POTENZE e RADICI in C più altri argomenti interessanti di Leonardo Calconi

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "POTENZE e RADICI in C più altri argomenti interessanti di Leonardo Calconi"

Transcript

1 POTENZE e RADICI C pù altr argomet teressat d Leoardo Calco Ch ha fretta e o vuole perders letture oose può lmtars a dare u occhata a questa tabella: C_Exp pq a a p ( ql a) ae la e z ρ e p q [( ql p)] e ρ ρ e ρe e π ( ) e π e π z C_Roots ReU_Roots ImU_Roots U_pRoots π π π π ϕ( ) ρ e z e z e p p e ch o ha problem co le rappresetazo espoezal può adare drettamete a paga 7. No ho perso tempo a dlure la mestra co formazo e dmostrazo elemetar su umer compless metre e ho dedcato u po d pù agl esemp. Ho curato l mpagazoe modo che og argometo sa coteuto page tere e possate stamparlo dall zo alla fe separatamete col ttolo testa.. Premesse pagg. -.. Sulla rappresetazoe.. Sulla formula d Eulero.. Sulle dettà fodametal.. Sul prodotto. Rotazo el pao Argad-Gauss pagg Applcazo.. Equazoe della crcofereza. Svluppo delle poteze complesse pagg Base reale... Espoete complesso... Espoete mmagaro puro.. Base complessa... Espoete tero... Espoete complesso... Espoete mmagaro puro.. Base mmagara... Espoete tero... Espoete complesso... Espoete mmagaro puro.. Logartmo d u umero complesso. Radc complesse pagg. -.. Radc eesme.. Radc eesme dell utà... Utà reale... Utà mmagara 5. Equazoe cclotomca pagg Teorema fodametale dell algebra 5.. Grupp cclc 5.. Radc prmtve dell utà 5.. Polom cclotomc 5.5. Equazoe cclotomca

2 PREMESSE. Sulla rappresetazoe Per le operazo d moltplcazoe ed elevazoe a poteza complessa s utlzza pù effcacemete della rappresetazoe cartesaa z a b z a b ab z a b la rappresetazoe coordate polar z ρ(cos s ) z ρ(cos s ) z ρ (cos s ) dove per z s ha ρ a b, a ρcos, b ρs a b cos, s a b a b b b ta, arcta, a a a o, meglo acora, quella espoezale z ρe z ρe z ρ e che produce espresso pù compatte e dove per la formula d Eulero s ha e cos s I umer compless possoo essere rappresetat ache term d matrc emsmmetrche real a b a b b a r cos s ρe r s cos per va dell somorfsmo tra e l campo d queste matrc. Ma questa rappresetazoe è poco utle per gl scop d questo lavoro. co la fuzoe varare d. e che tracca el pao Argad-Gauss ua crcofereza d raggo utaro al

3 . Sulla formula d Eulero Tale formula dscede dallo svluppo sere d Taylor delle fuzo s, cos, e co per le qual s ha ( ) ( )!! 5! 7! 5 7 ( ) s... ( )!!! 6! 6 cos... e...!!!! Nell ultma sere, sosttuedo co s avrà ( ) ( ) ( ) ( ) 5 e...!!! 5! 5...!!! 5! !! 6!! 5! 7! cos s ovvero la formula, e pochè è e cos s s avrà ache e e e e, cos s

4 . Sulle dettà fodametal Dalla formula d Eulero dscede l omoma dettà: e π e, pù geerale per π /, Θ π/ π π/ π e - - Cosderado umer compless d modulo utaro avremo le seguet rotazo ed equvaleze per π, :. Sul prodotto Il prodotto d u umero reale per u umero complesso z è uguale a z ρe Il prodotto d due umer compless ' z ρe, z' ρ' e è uguale a ( ') zz' ' e ρρ e qud zz ha per modulo l prodotto de modul e per argometo la somma degl argomet. I partcolare s ha ( ) zz ρρe z ρ e l che coduce agevolmete al puto... No sempre l prodotto d due umer compless è u umero complesso. Ifatt zz a b a b a b ρ ( )( ) ab zz a b a b zz' ρρ ' se ' e zz per π /, è u umero reale o mmagaro puro secodo quato vsto..

5 ROTAZIONI NEL PIANO ARGAND-GAUSS. Applcazo E evdete che l applcazoe ϕ :C C dove ' ( ') zz re,, ' co l prodotto ρρ ' r costate, descrve ua crcofereza d raggo r e cetro l orge. Notate come l applcazoe o sa bettva quato uo stesso umero complesso zz è rappresetato da valor dvers d ( ') multpl d π. Covee oltre otare che, aalogamete a quato accade l campo reale, coppe dverse d umer compless dao lo stesso prodotto e qud descrvoo la stessa crcofereza: Esempo π π 6 ' π ' π z 9 e, z e, q 6 e, q e 5π ' ' zz 8e qq I base a queste osservazo possamo semplfcare la facceda e far vedere come ua crcofereza sa descrtta f de cot da u solo umero complesso del quale s facca varare l argometo (parlado d rotazo possamo sostture al terme argometo quello d fase ). Cosderamo fatt l caso partcolare cu uo de due umer compless sa dverso dall utà ma co modulo uguale ad uo e l altro abba fase zale uguale a zero; allora s ha z e z ρ zz ρe zz' re co ρ r e ( ), ', ' co e l applcazoe è per ( ) qq' ρρ e ( ) re co ' r Se volete potete cosderare q co modulo qualuque e fase zero, per otteere lo stesso rsultato da ua prospettva dversa. 5

6 Ife otamo come l prodotto d u umero complesso per l utà mmagara produca le seguet rotazo: π ( π ) ρe ρe e ρe ( π ) ρe ρe Co tasca queste semplc cosderazo possamo scoprre l acqua calda ed affermare che per qualsas operazoe co umer compless che da rsultat co modulo costate, tal rsultat stao tutt su ua crcofereza d raggo l modulo.. Equazoe della crcofereza Partedo dalla defzoe d modulo per la quale s ha ρ z x y e che rappreseta la dstaza d z dall orge degl ass, arrvamo agevolmete alla dstaza d due put el pao complesso z' z'' ( x' y') ( x'' y'') ( x' x'') ( y' y'') ( x' x'') ( y y'') x, y del cetro e r è l raggo z z r ma allora se z o rappreseta le coordate ( ) o è l equazoe della crcofereza el pao complesso. Ifatt s ha ( x y) ( x y ) r ( x x ) ( y y ) r o o o o da cu poedo a xo, b yo, c xo yo r s ottee la ota equazoe cartesaa della crcofereza x y ax by c che s rduce a x y r se la crcofereza ha per cetro l orge. Ecco u esempo per ua crcofereza d cetro, e raggo : z x y x y xy L equazoe rappreseta l luogo geometrco de put del pao complesso: compres etro la crcofereza d equazoe data (l cercho) se vale la dseguaglaza sulla crcofereza d equazoe data (la crcofereza) se vale l eguaglaza. 6

7 SVILUPPO DELLE POTENZE COMPLESSE p Ho escluso la baaltà d a, però vorre rammetarv che e che qud questo caso s parlerebbe d umer compless co parte mmagara ulla. I seguto quado l rsultato d u operazoe tra umer compless darà come rsultato u umero complesso co parte mmagara ulla lo chamerò umero reale, ma solo per comodtà.. Base reale a.. Se l espoete è u umero complesso p q s ha ( p q ) p q p ( q l a a a a a e ) da cu poedo ql a p ρ a s ha l umero complesso z ρe rsultato dell elevazoe a poteza ( p q) a.. Se l espoete è l umero mmagaro s ha a l a e cosl a s l a. Base complessa z.. Se l espoete è u umero tero s utlzza la formula d De Movre la cu dmostrazoe è elemetare per duzoe: z ρ (cos s ) ρ e, Esempo ( ) 5 z 5 8( ) Trasformamo z forma trgoometrca π π z ( ) 8 cos s π 5π z 8 cos s 8 8( ) Ma o sempre ua tale elevazoe a poteza è u umero complesso, e cò accade ovvamete sempre quado l argometo è multplo d π. Esempo ( ) z 6 7

8 S calcola faclmete che l argometo d z è π e che quello d z vale π ; qud l rsultato dell elevazoe a poteza sarà u umero reale, egatvo per la dspartà del fattore moltplcatvo. Termamo l calcolo per cotrollare: z ( π π) ( ) 6 cos s Se l espoete è u umero complesso p q s ha ( p q) ( p q) l ( p q) z ( e ρ ) [ e ρ e ] da cu svluppado l secodo membro l ρ ( ) [ ] ( l ρ) ( l ρ e e e e ) ( e ) ( e ) p ( ql ρ) p q ρ e e e ed ordado s ottee ( ) [ ( l )] p q p z e q e q ρ ρ p Poedo ora p q ρ ' ρ e ' qlρ p s ha l umero complesso ' z' ρ ' e rsultato dell elevazoe a poteza ( p q) z.. Se l espoete è l umero mmagaro allora s ha z ( ρe ) ρe ovvero u umero reale.. Base mmagara p q p q p q.. Se l espoete è u umero tero pochè e π s ha e π Il rsultato d sarà u umero reale o mmagaro puro a secoda della partà o dspartà dell espoete Come calcolare? ( ) G,, r, r q Esempo: 7 8

9 .. Se l espoete è u umero complesso z p q s ha π p q πq π p ( p q) ( pq e e e e ) da cu poedo q ρ e π π p s ha l umero complesso z ρe rsultato dell elevazoe a poteza e π.. Se l espoete è l umero mmagaro s ha e π da cu l umero reale e π. Logartmo d u umero complesso Poedo ( z e ρ π ) s ha ( l z l le π ρ ) l ρ π π ( ) Cosa succede el pao Argad-Gauss al varare d? Il logartmo d u umero complesso è ua fuzoe poldroma d varable complessa. E fatt evdete che z ha mmag fte e cocdet e descrve ua crcofereza al varare d, metre le mmag del logartmo aturale d z soo sempre fte ma dstte e gaccoo tutte sulla retta parallela all asse mmagaro a l ρ. 9

10 . Radc eesme d u umero complesso RADICI COMPLESSE, Possamo applcare la formula d De Movre ache a poteze co dce frazoaro, ma tal caso l operazoe è d estrazoe d radce e l rsultato dell elevazoe a tale poteza o sarà u sgolo umero complesso ma umer. Ifatt se ϑ σ e w ρe è u umero complesso qualsas, segue che σ ρ, ϑ π Allora per,,,,..., p,..., q,... j ρ j π e sarao le radc eesme, uche e dstte, d w. La dmostrazoe è semplce: tal radc o possoo essere meo d perchè ( π ) ϑ j ρe σ e w e qud le j soo propro le radc eesme d w; o possoo essere pù per va del teorema d Ruff valdo ache ; soo tutte dstte perchè se due d esse o lo fossero s avrebbe pπ qπ p e q e ρ ρ dove due argomet o potrebbero dfferre che per multpl d π. Coè essterebbe u m tero tale che pπ qπ mπ ovvero ( p q) m l che è mpossble perchè ( p q) o può essere multplo d essedo p, q dstt tra loro e compres tra e. E evdete dalla formula come le radc sao dstrbute sulla crcofereza d raggo ρ e qud stao su vertc d u polgoo scrtto d lat, l che coferma come esse sao umero d e tutte dstte tra loro. Esempo: sa l umero complesso z Per poter utlzzare la formula occorre prma trovare l valore d : a π ρ a b, cos, ρ Applcado ora la formula avremo le radc π 7 6 π 6 ρ e, ρ e 6 6

11 Esempo: sa l umero complesso z 8 allora avremo π ρ 8, s, π 7 6 π 6 π 6 e, e, e Esempo: sao umer compless z p e z q per tutt e due avremo come modulo π ρ metre gl argomet sarao rspettvamete, Per z q s calcola faclmete che le radc soo,,, Per z p basta calcolare ua pj qualsas e moltplcarla per le radc dell utà per avere le quattro radc cercate. Scegledo la prma, quella per, abbamo la coferma che π π e e e per cu eseguedo calcol s avrà π 8 p e z p allora per,, le altre sarao p zp p zp p zp Ma avremmo potuto sceglere ua radce π π π e e e. Radc eesme dell utà.. Utà reale pj qualsas pochè l rsultato è sempre multplo d π : Secodo la formula se è w s ha ρ, e le radc dell equazoe x soo le radc eesme dell utà reale e soo date dalla formula rdotta π j e Esse esprmoo el pao complesso le coordate de vertc del polgoo regolare d lat scrtto ella crcofereza utara.

12 Esempo: l equazoe x, ha come radc,, metre l equazoe ( )( ), x x x x π ha come radc,, e pochè è ( )( ) x x x 6 tutte asseme soo le radc dell equazoe 6 x e stao sulla crcofereza utara uformemete dstazate d π, su vertc d due tragol equlater ruotat d π l uo rspetto all altro e su quell d u esagoo regolare. Esempo: cosderado vece radc d dce par per avremo: x,,,, x ( x )( x ), π,,, ( x )( x ) x 8 I questo caso le radc stao sulla crcofereza utara uformemete dstazate d π, su vertc d due quadrat ruotat d π l uo rspetto all altro e su quell d u ottagoo su regolare. Schema d umerazoe delle radc j,,,..., Per terpretare correttamete le rotazo bsoga poszoare la prma radce, ovvero quella corrspodete a, e ruotare l quadrate seso atoraro. Per le radc dell utà reale è sempre uguale ad e qud la sua poszoe è la stessa per qualsas.

13 Ma se < le radc dell utà su vertc d qual polgo stao? Esempo: co u fale trval, ecco le equazo x ±, x± le cu radc stao rspettvamete sugl estrem d u segmeto e su u puto... Utà mmagara E abbastaza evdete che per otteere le radc eesme dell utà mmagara basta ruotare d π quelle corrspodet dell utà reale, ovvero moltplcarle per. Ma dmostramolo. Secodo la formula le radc eesme delle equazo x, ( π ) e x, ( π ) soo date rspettvamete da π π π π j e, e Esempo. Le radc cubche dell utà mmagara soo: π π, 6 π, 6 e e e rsultat che s ottegoo apputo moltplcado le radc dell utà reale per. Rpetedo tutt passagg del paragrafo precedete otterremo due grupp d grafc ruotat d π rspetto a precedet. Per quato sopra dmostrato s può affermare che: le radc complesse soo sempre umero par e cougate due a due; se u equazoe d grado par possede radc real esse devoo essere umero par e opposte due a due; u equazoe d grado dspar deve avere almeo ua radce reale. è vero che è vero che j j m j se j è ua radce eesma dell utà. m

14 U ultmo esempo. Mettamo rsultat d questo paragrafo uo shaer, agtamo bee ed esamamo l rsultato: x x 8 Che tpo d coctal s ascode questa equazoe e come lo s rappreseta? Pochè tutto deve etrare, dseg clus, quel che resta d questa paga, sarò breve: ± ± ± ± x, x,, x, ± ± ± ± x,,5, x,,7, x5,6 6,, x7,8,8 Ecco fatto. Abbamo otteuto l ostro ottagoo, scrtto ua crcofereza utara, rregolare ma smmetrco rspetto agl ass, costruto sovrappoedo due grupp d grafc delle radc cubche, prv delle radc real e mmagare pure, che gaccoo su parte de vertc d u dodecagoo regolare, polgoo costruble co rga e compasso.. Qualcosa del geere s ottee ache dal coctal x x 6 per l quale è π π ρ,,, p p π π π π, (,,6,8) (,,5,7) ρ ρ,,, e, e, p,6,,8 p p π π 9 9 (,,6) (,,5) e, e, p,6, I questo caso per poszoare le se radc su vertc d u esagoo rregolare, smmetrco rspetto all asse reale ed scrtto ella crcofereza utara, è ecessaro costrure u polgoo regolare d 9 lat; ma l eagoo o è u polgoo costruble, è co rga e compasso è co altr metod, π. salvo accettare approssmazo d vara ettà dell agolo 9

15 5. Teorema fodametale dell algebra 5 EQUAZIONE CICLOTOMICA Og polomo a coeffcet compless d grado f( x) a ax ax... a x ax possede radc o ecessaramete dstte. Ifatt, pochè f( x ) possede almeo ua soluzoe possamo dvderlo per x otteedo f( x) ( x) f ( x) Ma pochè ache f ( x ) f( x) ( x)( x) f ( x) possede almeo ua soluzoe avremo, per l teorema d Ruff (valdo ) e qud terado l procedmeto so ad u polomo d prmo grado s ottee f( x) a( x)( x)( x)... ( x ) co... soluzo dell equazoe f( x ) Esempo: l polomo x ha scuramete ua soluzoe reale x e qud s scompoe ( x )( x x ) Il polomo rdotto d secodo grado o ha soluzo real essedo x, x ± ma complesse x, x ± Il teorema fodametale dell algebra beefca d teressat dmostrazo ua delle qual è molto semplce e rchede solo la coosceza del teorema d Louvlle per l quale se ua fuzoe tera è lmtata allora è costate. f : S dmostra che f ( x ) ha radc dmostrado l cotraro, e coè che u polomo prvo d radc è costate. Sa la fuzoe complessa gz () f () z co f () z polomo complesso seza radc. Essedo f () z, gz () è defta ed olomorfa, ovvero tera. Per applcare l teorema d Louvlle basta dmostrare che è ache lmtata. Ed fatt lo è, pochè essedo lm f ( z) rsulta z lm gz ( ) z 5

16 () gz è qud lmtata ed essedo tera è costate. Ma essedo gz () costate ache f () z è costate. S è qud dmostrato che polom seza radc soo quell costat. Teamo da parte questo rsultato e toramo alle radc eesme dell utà. 5. Grupp cclc Le radc esme dell utà formao grupp moltplcatv abela G d orde. Ad esempo, dette e umerate come vsto precedeza le tre radc cubche,, le propretà d G chusura assocatvtà essteza dell elemeto eutro essteza degl vers commutatvtà soo verfcate ella tabella G è oltre cclco co e è geerato da opportue poteze dell elemeto geerco m j, m,,,.., e, pù geerale, che geerator, e cò sgfca che cascu elemeto d G m g co g geeratore e m co G che vee geerato cclcamete og terazo, ovvero co perodo d cascua radce. Provamo co la tabella a geerare G tre volte co le due prmtve: geeratore geeratore D altro cato ache le radc quarte dell utà reale 6

17 ,,, formao u gruppo G che vee geerato da e og quattro terazo: V suggersce qualcosa questa tabella? Torate detro al paragrafo Radc prmtve dell utà S defsce orde d u elemeto j apparteete ad u gruppo J ( j), j J l pù pccolo m, se esste, tale che m j e dove e è l elemeto eutro del gruppo. Pochè G è moltplcatvo l suo elemeto eutro è ; allora s defsce orde d ua radce esma dell utà ( ) l pù pccolo m tale che m m e,,..., m, Se ( ) è radce eesma prmtva dell utà e ( ) z e scrvedo: z z z z... z La dmostrazoe è baale poedo dove è ( ) z e qud ( )( ) ( z z z ) dove z... Ovvamete se > Esempo: per le radc cubche o è prmtva perchè m,, o è ma prmtva, e se è > e par o lo è eache la sua opposta. lo soo perchè Per le radc quarte ache l opposta o è prmtva ( ± co tero mmo per l quale cò è verfcato. ). Le radc prmtve soo duque u sottogruppo P d G e pochè G è cclco ache P è cclco. 7

18 Il umero d dfferet radc prmtve s calcola co la fuzoe ϕ d Eulero, detta ache tozete, defta per ϕ () >, ϕ( ) umero degl ter t mor d e prm co. Ad esempo, seza bsogo d calcol s trova (,,,,..., ) ϕ(),, ϕ(),, ϕ(6),5, ϕ(8),,5,7,,, e pochè ϕ è ua fuzoe moltplcatva s ha che ϕ( ) ϕ( q) ϕ( q) se,q soo coprm e qud, ad esempo, ϕ(),5,7, ϕ() ϕ() ϕ(),5,7,,,7,9, ϕ() ϕ(8) 8 (ma o ϕ() ϕ (6)!) I geerale per calcolare l valore della la fuzoe ϕ per qualsas s adopera la produttora d Eulero ϕ( ) co p prm dstt d. p p Esempo: per l equazoe 55 x s ha ϕ(55) ϕ(5 ) 55 5 Qud le radc 55esme dell utà reale soo 55 delle qual prmtve. La fuzoe ϕ d Eulero duque rappreseta l orde del sottogruppo delle radc prmtve. A questo puto sappamo quate soo le prmtve, ma sappamo ache qual soo tra le eesme? Certamete, perchè abbamo detto che è ( ),, Allora, rcordado l sstema d umerazoe delle radc eesme dell utà, rsultao prmtve quelle che portao come dce t. Per cocludere, soo radc 55esme prmtve dell utà:,,, 5, 7, 8, 9,,,, 5,..., 55 Provamo che è vero, escludedo la baaltà d : π π ( e ) ( e ) , dove quell assegat soo gl espoet mm perchè le due equazo sao verfcate. Bee, ora possamo parlare d polom cclotomc. 8

19 5. Polom cclotomc Cosderamo l polomo seguete e la sua elemetare fattorzzazoe ( )( )( ) ( )( ) x x x x x x x x Sarebbe comodo avere a dsposzoe u metodo per fattorzzare u polomo d grado? Naturalmete s. Vedamo come fare. Itato sappamo che se è prmo s avrà sempre x ( x )( x x... x x ) I geerale, se, (, ) soo le radc prmtve eesme dell utà, cosderamo l ϕ : polomo moco seguete che chameremo polomo cclotomco e che sarà d grado ( ) Φ ( x) ( x ) (, ) S dmostra che polom cclotomc soo rrducbl su e qud utlzzabl per la fattorzzazoe d x su stesso. Ifatt, pochè le radc prmtve eesme soo d orde, è charo che le radc eesme dell utà soo radc prmtve d-esme dell utà e qud d orde d <, (, d). Allora secodo la potremo scrvere tat polom cclotomc d ( x) x Φ ( x) d d Naturalmete calcolare tramte la tutt polom cclotomc ( x) Φ e cocludere che Φ d ecessar alla fattorzzazoe sarebbe u procedmeto oeroso e pertato a tale scopo utlzzeremo la formula seguete x Φ Φd ( x) d d ( x) che c permette d calcolare qualsas polomo cclotomco fuzoe de precedet. Esempo. Propoamoc d fattorzzare x 8 Partedo da prm polom cclotomc, d calcolo elemetare ed mmedato ( ) ( ) ( ) ( ) Φ x x, Φ x x, Φ x x x, Φ x x co calcolamo cascata: x x 6 6 Φ 6 x x Φ Φ Φ ( x) ( x) ( x) ( x )( x )( x x ) 9 9 x x ( x )( x 6 x ) ( x) ( x) ( x )( x x ) x 6 Φ 9 x x Φ Φ 9

20 9 9 ( x )( x ) ( x )( x )( x x )( x x )( x x ) ( x )( x x )( x x ) 6 x x 6 6 ( x )( x x ) Φ 8 6 e qud co fattorzzamo traqullamete per 8, d,,, 6,9,8 8 x Φ Φ Φ Φ Φ Φ ( )( )( )( )( )( ) x x x x x x x x x x x S, lo so. Co Derve basta mmettere x^8-, premere Eter e qud Fattorzza Equazoe cclotomca Samo alla fe, possamo trare le somme. Cosderamo l polomo d grado x ( x )( x x... x ) che, come vsto è così fattorzzato quado è prmo. Dell equazoe x ( x ) ( x x... x ) oltre a dre che: è rrducble se è prmo è soddsfatta dalle radc prmtve dell utà se è rrducble se è rducble è soddsfatta ache dalla radce reale dremo che è cclotomca o d dvsoe della crcofereza e le sue radc, dette ache Numer d De Movre, soo le radc dell utà ovvero le coordate el pao Argad-Gauss de vertc del polgoo regolare d lat scrtto ella crcofereza utara che dvdoo part. Leoardo Calco leo@dmatrx.t 9//7 Se sete arrvat f qu v sarete accort d ua grave asseza: le radc qute. No s tratta d ua dmetcaza ma d ua scelta precsa per mettere la parola fe a questa tesa che s è dlatata f troppo strada facedo. L argometo fatt è talmete deso d fasco che merta u lavoro a parte: radc qute petagoo petagramma sezoe aurea Fboacc... Ua versoe aggorata e corretta potrebbe essere dspoble all drzzo:

Aritmetica 2016/2017 Esercizi svolti in classe Quarta lezione

Aritmetica 2016/2017 Esercizi svolti in classe Quarta lezione Artmetca 06/07 Esercz svolt classe Quarta lezoe Rcorreze o lear Sa a c a cq ua rcorreza dove {c }, c C e c 0. Sa P C[λ] l polomo caratterstco della rcorreza. Allora ua soluzoe partcolare della rcorreza

Dettagli

Funzioni di più variabili Massimi e Minimi una funzione definita in un insieme E. Un punto ( x0, y0)

Funzioni di più variabili Massimi e Minimi una funzione definita in un insieme E. Un punto ( x0, y0) Massm e Mm Fuzo d pù varabl Massm e Mm Dezoe: Sa z = (, ) ua uzoe deta u seme E U puto (, E s dce puto d massmo (rsp mmo) relatvo per (, ) se esste δ > tale che ((, ) B((, ), δ ) E (, ) (, ) (rsp (, )

Dettagli

Numeri complessi Pag. 1 Adolfo Scimone 1998

Numeri complessi Pag. 1 Adolfo Scimone 1998 Numer compless Pag. Adolfo Scmoe 998 NUMERI COMPLESSI Come sappamo, o esstoo el campo de umer real le radc d dce par de umer egatv. Ammettamo pertato l esstea della radce quadrata del umero. Questo uovo

Dettagli

Lezione 1. I numeri complessi

Lezione 1. I numeri complessi Lezoe Prerequst: Numer real: assom ed operazo. Pao cartesao. Fuzo trgoometrche. I umer compless Nell'attuale teora de umer compless cofluscoo due fodametal dee, ua artmetca, l'altra geometrca. La prma,

Dettagli

Propagazione di errori

Propagazione di errori Propagazoe d error Gl error e dat possoo essere amplfcat durate calcol. Rspetto alla propagazoe degl error s può dstguere: comportameto del problema - codzoameto del problema: vedere come le perturbazo

Dettagli

FUNZIONI LOGICHE FORME CANONICHE SP E PS

FUNZIONI LOGICHE FORME CANONICHE SP E PS FUNZIONI LOGICHE FORME CANONICHE SP E PS Ua fuzoe logca può essere espressa quattro forme: 1. attraverso ua proposzoe logca; 2. attraverso ua tabella della vertà; 3. attraverso u espressoe algebrca; 4.

Dettagli

), mentre l unico intero che divide 0 è 0. Enunciamo alcune proprietà di ovvia dimostrazione.

), mentre l unico intero che divide 0 è 0. Enunciamo alcune proprietà di ovvia dimostrazione. Dvsbltà e umer prm Sao a,b elemet dell seme Z degl ter relatv Dcamo che a dvde b, smbol a b, se b è multplo d a, ossa se esste u tero h Z tale che b ha Og tero a dvde 0 ( 0 0a ), metre l uco tero che dvde

Dettagli

Dimostrazione della Formula per la determinazione del numero di divisori-test di primalità, di Giorgio Lamberti

Dimostrazione della Formula per la determinazione del numero di divisori-test di primalità, di Giorgio Lamberti Gorgo Lambert Pag. Dmostrazoe della Formula per la determazoe del umero d dvsor-test d prmaltà, d Gorgo Lambert Eugeo Amtrao aveva proposto l'dea d ua formula per calcolare l umero d dvsor d u umero, da

Dettagli

Classi di reddito % famiglie Fino a 15 5.3 15-25 16.2 25-35 21.1 35-45 18.6 45-55 13.6 Oltre 55 25.2 Totale 100

Classi di reddito % famiglie Fino a 15 5.3 15-25 16.2 25-35 21.1 35-45 18.6 45-55 13.6 Oltre 55 25.2 Totale 100 ESERCIZIO Data la seguete dstrbuzoe percetuale delle famgle talae per class d reddto, espresso mlo d lre, (ao 995, fote Istat): Class d reddto % famgle Fo a 5 5.3 5-5 6. 5-35. 35-45 8.6 45-55 3.6 Oltre

Dettagli

Esercizi su Rappresentazioni di Dati e Statistica

Esercizi su Rappresentazioni di Dati e Statistica Esercz su Rappresetazo d Dat e Statstca Eserczo Esprmete forma percetuale e traducete u aerogramma dat della seguete tabella: Nord Cetro Sud Isole Totale 5 58 866 0 95 36 4 35 30 6 79 56 57 399 08 Soluzoe

Dettagli

Modulo di Fisica Tecnica. Differenze finite per problemi di conduzione in regime instazionario

Modulo di Fisica Tecnica. Differenze finite per problemi di conduzione in regime instazionario Dpartmeto d Meccaca, Strutture, Ambete e Terrtoro UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CASSINO Laurea Specalstca Igegera Meccaca: Modulo d Fsca Tecca Lezoe d: Dffereze fte per problem d coduzoe regme stazoaro /20

Dettagli

CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terzi)

CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terzi) CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terz) 1 STUDIO DELLE DISTRIBUZIONI SEMPLICI Eserctazoe 2 2.1 Da u dage svolta su u campoe d lavorator dpedet co doppo lavoro è stata rlevata la dstrbuzoe coguta del reddto

Dettagli

Geometria delle aree

Geometria delle aree eometra delle aree Lo studo de cocett ase relatv alla eometra delle ree: cosete d trasformare le azo tere sollectazo cosete d valutare l elastctà delle strutture forsce gl strumet per valutare le strutture

Dettagli

Caso studio 10. Dipendenza in media. Esempio

Caso studio 10. Dipendenza in media. Esempio 09/03/06 Caso studo 0 S cosder la seguete dstrbuzoe degl occupat Itala secodo l umero d ore settmaal effettvamete lavorate e l settore d attvtà (cfr. Itala cfre, Ao 008, pag. 7 ): Ore lavorate Settore

Dettagli

Università degli Studi di Napoli Parthenope. Facoltà di Scienze Motorie a.a. 2011/2012. Statistica. Lezione IV

Università degli Studi di Napoli Parthenope. Facoltà di Scienze Motorie a.a. 2011/2012. Statistica. Lezione IV Uverstà degl Stud d Napol Partheope Facoltà d Sceze Motore a.a. 011/01 Statstca Lezoe IV E-mal: paolo.mazzocch@upartheope.t Webste: www.statmat.upartheope.t Fuzoe d regressoe Attraverso la fuzoe d regressoe

Dettagli

Variabili casuali ( ) 1 2 n

Variabili casuali ( ) 1 2 n Varabl casual &. Valore edo. Data ua varable casuale = ( x,x 2, K,x ) (.) cu valor assuoo le rspettve probabltà P = p,p, K,p (.2) s defsce valore edo la quattà ( ) 2 = [ ] T M = M = P = xp (.3) Sgfcato:

Dettagli

Università di Cassino. Esercitazioni di Statistica 1 del 26 Febbraio Dott. Mirko Bevilacqua

Università di Cassino. Esercitazioni di Statistica 1 del 26 Febbraio Dott. Mirko Bevilacqua Uverstà d Casso Eserctazo d Statstca del 26 Febbrao 200 Dott. Mrko Bevlacqua ESERCIZIO Cosderado le class d altezza 60 6; 6 70; 70 78; 78 86 per u collettvo d 20 persoe, s può affermare che l ALTEZZA dpede

Dettagli

MEDIA DI Y (ALTEZZA):

MEDIA DI Y (ALTEZZA): Uverstà d Casso Eserctazo d Statstca del 4 Marzo 0 Dott. Mrko Bevlacqua ESERCIZIO Su u collettvo d dvdu soo stat rlevat caratter X Peso( kg) e Altezza ( cm) otteamo la seguete dstrbuzoe d frequeza coguta:

Dettagli

CAPITOLO III SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

CAPITOLO III SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI CAPITOLO III SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI. GENERALITÀ Sao a,..., a,..., a, b umer real (o compless o elemet d u qualsas campo) ot. Defzoe.. U equazoe della forma: () a x +... + ax +... + a x b dces d prmo

Dettagli

CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terzi) 1 STUDIO DELLE DISTRIBUZIONI SEMPLICI. Esercitazione n 3

CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terzi) 1 STUDIO DELLE DISTRIBUZIONI SEMPLICI. Esercitazione n 3 ORSO I STTISTI I (Prof.ssa S. Terz) STUIO ELLE ISTRIUZIONI SEMPLII Eserctazoe 3 3. ata la seguete dstrbuzoe de reddt: lass d reddto Reddter Reddto medo 6.500-7.500 4 6.750 7.500-8.500 7.980 8.500-9.500

Dettagli

In questo capitolo vedremo solamente un caso di rendita, che useremo poi per generalizzare le rendite e dedurre tutti gli altri casi.

In questo capitolo vedremo solamente un caso di rendita, che useremo poi per generalizzare le rendite e dedurre tutti gli altri casi. 7. Redte I questo captolo edremo solamete u caso d redta, che useremo po per geeralzzare le redte e dedurre tutt gl altr cas. S defsce redta ua successoe d captal (rate) tutte da pagare, o tutte da rscuotere,

Dettagli

Attualizzazione. Attualizzazione

Attualizzazione. Attualizzazione Attualzzazoe Il problema erso alla captalzzazoe prede l ome d attualzzazoe Abbamo ua operazoe fazara elemetare e dato l motate M dobbamo determare l corrspodete captale zale C L'attualzzazoe è la operazoe

Dettagli

Matrice: tabella di m righe ed n colonne. A T matrice trasposta di A=(a ij ) di elementi a ijt =a ji. Serena Morigi Università di Bologna 1

Matrice: tabella di m righe ed n colonne. A T matrice trasposta di A=(a ij ) di elementi a ijt =a ji. Serena Morigi Università di Bologna 1 Matrc Matrce: tabella d m rghe ed coloe T matrce trasposta d (a j ) d elemet a jt a j Serea Morg Uverstà d Bologa Matrc Matrce quadrata m sottomatrc Matrce rettagolare m Serea Morg Uverstà d Bologa Matrc

Dettagli

Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 9: Covarianza e correlazione

Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 9: Covarianza e correlazione Corso d laurea Sceze Motore Corso d Statstca Docete: Dott.ssa Immacolata Scacarello Lezoe 9: Covaraza e correlazoe Altr tp d dpedeza L dce Ch-quadro presetato ella lezoe precedete stablsce l grado d dpedeza

Dettagli

2014-2015 Corso TFA - A048 Matematica applicata. Didattica della matematica applicata all economia e alla finanza

2014-2015 Corso TFA - A048 Matematica applicata. Didattica della matematica applicata all economia e alla finanza Uverstà degl Stud d Ferrara 2014-2015 Corso TFA - A048 Matematca applcata Ddattca della matematca applcata all ecooma e alla faza 11 marzo 2015 Apput d ddattca della Matematca fazara Redte, ammortamet

Dettagli

(1 2 3) (1 2) Lezione 10. I gruppi diedrali.

(1 2 3) (1 2) Lezione 10. I gruppi diedrali. Lezioe 0 Prerequisiti: Simmetrie di poligoi regolari. Gruppi di permutazioi. Cetro di u gruppo. Cetralizzate di u elemeto di u gruppo. Riferimeto al testo: [PC] Sezioe 5.4 I gruppi diedrali. Ogi simmetria

Dettagli

La classe che mostra la distribuzione più elevata è quella 60-90, che corrisponde a un uso elevato dell automobile. f i fr (= f i/n) fr% (=fr*100)

La classe che mostra la distribuzione più elevata è quella 60-90, che corrisponde a un uso elevato dell automobile. f i fr (= f i/n) fr% (=fr*100) ESERCIZIO Il Moblty Maager d u azeda ha rlevato l umero d chlometr percors settmaalmete da 60 mpegat. I dat soo rportat ello schema successvo. 67 4 93 58 66 87 5 53 86 8 7 47 56 70 54 86 48 43 60 58 5

Dettagli

frazione 1 n dell ammontare complessivo del carattere A x

frazione 1 n dell ammontare complessivo del carattere A x La Cocetrazoe Il cocetto d cocetrazoe rguarda l modo cu l ammotare totale d u carattere quattatvo trasferble s rpartsce tra utà statstche. Tato pù tale ammotare è addesato u sottoseme d utà, tato pù s

Dettagli

dei quali si conoscono solo la media x e la deviazione standard σ e dato un valore reale positivo K, possiamo affermare che:

dei quali si conoscono solo la media x e la deviazione standard σ e dato un valore reale positivo K, possiamo affermare che: Eserctazoe VI: Il teorema d Chebyshev Eserczo La statura meda d u gruppo d dvdu è par a 73,78cm e la devazoe stadard a 3,6. Qual è la frequeza relatva delle persoe che hao ua statura superore o ferore

Dettagli

Indipendenza in distribuzione

Indipendenza in distribuzione Marlea Pllat - Semar d Statstca (SVIC) "Lo studo delle relazo tra due caratter" Aals delle relazo tra due caratter Dpedeza dstrbuzoe s basa sul cofroto delle dstrbuzo codzoate Dpedeza meda s basa sul cofroto

Dettagli

Design of experiments (DOE) e Analisi statistica

Design of experiments (DOE) e Analisi statistica Desg of epermets (DOE) e Aals statstca L utlzzo fodametale della metodologa Desg of Epermets è approfodre la coosceza del sstema esame Determare le varabl pù sgfcatve; Determare l campo d varazoe delle

Dettagli

Indici di asimmetria. Elementi di Statistica descrittiva Parte IV. Simmetria di una distribuzione di frequenze. Primo indice di asimmetria (1/3)

Indici di asimmetria. Elementi di Statistica descrittiva Parte IV. Simmetria di una distribuzione di frequenze. Primo indice di asimmetria (1/3) Smmetra d ua dstrbuzoe d frequeze Ua dstrbuzoe s dce asmmetrca se o è possble dvduare (aalzzado u stogramma) u asse vertcale che tagl la dstrbuzoe due part specularmete ugual Idc d asmmetra Rferedoc a

Dettagli

2014-2015 Corso TFA - A048 Matematica applicata. Didattica della matematica applicata all economia e alla finanza

2014-2015 Corso TFA - A048 Matematica applicata. Didattica della matematica applicata all economia e alla finanza Uverstà degl Stud d Ferrara 2014-2015 Corso TFA - A048 Matematca applcata Ddattca della matematca applcata all ecooma e alla faza 18 marzo 2015 Apput d ddattca della Matematca fazara Redte, costtuzoe d

Dettagli

LA REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE

LA REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE LA REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE L ANALISI DI REGRESSIONE La regressoe è volta alla rcerca d u modello atto a descrvere la relazoe esstete tra ua varable Dpedete e ua varable dpedete (regressoe semplce)

Dettagli

Algoritmi e Strutture Dati. Alberi Binari di Ricerca

Algoritmi e Strutture Dati. Alberi Binari di Ricerca Algortm e Strutture Dat Alber Bar d Rcerca Alber bar d rcerca Motvazo gestoe e rcerche grosse quattà d dat lste, array e alber o soo adeguat perché effcet tempo O) o spazo Esemp: Matemeto d archv DataBase)

Dettagli

Capitolo 2 Errori di misura: definizioni e trattamento

Capitolo 2 Errori di misura: definizioni e trattamento Captolo Error d msura: )Geeraltà defzo e trattameto I cocett d meda, varaza e devazoe stadard s utlzzao ormalmete per otteere formazo sulla botà d ua msura. I geerale, s assume come msura m della gradezza

Dettagli

Elementi di Statistica descrittiva Parte III

Elementi di Statistica descrittiva Parte III Elemet d Statstca descrttva Parte III Paaa Idce d asmmetra (/) Idce d forma che esprme l grado d asmmetra (skewess) d ua dstrbuzoe. Sao u, u,,u osservazo umerche. Chamamo dce d asmmetra l espressoe: c

Dettagli

ARGOMENTO: MISURA DELLA RESISTENZA ELETTRICA CON IL METODO VOLT-AMPEROMETRICO.

ARGOMENTO: MISURA DELLA RESISTENZA ELETTRICA CON IL METODO VOLT-AMPEROMETRICO. elazoe d laboratoro d Fsca corso M-Z Laboratoro d Fsca del Dpartmeto d Fsca e Astrooma dell Uverstà degl Stud d Cataa. Scala Stefaa. AGOMENTO: MSUA DELLA ESSTENZA ELETTCA CON L METODO OLT-AMPEOMETCO. NTODUZONE:

Dettagli

Regime di capitalizzazione composta

Regime di capitalizzazione composta Regme d capalzzazoe composa Se s deposa baca, all zo dell ao, ua somma d 000 ad u asso auale uaro =0,05 oppure r=5%, dopo ao ale somma frua u eresse par a I = = 000 0,05 = 50 che aggugedos al capale zale

Dettagli

RENDITE. Le singole rate possono essere corrisposte all inizio o alla fine di ciascun periodo e precisamente si ha:

RENDITE. Le singole rate possono essere corrisposte all inizio o alla fine di ciascun periodo e precisamente si ha: RENDITE. Pagamet rateal S defsce redta ua sere qualsas d somme rscuotbl (o pagabl a scadeze dverse, o, pù esattamete, u seme d captal co dspobltà scagloata el tempo. Tal captal soo dett rate della redta

Dettagli

Modello dinamico nello spazio dei giunti: relazione tra le coppie di attuazione ai giunti ed il moto della struttura

Modello dinamico nello spazio dei giunti: relazione tra le coppie di attuazione ai giunti ed il moto della struttura Damca Modello damco ello spazo de gut: relazoe tra le coppe d attuazoe a gut ed l moto della struttura smulazoe del moto aals e progettazoe delle traettore progettazoe del sstema d cotrollo progetto de

Dettagli

Elementi di Statistica descrittiva Parte II

Elementi di Statistica descrittiva Parte II Elemet d Statstca descrttva Parte II Nella prma parte d queste ote s soo llustrate le tecche utlzzate per rappresetare dat, maera stetca, medate tabelle e grafc Tal tecche soo applcabl sa a caratter quattatv

Dettagli

STUDIO DEL LANCIO DI 3 DADI

STUDIO DEL LANCIO DI 3 DADI Leoardo Latella STUDIO DEL LANCIO DI 3 DADI Il calcolo delle probabilità studia gli eveti casuali probabili, cioè quegli eveti che possoo o o possoo verificarsi e che dipedoo uicamete dal caso. Tale studio

Dettagli

b) Relativamente alla variabile PREZZO, fornire una misura della variabilità della distribuzione attraverso

b) Relativamente alla variabile PREZZO, fornire una misura della variabilità della distribuzione attraverso ESERCIZIO Co rfermeto a dvers modell d auto del medesmo segmeto d mercato e cldrata s soo rlevat dat sul prezzo d lsto mglaa d euro (X), la veloctà massma dcharata km/h (Y) ed l peso kg (Z). I dat soo

Dettagli

Algebra 2. 6 4. Sia A un anello commutativo. Si ricorda che in un anello commutativo vale il teorema binomiale, cioè. (a + b) n = a i b n i i.

Algebra 2. 6 4. Sia A un anello commutativo. Si ricorda che in un anello commutativo vale il teorema binomiale, cioè. (a + b) n = a i b n i i. Testo Fac-smle 2 Durata prova: 2 ore 8 1. Un gruppo G s dce semplce se suo unc sottogrupp normal sono 1 e G stesso. Sa G un gruppo d ordne pq con p e q numer prm tal che p < q. (a) Il gruppo G può essere

Dettagli

Appunti sull Aritmetica dei Calcolatori

Appunti sull Aritmetica dei Calcolatori Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea a.a. 6/7 Ultma modfca: 7//6 Apput sull Artmetca de Calcolator Gova Stea Sommaro Rappresetazoe de umer atural... 5. Teorema della dvsoe co resto... 6.. Propretà

Dettagli

Organizzazione del corso. Elementi di Informatica. Orario lezioni ed esami. Crediti. Dispense e lucidi. Ricevimento studenti

Organizzazione del corso. Elementi di Informatica. Orario lezioni ed esami. Crediti. Dispense e lucidi. Ricevimento studenti Orgazzazoe del corso Elemet d Iformatca Prof. Alberto Brogg Dp. d Igegera dell Iformazoe Uverstà d Parma Teora: archtettura del calcolatore, elemet d formatca, algortm, lguagg, sstem operatv Laboratoro:

Dettagli

D = ρ 2. a cui possono essere associate, in caso di mezzo isotropo e lineare, le equazioni di materiale: = ε E, 3.

D = ρ 2. a cui possono essere associate, in caso di mezzo isotropo e lineare, le equazioni di materiale: = ε E, 3. Elettrostatca parla d elettrostatca quado, og puto dello spazo ed og state rsultao ulle tutte le derate temporal che compaoo elle equazo geeral dell elettromagetsmo, e la destà d correte J è pure detcamete

Dettagli

Proposizione 1. Due sfere di R m hanno intersezione non vuota se e solo se la somma dei loro raggi e maggiore della distanza fra i loro centri.

Proposizione 1. Due sfere di R m hanno intersezione non vuota se e solo se la somma dei loro raggi e maggiore della distanza fra i loro centri. Laboratorio di Matematica, A.A. 009-010; I modulo; Lezioi II e III - schema. Limiti e isiemi aperti; SB, Cap. 1 Successioi di vettori; SB, Par. 1.1, pp. 3-6 Itori sferici aperti. Nell aalisi i ua variabile

Dettagli

Precorso di Matematica, aa , (IV)

Precorso di Matematica, aa , (IV) Precorso di Matematica, aa 01-01, (IV) Poteze, Espoeziali e Logaritmi 1. Nel campo R dei umeri reali, il umero 1 e caratterizzato dalla proprieta che 1a = a, per ogi a R; per ogi umero a 0, l equazioe

Dettagli

DI IDROLOGIA TECNICA PARTE II

DI IDROLOGIA TECNICA PARTE II FACOLTA DI INGEGNERIA Laurea Specalstca Igegera Cvle NO Guseppe T Aroca CORSO DI IDROLOGIA TECNICA PARTE II Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche Lezoe X: Scelta d u modello probablstco Aals e

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA

STATISTICA DESCRITTIVA COSIDERAZIOI PRELIMIARI SULLA STATISTICA La Statstca trae suo rsultat dall osservazoe de feome che c crcodao. Gl stess feome per essere oggetto d statstca devoo essere adeguatamete umeros modo tale che

Dettagli

Approssimazioni di curve

Approssimazioni di curve Approssmazo d curve e superfc Approssmazo d curve Il terme Computer Grafca comprede ua larga varetà d applcazo che rguardao umerevol aspett della ostra vta. U eleco esemplfcatvo d alcu de camp cu essa

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 4 VARIABILI QUANTITATIVE Trasformazioni lineari Indici di covarianza e correlazione

STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 4 VARIABILI QUANTITATIVE Trasformazioni lineari Indici di covarianza e correlazione Matematca e statstca: da dat a modell alle scelte www.dma.uge/pls_statstca Resposabl scetfc M.P. Rogat e E. Sasso (Dpartmeto d Matematca Uverstà d Geova) STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 4 VARIABILI

Dettagli

Def. Si dice variabile aleatoria discreta X una variabile che può assumere valori X1, X

Def. Si dice variabile aleatoria discreta X una variabile che può assumere valori X1, X Prof.ssa Emauela Baudo Fabrza De Berard VARIABILI ALEATORIE DISCRETE E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA Def. S dce varable aleatora dscreta X ua varable che può assumere valor X, X,... X corrspodet ad evet

Dettagli

Problema della Ricerca

Problema della Ricerca Problema della Rcerca Pag. /59 Problema della Rcerca U dzoaro rappreseta u seme d formazo suddvso per elemet ad oguo de qual è assocata ua chave. Esempo d dzoaro è l eleco telefoco dove la chave è costtuta

Dettagli

SERIE DI POTENZE Esercizi risolti. Esercizio 1 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie di potenze. x n.

SERIE DI POTENZE Esercizi risolti. Esercizio 1 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie di potenze. x n. SERIE DI POTENZE Esercizi risolti Esercizio x 2 + 2)2. Esercizio 2 + x 3 + 2 3. Esercizio 3 dove a è u umero reale positivo. Esercizio 4 x a, 2x ) 3 +. Esercizio 5 x! = x + x 2 + x 6 + x 24 + x 20 +....

Dettagli

corrispondenza della generica i-esima modalità. Indicando con #(.) la cardinalità di un insieme, per esse si ha, rispettivamente:

corrispondenza della generica i-esima modalità. Indicando con #(.) la cardinalità di un insieme, per esse si ha, rispettivamente: Corso d Statstca docete: Domeco Vstocco Le requeze cumulate S cosder ua varable qualtatva ordale X Per essa, oltre alle requeze assolute, relatve e ercetual, è ossble calcolare ache le requeze cumulate

Dettagli

Capitolo 4 Le Misure di Centralità

Capitolo 4 Le Misure di Centralità Captolo 4 Le Msure d Cetraltà Le msure d cetraltà Premessa Il passaggo da u eleco d modaltà alle dstrbuzo d frequeze co modaltà dstte (carattere qualtatvo o dscreto) e co class d modaltà (carattere cotuo

Dettagli

Modelli di Schedulazione

Modelli di Schedulazione EW Modell d Schedulazoe Idce Maccha Sgola Tepo d Copletaeto Totale Tepo d Copletaeto Totale Pesato Tepo d Rtardo Totale Maespa co set-up dpedete dalla sequeza Tepo d Copletaeto Totale co vcolo d precedeza

Dettagli

Corrente elettrica. q i t

Corrente elettrica. q i t Correte elettrca La correte elettrca u coduttore metallco chuso è u movmeto ordato d elettro d coduzoe (le sole carche lbere preset all tero d u metallo, o vcolate a rspettv atom) el campo elettrco geerato

Dettagli

Stim e puntuali. Vocabolario. Cambiando campione casuale, cambia l istogramma e cambiano gli indici

Stim e puntuali. Vocabolario. Cambiando campione casuale, cambia l istogramma e cambiano gli indici Stm e putual Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator Vocabolaro Popolazoe: u seme d oggett sul quale s desdera avere Iformazo. Parametro: ua caratterstca umerca della popolazoe. E u Numero fssato,

Dettagli

Analisi di dati vettoriali. Direzioni e orientazioni

Analisi di dati vettoriali. Direzioni e orientazioni Aals d dat vettoral Drezo e oretazo I tal caso, dat soo msurat term d agol e spesso soo rfert al ord geografco (statstca crcolare) Soo rappresetat su ua crcofereza Dat d drezoe: flusso ua specfca drezoe,

Dettagli

Capitolo 2 APPROSSIMAZIONI DI DATI E FUNZIONI CON MATHCAD

Capitolo 2 APPROSSIMAZIONI DI DATI E FUNZIONI CON MATHCAD Captolo APPROSSIMAZIONI DI DATI E FUNZIONI CON MATHCAD A. M. Ferrar - Apput d LPCAC SOMMARIO. APPROSSIMAZIONE DI DATI E FUNZIONI... 3. Itroduzoe... 3. I crter d scelta... 4.. Osservazo... 5. LE CURVE DI

Dettagli

Lezione 19. Elementi interi ed estensioni intere.

Lezione 19. Elementi interi ed estensioni intere. Lezoe 9 Peequst: Modul ftamete geeat Elemet algebc Elemet te ed esteso tee Sa A u aello commutatvo utao sa B u suo sottoaello Tutt sottoaell cosdeat coteao l utà moltplcatva d A Defzoe 9 U elemeto α A

Dettagli

Diagramma polare e logaritmico

Diagramma polare e logaritmico Diagramma polare e aritmico ariatori discotiui del moto di taglio Dalla relazioe π D c si ota che la velocità di taglio dipede, oltre che dal umero di giri del madrio, ache dal diametro dell elemeto rotate

Dettagli

Lezione 3. Funzione di trasferimento

Lezione 3. Funzione di trasferimento Lezoe 3 Fuzoe d trasfermeto Calcolo della rsposta d u sstema damco leare Per l calcolo della rsposta (uscta) d u sstema damco leare soggetto ad gress assegat, s possoo segure due strade Calcolo el domo

Dettagli

Indici di Posizione. Gli indici si posizione sono misure sintetiche ( valori caratteristici ) che descrivono la tendenza centrale di un fenomeno

Indici di Posizione. Gli indici si posizione sono misure sintetiche ( valori caratteristici ) che descrivono la tendenza centrale di un fenomeno Idc d Poszoe Gl dc s poszoe soo msure stetche ( valor caratterstc ) che descrvoo la tedeza cetrale d u feomeo La tedeza cetrale è, prma approssmazoe, la modaltà della varable verso la quale cas tedoo a

Dettagli

è detta soluzione di una ODE se essa riduce l equazione ad una identità quando viene sostituita nell equazione.

è detta soluzione di una ODE se essa riduce l equazione ad una identità quando viene sostituita nell equazione. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE Itroduzoe Ua equazoe derezale è u equazoe ce covolge ua o pù dervate d ua uzoe cogta. Se tutte le dervate soo calcolate rspetto ad ua sola varable dpedete l equazoe s

Dettagli

1.6 Serie di potenze - Esercizi risolti

1.6 Serie di potenze - Esercizi risolti 6 Serie di poteze - Esercizi risolti Esercizio 6 Determiare il raggio di covergeza e l isieme di covergeza della serie Soluzioe calcolado x ( + ) () Per la determiazioe del raggio di covergeza utilizziamo

Dettagli

Verifica e scelta del modello probabilistico

Verifica e scelta del modello probabilistico Verfca e scelta del modello probablstco L elaborazoe statstca de dat comporta u certo umero d potes, qual ad esempo la forma della dstrbuzoe ed l metodo utlzzato per stmare parametr. Data ua qualsas potes

Dettagli

Note sulle lezioni del corso di STATICA tenute dal Prof. Luis Decanini

Note sulle lezioni del corso di STATICA tenute dal Prof. Luis Decanini Pra Facoltà d rctettura Ludovco Quaro Corso d Laurea 5 U.E... 00/00 - seestre Note sulle lezo del corso d STTC teute dal Prof. Lus Deca -a a -a a - Setra retta Setra olqua EMETR DELLE MSSE Corso d Statca

Dettagli

3 Variabilità. variabilità. Senza deviazione dalla norma il progresso non è possibile. (Frank Zappa) Statistica - 9CFU

3 Variabilità. variabilità. Senza deviazione dalla norma il progresso non è possibile. (Frank Zappa) Statistica - 9CFU 3 Varabltà 3 varabltà Seza devazoe dalla orma l progresso o è possble (Frak Zappa) 68 Statstca - 9CFU 3 Varabltà 3. varabltà Defzo Varabltà E l atttude d u feomeo ad assumere dverse modaltà. Essa è msurata

Dettagli

Capitolo 5: Fattorizzazione di interi

Capitolo 5: Fattorizzazione di interi Captolo 5: Fattorzzazoe d ter Trovare fattor d u umero tero grade è ua mpresa assa ardua, e può essere mpossble co le rsorse ogg dspobl. No s cooscoo metod polomal per la fattorzzazoe, come vece accade

Dettagli

Premessa... 1. Equazioni i differenziali lineari

Premessa... 1. Equazioni i differenziali lineari Apput d Cotroll Autoatc Captolo 3 parte I Sste dac lear Preessa... Equazo dfferezal lear... Evoluzoe lbera ed evoluzoe forzata... Uso della trasforazoe d Laplace... 3 Esepo... 7 Osservazo sulla rsposta

Dettagli

PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2013

PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2013 PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 3 Prova scritta del 6//3 Esercizio Suppoiamo che ua variabile aleatoria Y abbia la seguete desita : { hx e 3/x, x > f Y (y) =, x, co h opportua costate positiva.

Dettagli

IL MODELLO DI REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA

IL MODELLO DI REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA Captolo 9 - Il modello d regressoe leare multpla 9 - IL MODELLO DI REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA 9 9. Itroduzoe 9. Il modello d regressoe leare multpla 9.3 Il modello d regressoe leare multpla forma matrcale

Dettagli

Cristiano Teodoro cristianoteodoro@virgilio.it

Cristiano Teodoro cristianoteodoro@virgilio.it Crstao Teodoro crstaoteodoro@vrglo.t La GENERAZIONE della CHIAVE PRIVATA ell algortmo crttografco RSA a chave pubblca Chave Prvata : 584878980065530830874059935334449334946579553607545068689597997343957974

Dettagli

Università degli Studi di Milano Bicocca CdS ECOAMM Corso di Metodi Statistici per l Amministrazione delle Imprese CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI

Università degli Studi di Milano Bicocca CdS ECOAMM Corso di Metodi Statistici per l Amministrazione delle Imprese CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI Uverstà degl Stud d Mlao Bcocca CdS ECOAMM Corso d Metod Statstc per l Ammstrazoe delle Imprese CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI 1. Carta d cotrollo per frazoe d o coform (carta U resposable d produzoe,

Dettagli

Criteri di scelta degli investimenti. Materiale didattico per il corso di matematica finanziaria II modulo

Criteri di scelta degli investimenti. Materiale didattico per il corso di matematica finanziaria II modulo Crter d scelta degl estmet Materale ddattco per l corso d matematca azara II modulo Itroduzoe La presete trattazoe s poe come obetto d aalzzare due prcpal crter d scelta degl estmet e de azamet per alutare

Dettagli

Campionamento casuale da popolazione finita (caso senza reinserimento )

Campionamento casuale da popolazione finita (caso senza reinserimento ) Campioameto casuale da popolazioe fiita (caso seza reiserimeto ) Suppoiamo di avere ua popolazioe di idividui e di estrarre u campioe di uità (co < ) Suppoiamo di studiare il carattere X che assume i valori

Dettagli

= Pertanto. Per la formula di Navier ( σ = ), gli sforzi normali σ più elevati nella sezione varranno: di compressione);

= Pertanto. Per la formula di Navier ( σ = ), gli sforzi normali σ più elevati nella sezione varranno: di compressione); La sezioe di trave di figura è soggetta ad u mometo flettete pari a 000 knmm e ed u azioe di taglio pari a 5 kn, etrambe ageti su u piao verticale passate per l asse s-s. Calcolare gli sforzi σ e τ massimi

Dettagli

V n. =, e se esiste, il lim An

V n. =, e se esiste, il lim An Parttore resstvo con nfnte squadre n cascata. ITIS Archmede CT La Fg. rappresenta un parttore resstvo, formato da squadre d restor tutt ugual ad, conness n cascata, e l cu numero n s fa tendere ad nfnto.

Dettagli

RISOLUZIONE MODERNA DI PROBLEMI ANTICHI

RISOLUZIONE MODERNA DI PROBLEMI ANTICHI RISOLUZIONE MODERNA DI PROBLEMI ANTICHI L itelletto, duque, che o è la verità, o comprede mai la verità i modo così preciso da o poterla compredere (poi acora) più precisamete, all ifiito, perché sta alla

Dettagli

CORSO DI CALCOLO NUMERICO A.A

CORSO DI CALCOLO NUMERICO A.A CAPIT-0.DOC Versoe aggorata l goro 08/03/00 CORSO DI CALCOLO NUMERICO A.A. 1999-2000 ( Prof. A. Belle ) CAPITOLO 0 TEORIA DEGLI ERRORI I questo captolo c occuperemo della rappresetaoe de umer real ua base

Dettagli

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. (log α) n, α > 0 c)

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. (log α) n, α > 0 c) SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. Calcolare la somma delle segueti serie telescopiche: a) b). Verificare utilizzado la codizioe ecessaria per la covergeza) che le segueti serie o covergoo: a) c) ) log

Dettagli

Algoritmi e Strutture Dati (Elementi)

Algoritmi e Strutture Dati (Elementi) Algoritmi e Strutture Dati (Elemeti Esercizi sulle ricorreze Proff. Paola Boizzoi / Giacarlo Mauri / Claudio Zadro Ao Accademico 00/003 Apputi scritti da Alberto Leporati e Rosalba Zizza Esercizio 1 Posti

Dettagli

Leasing: aspetti finanziari e valutazione dei costi

Leasing: aspetti finanziari e valutazione dei costi Leasg: aspett fazar e valutazoe de cost Descrzoe Il leasg è u cotratto medate l quale ua parte (locatore), cede ad u altro soggetto (locataro), per u perodo d tempo prefssato, uo o pù be, sao ess mobl

Dettagli

IL CALCOLO COMBINATORIO

IL CALCOLO COMBINATORIO IL CALCOLO COMBINATORIO 0. Itroduzioe Oggetto del calcolo combiatorio è quello di determiare il umero dei modi mediate i quali possoo essere associati, secodo prefissate regole, gli elemeti di uo stesso

Dettagli

APPENDICE. A.1 Derivate notevoli. dy m df. sin x. 1 dx. dx 1 f x. f x. y f x. y x. dx dx. df x. dx n x. dy m. cos f x. cos x. sin f x.

APPENDICE. A.1 Derivate notevoli. dy m df. sin x. 1 dx. dx 1 f x. f x. y f x. y x. dx dx. df x. dx n x. dy m. cos f x. cos x. sin f x. APPENDICE A. Derivate otevoli k d d d d d m m m d si cos cos si ta d cos cot d si arcsi arccos m d d d d d d si cos d m d m d d d si d d d cos d d cos d d ta cot arcta d arccot d log a l d d arcsi arccos

Dettagli

UNI CEI ENV 13005 (GUIDA ALL ESPRESSIONE DELL INCERTEZZA DI MISURA)

UNI CEI ENV 13005 (GUIDA ALL ESPRESSIONE DELL INCERTEZZA DI MISURA) UI CEI EV 3005 (GUIDA ALL ESPRESSIOE DELL ICERTEZZA DI MISURA Uverstà degl Stud d Bresca Corso d Fodamet della Msurazoe A.A. 00-03 Apput a cura d Gorgo Cor 3835 UI CEI EV 3005 0. ITRODUZIOE 0. COCETTO

Dettagli

RILIEVI TOPOGRAFICI DETERMINAZIONI PLANIMETRICHE

RILIEVI TOPOGRAFICI DETERMINAZIONI PLANIMETRICHE RILIVI TOOGRFICI DTRMIZIOI LIMTRICH Geeraltà e defzo sulle operazo topografche ut d quadrameto e d dettaglo ella arte I s è spegato che l rlevo topografco cosste ella determazoe plaoaltmetrca d u cosderevole

Dettagli

Appunti complementari per il Corso di Statistica

Appunti complementari per il Corso di Statistica Apputi complemetari per il Corso di Statistica Corsi di Laurea i Igegeria Edile e Tessile Ilia Negri 24 settembre 2002 1 Schemi di campioameto Co il termie campioameto si itede l operazioe di estrazioe

Dettagli

Capitolo 11 - Catene di Markov

Capitolo 11 - Catene di Markov Aut d Teora de Segal Catolo - Catee d Marov Catee d Marov temo-dscrete... Defzo troduttve... Probabltà d traszoe ad u asso...3 Catee d Marov omogeee...4 Matrce delle robabltà d traszoe ad u asso...4 Proretà...5

Dettagli

Esercizi sul principio di induzione

Esercizi sul principio di induzione Esercitazioi di Aalisi I, Uiversità di Trieste, lezioe del 0/0/008 Esercizi sul pricipio di iduzioe Esercizio Dimostrare per iduzioe che + + + ( + ), Risoluzioe Le dimostrazioi di ua proprietà P() per

Dettagli

Il disegno campionario per l indagine sul turismo delle isole Eolie. O. Giambalvo A.M. Milito

Il disegno campionario per l indagine sul turismo delle isole Eolie. O. Giambalvo A.M. Milito Il dsego campoaro per l dage sul tursmo delle sole Eole O. Gambalvo A.M. Mlto Struttura della presetazoe Obettv L dage campoara Le potes d lavoro L dage plota Il dsego campoaro Stratega campoara Alcu Rsultat

Dettagli

SCHEDA DIDATTICA N 5

SCHEDA DIDATTICA N 5 FACOLTA DI INGEGNEIA COSO DI LAUEA IN INGEGNEIA CIVILE COSO DI IDOLOGIA POF. PASQUALE VESACE SCHEDA DIDATTICA N 5 MOMENTI DELLE VAIABILI CASUALI E STIMA DEI PAAMETI A.A. 0-3 Momet delle varabl casual La

Dettagli

Progetto Matematica in Rete - Numeri naturali - I numeri naturali

Progetto Matematica in Rete - Numeri naturali - I numeri naturali I umeri aturali Quali soo i umeri aturali? I umeri aturali soo : 0,1,,3,4,5,6,7,8,9,,11 I umeri aturali hao u ordie cioè dati due umeri aturali distiti a e b si può sempre stabilire qual è il loro ordie

Dettagli

Quarto Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 5 Luglio Soluzioni. z 2 = 3 4 i. a 2 b 2 = 3 4

Quarto Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 5 Luglio Soluzioni. z 2 = 3 4 i. a 2 b 2 = 3 4 Quarto Compito di Aalisi Matematica Corso di laurea i Iformatica, corso B 5 Luglio 016 Soluzioi Esercizio 1 Determiare tutti i umeri complessi z tali che z = 3 4 i. Soluzioe. Scrivedo z = a + bi, si ottiee

Dettagli

Cerchi di Mohr - approfondimenti

Cerchi di Mohr - approfondimenti Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Stato di tesioe e di deformazioe Cerchi di Mohr - approfodimeti L algebra dei cerchi di Mohr Proprietà di estremo dei cerchi di Mohr Costruzioe

Dettagli