Riportiamo in dettaglio alcune dimostrazioni di Saccheri, con qualche modifica (cfr. R. Bonola, La geometria non-euclidea, Bologna, Zanichelli 1906).

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1 ppendice. Riportiamo in dettaglio alcune dimostrazioni di Saccheri, con qualche modifica (cfr. R. onola, La geometria non-euclidea, ologna, Zanichelli 1906). La figura fondamentale di Saccheri è il quadrilatero birettangolo isoscele, ossia il quadrilatero con due lati opposti uguali e perpendicolari alla base. Le proprietà di questa figura sono dedotte dal: Lemma 1. In un quadrilatero cogli angoli consecutivi $, $ retti, se i lati e sono uguali, sono uguali anche gli angoli e $ $. Se i lati e cono disuguali, dei due angoli e $ $ è maggiore quello adiacente al lato minore e viceversa. N M La dimostrazione è immediata: supposto =, e detti M, N i punti medi di e, dalla uguaglianza dei triangoli M, M (1 criterio) segue quella dei triangoli NM, NM (3 criterio) e quindi $ = $ come somme di angoli uguali. Ne segue pure che la congiungente i punti medi di e é asse delle basi e. Supposto invece >, e preso E = dalla parte di, risulta interno al segmento e dunque $ > E $, in quanto angolo esterno del triangolo E. E Risulta inoltre: $ < E $, in quanto la semiretta è interna all angolo E $, pertanto: $ > E $ = E $ > $. Vale anche il viceversa: se gli angoli $ $ e sono disuguali, i lati e sono disuguali, ed è maggiore quello adiacente all angolo minore. La dimostrazione è analoga.

2 Osservazione. Se vale il Postulato V, allora la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 2 angoli retti (prop. I, 32), pertanto la somma degli angoli interni di un quadrilatero = 4 retti, e quindi in questo caso gli angoli alla base superiore del quadrilatero di Saccheri sono retti: $ = $ = 1 retto. Se : $, $ sono entrambi acuti, o entrambi ottusi, il postulato V è negato. Saccheri distingue allora le tre ipotesi: ipotesi dell angolo retto ( $, $ entrambi retti) ipotesi dell angolo acuto ( $, $ entrambi acuti) ipotesi dell angolo ottuso ( $, $ entrambi ottusi) e dimostra che si ha rispettivamente: = > < imostrazione: all ipotesi dell angolo retto, per il lemma 1, segue l uguaglianza dei triangoli e e dunque =. Nell ipotesi dell angolo ottuso, la perpendicolare comune ad e nei punti medi O e O divide il quadrilatero fondamentale in due quadrilateri tri-rettangoli uguali. unque per il lemma 1: O > O, O > O. In modo analogo si procede nell ipotesi dell angolo acuto. O O Il teorema si inverte ragionando per assurdo.

3 Teorema. Se una delle ipotesi si verifica in un quadrilatero (birettangolo isoscele) si verifica in ogni altro quadrilatero (birettangolo isoscele). Supponiamo che l ipotesi dell angolo retto sia verificata nel quadrilatero (di Saccheri). Siano, due punti su e rispettivamente, equidistanti da e da : =. nche in vale l ipotesi dell angolo retto, infatti se fosse $ = $ < 1 retto allora $ = $ > 1 retto. unque di avrebbe contemporaneamente: > e <, che è assurdo poiché =. Sui prolungamenti di e si prendano poi i punti M, N equidistanti da e da. ico che nel quadrilatero MN vale l ipotesi dell angolo retto. Infatti se M è multiplo di è immediato (il quadrilatero MN è composto di quadrilateri uguali ad ). Se M non è multiplo di, si prenda un multiplo di maggiore di M e sulle semirette, due segmenti P, Q uguali a tale multiplo. llora in QP vale l ipotesi dell angolo retto e conseguentemente, per quanto detto sopra, tale ipotesi vale anche nel quadrilatero MN. Finalmente l ipotesi dell angolo retto vale in un qualunque quadrilatero di Saccheri, poiché come base si può prendere uno qualunque dei lati perpendicolari alla : P M Q N Supponiamo ora che l ipotesi dell angolo ottuso sia verificata in un quadrilatero, e prendiamo sui lati uguali due segmenti uguali =. llora non può essere perpendicolare ad e altrimenti in, e dunque in, varrebbe l ipotesi dell angolo retto. Supponiamo acuto; si ha allora: > >

4 Muovendo ora la retta in modo che si mantenga perpendicolare alla mediana OO del quadrilatero fondamentale per continuità esisterà una posizione =. Per il lemma 1 in varrebbe l ipotesi dell angolo retto, e dunque anche in. Il medesimo ragionamento viene applicato anche se i segmenti, sono maggiori di. unque si è dimostrato che se vale l ipotesi dell angolo ottuso in un quadrilatero di Saccheri di base, vale in ogni altro quadrilatero di Saccheri di base. O O onsideriamo ora un quadrilatero (di Saccheri) di base qualunque. Poiché $, $ sono ottusi, la perpendicolare in alla incontrerà la in M, formando l angolo M $ ottuso (per il teorema dell angolo esterno = prop. I, 16), e dunque (per il lemma 1): > M. Preso allora N = M, nel quadrilatero birettangolo isoscele MN vale l ipotesi dell angolo ottuso. M N Finalmente: se vale l ipotesi dell angolo acuto per un quadrilatero di Saccheri, vale per ogni altro quadrilatero (di Saccheri). Segue subito per assurdo.

5 Saccheri dimostra poi il teorema: seconda che valga l ipotesi dell angolo retto, acuto od ottuso, la somma degli angoli interni di un triangolo è rispettivamente: S ( ) = S ( ) < S ( ) > Sia un triangolo rettangolo in. Si completi il quadrilatero tracciando il segmento = perpendicolare ad e congiungendo con. Nell ipotesi dell angolo retto i due triangoli sono uguali, $ = $, e dunque: S( ) = = $ + $ + $. Nell ipotesi dell angolo ottuso, essendo > si ha: $ > $, dunque nel triangolo : $ + $ + $ >. Nell ipotesi dell angolo acuto è < e dunque $ + $ + $ <. Il teorema si estende poi facilmente ad un triangolo qualunque, mediante la decomposizione di un triangolo in due triangoli rettangoli. Infine il teorema inverso viene dimostrato da Saccheri mediante una riduzione all assurdo.