17.2 La temperatura data della piastra è pari a 60 C. Le proprietà dell'aria alla temperatura di film

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1 1 RISOLUZIONI cap Le proprietà dell'aria alla temperatura di film (a) In questo caso la lunghezza caratteristica è il diametro esterno del tubo, δ = D = 0,06 m. Quindi, (b) La potenza termica ceduta dal tubo per irraggiamento è 17.2 La temperatura data della piastra è pari a 60 C. Le proprietà dell'aria alla temperatura di film

2 2 (a) Quando la piastra è verticale, la lunghezza caratteristica è l'altezza della piastra, δ = L = 0,8 m. Quindi, b) Quando la piastra è orizzontale con la superficie calda rivolta verso l'alto, la lunghezza caratteristica è data da

3 3 (c) Quando la piastra è orizzontale con la superficie calda rivolta verso il basso, la lunghezza caratteristica è di nuovo δ = 0,2 m e il numero di Rayleigh è Ra = 2, Quindi, 17.3 La risoluzione di questo problema richiede un procedimento iterativo trial and error (per tentativi ed errori) poiché la determinazione del numero di Rayleigh e quindi del numero di Nusselt dipende dalla temperatura superficiale, che è incognita. (a) PCB verticale Iniziamo il procedimento di risoluzione «congetturando» che la temperatura superficiale sia 45 C per la valutazione delle proprietà e di h. Verificheremo l'accuratezza di questa congettura in seguito e ripeteremo i calcoli se necessario. Le proprietà dell'aria alla temperatura di film

4 4 In questo caso la lunghezza caratteristica è l'altezza della PCB, δ = L = 0,2 m. Quindi, La potenza termica ceduta sia per convezione naturale sia per irraggiamento può essere espressa come La sua soluzione è che è abbastanza vicina al valore di 45 C congetturato per la valutazione delle proprietà e di h. (b) PCB orizzontale, superficie calda rivolta verso l'alto Congetturiamo di nuovo che la temperatura superficiale sia 45 C e usiamo le proprietà valutate sopra. In questo caso la lunghezza caratteristica è Quindi,

5 5 La potenza termica ceduta sia per convezione naturale sia per irraggiamento può essere espressa come La sua soluzione è che è abbastanza vicina al valore di 45 C assunto nella valutazione delle proprietà e di h. (c) PCB orizzontale, superficie calda rivolta verso il basso Questa volta ci attendiamo che la temperatura superficiale sia più alta e congetturiamo che la temperatura superficiale sia 50 C. Verificheremo la congettura dopo avere ottenuto il risultato e ripeteremo i calcoli con una congettura migliore se sarà necessario. Le proprietà dell'aria alla temperatura di film In questo caso la lunghezza caratteristica, in base alla parte (b), è δ = 0,0429 m. Quindi, Considerando le potenze termiche cedute sia per convezione naturale sia per irraggiamento, otteniamo

6 6 La sua soluzione è che è identica al valore congetturato. Perciò, non è necessario ripetere i calcoli Le proprietà dell'aria alla temperatura di film In questo caso la lunghezza caratteristica è il diametro esterno del tubo, δ = D = 0,3 m. Quindi,

7 7 La potenza termica ceduta dal cilindro per irraggiamento è La quantità totale di calore ceduta in un intervallo di tempo di 10 h e il suo costo 17.5 La potenza termica ceduta, ottenuta nel problema precedente, era 29,150 W. Notiamo che l'isolamento ridurrà dell'85% le perdite di calore; quindi la potenza termica ceduta dopo l'isolamento sarà L'isolamento farà scendere la temperatura superficiale esterna a un valore vicino alla temperatura ambiente e forse inferiore a causa della bassissima temperatura del cielo per la cessione di calore per irraggiamento. Per convenienza, usiamo le proprietà dell'aria a 280 KM (la temperatura di film prevista),

8 8 In questo caso la lunghezza caratteristica è il diametro esterno del tubo isolato, δ = D + 2s isol = 0,3 + 2s isol, dove s isol è lo spessore dell'isolante in metri. Quindi possiamo formulare il problema per T s e s isol come segue: La potenza termica totale ceduta per convezione e irraggiamento dalla superficie esterna diventa Nel funzionamento in regime stazionario la potenza termica ceduta dalle superfici laterali del tubo deve essere uguale alla potenza termica ceduta per convezione e irraggiamento dalla superficie esposta dell'isolante, che deve essere uguale alla potenza termica ceduta per conduzione attraverso l'isolante. Perciò, Risolvendo il sistema formato da tutte le equazioni precedenti per mezzo di un equation solver, otteniamo T s = 281,5 K = 8,5 C e s isol = 0,013 m. Si noti che la temperatura di film diventa (8,5 C + 0 C)/2 = 4,25 C = 277,25 K, che è molto vicina al valore congetturato di 280 K. Perciò, non è necessario ripetere i calcoli usando le proprietà a questa nuova temperatura di film Le proprietà dell'aria alla temperatura di film

9 9 (a) In questo caso la lunghezza caratteristica è l'altezza della finestra, δ = L = 1,2 m. Quindi, (b) La potenza termica totale ceduta dalla finestra per convezione naturale e per irraggiamento è (c) La temperatura superficiale esterna della finestra è data da Quindi il coefficiente di scambio termico convettivo e radiativo combinato sulla superficie esterna della finestra è dato da

10 10 Si noti che e quindi la resistenza termica R di uno strato è direttamente proporzionale alla caduta di temperatura tra le due facce dello strato. Perciò, la frazione di resistenza termica del vetro è uguale al rapporto tra la caduta di temperatura tra le due facce del vetro e la differenza di temperatura complessiva, che è bassa. Perciò, è ragionevole trascurare la resistenza termica del vetro La risoluzione di questo problema richiede un procedimento iterativo trial and error (per tentativi ed errori) perché la determinazione del numero di Rayleigh e quindi del numero di Nusselt dipende dalla temperatura superficiale, che è incognita. Iniziamo il procedimento di risoluzione «congetturando» che la temperatura superficiale sia 44 C per la valutazione delle proprietà e di h. Verificheremo l'accuratezza di questa congettura in seguito e ripeteremo i calcoli se sarà necessario. Le proprietà dell'aria alla temperatura di film In questo caso la lunghezza caratteristica è il diametro esterno del filo isolato δ = D(3 + 3) mm = 0,006 m. Quindi,

11 11 La potenza termica generata e quindi la potenza termica scambiata è Quando si considera sia la convezione naturale sia l'irraggiamento, la potenza termica ceduta totale può essere espressa come che è vicina al valore congetturato di 44 C. Per migliorare il risultato, ripetiamo i calcoli per una temperatura superficiale di 50 C, ottenendo T s = 52 C. Perciò, possiamo assumere T s = (50 C + 52 C)/2 = 51 C come temperatura superficiale. Quindi la temperatura all'interfaccia tra il filo e la guaina di plastica nel funzionamento in regime stazionario diventa 17.8 La risoluzione di questo problema richiede un procedimento iterativo trial and error (per tentativi ed errori) perché la determinazione del numero di Rayleigh e quindi del numero di Nusselt dipende dalla temperatura superficiale, che è incognita. Iniziamo il procedimento di risoluzione «congetturando» che la temperatura superficiale sia 35 C per la valutazione delle proprietà e di h. Verificheremo

12 12 l'accuratezza di questa congettura in seguito e ripeteremo i calcoli se sarà necessario. Le proprietà dell'aria alla temperatura di film In questo caso la lunghezza caratteristica è l'altezza della scheda, δ = L = 0,3 m. Quindi, Quando si considerano sia la convezione naturale sia l'irraggiamento, la potenza termica ceduta totale può essere espressa come La sua soluzione è che è abbastanza vicina al valore congetturato nella valutazione delle proprietà e di h. Perciò, non è necessario ripetere i calcoli rivalutando le proprietà e h alla nuova temperatura di film La risoluzione di questo problema richiede un procedimento iterativo trial and error (per tentativi ed errori) perché la determinazione del numero di Rayleigh e quindi del numero di Nusselt dipende dalla

13 13 temperatura superficiale, che è incognita. Iniziamo il procedimento di risoluzione «congetturando» che la temperatura superficiale sia 170 C per la valutazione delle proprietà e di h. Verificheremo l'accuratezza di questa congettura in seguito e ripeteremo i calcoli se sarà necessario. Le proprietà dell'aria alla temperatura di film In questo caso la lunghezza caratteristica è data da Quando si considerano sia la convezione naturale sia l'irraggiamento, la potenza termica ceduta totale può essere scritta come

14 14 che è abbastanza vicina al valore congetturato nella valutazione delle proprietà e di h. Perciò, non è necessario ripetere i calcoli Le proprietà dell'aria alla temperatura di film In questo caso la lunghezza caratteristica è la distanza tra le due lastre di vetro, δ = 0,025 m. Quindi,

15 15 (b) La potenza termica scambiata per irraggiamento è Quindi, la potenza termica scambiata totale diventa Perciò, la conducibilità termica effettiva dell'aria che tiene conto anche dell'effetto di irraggiamento diventa Le proprietà dell'aria alla temperatura di film

16 16 In questo caso la lunghezza caratteristica è l'altezza della superficie, δ = 0,2 m. Quindi, La distanza ottimale tra le alette è Il coefficiente di scambio termico per questa distanza ottimale è Il numero di alette e l'area della superficie totale per lo scambio termico è Quindi, la potenza termica scambiata per convezione naturale diventa 17.12

17 17 Le proprietà dell'aria alla temperatura di film In questo caso la lunghezza caratteristica è l'altezza della superficie, δ = 0,18 m. Quindi, La distanza ottimale tra le alette è Il coefficiente di scambio termico per questa distanza ottimale tra le alette è Il criterio per l'altezza ottimale delle alette H nella letteratura è dato da (non nel testo) dove per alette rettangolari. Perciò, Il numero di alette e l'area della superficie totale per lo scambio termico è

18 18 Quindi la potenza termica scambiata per convezione naturale diventa Le proprietà dell'aria alla temperatura di film La lunghezza caratteristica è l'altezza della piastra, δ = 5 m. Il numero di Grashof e il numero di Reynolds e la velocità del moto forzato al di sopra della quale lo scambio termico per convezione naturale da questa piastra è trascurabile è

19 Supponiamo che la temperatura superficiale sia 60 C. Verificheremo questa ipotesi in seguito e ripeteremo i calcoli con un'ipotesi migliore se sarà necessario. Le proprietà dell'aria alla temperatura di film (a) In questo caso la lunghezza caratteristica è la lunghezza della scheda nella direzione del flusso (direzione verticale), δ = 0,12 m. Quindi il, numero di Reynolds diventa che è minore del numero di Reynolds critico ( ). Perciò, il flusso è laminare e il numero di Nusselt per la convezione forzata e h dati da che è abbastanza vicino al valore congetturato nella valutazione delle proprietà. Perciò, non è necessario ripetere i calcoli. (b) Il numero di Rayleigh è

20 20 Questo è un flusso coadiuvante e il numero di Nusselt combinato è dato da Perciò, in questo caso la convezione naturale abbassa di circa 2 C la temperatura superficiale Supponiamo che lo scambio termico per irraggiamento sia trascurabile. La risoluzione di questo problema richiede un procedimento iterativo trial and error (per tentativi ed errori) perché la determinazione del numero di Rayleigh e quindi del numero di Nusselt dipende dalla temperatura superficiale, che è incognita. Iniziamo il procedimento di risoluzione «congetturando» che la temperatura superficiale sia 15 C per la valutazione delle proprietà e di h. Verificheremo l'accuratezza di questa congettura in seguito e ripeteremo i calcoli se sarà necessario. Le proprietà dell'aria alla temperatura di film

21 21 (a) La lunghezza caratteristica per le superfici laterali è l'altezza della borsa termica, δ = 0,3 m. Quindi, Il coefficiente di scambio termico sulla superficie superiore può essere determinato in modo analogo. Però, la superficie superiore costituisce soltanto circa 1/4 della superficie per lo scambio termico e quindi, per semplicità, possiamo usare il coefficiente di scambio termico per le superfici laterali anche per la superficie superiore. L'area della superficie per lo scambio termico è La potenza termica scambiata diventa La temperatura della superficie esterna della borsa termica, determinata mediante la legge di Newton per la convezione, è che è quasi identica al valore congetturato di 15 C usato nella valutazione delle proprietà e di h. Perciò, non è necessario ripetere i calcoli. Quindi, la rapidità a cui fonderà il ghiaccio diventa

22 22 Perciò, il ghiaccio contenuto nella borsa termica impiegherà, per fondersi completamente, un intervallo di tempo (b) La caduta di temperatura attraverso il polistirolo espanso sarà molto maggiore in questo caso che attraverso lo strato limite termico sulla superficie. Perciò supponiamo che la temperatura superficiale esterna del polistirolo espanso sia 19 C. Trascureremo lo scambio termico per irraggiamento. Le proprietà dell'aria alla temperatura di film In questo caso la lunghezza caratteristica è la lunghezza della borsa termica, δ = 0,4 m. Quindi, che è minore del numero di Reynolds critico ( ). Perciò, il flusso è laminare e il numero di Nusselt è dato da

23 23 La potenza termica scambiata diventa La temperatura della superficie esterna della borsa termica, determinata mediante la legge di Newton per la convezione, è data da che è quasi identica al valore congetturato di 19 C usato nella valutazione delle proprietà e di h. Perciò, non è necessario ripetere i calcoli. La rapidità a cui il ghiaccio fonderà diventa Quindi, il ghiaccio contenuto nella borsa termica impiegherà, per fondersi completamente, un intervallo di tempo

24 Le proprietà dell'aria alla temperatura di film (a) In questo caso la lunghezza caratteristica è Quindi, La potenza termica scambiata per irraggiamento e la potenza termica scambiata totale

25 25 (b) La quantità totale di calore scambiato in un intervallo di tempo di 24 h è Quindi, la quantità di ghiaccio che fonde in questo intervallo di tempo diventa Le proprietà dell'aria alla temperatura media In questo caso la lunghezza caratteristica è la distanza fra i due cilindri,

26 26 Quindi, la potenza termica ceduta dal collettore, riferita a 1 m di lunghezza del tubo, diventa (a) Usiamo le proprietà dell'aria alla temperatura media di (30 C + 40 C)/2 = 35 C = 308 K e alla pressione di 1 atm per l'aria forzata; quindi, la portata massica dell'aria e la potenza termica scambiata per convezione forzata date da Notiamo che lo scambio termico per irraggiamento è trascurabile; quindi, il resto dei 180 W di potenza termica generata deve essere dissipato per convezione naturale, (b) Iniziamo i calcoli «congetturando» che la temperatura superficiale sia 40 C per la valutazione delle proprietà e di h. Verificheremo l'accuratezza di questa congettura in seguito e ripeteremo i calcoli se sarà necessario. Le proprietà dell'aria alla temperatura di film

27 27 Superficie superiore orizzontale La lunghezza caratteristica è. Quindi, Superficie inferiore orizzontale Il numero di Nusselt per questa geometria e questo orientamento è dato da Superfici laterali verticali In questo caso la lunghezza caratteristica è l'altezza del condotto, δ = 0,2 m. Quindi, Perciò, la potenza termica totale ceduta dal condotto può essere espressa come

28 28 Sostituendo e risolvendo rispetto alla temperatura superficiale, otteniamo che è abbastanza vicina al valore congetturato di 40 C usato nella valutazione delle proprietà e di h. Perciò, non è necessario ripetere i calcoli Le proprietà dell'aria alla temperatura di film Il numero di Rayleigh, determinato in funzione della lunghezza caratteristica (lunghezza della piastra), è Quindi, la lunghezza della piastra è data

29 Ci attendiamo che la temperatura del tubo sia molto vicina alla temperatura dell'acqua e iniziamo i calcoli «congetturando» che la temperatura media della superficie esterna del tubo sia 70 C per la valutazione delle proprietà e di h. Verificheremo l'accuratezza di questa congettura in seguito e ripeteremo i calcoli se sarà necessario. Le proprietà dell'aria alla temperatura di film In questo caso la lunghezza caratteristica è il diametro esterno del tubo, δ = D e = 0,03 m. Quindi, Usiamo il valore congetturato della temperatura superficiale esterna; quindi il coefficiente di scambio termico radiativo è dato da

30 30 Il coefficiente di scambio termico convettivo e radiativo combinato all'esterno diventa La portata massica dell'acqua è Quindi la caduta di temperatura dell'acqua mentre fluisce nel tubo è