casa La produzione di cippato dei boschi di abete bianco del Veneto è di 250 t ha -1 con varianza di 900 t ha -1 Calcolare 1. P di osservare una produzione compresa tra 200 e 250 t ha -1 Entrare nella tabella con valori di Z 2. P di osservare una produzione superiore a 200 t ha -1 Entrare nella tabella con valori di Z 3. un intervallo di valori di produzione, centrato sulla media, che comprende il 95% delle osservazioni Entrare nella tabella con valori di P Esercizio leccio? Ipotesi Lunghezza media della pop. di foglie di leccio = 6,5 Deviazione standard della pop. di foglie di leccio = 2 Calcolare la P di osservare foglie con una lunghezza > 8 cm la P di osservare foglie con una lunghezza < 8 cm l intervallo dei valori che contiene il 95% delle osservazioni Soluzioni Fare disegni Usare tavole e formule Formula in excel_alternative =normalizza(x i ;μ;σ) Standardizzazione di una variabile normale con media μ e deviazione standard σ 16

17 Formula in excel_alternative =distrib.norm(x;media;dev_standard;cumulativo) Probabilità di una variabile normale x i con media μ e deviazione standard σ note X è il valore per il quale si desidera la distribuzione Media è la media aritmetica della distribuzione Dev_standard è la deviazione standard della distribuzione Cumulativo è un valore logico che determina la forma assunta dalla funzione. Utilizzare VERO Teoria elementare dei campioni Distribuzione campionaria Teorema del limite centrale Campionamento da una distribuzione normale Stima puntuale e intervallare IC per medie campionarie con μ e σ noti IC per medie campionarie con μ e σ ignoti Dimensionamento del campione Errori campionari ed errori non campionari 17

18 Distribuzione campionaria Generalmente non si dispone di μ e σ (popolazione) μ e σ vengono pertanto stimati a partire dalle statistiche campionarie (inferenza statistica) La stima dei parametri di popolazione è tanto più precisa quanto più il campione è rappresentativo della popolazione Distribuzione campionaria Quando si effettua un campionamento attenersi alle seguenti considerazioni: maggiore è la dimensione del campione (n) più il campione è rappresentativo d / popolazione tanto più è precisa la stima del parametro scelta casuale (a random) del campione = tutte le possibili unità statistiche devono avere la stessa probabilità di venire estratte Teoria dei campioni Definizione: lo studio delle relazioni esistenti tra una popolazione ed i campioni estratti da essa Caratteristiche utile per ottenere stima dei parametri ignoti di una popolazione (μ, σ 2, σ) essendo note le corrispondenti statistiche campionarie (x, s 2, s) Trova applicazione per stabilire se la differenza osservata tra 2 campioni possa essere attribuita al caso oppure se dipenda dal fattore in esame In questo caso le procedure della teoria dei campioni implicano l uso dei test di ipotesi 18

19 Campionamento I problemi relativi al campionamento dipendono dalle informazioni disponibili sulla distribuzione della popolazione di riferimento: a) Non si conosce la distribuzione della pop. descrizione aspetti generali: tendenza centrale, dispersione dati, in base al campione b) Si conosce la distribuzione della popolazione possibile ipotizzare modello probabilistico per associare ad ogni statistica anche la relativa distribuzione e ottenere così il grado di fiducia attribuibile alle stime dei parametri Distribuzione campionaria Supponiamo di campionare da una popolazione comunque distribuita un certo numero di campioni di dimensione n E molto improbabile che la media di un singolo campione coincida con la media della pop. Da più campioni della stessa popolazione verranno pertanto ottenute diverse medie Pertanto la media campionaria può essere considerata una variabile casuale distribuita secondo una precisa distribuzione di frequenza Distribuzione di popolazione e delle medie campionarie Medie campionarie Parentale 19

20 Distribuzione campionaria È dimostrato che, qualunque sia la distribuzione della popolazione da cui derivano i campioni, i parametri della distribuzione della media campionaria sono strettamente legati ai corrispondenti parametri di popolazione: : media della distrib. della media campionaria μ : media di popolazione Errore standard della media : deviazione standard della distribuzione della media campionaria = errore standard della media = errore standard σ : deviazione standard della popolazione n : dimensione del campione NB: se σ non è nota (come normalmente avviene) viene sostituita con la deviazione standard del campione (s) Teorema del limite centrale In una pop. non limitata, per n sufficientemente grande (n>30), le medie dei campioni estratti casualmente da una popolazione comunque distribuita, si distribuiscono normalmente con: media μ deviazione standard 20

21 Campione popolazione Dai dati di un campione è quindi possibile caratterizzare e quindi inferire sulla popolazione cui il campione appartiene: : ca. 68% : ca. 95% delle probabilità di comprendere la vera media della popolazione : ca. 99% Nuova formula di Z per le medie campionarie Distribuzione della popolazione delle osservazioni (parentale) Nel caso della distribuzione delle medie campionarie Formula in excel_alternative =normalizza(x i ;μ;σ) Standardizzazione di una variabile normale con media μ e deviazione standard σ Nel caso xi fosse una media campionaria x, il denominatore sarà l errore standard 21

22 Formula in excel_alternative =distrib.norm(x;media;dev_standard;cumulativo) Probabilità di una variabile normale x i con media μ e deviazione standard σ note Nel caso xi fosse una media campionaria x, σ sarà sostituito dall errore standard X è il valore per il quale si desidera la distribuzione Media è la media aritmetica della distribuzione Dev_standard è la deviazione standard della distribuzione Cumulativo è un valore logico che determina la forma assunta dalla funzione. Utilizzare VERO Concetti fondamentali stiamo studiando una popolazione fissa es. con μ e σ costanti, incognite = parametri media e varianza campionaria: variabili casuali che variano al variare del campione secondo la loro distribuzione di probabilità estratto un campione si possono calcolare le statistiche campionarie per X e S 2 22

23 Campione affetto da un errore il campione misura solo un sottoinsieme di tutte le unità della popolazione la stima non sarà proprio identica al parametro sconosciuto μ si commetterà un errore (E) difficile pensare che μ sia esattamente uguale al valore campionario di possiamo, però, pensare che μ sia compreso in un intervallo intorno a Intervallo di confidenza Definizione: intervallo di valori intorno ad una determinata statistica campionaria relativa ad una variabile continua distribuita normalmente, che comprende il vero parametro di popolazione con una probabilità pari al livello di confidenza scelto Intervallo di confidenza il parametro sconosciuto sarà uguale alla statistica campionaria più o meno un certo errore: μ = X ± E calcolo del valore campionario della statistica di interesse: semplice ( ) è possibile calcolare E, cioè il margine di errore associato al processo di campionamento, se si conosce la distribuzione di X 23

24 Intervallo di confidenza Quanto possiamo CONFIDARE nelle nostra stima? Che grado di fiducia si vuole avere sulla bontà della propria stima intervallare? Di quanto ci possiamo/vogliamo sbagliare? di solito si sceglie un grado di fiducia del 95% = si sceglie il più piccolo intervallo intorno a X tale da comprendere il 95% della sua distribuzione di probabilità Intervallo di confidenza distribuzione della popolazione di osservazioni: normale σ x i σ Intervallo di confidenza distribuzione delle medie campionarie: normale Limite inferiore Limite superiore 24

25 Come varia IC al variare della numerosità campionaria? Al crescere della dimensione del campione la distribuzione di X tende a concentrarsi intorno a μ: IC si restringe e la stima diventa più precisa La precisione di stima dipende dall ampiezza dell intervallo: < ampiezza > precisione di stima es.: sapere che la lunghezza delle foglie di leccio della Facoltà di Agraria di Ancona è compresa tra 2 e 10 cm non è di alcuna utilità nonostante questo sia un IC al 100% 2 Riepilogo e passo avanti Distribuzione normale 25

26 Distribuzione normale standardizzata f(μ,σ) Z~N(0; 1) Z x σ -2σ -σ μ σ +2σ -2σ Z Tra -1 e +1 = ~68% osservazioni f(μ,σ) ~ 68% Z x σ σ 15 -σ 20 μ 25 σ +2σ 30-2σ 40 Z Tra -1,96 e +1,96 = ~95% osservazioni f(μ,σ) 5% Eventi improbabili ~ 95% Eventi frequenti Z x σ σ 15 -σ 20 μ 25 σ +2σ 30 +3σ 40 Z 26

27 Tra -2,57 e +2,57 = ~99% osservazioni f(μ,σ) ~ 99,7% Z x σ σ 15 -σ 20 μ 25 σ +2σ 30 +3σ 40 Z Standardizzazione delle ~ N 1. Quando si conoscono media (μ) e deviazione standard (σ) della popolazione di riferimento 2. Con la formula di standardizzazione 3. Si riescono a standardizzare le distribuzioni normali Distr. popolazione medie camp. Distribuzione parentale (popolazioni) = delle osservazioni ~ N ( μ ; σ ) Distribuzione delle medie campionarie ~ N ( x ; σ x ) Errore standard 27

28 Distribuzione di popolazione e delle medie campionarie Medie campionarie Parentale Nuova formula di Z per le medie campionarie Distribuzione della popolazione delle osservazioni (parentale) Nel caso della distribuzione delle medie campionarie Intervallo di confidenza distribuzione della popolazione di osservazioni: normale σ x i σ 28

29 Intervallo di confidenza distribuzione delle medie campionarie: normale Limite inferiore Limite superiore 3 Campionamento da una distribuzione normale 29

30 Esercizio_campionamento da una distribuzione normale Il Ø degli alberi di una pineta è caratterizzata da: μ=30 cm σ=10 cm Calcolare 1. P di osservare alberi con Ø > 50 cm 2. P di osservare media di 3 alberi con Ø > 50 cm 3. un intervallo di valori di Ø (con n=3) che comprende il 95% delle osservazioni Esercizio_Z Soluzioni 1. P di osservare alberi con Ø > 50 cm Se x=50 Z = ((50-30)/10)) = 2 P (Z=2) = 0,95 μ=30 σ=10 Esercizio_Z Soluzioni μ=30 σ=10 2. P di osservare media di n=3 alberi con Ø > 50 cm Se x = 50 Z = (50-30)/(10/radq(3)) = 3,46 P (Z>3,46) = ~ 0% (>3σ) 30

31 Esercizio_Z μ=30 σ=10 Soluzioni 3. un intervallo di valori di Ø (con n=3) che comprende il 95% delle osservazioni P (-1,96<Z<+1,96) = 0,95 ~ 95% Intervallo di confidenza (IC) delle medie campionarie entro cui è contenuto il 95% delle medie campionarie (n=3) μ Z 95 σ/radq(n) < x i < μ + Z 95 σ/radq(n) f(μ,σ) 95% LIM INF LIM SUP 30-1,96*(10/radq(3)) ,96*(10/radq(3)) Z Esercizio leccio? Ipotesi Lunghezza media della pop. di foglie di leccio = 6,5 Deviazione standard della pop. di foglie di leccio = 2 Calcolare la P di osservare foglie con una lunghezza > 8 cm Usare 1 formula Z (parentale) la P di osservare foglie con media di 5 foglie > 8 cm Usare 2 formula Z (medie campionarie) l intervallo dei valori di lunghezza (con n=3) che contiene il 95% dei valori delle medie campionarie Usare formula IC con errore standard (medie campionarie) Formula in excel_alternative =normalizza(x i ;μ;σ) Standardizzazione di una variabile normale con media μ e deviazione standard σ Nel caso xi fosse una media campionaria x, il denominatore sarà l errore standard 31

32 Formula in excel_alternative =distrib.norm(x;media;dev_standard;cumulativo) Probabilità di una variabile normale x i con media μ e deviazione standard σ note Nel caso xi fosse una media campionaria x, σ sarà sostituito dall errore standard X è il valore per il quale si desidera la distribuzione Media è la media aritmetica della distribuzione Dev_standard è la deviazione standard della distribuzione Cumulativo è un valore logico che determina la forma assunta dalla funzione. Utilizzare VERO Esercizio_IC Il Ø degli alberi di carpino nero nelle Marche è caratterizzata da: μ=20 cm σ=5 cm Calcolare 1. l intervallo entro cui è compreso il 95% degli alberi di carpino con Ø=20 2. l intervallo entro cui è compreso il 95% degli alberi di carpino con Ø=20, campionati 9 a 9 (n=9) 32

33 Esercizio_IC Soluzioni 1. intervallo entro cui è compreso il 95% degli alberi di carpino con Ø=20 P(201 (20-1,96*5 < x i < 20+1,96*5) = 95% Limite inf ~ 10 Limite sup ~ 30 Esercizio_IC μ=20 σ=5 Soluzioni 2. intervallo entro cui è compreso il 95% degli alberi di carpino con Ø=20, campionati 9 a 9 (n=9) P (20-1,96*(5/radq(9)) < x i < 20+1,96*(5/radq(9)) = 95% P (20-3,27 < x i < 20+3,27) = 95% Limite inf ~ 16 Limite sup ~ 23 IC delle MEDIE CAMPIONARIE Distribuzione di popolazione e delle medie campionarie Medie campionarie Parentale 10 16, ,

34 Osservazioni IC delle medie campionarie contiene il 95% delle medie campionarie è più ristretto rispetto all IC delle osservazioni Le statistiche campionarie non sono uguali ai parametri di popolazione, ma si avvicinano ad esse (all aumentare di n) Generalizzazione IC: IC per μ 34

35 IC per μ Dato un campione casuale X 1, X 2,, X n estratto da una pop. con funz. di prob. f(x) e media μ Date le statistiche L inf e L sup (L inf < L sup ), l intervallo (L inf, L sup ) è un IC per μ con grado di fiducia = (1-α) IC per μ La media di popolazione μ è compresa entro questo intervallo ± (1-α) con un grado di fiducia (1-α) dove α = livello di probabilità: 0,05: associato ad una P del 95% (0.95) 0,01: associato ad una P del 99% (0.99) > α < IC IC per μ Qualunque sia il parametro μ, fissato il livello α, in caso di ripetizione del campione, IC - conterrebbe il parametro nel (1-α)% dei casi - escluderebbe il parametro nel α % dei casi 35

36 Ampiezza IC Descrive la precisione della stima Dipende da: σ, n, α Se n aumenta, la precisione aumenta Se α aumenta (1-α : diminuisce), la precisione aumenta Z 95 = 1,96 (intervallo più ristretto) Z 99 = 2,57 Grado di fiducia e livello di probabilità Valori scelti più di frequente : (1 α) = 0,95 α = 0,05 il più usato perché costituisce un buon compromesso tra precisione e affidabilità (1 α) = 0,99 α = 0,01 Valore critico Ogni IC è sempre associato ad un valore critico : valore in ascissa della distribuzione di probabilità che lascia alla sua destra un area pari ad α/2 Ad esempio, per la media campionaria, lo si può scrivere come: 1-α 1-α 36

37 Nel caso di una distribuzione normale (1-α) (1-α) α = 0,05 95 P=0,975 α = 0,01 99 P=0,995 Nel caso di una distribuzione normale (1-α) (1-α) α = 0,05 95 P=0,975 α = 0,01 99 P=0,995 Nel caso di una distribuzione normale (1-α) (1-α) 1,96 1,96 α = 0,05 95 P=0,975 α = 0,01 99 P=0,995 37

38 Esercizio_IC (carpino nero) Quesito 3 Verificare se il Ø medio del tronco dei carpini di 20 anni di un bosco è conforme a quello degli alberi della stessa età presenti nella regione Marche, di cui si conoscono: μ=20 cm σ=5 cm Esercizio_IC (carpino nero) Procedura Campionamento (dimensione camp. n = 9) n N albero Ø (cm) media 18,78 38

39 Esercizio_IC (carpino nero) Q: il Ø medio = 18,78 del bosco campionato è conforme ai boschi di carpino della regione Marche? Q: che probabilità si ha che Ø medio = 18,78 sia conforme ai boschi di carpino della regione Marche? Q: che probabilità si ha che Ø medio = 18,78 sia dovuto al caso? Esercizio_IC μ=20 σ=5 Calcolare 3. l intervallo entro cui è compreso il 95% degli alberi di carpino con Ø medio =18,78 (n=9) P (18,78-1,96*(5/radq(9)) < μ <18,78+1,96*(5/radq(9)) = 95% Se questo IC contiene comprende μ=20, possiamo affermare che il Ø medio dei carpini del bosco campionato è conforme a quello dei boschi delle Marche Se così non fosse, affermiamo il contrario (non conforme) Esercizio_IC μ=20 σ=5 Soluzione 3. intervallo entro cui è compreso il 95% degli alberi di carpino con Ø medio =18,78 (n=9) P (18,78-1,96*(5/radq(9)) < μ <18,78+1,96*(5/radq(9)) = 95% P (18,78-3,27 < μ < 18,78+3,27) = 95% Limite inf ~ 15,5 Limite sup ~ 22 IC contiene la media μ=20 accetto l ipotesi che il bosco è conforme 39

40 Esercizio_IC μ=20 σ=5 Calcolare 3. l intervallo entro cui è compreso il 99% degli alberi di carpino con Ø medio =18,78 (n=9) P (18,78-Z 99 *(5/radq(9)) < μ <18,78+Z 99 *(5/radq(9)) = 99% Z 99 = tavole Z o formula in excel =INV.NORM.ST(P) Z con P=?=0,99 Z=? Esercizio_IC μ=20 σ=5 Calcolare 3. l intervallo entro cui è compreso il 99% degli alberi di carpino con Ø medio =18,78 (n=9) P (18,78-Z 99 *(5/radq(9)) < μ <18,78+Z 99 *(5/radq(9)) = 99% Z 99 = tavole Z o formula in excel =INV.NORM.ST(P) Z con P=0,995 Z 99 =2,575 Infatti P=0,995 (0,01/2) =0,995 (0,005)=0,99 Esercizio_IC a 2 code μ=20 σ=5 Soluzione 3. intervallo entro cui è compreso il 99% degli alberi di carpino con Ø medio =18,78 (n=9) P (18,78-Z 99 *(5/radq(9)) < μ <18,78+Z 99 *(5/radq(9)) = 99% P (18,78-2,575*(5/radq(9)) < μ <18,78+2,575*(5/radq(9)) = 99% P (18,78-4,29 < μ < 18,78+4,29) = 99% Limite inf ~ 14,5 Limite sup ~ 23 IC contiene la media μ=20 accetto l ipotesi che il bosco è conforme (aumenta IC, diminuisce precisione, ma anche P di errore) 40

41 Esercizio_IC (carpino nero) Quesito 4 Verificare se il Ø medio del tronco dei carpini di 20 anni di un bosco è INFERIORE a quello degli alberi della stessa età presenti nella regione Marche, di cui si conoscono: μ=20 cm σ=5 cm IC a 1 coda = IC riguarda solo 1 parte della curva (superiore o inferiore) Esercizio_IC a 1 coda Verificare 4. Se Ø medio =18,78 (n=9) è significativamente da μ=20 Limite superiore = 18,78+Z 95 *(5/radq(9)) μ=20 σ=5 Z 95 = tavole Z o formula in excel =INV.NORM.ST(P) Z con P=? Z=? Esercizio_IC a 1 coda Verificare 4. Se Ø medio =18,78 (n=9) è significativamente da μ=20 Limite superiore = 18,78+Z 95 *(5/radq(9)) μ=20 σ=5 Z 95 = tavole Z o formula in excel =INV.NORM.ST(P) Z 95 con P=0,95 Z=1,645 41

42 Esercizio_IC a 1 coda Soluzione 4. Ø medio =18,78 (n=9) è significativamente da μ=20? Limite superiore = 18,78+Z 95 *(5/radq(9)) = 18,78+1,645*(5/radq(9)) = 21,52 20 μ=20 σ=5 18,78 IC contiene la media μ=20 21,52 rifiuto l ipotesi che Ø medio =18,78 (n=9) è significativamente da μ=20 Esercizio_IC a 1 coda Verificare 4. Se Ø medio =18,78 (n=9) è significativamente da μ=20 Limite superiore = 18,78+Z 99 *(5/radq(9)) μ=20 σ=5 Z 99 = tavole Z o formula in excel =INV.NORM.ST(P) Z 95 con P=0,99 Z=2,326 Esercizio_IC a 1 coda Soluzione 4. Ø medio =18,78 (n=9) è significativamente da μ=20? Limite superiore = 18,78+Z 99 *(5/radq(9)) = 18,78+2,326*(5/radq(9)) = 22,66 20 μ=20 σ=5 18,78 IC contiene la media μ=20 22,66 rifiuto l ipotesi che Ø medio =18,78 (n=9) è significativamente da μ=20 42

43 IC a 2 code/1 coda x 20 15,55 18,78 22,0 14,5 23,0 21,52 22,66 μ IC a 2 code α=0,05, IC a 2 code α=0,01 IC a 1 coda α=0,05 IC a 1 coda α=0,01 Calcolo Z (1-α) _IC a 2 code/1 coda ± (1-α) Z 95 con P=0,975 Z=1,96 2 code P=0,95 Z=1,645 1 coda Z 99 con P=0,995 Z=2,575 P=0,99 Z=2,325 2 code 1 coda =INV.NORM.ST(P) attenzione a scelta di P IC con σ noto_assunti variabile x distribuita normalmente (μ; σ) campionamento effettuato casualmente ± (1-α) σ: deviazione standard della popolazione parentale n: numerosità del campione α: Probabilità degli eventi improbabili (0,05; 0,01) X: media campionaria 43

44 IC con σ noto_procedura 1. Formulare ipotesi 2. Fissare α 3. Campionare casualmente 4. Calcolare IC 5. Verificare ipotesi Compiti per casa L altezza media dei pini domestici della pineta di San Rossore è di 15 m, con deviazione standard di 2 m (σ noto) Un campionamento eseguito nella pineta di Platamona ha rivelato i seguenti dati: N pino h (m)

45 Compiti per casa_quesiti 1. Verificare se h media di Platamona è conforme a quella dei pini di S. Rossore con un livello di probabilità di 0,05 e di 0,01 ipotizzando che le 2 pinete abbiano stessa σ testza2code 2. Definire gli assunti della sperimentazione 3. Verificare se h media di Platamona è significativamente < a quella dei pini di S. Rossore test Z a 1 coda Compiti per casa_soluzioni Media campionaria=12,6 Quesito 1: conformità media camp. (test 2 code) α=0,05 Z 95 a 2 code=1,96 =inv.norm.st(0,975) IC = 12,6±1,96*((2/radq(5))=14,35 10,84 IC non comprende μ=15 i pini di Platamona sono più piccoli di quelli di S. Rossore α=0,01 Z 99 a 2 code=2,57 =inv.norm.st(0,995) IC = 12,6±2,57*((2/radq(5))=14,9 10,29 IC non comprende μ=15 i pini di Platamona sono più piccoli di quelli di S. Rossore Compiti per casa_soluzioni Quesito 2: assunti sperimentazione Distribuzione delle h dei pini di Platamona: normale Campionamento: casuale Campionamento: casuale Deviazione standard delle 2 pinete: uguale (omoscedasticità) 45

46 Compiti per casa_soluzioni Quesito 3: h camp. < pop. (test 1 coda) Q: se il test a 2 code non è significativo, può essere significativo il test a 1 coda?? A: no! Perché Z 95, Z 99 per test a 1 coda sono sempre inferiori ai corrispettivi per test a 2 code α=0,01 Z 99 a 1 coda=2,325 =inv.norm.st(0,99) Lim sup = 12,6+2,325*((2/radq(5))=14,68 Lim sup non comprende μ=15 i pini di Platamona sono più piccoli di quelli di S. Rossore Stima puntuale e intervallare IC per medie campionarie con μ e σ noti Distribuzione Z Grandi campioni : n>30 (qualsiasi distrib.) Grandi campioni : n>50 (distrib. non norm.) 1-α 1-α 46

47 Stima puntuale e intervallare IC per medie campionarie con μ e σ ignoti Piccoli campioni : n<30 Ipotesi : campioni estratti da distrib. normali Distribuzione t di Student Valori critici: t (α; ν) variano a seconda di α e dei gradi di libertà (ν: n-1) (α; ν) (α; ν) IC con μ e σ ignoti_t (α; ν) (α; ν) S=deviazione standard campionaria S 2 S n - 1 n - 1 Distribuzione t di Student t Z t = Z per n 30 o per infiniti g.l. t Z per n < 30 t molto da Z per n < 20 47

48 Distribuzione_t di Student Formula t calcolato t S Tavole_t critico Probabilità di osservare un t più grande gl 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,05 0,025 0,020 0,01 1 1,0000 1,3764 1,9626 3,0777 6, , , , , ,8165 1,0607 1,3862 1,8856 2,9200 4,3027 6,2053 6,9646 9, ,7649 0,9785 1,2498 1,6377 2,3534 3,1824 4,1765 4,5407 5, ,7407 0,9410 1,1896 1,5332 2,1318 2,7764 3,4954 3,7469 4,6041 probabilità a 2 code=somma delle probabilità (NB: test bilaterale, da Z) Formula in excel =inv.t(probabilità; gl) Calcolo t (α; ν) _IC a 2 code ± t (α; ν) S t 95 con α = 0,05 2 code t = inv.t(0,05; ν) t 99 con α = 0,01 2 code t = inv.t(0,01; ν) Formula in excel =inv.t(probabilità; ν) 48

49 Calcolo t (α; ν) _IC a 2 code/1 coda ± t (α; ν) S t 95 con α = 0,05 2 code t = inv.t(0,05; ν) 1 coda t = inv.t(0,10; ν) t 99 con α = 0,01 2 code t = inv.t(0,01; ν) 1 coda t = inv.t(0,02; ν) Formula in excel =inv.t(probabilità; ν) IC a 2 code / 1 coda IC per medie campionarie con μ e σ noti Distribuzione Z 1-α 1-α IC per medie campionarie con μ e σ ignoti Distribuzione t (α; ν) (α; ν) IC più grande di quello calcolato con Z IC con μ e σ ignoti Procedura stabilire il grado di fiducia (1 α) stimare σ a partire dai dati campionari: S (deviazione standard campionaria) trovare valore critico per (n-1) g.l. = t (α; ν) ) calcolare il margine di errore (α; ν) calcolare i 2 estremi dell IC (α; ν) (α; ν) 49

50 Esercizio_pineta L altezza media dei pini domestici della pineta di San Rossore è di 15 m (σ ignota) Un campionamento eseguito nella pineta di Platamona ha rivelato i seguenti dati: N pino h( (m) Esercizio pineta_quesiti 1. Verificare se h media di Platamona è conforme a quella dei pini di S. Rossore con un livello di confidenza del 95 e del 99 %, ipotizzando che le 2 pinete abbiano stessa σ ICconta2code code 2. Definire gli assunti della sperimentazione 3. Verificare se h media di Platamona è significativamente < a quella dei pini di S. Rossore IC con t a 1 coda 50

51 Esercizio pineta_soluzioni X = Media campionaria = 12,6 S = deviazione standard campionaria = 3,36 S 2 S n - 1 n - 1 Esercizio pineta_soluzioni Quesito 1: conformità media camp. (IC t 2 code) α=0,05 t (0,05; 4) a 2 code=2,77 =inv.t(0,05; 4) IC = 12,6±2,77*(3,36/radq(5))=8,426 16,77 IC comprende μ=15 i pini di Platamona sono conformi a quelli di S. Rossore α=0,01 t (0,01; 4) a 2 code=4,60 =inv.t(0,01; 4) IC = 12,6±4,60*(3,36/radq(5))=5,68 19,51 IC comprende μ=15 i pini di Platamona sono conformi a quelli di S. Rossore Esercizio pineta_soluzioni Quesito 2: assunti sperimentazione Distribuzione delle h dei pini di Platamona: normale Campionamento: casuale Campionamento: casuale Deviazione standard delle 2 pinete: uguale (omoscedasticità) 51

52 Esercizio pineta_soluzioni Quesito 3: h camp. < pop. (IC t 1 coda) α=0,01 Z 99 a 1 coda=3,74 =inv.t(0,02; 4) Lim sup = 12,6+3,74*(2/radq(5)) = 15,94 Lim sup comprende μ=15 i pini di Platamona non sono significativamente più piccoli di quelli di S. Rossore Esercizio_t leccio Nella Regione Marche, 1 leccio di 27 anni ha un Ø medio di 15 cm Quesito 1. Verificare sperimentalmente se i Ø dei lecci della Facoltà di Agraria sono conformi a quelli dei lecci della Regione Marche Ipotesi nulla H 0 μ aiuola = μ 0 52

53 Esercizio_t leccio Quesito 1. H 0 μ aiuola = μ n alb diam media 22,0 Soluzioni 1. H 0 μ aiuola = μ 0 Esercizio_t leccio - Testa2code - Calcolo IC: utilizzo distribuzione Z o t? σ ignoto: t (α; ν) (α; ν) Soluzioni 1. H 0 μ aiuola = μ 0 Esercizio_t leccio S=1,12 cm t (α; ν) = t (0,01; 7) 2 code =tavole o =inv.t(0,01; 01; 7)=3,4995 IC=22,0±3,4995*(1,12/radq(9))=23,3 20,7 53

54 μ IC a 2 code x 15 20,7 22,0 23,33 IC a 2 code α=0,01, Esercizio_t leccio Soluzioni 1. H 0 μ aiuola = μ 0 S=1,12 cm t (α; ν) = t (0,01; 7) 2 code =tavole o =inv.t(0,01; 7)=3,4995 IC=22,0±3,4995*(1,12/radq(9))=23,3 20,7 Se gli assunti sono validi, la vera μ aiuola : - è compresa nel 99% dei casi in questo IC - è superiore a μ 0 Ø lecci parcheggio > Ø lecci Marche, con un livello α<1% Esercizio_t leccio Nella Regione Marche, 1 leccio di 27 anni ha un Ø medio di 15 cm Quesito 2. Verificare sperimentalmente se i Ø dei lecci della Facoltà di Agraria sono maggiori a quelli dei lecci della Regione Marche Ipotesi alternativa H 1 μ aiuola > μ 0 54

55 Soluzioni 2. H 1 μ aiuola > μ 0 Esercizio_t leccio - Test a 1 coda - Calcolo IC: utilizzo distribuzione t (σ ignoto) (α; ν) (α; ν) Esercizio_t leccio Soluzioni 2. H 1 μ aiuola > μ 0 S=1,12 t (α; ν) = t (0,01; 7) = tavole o inv.t(0,02; 7)=2,9980 IC=22,0±2,9980*(1,12/radq(9))=23,1 20,9 Se gli assunti sono validi, la vera μ aiuola : - è compresa nel 99% dei casi in questo IC - è superiore a μ 0 Ø lecci parcheggio > Ø lecci Marche, con un livello α<1% μ IC a 2 code/1 coda x 15 20,7 22,0 23,33 IC a 2 code α=0,01, 20,9 23,1 IC a 1 coda α=0,01 55

56 Aumentare n Aumentare precisione della stima IC Formulare H 1 circostanziata Test a 1 coda: definisce un IC più ristretto Indici di dispersione_campionari Errore standard es S nell esempio, si scrive il Ø medio =22,0 ± es=22,0 ± 1,12 Coefficiente di variazione cfr variabilità di variabili diverse nell esempio CV=5% 56

57 Dimensionamento del campione Utilizzando formula IC è possibile anche dimensionare il campione una volta fissati: α = Livello di probabilità tollerato (1-α) = grado di fiducia desiderato σ = deviazione standard della popolazione (se non si conosce si usa la miglior stima disponibile = deviazione standard campionaria s) Esempio Nel misurare la persistenza di azione fitotossica di un particolare diserbante l industria di produzione stima che la deviazione standard sia pari a 2,5 giorni in condizioni ambientali standard Quanto deve essere grande il campione di misure affinché possiamo essere confidenti al 99% che l errore compiuto nella stima non sia superiore ad 1 giorno? I limiti di confidenza al 99% sono : => Esempio_conclusioni Così possiamo essere confidenti al 99% che l errore della stima sarà inferiore a 1 giorno solo se n 42 L ampiezza Lampiezza del campione sarà dunque tanto maggiore quanto maggiore σ 2, (1-α) e quanto più piccolo L 57

58 Errori campionari e non campionari Tutti i concetti e le formule finora descritte permettono di quantificare e controllare gli errori campionari : legati al fatto che studiamo una parte per trarre informazioni sul tutto non permettono di quantificare e controllare gli errori non campionari : si commettono nel fare indagini ed esperimenti Prima di elaborare i dati con formule più o meno complicate, è fondamentale: valutare la qualità dei dati verificare che siano stati raccolti con metodi statistici rigorosi rispettando le regole della casualità e che le misure siano state fatte in modo corretto 58