ELETTROLOGIA Cap II. Calcolo del Campo Elettrico dovuto ad alcune distribuzioni di carica. Elettrologia II

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1 ELETTROLOGIA Cap II Calcolo del Campo Elettrico dovuto ad alcune distribuzioni di carica 1

2 Anello di raggio R uniformemente carco con carica Q. Anello di dimensioni trasversali trascurabili rispetto al raggio. = Q/2 R, dq = dl, Calcoliamo il campo lungo l asse dell anello de 1 = de 2 de 1 sin( ) = - de 2 sin( ) : somma = 0 de 1 cos( ) = de 2 cos( ): somma = 2 de 1 cos( ) Il campo de è sempre diretto lungo l asse x 2

3 = Se x >> R allora: come se l anello fosse puntiforme! N.B. E(-x) = -E(x) ma non vuol dire che è attrattivo! -x 3

4 Consideriamo un disco di raggio R e spessore trascurabile. Su di esso una carica Q: = Q/ R 2 Prendiamo al suo interno un anello (di sezione rettangolare) di raggio interno r e raggio esterno r+dr; Area d = 2 r dr, dq = 2 r dr. Dalla formula del Campo E di un anello, con dq per Q e r per R de 4

5 de e integrando E 5

6 Per x 0 (R ), Quindi E per un piano carico infinito è per qualunque x 6

7 Passando da x a +x il campo passa da - a + con una discontinuità di 2 = - + 7

8 Dati due piani indefiniti paralleli con densità di carica uniforme + e - i due campi +E e E si sommano: dentro, fuori

9 Campo dovuto a un filo rettilineo di lunghezza 2l con carica uniforme Q. (Mazzoldi es. n.1.16, pag. 25 ) = Q/2l dx, dq = dx Campo de in (0,y,0) diretto lungo y y r -l l -x x 0 Tre variabili legate : x, r, 9

10 Per integrare si devono eliminare due variabili su tre. Quali? Meglio integrare su : r = y/ sin( ), dx? x = y/tg( ), y -l r r 1 l -x 0 x 10

11 N.B. E non è 1/y 2 perché non è puntiforme! Se y >> l allora E 1/y 2 Per l, E? Si deve tornare indietro. E ha simmetria cilindrica attorno al filo. 11

12 Linee di forza del campo elettrico Cariche uguali Cariche diverse 12

13 Campo Elettrostatico e Campo Elettromotore 13

14 Finora abbiamo visto il Campo prodotto da cariche ferme: Non è l unico! Campo Elettrostatico Campo Elettromotore: qualunque campo che su una carica q 0 genera una forza elettrica Lavoro infinitesimo della Forza F 14

15 Calcoliamo l integrale di linea da A a B W 1 /q 0 = T 1 si definisce: Tensione elettrica tra i punti A e B, lungo il percorso C 1, diverso da quello lungo un altro percorso, C 2 : T 2. 15

16 Se calcoliamo il lavoro per spostare la carica q 0 lungo un percorso chiuso: W 12 = W 1 W 2 (attenzione al verso) = q 0 (T 1 -T 2 ) E m = T 1 T 2 = forza elettromotrice (f.e.m.) 16

17 In generale una f.e.m. non è conservativa. Di che natura è il Campo Elettrostatico? Calcoliamo il lavoro fatto dal Campo E.S. 17

18 18

19 Dato che il lavoro per spostare la carica q 0 da A a B non dipende dal percorso fatto, ma solo dalle coordinate degli estremi la Forza elettrostatica e il campo Elettrostatico sono conservativi. U(x) si definisce Energia Potenziale Elettrostatica V(x) = 1/q 0 U(x) si definisce Potenziale Elettrostatico 19

20 Per un campo conservativo: E = 0 W AB = - U e = - [(U B U A ) ] W AB = - q 0 (V B V A ) = - q 0 V U = q 0 V 20

21 A = B = 0 Definiamo Potenziale Elettrostatico dovuto al campo E, nel punto r: V(r) U(r) = q 0 V(r) 21

22 Unità di misura di V(r) : Joule/Coulomb = J/C Volt: V Allora E N/C = N m/(c m) = J/(C m) = V/m! Volt su metro 22

23 U e V campi scalari, ammettono il gradiente, dv = V ds In una sola dimensione: E è - la derivata di V rispetto a x ( la pendenza di V(x) ) 23

24 Es. : E = cost., V(x) = V 0 E x E Se E è positivo, V(x) cala,.. E(x) e V(x) dipendono solo dalla carica che genera il campo V x Invece la U(x) = q 0 V(x) dipende anche dal valore e dal segno di q 0 N.B. I sistemi vanno spontaneamente da U maggiore a U U + x minore, quindi q+ va da V maggiore a V minore (scendono lungo il potenziale) q- va da V minore a V maggiore (risalgono il potenziale) U - x x 24

25 Dato che derivare è più semplice di integrare, per avere Conviene calcolare V(r) (scalare) e poi derivare. 25

26 N.B.: è perpendicolare alle superfici di livello, equi. (qui superfici equipotenziali ) e punta verso i V crescenti. Quindi punta verso i V calanti 26

27 Se: q 0 = q 0 E 27

28 28

29 Abbiamo visto che: = 0 Conservatività Abbiamo anche visto il teorema di Stokes: Quindi applicandolo a conservativo, si ottiene Il secondo integrale è = 0, per qualunque solo se è sempre = 0 (Irrotazionale). Conservativo Irrotazionale 29

30 Esempi di calcolo del potenziale 1) 3 cariche uguali, q, ai vertici di un triangolo equilatero di lato l. Trovare il potenziale al centro (V scalare!) + 30

31 2) piani indefiniti carichi con + e - E = cost. = / 0 E V V 0 x 0 x 1 31

32 3) Potenziale ( e Campo Elettrico) di un anello uniformemente carico V(x) max per x=0, 32

33 33

34 Energia Potenziale Elettrostatica Abbiamo visto che possiamo scrivere q 0 = W r Cioè U e (r) è il lavoro che un ente esterno deve compiere per portare la carica q 0 da a r, nel campo creato da q 1 34

35 Se abbiamo tante cariche (fisse) q i, per avere l energia immagazzinata nel sistema, si sommano i contributi di tutte le coppie (e si divide per due) = Energia necessaria per tenere insieme le cariche Se si aggiunge un altra carica q 0 si deve sommare tutti i termini della somma 35

36 Moto di una carica elettrica in un Campo Elettrico Due possibili approcci: 1) Cinematica 2) Conservazione dell energia 1) F = ma = qe a =qe/m hp: E = costante e uniforme(!) se v 0 e x 0 = 0 v(x) 2 = 2qE/m x K e = ½ mv 2 = qe x = F x = W K e non dipende dalla massa, ma la v(x) sì. Acceleratori di cariche 36

37 2) Teo delle Forze Vive : ½ mv B 2 - ½ mv A 2 = W AB = U A U B = qv A - qv B K e = -q V ½ mv A 2 + qv A = ½ mv B 2 + qv B V= U/q A B x Se V B = V A la K e non può essere diversa 37

38 Cinescopio = Tubo a raggi catodici Se E è perpend. a v 0 allora moto parabolico 38

39 K e = q V : 1J =1 C 1V (V= J/C) 1J è un energia molto grande per i fenomeni di tipo atomico. Allora si usa l elettro-volt = ev, l energia che acquista un elettrone che attraversa la V di 1 V 1eV = C 1V = J 1J = ev ev, mev, ev, KeV, MeV, GeV, TeV 39