Rappresentazione di Dati: Scala lineare Scala logaritmica. Grafici Lin Lin Grafici Lin Log Grafici Log Log

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1 Rappresentazione di Dati: Scala lineare Scala logaritmica Grafici Lin Lin Grafici Lin Log Grafici Log Log

2 Grafici in scala lineare Grafici Lin Lin Nella rappresentazione di dati in un piano cartesiano la scala è lineare quanto le unità di misura sugli assi (sia per le scisse che per le ordinate) sono scelte in modo tale che a segmenti aventi la stessa «lunghezza» corrisponda la medesima quantità (numero) 1 1 1

3 Finora abbiamo lavorato con le scale lineari. Si consideri un asse cartesiano Rappresentazione in scala lineare: la lunghezza del segmento che rappresenta la coordinata del punto è proporzionale al valore della coordinata

4 Rappresentazione di una funzione y=f(x) in scala lineare Retta y y=mx+q m: coefficiente angolare q: termine noto. Q a x I valori di m e q sono legati alla pendenza e all intercetta della retta con l asse delle y. I valori di m e q possono essere determinati graficamente utilizzando la rappresentazione in scala lineare della retta.

5 y=mx+q Come determinare m e q y y 2 B. y y 1 a A. P. Q a x 1 x 2 x x Per determinare il coefficiente angolare Scelti 2 punti A e B di coordinate note A(x 1,y 1 ) B(x 2,y 2 ) Per determinare il termine noto q: Il punto Q, intercetta della retta con l asse y ha coordinate Q(0, q) m=tga= BP PA = y 2 y 1 x 2 x 1

6 Grafici con assi in scala logaritmica Consideriamo ora il logaritmo Log 10 A= B significa che 10 B = A Log = 2; Log 10 1= 0 Log = -1; I logaritmi possono essere anche in base diversa da 10. Il più importante è il logaritmo naturale ln y 2 Ln C=D significa che e D = C e: numero di Nepero log x x

7 Grafici in scala logaritmica Si consideri come asse cartesiano una semiretta con ascisse maggiori di zero Rappresentazione dei dati (reali e positivi ) su un asse cartesiano in scala logaritmica: la lunghezza del segmento che rappresenta la coordinata del punto x è proporzionale a log 10 x Si rappresenta sull asse il punto di ascissa 1=10 0 Per valori delle ascisse maggiori (direzione crescente dell asse x) si rappresentano a distanze uguali fra loro i punti di ascissa 10 1, 10 2, 10 3, 10 4, Per valori delle ascisse minori di 1 (direzione decrescente dell asse x) si rappresentano a distanze uguali fra loro i punti di ascissa 10-1, 10-2, 10-3, 10-4, I valori intermedi tra una potenza di 10 e la successiva sono posizionati ai valori del rispettivi logaritmi decimali Applicazioni: rappresentazioni di dati che variano su ordini di grandezza Rappresentazioni in scala semilog (o Log Lin) Rappresentazioni in scala Log Log

8 y y y Esempio: Y=10x 4 in tre rappresentazioni diverse Scala lineare 1.E+09 9.E+08 8.E+08 7.E+08 6.E+08 5.E+08 4.E+08 3.E+08 2.E+08 1.E+08 0.E+00 Scala Log Log 1.E+09 1.E+08 1.E+07 1.E+06 1.E+05 1.E+04 1.E+03 1.E+02 1.E+01 1.E+00 lineare lineare x x log log Scala semilog log 1.E+09 1.E+08 1.E+07 1.E+06 1.E+05 1.E+04 1.E+03 1.E+02 1.E+01 1.E x lineare

9 Scala Log Lin e Scala Log Log Scala Logaritmica su un asse : si imposta dalla schermata Opzioni asse separatamente per asse x e per asse y (metodo più veloce: doppio click valori asse da cambiare) Scala Lin Log: un asse lineare, un asse logaritmico Scala Log Log: entrambi gli assi logaritmici

10 Rappresentazione delle funzioni esponenziali in scala semilog 2. Scala semilogaritmica (asse x lineare, asse y logaritmico) y = ae kx Faccio il logaritmo in base 10 log 10 y = log 10 ae kx = log 10 a+(log 10 e ) kx = log 10 a + (k log 10 e ) x Termine noto Coefficiente angolare Nel caso di funzioni esponenziali ottengo una relazione lineare fra log Y (ordinata) e la x (ascissa).

11 Rappresentazione delle funzioni esponenziali in scala semilog y = ae kx 600 Data Data B B A Grafico in scala lineare A Grafico in scala semilog: Log su y e lineare su x Quindi la scala semilog permette di rappresentare come rette le funzioni esponenziali: il coefficiente angolare della retta ottenuta è proprio m= k log 10 e IL termine noto è l intercetta con l asse y q= log 10 a

12 Rappresentazione delle funzioni esponenziali in scala semilog Quindi in una rappresentazione semilog la funzione Data 16 y = ae kx B Appare come una retta di coefficiente angolare m pari a: A log y 1 B 1000 Data 16 m=tga= log y 2 log y 1 x 2 x 1 = log y 2 y1 x 2 x 1 log y A x 1 x 2 m= k log 10 e Dal grafico semilog di una funzione esponenziale y = ae kx posso ricavare il valore di k

13 Scala logaritmica (asse x logaritmico, asse y logaritmico) y = ax n Faccio il logaritmo in base 10 per entrambi i membri dell uguaglianza log 10 y = log 10 ax n = log 10 a +n log 10 x Nel caso di funzioni potenza ottengo una relazione lineare fra log Y (ordinata) e la log x (ascissa). Inoltre il coefficiente angolare della retta ottenuta è proprio n esponente della potenza

14 Scala logaritmica (asse x logaritmico, asse y logaritmico) y = ax n Log y logy 2 B. logy 1 A. a P log x 1 log x 2 Log x = log y 2 y1 log x 2 logx 1 log x 2 x1 Coefficiente angolare della retta=tga= log y 2 log y 1 m (coefficiente angolare della retta che appare in scala log log )= n esponente della funzione

15 Esercizi 1. Importare il file percorso.txt, in cui è riportata la distanza (espressa in metri) percorsa da due treni in funzione del tempo trascorso (espresso in secondi). Graficare i dati e determinare il coefficiente angolare e il termine noto delle rette ottenute. Commentare e confrontare i valori ottenuti. 2. Importare il file temperatura.txt, che contiene una sola colonna di 100 dati. Questi dati sono la temperatura di un corpo che è stata misurata ad intervalli regolari di tempo per 100 volte nel periodo di tempo compreso fra 6 sec e 303 sec. Utilizzando queste informazioni generare la colonna delle ascisse (valori delle x) corrispondenti ai tempi in cui è stata effettuata la lettura della temperatura. Riportare sia in un grafico lineare che in un grafico semilogaritmico la temperatura in funzione del tempo di lettura. Calcolare il coefficiente angolare della retta ottenuta nel secondo caso della rappresentazione in scala semilogaritmica. Commentare il significato del valore ottenuto. 3. Graficare la funzione y= 4x 3 nelle regione delle ascisse positive con valore massimo pari a 120, sia in scala lineare In un piano cartesiano)che in scala log-log. Utilizzare come simbolo una linea continua. Utilizzando il grafico log log calcolare il coefficiente angolare della retta ottenuta e confrontarlo con la funzione potenza graficata. Nella relazione commentare il risultato ottenuto e le differenze fra le due rappresentazioni grafiche utilizzate.