Matricola: Corso: 1. (4 Punti) Stimare la variazione del reddito quando il prezzo del prodotto finale raddoppia.

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1 Facoltà di Economia Statistica Esame 3-12/04/2010: A Cognome, Nome: Matricola: Corso: Problema 1. Per 5 imprese imprese è stato rilevato il reddito quinquennale medio (in milioni di euro), y, e il corrispondente prezzo del prodotto finale x. x y (4 Punti) Stimare la variazione del reddito quando il prezzo del prodotto finale raddoppia. 2. (2 Punti) Qual è la proporzione di variabilità di reddito spiegata dal prezzo del prodotto finale secondo la retta di regressione dei minimi quadrati? 1

2 Problema 2. In una competizione con diverse sfide due giocatori, A e B, convengono che vince chi totalizza per primo 5 vittorie. 1. (3 Punti) Supponendo che i giocatori abbiano la stessa probabilità di vincere e che dopo 5 sfide ha vinto 3 volte A e 2 volte B, qual è la probabilità che B vinca la competizione? 2. (3 Punti) Supponendo che i giocatori abbiano la stessa probabilità di vincere qual è la probabilità che A vinca le prime 5 sfide? 2

3 Problema 3. Dovendo sostituire il circuito di raffreddamento del PC, il negoziante mi propone una scatola con 10 circuiti tra cui scegliere quelli di ricambio. Sfortunatamente i circuiti hanno perso l etichetta, però il venditore si ricorda che sono rimasti 2 circuiti di tipo C 1 e 3 tipo C 2, mentre i restanti sono di tipo C 3. Il venditore mi ricorda che la probabilità di funzionare dopo cinque anni per il circuito C 1 è 0.8, per il C 2 è 0.75, mentre per C 3 è (3 Punti) Sapendo che il circuito è ancora funzionante dopo cinque anni, qual è la probabilità che fosse del tipo C (3 Punti) Calcolare la probabilità che prendendo un circuito a caso questo funzioni dopo cinque anni. 3

4 Problema 4. Per verificare la relazioni tra la malattia β e il contatto con la sostanza α è stato effettuato uno studio su 100 persone i cui risultati sono riportati nella seguente tabella: Sano Malato contatto non contatto (3 Punti) Verificare l ipotesi di associazione tra sostanza e malattia ai livelli di significatività del 5% e 1%. 2. (3 Punti) Supponendo che le 100 persone siano l intera popolazione, si dica di quanto aumenta la probabilità di ammalarsi venendo a contatto con la sostanza rispetto a chi invece non interagisce con la sostanza. 4

5 Problema 5. Avendo estratto un campione d aria da una zona infetta è stato contato il numero di contaminanti, X, di un certo tipo in 40 metri cubi. I valori ottenuti sono riportati nella seguente tabella: x k n k (3 punti) Possiamo assumere che il numero di contaminanti in 40 metro cubi si distribuisca secondo una legge di Poisson? Se il parametro fosse noto, pari a λ = 1, cambierebbero le conclusioni? 2. (3 punti) Assumendo che il numero di contaminanti si distribuisca secondo una legge di Poisson, si proponga una stima corretta della varianza. 5

6 Risposte compito A Problema 1. Per 5 imprese imprese è stato rilevato il reddito quinquennale medio (in milioni di euro), y, e il corrispondente prezzo del prodotto finale x. x y (4 Punti) Stimare la variazione del reddito quando il prezzo del prodotto finale raddoppia. Soluzione. Si tratta di calcolare la retta di regressione Y = a + bx. Il coefficiente b è pari a 0.97, quindi se il prezzo del bene raddoppia, il reddito dell impresa aumenta di 1.94 milioni di euro. 2. (2 Punti) Qual è la proporzione di variabilità di reddito spiegata dal prezzo del prodotto finale secondo la retta di regressione dei minimi quadrati? Soluzione. La bontà di adattamento si misura con l indice R 2 = ρ 2 xy = La variazione del costo della materia prima spiega l 16% dal tasso di inflazione. 1

7 Problema 2. In una competizione con diverse sfide due giocatori, A e B, convengono che vince chi totalizza per primo 5 vittorie. 1. (3 Punti) Supponendo che i giocatori abbiano la stessa probabilità di vincere e che dopo 5 sfide ha vinto 3 volte A e 2 volte B, qual è la probabilità che B vinca la competizione? Soluzione. Gli esiti possibili sono, ABBB,BABB,BBAB,BBB, con Pr(ABBB) = Pr(BABB) = Pr(BBAB) = 1/16, Pr(BBB) = 2/16, quindi la probabilità che B vinca la coppa è Pr(ABBB)+ Pr(BABB) + Pr(BBAB) + Pr(BBB) = 5/ (3 Punti) Supponendo che i giocatori abbiano la stessa probabilità di vincere qual è la probabilità che A vinca le prime 5 sfide? Soluzione. Indichiamo con A l evento vince A e con B l evento vince B. Pr(Avince5regate) = =

8 Problema 3. Dovendo sostituire il circuito di raffreddamento del PC, il negoziante mi propone una scatola con 10 circuiti tra cui scegliere quelli di ricambio. Sfortunatamente i circuiti hanno perso l etichetta, però il venditore si ricorda che sono rimasti 2 circuiti di tipo C 1 e 3 tipo C 2, mentre i restanti sono di tipo C 3. Il venditore mi ricorda che la probabilità di funzionare dopo cinque anni per il circuito C 1 è 0.8, per il C 2 è 0.75, mentre per C 3 è (3 Punti) Sapendo che il circuito è ancora funzionante dopo cinque anni, qual è la probabilità che fosse del tipo C 1. Soluzione. Applicando il teorema di Bayes si ottiene: Pr(C 1 OK) = Pr(C 1) Pr(OK C 1 ) Pr(OK) = (3 Punti) Calcolare la probabilità che prendendo un circuito a caso questo funzioni dopo cinque anni. Soluzione. Indichiamo con OK l evento il circuito funziona dopo cinque anni. Applicando il teorema delle probabilità composte si ottiene: Pr(OK) = 3 i=1 Pr(C i ) Pr(OK C i ) = =

9 Problema 4. Per verificare la relazioni tra la malattia β e il contatto con la sostanza α è stato effettuato uno studio su 100 persone i cui risultati sono riportati nella seguente tabella: Sano Malato contatto non contatto (3 Punti) Verificare l ipotesi di associazione tra sostanza e malattia ai livelli di significatività del 5% e 1%. Soluzione. Dobbiamo effettuare un test χ 2 e rifiuteremo l ipotesi di indipendenza (ai livelli di significatività del 5% e 1%) se la statistica χ 2 obs è superiore a χ2 0.05,ν=1 = 3.84 (dalle Tavole). Le frequenze teoriche n ij sono Quindi Sano Malato contatto non contatto χ 2 obs = 2 2 i=1 j=1 (n ij n ij )2 e ij 1.01, che essendo più piccolo di 3.84 non possiamo dire che la sostanza sia associata alla malattia. 2. (3 Punti) Supponendo che le 100 persone siano l intera popolazione, si dica di quanto aumenta la probabilità di ammalarsi venendo a contatto con la sostanza rispetto a chi invece non interagisce con la sostanza. Soluzione. Indichiamo con E l evento persona entra in contatto con la sostanza e con M la persona è malata. Dobbiamo calcolare il rapporto k = quindi la probabilità aumenta del 20%. Pr(M E) 30 = Pr(M Ē) 25 = 1.2, 4

10 Problema 5. Avendo estratto un campione d aria da una zona infetta è stato contato il numero di contaminanti, X, di un certo tipo in 40 metri cubi. I valori ottenuti sono riportati nella seguente tabella: x k n k (3 punti) Possiamo assumere che il numero di contaminanti in 40 metro cubi si distribuisca secondo una legge di Poisson? Se il parametro fosse noto, pari a λ = 1, cambierebbero le conclusioni? Soluzione. La tabella riporta i risultati del raggruppamento in classi e il calcolo delle frequenze teoriche. Dunque la regione di rifiuto per il test al livello del α = 5% è X R = (χ 2 2,1 0.05, ) = (5.99, ). Si noti che in questo caso i gradi di libertà sono k 1 in quanto abbiamo stimato i parametro λ. Non essendo λ specificato abbiamo usato i dati due volte e per cautelarci dall incertezza sulla stima di λ dobbiamo utilizzare una distribuzione χ 2 con più variabilità rispetto a quella utilizzata per λ noto (χ 2 ν=3 ). Le frequenze osservate sono n 1 = 15, n 2 = 10, n 3 = 15 e il valore della statistica test χ 2 è T = ( ) ( ) ( ) = Essendo la statistica test caduta in X A non rifiutiamo l ipotesi che il campione provenga dalla legge di Poisson. Se λ fosse stata stato pari a 1 le frequenze teoriche non si modificano in questo caso la stima di λ coincide con il valore teorico assunto, mentre invece sarebbe aumentato il valore di soglia e la regione di rifiuto sarebbe stata X R = (χ 2 3,1 0.05, ) = (7.81, ), in quanto i gradi di libertà non sarebbero stati 2, ma (3 punti) Assumendo che il numero di contaminanti si distribuisca secondo una legge di Poisson, si proponga una stima corretta della varianza. Soluzione. La varianza della Poisson è uguale alla media, quindi una stima corretta della media è anche una stima corretta della varianza. Dunque V ar(x) = λ e ˆλ = 3 k=1 x k n k N = = 1 k A k p k n k 1 [0, 0) Pr(X = 0) = [1, 2) Pr(X = 1) = [2, ) Pr(X 2) =

11 Facoltà di Economia Statistica Esame 3-12/04/2010: B Cognome, Nome: Matricola: Corso: Problema 1. Per 5 imprese imprese è stato rilevato il reddito quinquennale medio (in milioni di euro), y, e il corrispondente prezzo del prodotto finale x. x y (2 Punti) Qual è la proporzione di variabilità di reddito spiegata dal prezzo del prodotto finale secondo la retta di regressione dei minimi quadrati? 2. (4 Punti) Stimare la variazione del reddito quando il prezzo del prodotto finale raddoppia. 1

12 Problema 2. In una competizione con diverse sfide due giocatori, A e B, convengono che vince chi totalizza per primo 5 vittorie. 1. (3 Punti) Supponendo che i giocatori abbiano la stessa probabilità di vincere e che dopo 5 sfide ha vinto 3 volte A e 2 volte B, qual è la probabilità che B vinca la competizione? 2. (3 Punti) Supponendo che i giocatori abbiano la stessa probabilità di vincere qual è la probabilità che A vinca le prime 5 sfide? 2

13 Problema 3. Dovendo sostituire il circuito di raffreddamento del PC, il negoziante mi propone una scatola con 10 circuiti tra cui scegliere quelli di ricambio. Sfortunatamente i circuiti hanno perso l etichetta, però il venditore si ricorda che sono rimasti 2 circuiti di tipo C 1 e 3 tipo C 2, mentre i restanti sono di tipo C 3. Il venditore mi ricorda che la probabilità di funzionare dopo cinque anni per il circuito C 1 è 0.8, per il C 2 è 0.75, mentre per C 3 è (3 Punti) Sapendo che il circuito è ancora funzionante dopo cinque anni, qual è la probabilità che fosse del tipo C (3 Punti) Calcolare la probabilità che prendendo un circuito a caso questo funzioni dopo cinque anni. 3

14 Problema 4. Per verificare la relazioni tra la malattia β e il contatto con la sostanza α è stato effettuato uno studio su 100 persone i cui risultati sono riportati nella seguente tabella: Sano Malato contatto non contatto (3 Punti) Verificare l ipotesi di associazione tra sostanza e malattia ai livelli di significatività del 5% e 1%. 2. (3 Punti) Supponendo che le 100 persone siano l intera popolazione, si dica di quanto aumenta la probabilità di ammalarsi venendo a contatto con la sostanza rispetto a chi invece non interagisce con la sostanza. 4

15 Problema 5. Avendo estratto un campione d aria da una zona infetta è stato contato il numero di contaminanti, X, di un certo tipo in 40 metri cubi. I valori ottenuti sono riportati nella seguente tabella: x k n k (3 punti) Assumendo che il numero di contaminanti si distribuisca secondo una legge di Poisson, si proponga una stima corretta della varianza. 2. (3 punti) Possiamo assumere che il numero di contaminanti in 40 metro cubi si distribuisca secondo una legge di Poisson? Se il parametro fosse noto, pari a λ = 1, cambierebbero le conclusioni? 5

16 Facoltà di Economia Statistica Esame 3-12/04/2010: C Cognome, Nome: Matricola: Corso: Problema 1. Per 5 imprese imprese è stato rilevato il reddito quinquennale medio (in milioni di euro), y, e il corrispondente prezzo del prodotto finale x. x y (4 Punti) Stimare la variazione del reddito quando il prezzo del prodotto finale raddoppia. 2. (2 Punti) Qual è la proporzione di variabilità di reddito spiegata dal prezzo del prodotto finale secondo la retta di regressione dei minimi quadrati? 1

17 Problema 2. In una competizione con diverse sfide due giocatori, A e B, convengono che vince chi totalizza per primo 5 vittorie. 1. (3 Punti) Supponendo che i giocatori abbiano la stessa probabilità di vincere qual è la probabilità che A vinca le prime 5 sfide? 2. (3 Punti) Supponendo che i giocatori abbiano la stessa probabilità di vincere e che dopo 5 sfide ha vinto 3 volte A e 2 volte B, qual è la probabilità che B vinca la competizione? 2

18 Problema 3. Dovendo sostituire il circuito di raffreddamento del PC, il negoziante mi propone una scatola con 10 circuiti tra cui scegliere quelli di ricambio. Sfortunatamente i circuiti hanno perso l etichetta, però il venditore si ricorda che sono rimasti 2 circuiti di tipo C 1 e 3 tipo C 2, mentre i restanti sono di tipo C 3. Il venditore mi ricorda che la probabilità di funzionare dopo cinque anni per il circuito C 1 è 0.8, per il C 2 è 0.75, mentre per C 3 è (3 Punti) Sapendo che il circuito è ancora funzionante dopo cinque anni, qual è la probabilità che fosse del tipo C (3 Punti) Calcolare la probabilità che prendendo un circuito a caso questo funzioni dopo cinque anni. 3

19 Problema 4. Per verificare la relazioni tra la malattia β e il contatto con la sostanza α è stato effettuato uno studio su 100 persone i cui risultati sono riportati nella seguente tabella: Sano Malato contatto non contatto (3 Punti) Supponendo che le 100 persone siano l intera popolazione, si dica di quanto aumenta la probabilità di ammalarsi venendo a contatto con la sostanza rispetto a chi invece non interagisce con la sostanza. 2. (3 Punti) Verificare l ipotesi di associazione tra sostanza e malattia ai livelli di significatività del 5% e 1%. 4

20 Problema 5. Avendo estratto un campione d aria da una zona infetta è stato contato il numero di contaminanti, X, di un certo tipo in 40 metri cubi. I valori ottenuti sono riportati nella seguente tabella: x k n k (3 punti) Possiamo assumere che il numero di contaminanti in 40 metro cubi si distribuisca secondo una legge di Poisson? Se il parametro fosse noto, pari a λ = 1, cambierebbero le conclusioni? 2. (3 punti) Assumendo che il numero di contaminanti si distribuisca secondo una legge di Poisson, si proponga una stima corretta della varianza. 5

21 Facoltà di Economia Statistica Esame 3-12/04/2010: D Cognome, Nome: Matricola: Corso: Problema 1. Per 5 imprese imprese è stato rilevato il reddito quinquennale medio (in milioni di euro), y, e il corrispondente prezzo del prodotto finale x. x y (2 Punti) Qual è la proporzione di variabilità di reddito spiegata dal prezzo del prodotto finale secondo la retta di regressione dei minimi quadrati? 2. (4 Punti) Stimare la variazione del reddito quando il prezzo del prodotto finale raddoppia. 1

22 Problema 2. In una competizione con diverse sfide due giocatori, A e B, convengono che vince chi totalizza per primo 5 vittorie. 1. (3 Punti) Supponendo che i giocatori abbiano la stessa probabilità di vincere e che dopo 5 sfide ha vinto 3 volte A e 2 volte B, qual è la probabilità che B vinca la competizione? 2. (3 Punti) Supponendo che i giocatori abbiano la stessa probabilità di vincere qual è la probabilità che A vinca le prime 5 sfide? 2

23 Problema 3. Dovendo sostituire il circuito di raffreddamento del PC, il negoziante mi propone una scatola con 10 circuiti tra cui scegliere quelli di ricambio. Sfortunatamente i circuiti hanno perso l etichetta, però il venditore si ricorda che sono rimasti 2 circuiti di tipo C 1 e 3 tipo C 2, mentre i restanti sono di tipo C 3. Il venditore mi ricorda che la probabilità di funzionare dopo cinque anni per il circuito C 1 è 0.8, per il C 2 è 0.75, mentre per C 3 è (3 Punti) Calcolare la probabilità che prendendo un circuito a caso questo funzioni dopo cinque anni. 2. (3 Punti) Sapendo che il circuito è ancora funzionante dopo cinque anni, qual è la probabilità che fosse del tipo C 1. 3

24 Problema 4. Per verificare la relazioni tra la malattia β e il contatto con la sostanza α è stato effettuato uno studio su 100 persone i cui risultati sono riportati nella seguente tabella: Sano Malato contatto non contatto (3 Punti) Supponendo che le 100 persone siano l intera popolazione, si dica di quanto aumenta la probabilità di ammalarsi venendo a contatto con la sostanza rispetto a chi invece non interagisce con la sostanza. 2. (3 Punti) Verificare l ipotesi di associazione tra sostanza e malattia ai livelli di significatività del 5% e 1%. 4

25 Problema 5. Avendo estratto un campione d aria da una zona infetta è stato contato il numero di contaminanti, X, di un certo tipo in 40 metri cubi. I valori ottenuti sono riportati nella seguente tabella: x k n k (3 punti) Assumendo che il numero di contaminanti si distribuisca secondo una legge di Poisson, si proponga una stima corretta della varianza. 2. (3 punti) Possiamo assumere che il numero di contaminanti in 40 metro cubi si distribuisca secondo una legge di Poisson? Se il parametro fosse noto, pari a λ = 1, cambierebbero le conclusioni? 5