Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

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1 Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 41

2 1 Derivata di una funzione 2 Punti di non derivabilità 3 Regole di calcolo delle derivate 4 Il teorema del valor medio e le sue conseguenze 5 Teorema di de l Hôpital 6 Limite della derivata e derivabilità 7 Derivata seconda, concavità e convessità ICD (Bari) Analisi Matematica 2 / 41

3 Calcolo differenziale Definire la tangente in un punto ad una curva. Definire la velocità di un oggetto in moto. ICD (Bari) Analisi Matematica 3 / 41

4 Definizione di derivata Definizione Sia f : (a, b) R e sia x 0 (a, b). Il rapporto incrementale di f relativo all intervallo di estremi x 0 e x 0 + h è definito da f(x 0 + h) f(x 0 ). h La funzione f si dice derivabile in x 0 se esiste finito lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ). h Tale limite si chiama derivata prima o derivata di f in x 0 e si indica con f df (x 0 ) dx (x 0) Df(x 0 ). ICD (Bari) Analisi Matematica 4 / 41

5 Definizione di derivata La retta di equazione y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) si chiama retta tangente al grafico di f nel punto (x 0, f(x 0 )). Se f è derivabile in ogni punto di (a, b) è ben definita la funzione f : (a, b) R (funzione derivata di f) data da x f (x). Se f è a sua volta derivabile, la derivata di f si chiama derivata seconda di f e si indica con f (x 0 ) d 2 f dx 2 (x 0) D 2 f(x 0 ). In modo analogo si definiscono le derivate di ordine n o derivate n-esime indicate con f n d n f (x 0 ) dx n (x 0) D n f(x 0 ). ICD (Bari) Analisi Matematica 5 / 41

6 Derivate delle funzioni elementari f(x) = c, c R x R, f (x) = 0 per ogni x R; f(x) = x n, n N x R f (x) = nx n 1 per ogni x R; f(x) = x{ α, α R \ {0}, f (x) = αx α 1 per ogni x (0, + ); f 0 se α > 1 (0) = + se 0 < α < 1 f(x) = a x, x R, f (x) = a x log a per ogni x R; f(x) = e x, x R, f (x) = e x per ogni x R; f(x) = log a x, x > 0, f (x) = 1 x log a per ogni x > 0; f(x) = log x, x > 0, f (x) = 1 x per ogni x > 0; ICD (Bari) Analisi Matematica 6 / 41

7 Derivate delle funzioni elementari f(x) = sen x, x R, f (x) = cos x per ogni x R; f(x) = cos x, x R, f (x) = sen x per ogni x R; f(x) = tg x, x dom tg, f (x) = 1 + tg 2 x = 1 cos 2 x x dom tg; per ogni f(x) = arcsen x, x [ 1, 1], f (x) = 1 1 x 2 per ogni x ( 1, 1); f(x) = arccos x, x [ 1, 1], f (x) = 1 1 x 2 per ogni x ( 1, 1); f(x) = arctg x, x R, f (x) = 1 1+x 2 per ogni x R. ICD (Bari) Analisi Matematica 7 / 41

8 Punti di non derivabilità Definizione Sia f : (a, b) R e x 0 (a, b). Se f è continua in x 0 e f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) lim = + oppure lim = h 0 h h 0 h si dice che f ha in x 0 è un flesso a tangente verticale. ICD (Bari) Analisi Matematica 8 / 41

9 Derivata destra e sinistra Definizione Sia f : (a, b) R e x 0 (a, b). Se esiste finito il limite f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h 0 + h allora f si dice derivabile a destra in x 0, tale limite si chiama derivata destra di f in x 0 e si denota con f +(x 0 ). Se esiste finito il limite f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h 0 h allora f si dice derivabile a sinistra in x 0, tale limite si chiama derivata sinistra di f in x 0 e si denota con f (x 0 ). ICD (Bari) Analisi Matematica 9 / 41

10 Punti angolosi e cuspidi Casi in cui f +(x 0 ) e f (x 0 ) non sono uguali tra loro. Definizione Sia f : (a, b) R e x 0 (a, b). Se f è continua in x 0, esistono f (x 0 ), f +(x 0 ) e allora f (x 0 ) f +(x 0 ), Se almeno uno tra f (x 0 ) ed f +(x 0 ) appartiene ad R, si dice che f ha in x 0 un punto angoloso. Se f (x 0 ) =, f +(x 0 ) = + (oppure, viceversa, f (x 0 ) = +, f +(x 0 ) = ), si dice che f ha in x 0 una cuspide. ICD (Bari) Analisi Matematica 10 / 41

11 ICD (Bari) Analisi Matematica 11 / 41

12 Continuità e derivabilità Teorema Se f è derivabile in un punto x 0 allora è continua in x 0. In modo equivalente: se f non è continua in x 0 allora f non è derivabile in x 0. Il viceversa del teorema non vale (f(x) = x è continua in 0 ma non derivabile in 0). ICD (Bari) Analisi Matematica 12 / 41

13 Regole di derivazione Proposizione Siano f, g : (a, b) R e x 0 (a, b) tale che f e g siano derivabili in x 0. Sia c R. Allora le funzioni f + g, f g, cf, f g sono derivabili in x 0 e (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ); (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ); (cf) (x 0 ) = cf (x 0 ); (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0 ) g (x 0 ). Se g(x 0 ) 0, f/g è derivabile in x 0 e ( ) f (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g (g(x 0 )) 2. ICD (Bari) Analisi Matematica 13 / 41

14 Derivazione di una funzione composta Teorema Sia g f la funzione composta di due funzioni f e g tali che f è derivabile in x; g è derivabile in y = f(x), allora g f è derivabile in x e si ha (g f) (x) = g (f(x))f (x). ICD (Bari) Analisi Matematica 14 / 41

15 Derivata di funzione inversa Teorema Sia f : (a, b) R una funzione continua e invertibile e g = f 1 la sua inversa. Se per x 0 (a, b) f è derivabile in x 0 ; f (x 0 ) 0, allora g = f 1 è derivabile in y 0 = f(x 0 ) e si ha g (y 0 ) = 1 f (x 0 ). ICD (Bari) Analisi Matematica 15 / 41

16 Applicazione del calcolo differenziale alla ricerca dei massimi e minimi di una funzione Sia f : [a, b] R. Abbiamo già definito il massimo e il minimo assoluti di f. Definizione Si dice M è massimo di f e x 0 [a, b] è punto di massimo se f(x 0 ) = M f(x) x [a, b]. Si dice m è minimo di f e x 0 [a, b] è punto di minimo se f(x 0 ) = m f(x) x [a, b]. ICD (Bari) Analisi Matematica 16 / 41

17 Estremi locali di una funzione Definizione Sia f : [a, b] R. Si dice M è massimo locale (o relativo) di f e x 0 [a, b] è punto di massimo locale se esiste un intervallo (x 0 δ, x 0 + δ) tale che f(x 0 ) = M f(x) x (x 0 δ, x 0 + δ) [a, b]. Si dice m è minimo locale (o relativo) di f e x 0 [a, b] è punto di minimo locale se esiste un intervallo (x 0 δ, x 0 + δ) tale che f(x 0 ) = m f(x) x (x 0 δ, x 0 + δ) [a, b]. ICD (Bari) Analisi Matematica 17 / 41

18 Estremi locali di una funzione Si noti che Il massimo e il minimo globale di f se esistono sono unici (ma i punti di massimo e minimo globale possono essere più di uno). I massimi e minimi locali possono essere più di uno. Ogni estremo globale è anche estremo locale (ma non viceversa). ICD (Bari) Analisi Matematica 18 / 41

19 Teorema di Fermat Teorema (di Fermat) Sia f : [a, b] R una funzione derivabile in x (a, b). Se x è un punto di estremo locale per f allora f (x) = 0. Definizione Un punto x si dice punto critico o punto stazionario per una funzione f se f è derivabile in x e f (x) = 0. Quindi, se f : (a, b) R e x (a, b) Non vale il viceversa. x di estremo locale x stazionario ICD (Bari) Analisi Matematica 19 / 41

20 Interpretazione geometrica Se f è derivabile in (a, b), nei punti di estremo relativo in (a, b) la retta tangente al grafico di f è orizzontale. ICD (Bari) Analisi Matematica 20 / 41

21 Un modo diverso di scrivere la derivata Sia f : (a, b) R e x 0 (a, b). Si è visto che se f è derivabile in x 0 esiste ed è finito f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h Dal teo. del cambio di variabile nei limiti, se si pone x 0 + h = x, si ottiene f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0. In modo analogo: f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 f +(x 0 ) = lim x x + 0 f(x) f(x 0 ) x x 0. ICD (Bari) Analisi Matematica 21 / 41

22 Teorema del valor medio o di Lagrange Teorema (del valor medio o di Lagrange) Sia f : [a, b] R una funzione. Se f è continua in [a, b]; f è derivabile in (a, b); allora esiste c (a, b) tale che f (c) = f(b) f(a). b a ICD (Bari) Analisi Matematica 22 / 41

23 Interpretazione geometrica Se valgono le ipotesi del teorema di Lagrange, esiste un punto in (a, b) in cui la retta tangente al grafico di f è parallela alla retta passante per (a, f(a)) e (b, f(b)). a x 0 b ICD (Bari) Analisi Matematica 23 / 41

24 Conseguenze del teorema di Lagrange Proposizione Sia f : (a, b) R una funzione derivabile. Se f ha n zeri distinti in (a, b) allora f : (a, b) R ha n 1 zeri distinti in (a, b). Quindi, se esistono x 1,..., x n (a, b) tali che x i x j se i j e f(x i ) = 0 per ogni i = 1,..., n allora esistono c 1,..., c n 1 (a, b) tali che c i c j se i j e f(c i ) = 0 per ogni i = 1,..., n 1. Per ogni i = 1,..., n 1, è possibile applicare il teorema di Lagrange a f in [x i, x i+1 ]. Si ottiene che esiste c i (x i, x i+1 ) tale che 0 = f(x i+1 ) f(x i ) = f (c i ) (x i+1 x i ), da cui f (c i ) = 0. ICD (Bari) Analisi Matematica 24 / 41

25 Conseguenze del teorema di Lagrange Proposizione (Test di monotonia) Sia f : (a, b) R una funzione derivabile. Allora f è crescente f (x) 0 x (a, b); f è decrescente f (x) 0 x (a, b). ICD (Bari) Analisi Matematica 25 / 41

26 Conseguenze del teorema di Lagrange Proposizione (Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla) Sia f : (a, b) R una funzione derivabile. Allora f è costante in (a, b) f (x) = 0 x (a, b). ICD (Bari) Analisi Matematica 26 / 41

27 Ricerca di massimi e minimi Sia f : [a, b] R. Se f è derivabile, per determinarne i massimi e minimi si procede nel seguente modo: Si calcolano f(a) e f(b). Si calcola f (x) e si risolve f (x) = 0. Se non vi sono punti stazionari, f(a) o f(b) sono estremi locali. Se x = x 0 (a, b) è un punto stazionario, si studia il segno di f in un intorno di x 0 per stabilirne la natura. Trovati eventuali punti di estremo locale, si calcola il valore di f in questi punti e lo si confronta con f(a) e f(b). ICD (Bari) Analisi Matematica 27 / 41

28 Teorema di De l Hôpital Teorema Siano f, g : (a, b) R due funzioni derivabili in (a, b) con g, g 0 in (a, b). Se lim x a x a f(x) = lim g(x) = 0 (o +, o ); + + esiste il limite (finito o infinito) f (x) lim x a + g (x) = L. Allora f(x) lim x a + g(x) = L. ICD (Bari) Analisi Matematica 28 / 41

29 Teorema di De l Hôpital Risultati analoghi valgono per x b e per x x 0 (a, b). Non si può applicare il teorema a forme non indeterminate. Per esempio x lim x 1 + log x = + ma 1 lim x 1 + 1/x = 1. ICD (Bari) Analisi Matematica 29 / 41

30 Limite della derivata e derivabilità Teorema Sia f : [a, b) R, continua in a, derivabile in (a, b) ed esista (finito o infinito) lim x a + f (x) = m R. Allora esiste f +(a) = m. Un enunciato analogo vale per la derivata sinistra e quindi per la derivata. Se f è continua in a ed esiste il limite destro in a della derivata allora esiste la derivata destra in a e coincide con quel limite. ICD (Bari) Analisi Matematica 30 / 41

31 Significato geometrico della derivata seconda La derivata seconda rappresenta la velocità di variazione della pendenza di un grafico, pertanto misura il grado di scostamento del grafico dall andamento rettilineo. Sia f una funzione tale che f(0) = f (0) = 0, f (0) 0. Si prova che la semicirconferenza che meglio approssima f in 0 ha raggio R tale che 1 R f (0) = 1 R. prende il nome di curvatura di f in 0 e R è il raggio di curvatura. ICD (Bari) Analisi Matematica 31 / 41

32 Convessità e corde Una figura geometrica F si dice convessa se per ogni coppia di punti P 1, P 2 F il segmento che congiunge P 1 e P 2 è interamente contenuto in F. Definizione Sia f : I R, I R intervallo. La funzione f si dice convessa in I se l epigrafico di f, cioè l insieme epi f = {(x, y) R 2 x I, y f(x)} è un insieme convesso. Si dice che f è concava in I se f è convessa in I. ICD (Bari) Analisi Matematica 32 / 41

33 Una definizione equivalente Definizione Sia f : I R, I R intervallo. La funzione f si dice convessa in I se, per ogni x 1, x 2 I il segmento di estremi (x 1, f(x 1 )) e (x 2, f(x 2 )) non ha punti sotto il grafico di f. Quindi, per ogni x 1, x 2 I e t [0, 1] f((1 t)x 1 + tx 2 ) (1 t)f(x 1 ) + tf(x 2 ). ICD (Bari) Analisi Matematica 33 / 41

34 Una definizione equivalente Definizione Sia f : I R, I R intervallo. La funzione f si dice concava in I se, per ogni x 1, x 2 I il segmento di estremi (x 1, f(x 1 )) e (x 2, f(x 2 )) non ha punti sopra al grafico di f. Quindi, per ogni x 1, x 2 I e t [0, 1] f((1 t)x 1 + tx 2 ) (1 t)f(x 1 ) + tf(x 2 ). ICD (Bari) Analisi Matematica 34 / 41

35 Se le disuguaglianze precedenti valgono con < (>) per t (0, 1), f si dice strettamente convessa (strettamente concava). Regolarità delle funzioni convesse o concave: Teorema Una funzione convessa (o concava) su un intervallo I è continua in I, salvo al più negli estremi di I. Inoltre f possiede derivata destra e sinistra in ogni punto interno ad I. ICD (Bari) Analisi Matematica 35 / 41

36 Convessità e derivate Se f è derivabile, la nozione di convessità risulta essere in relazione con la derivata prima e seconda. Teorema Sia f : (a, b) R. Se f è derivabile in (a, b) allora f è convessa (concava) in (a, b) se e solo se f è crescente (decrescente) in (a, b); Se f è derivabile due volte in (a, b) allora f è convessa (concava) in (a, b) se e solo se f (x) 0 (f (x) 0) per ogni x (a, b). I teoremi si modificano in maniera ovvia per funzioni strettamente convesse o strettamente concave. ICD (Bari) Analisi Matematica 36 / 41

37 Convessità e rette tangenti Teorema Sia f : (a, b) R derivabile in (a, b). Allora f è convessa in (a, b) se e solo se f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) x, x 0 (a, b); f è concava in (a, b) se e solo se f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) x, x 0 (a, b). Una funzione derivabile è convessa (concava) se il suo grafico si mantiene tutto sopra (sotto) ogni retta tangente al grafico. ICD (Bari) Analisi Matematica 37 / 41

38 Convessità e rette tangenti ICD (Bari) Analisi Matematica 38 / 41

39 Punti di flesso Definizione Sia f : (a, b) R una funzione e x 0 (a, b) un punto di derivabilità per f oppure in cui f (x 0 ) = ±. Il punto x 0 si dice di flesso per f se esiste un intorno destro di x 0 in cui f è convessa (concava) e un intorno sinistro di x 0 in cui f è concava (convessa). x 0 ICD (Bari) Analisi Matematica 39 / 41

40 Punti di flesso Attraversando un punto di flesso la derivata seconda di f cambia segno. Ci si aspetta dunque che in tale punto essa si annulli. Teorema Sia f : (a, b) R e sia x 0 (a, b) un punto di flesso per f. Se esiste f (x 0 ) allora f (x 0 ) = 0. Non vale il viceversa: f(x) = x 4 ha un punto di minimo in x 0 = 0 e f (0) = 0. ICD (Bari) Analisi Matematica 40 / 41

41 Significato geometrico dei punti di flesso Teorema Se f : (a, b) R è derivabile in (a, b) e x 0 (a, b) è un punto di flesso per f allora il grafico di f attraversa la propria retta tangente in (x 0, f(x 0 )). x 0 ICD (Bari) Analisi Matematica 41 / 41