SLU PER TAGLIO 127. Si consideri una trave in c.a., isostatica, soggetta in mezzeria ad una forza F = 20 tonn.

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1 SLU PER TAGLIO 127 Esempio n Verifica a taglio e flessione, allo stato limite ultimo e confronto con i risultati prodotti dall uso del metodo delle tensioni ammissibili SVOLGIMENTO Si consideri una trave in c.a., isostatica, soggetta in mezzeria ad una forza F = 20 tonn., Fig. 3.7 La trave ha dimensioni geometriche: B = 30 cm; H = 40 cm; copriferro 3 cm. I materiali sono: conglomerato Rck 300 acciaio Fe B 44 k Si definiscono le resistenze di calcolo: fcd = 300 / 1,90 = 157,89 kg/cmq fsd = 4400 / 1,15 = 3826 kg/cmq La sollecitazione massima da momento flettente si ha in mezzeria e vale: Md= F l / 4 + g l 2 / 8 = ,00 / / 8 = ,50 kgm Il valore del taglio massimo di calcolo si ha agli appoggi e vale: Vd = F / 2 + g l / 2= / / 2= kg

2 128 CAPITOLO III Progetto e verifica a flessione in mezzeria: essendo noto l altezza della sezione, si può ricavare: r = h / (Md / B) = 37 / ( / 30) = 0,1056 r = r Rbk = 0, = 1,8288 Entrando nella tabella u=1,0 con acciaio Fe B 44 k, si ricava: S = 0,176 (sezione ricadente nel campo B ); q = 0,6194. Dal valore di q si ricava: As = q B h fcd/fsd = 0, ,89 / 3826 = 28,37 6ϕ26 31,84 cmq A s = u As = 1,0 31,84 = 31,84 cmq 6 ϕ 26 La quantità di armatura calcolata non può essere disposta su un unico registro; nella trave, pertanto, conviene aumentare le dimensioni geometriche. Anziché aumentare le dimensioni geometriche della trave a casaccio, conviene progettare una sezione resistente che allo SLU collassi con cedimento contemporaneo del conglomerato e delle armatura. In questo caso i parametri sono noti. Infatti, optando per una sezione con u = 0,5 e con acciaio Fe B 44 k: S = 0,259 (la sezione ricade al limite fra campo B e campo C ); q = 0,4192 (r = 2,2182). Noti i quali, si può ricavare: r = r / Rbk = 2,2182 / 300 = 0,1281 e calcolare l altezza utile della sezione, ipotizzando in prima approssimazione Md = kgm: h = r (Md / B) = 0,1281 ( / 30) = 45,59 cm 47 cm + 3 cm = H = 50 cm Poiché è definita in modo preciso la dimensione geometrica della trave, stabilita in cm, si possono ricalcolare le caratteristiche di sollecitazione. La sollecitazione da momento flettente vale: Md = F l / 4 + g l 2 / 8 = ,00 / / 8 = ,88 kgm Il valore del taglio di calcolo vale: Vd = F / 2 + g l / 2 = / / 2 = kg Essendo nota l altezza della sezione, si può ricavare: r = h / (Md / B) = 47 / ( / 30) = 0,1333 r = r Rbk = 0, = 2,3088

3 SLU PER TAGLIO 129 Entrando nella tabella u = 0,5 con acciaio Fe B 44 k, si ricava: S = 0,245 (sezione ricadente nel campo B ); q = 0,385. Dal valore di q si ricava: As = q B h fcd/fsd = 0, ,89 / 3826 = 22,40 5ϕ24 22,61 cmq A s = u As = 0,5 22,61 = cmq 3 ϕ 22 11,40 cmq Verifica a taglio agli appoggi: l elemento trave è un elemento strutturale con armature trasversali resistenti a taglio, pertanto, rifacendosi ai richiami teorici sopra riportati, si deve verificare: il conglomerato compresso, che sia: Vd 0,30 fcd bw d = 0,30 157, = ,47 kg > ok. La trave è composta con staffe ortogonali alla linea media dell elemento strutturale. l armatura trasversale d anima: in cui: Vd Vcd + Vsd Vcd = 0,60 fctd bw d δ = 0,60 11, = 9619,02 kg con: δ = 1 bw = 30 cm d = 47 cm fctm = 0,58 Rbk 2 /3 = 0, /3 = 25,99 kg/cmq fctk = 0,70 fctm = 0,7 25,99 = 18,19 kg/cmq fctd = fctk / γm,c è la resistenza a trazione di calcolo con γm,c = 1,60 fctd = fctk / γm,c = 18,19 / 1,6 = 11,37 kg/cmq A vantaggio di sicurezza si ipotizza di trascurare il contributo Vcd, pertanto: Vsd = Vd Vcd = = kg = As fsd 0,90 d (sin α + cos α) / S dove: As è l area dell armatura trasversale posta ad interasse s e con inclinazione α rispetto all asse dell elemento strutturale. Adottando staffe Φ 8 mm a due bracci, si ha:

4 130 CAPITOLO III As = n ωst = 2 0,50 = 1,00 cmq per staffa. Il passo delle staffe da adottare in prossimità degli appoggi vale: S = As fsd 0,90 d (sin α + cos α) / (Vd Vcd) = 1, , / = 14,31 cm Il valore del passo delle staffe deve comunque rispettare le prescrizioni costruttive, lungo tutta la trave, ovvero: staffe con area complessiva Ast 1,5 b mmq/m Nel caso in esame, Ast 1,5 300 mm = 450 mmq/ml, utilizzando staffe dal diametro Φ 8 mm, con l area della singola sezione di staffa pari a ωst = 50 mmq, a due bracci (n=2) ortogonali all armatura longitudinale, si ottiene un passo delle staffe: st = 100 n ωst / (1,5 b) = mmq /(1,5 300 mm) = 22,22 cm; minimo di 3 staffe a metro, ovvero una staffa ogni 33 cm; st non superiore a 0,8 h = 0,8 47 = 37,6 cm. In prossimità dei carichi concentrati e nelle zone di appoggio, per una larghezza pari a 2 h, st 12 Φmin long; in questo caso 12 2,2 = 26,40 cm. Se supponiamo di essere in zona sismica, con una struttura di classe alta CD A, si deve disporre, per una distanza pari a 2 h, una staffatura con un passo, con la prima staffa posta a non più di 5 cm dal filo del pilastro, pari al più piccolo valore delle seguenti quantità: 1 / 4 h ovvero 1 / 4 47 = 11,75 cm; 15 cm; 6 Φmin long ovvero 6 2,2 cm = 13,20 cm. Pertanto come staffatura corrente si adottano, in definitiva, staffe a due bracci, ϕ 8 mm / 20 cm; alle due estremità della trave per una distanza pari a 2 h, si adotteranno staffe a due bracci, ϕ 8 mm / 11 cm; mentre, in prossimità del carico concentrato, per una distanza pari a 2 h, si potrebbero adottare staffe a due bracci, ϕ 8 mm / 26 cm, ma, a vantaggio di sicurezza, si estende l armatura corrente pari a ϕ 8 mm / 20 cm. In prossimità degli appoggi, oltre la distanza 2 h, occorre convenientemente estendere la staffatura ϕ 8 mm / 14 cm fino ad una distanza congrua dall appoggio; l armatura longitudinale all appoggio: per tener conto dello schema resistente a traliccio, la verifica comporta una traslazione del diagramma del momento flettente lungo l asse, di una quantità a1, nel verso che dà luogo ad un aumento in valore assoluto del momento flettente.

5 SLU PER TAGLIO 131 L armatura longitudinale e il suo ancoraggio devono essere, pertanto, dimensionati per assorbire un momento pari a: con: Md (Vd) = Md + Vd a1 = ,423 = 4785,40 kgm a1 = 0,90 d (1 cot α) = 0, = 42,30 cm dove a1 0,20 d = 0,20 47= 9,4 cm; As long = Md (Vd) / (0,9 d fsd) = / (0, ) = 2,96 cmq < 5 ϕ 24 mm Fig. 3.8 Si procede adesso con il metodo delle tensioni ammissibili. Con le quantità di armatura prima definite, con la stessa sezione geometrica, e nell ipotesi di sollecitazioni di calcolo invariate, ovvero sezione cm armatura inferiore 5 ϕ 24 mm armatura superiore 3 ϕ 22 mm, si effettua il controllo delle tensioni di lavoro. Le tensioni massime del conglomerato (σc) e dell acciaio teso (σf), da confrontare con quelle ammissibili, in mezzeria valgono: σc = M / In Xc = 202,06 > σca σf = n M / In (h Xc) = 3997,60 > σfa σ f = n M / In (Xc δ) = 2565,30 < σfa La tensione tangenziale massima agli appoggi vale: τmax = T Sn / b In = 9,13 kg/cmq La verifica effettuata alle tensioni ammissibili NON è soddisfatta. A parità di sollecitazioni agenti sulla trave, occorre ridefinire completamente la sezione resistente.

6 132 CAPITOLO III Mantenendo fissi la dimensione geometrica della base B=30 cm e il rapporto di armatura Fe B 44 k(u=0,50), si ha, procedendo con la teoria classica: h = r v (Md / B) = 0,225 ( / 30) = 79,33 cm portata a h = 82 cm + 3 cm= H = 85 cm; As = t B (Md / B)= 0, ( / 30) = 20,10 cmq 5ϕ24 22,61 cmq A s = u As = 0,5 22,61 = cmq 3 ϕ 22 11,40 cmq I valori di r e t sono reperibili su tutti i manuali di ingegneria. Ricalcolando le sollecitazioni agenti che variano poiché varia il peso proprio della trave, si ha: momento flettente massimo in mezzeria: Md = F l / 4 + g l 2 / 8 = ,00 / ,5 7 2 / 8 = ,69 kgm il valore del taglio di calcolo vale: Vd = F / 2 + g l / 2 = / ,5 7 / 2 = ,25 kg Ricalcolando le tensioni di lavoro da confrontare con quelle ammissibili, si ottiene in mezzeria: σc = M / In Xc = 88,39 < σca σf = n M / In (h Xc) = 2334,90 < σfa σ f = n M / In (Xc δ) = 1187,10 < σfa Agli appoggi: τmax = T Sn / b In = 5,53 kg/cmq poiché τmax <τco, non occorre armare a taglio; dove: τco = 4 + (Rbk 150) / 75 = 6 kg/cmq τc1 = 14 + (Rbk 150) / 35 = 18,286 kg/cmq Occorre sola armatura regolamentare. Occorrono staffe correnti Φ 8 mm a due bracci ogni 33 cm, mentre in corrispondenza degli appoggi e del carico concentrato, il passo si riduce ogni 25 cm.

7 SLU PER TAGLIO 133 Fig. 3.9 Ancora una volta l evoluzione concettuale del metodo agli stati limite porta a dettagliare la posizione delle armature sia per la flessione che per il taglio; in questo caso, confrontando i due metodi di verifica, si registra, a parità di armatura longitudinale corrente, un risparmio di sezione geometrica ( 58,82%), ma anche un miglior confinamento trasversale dell elemento strutturale, rispetto a quanto si ottiene con il metodo delle tensioni ammissibili.

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