Appunti di Analisi Matematica 1. Docente: Klaus Engel. Università degli Studi dell Aquila Facoltà di Ingegneria A.A. 2011/12

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1 Appunti di Analisi Matematica Docente: Klaus Engel Università degli Studi dell Aquila Facoltà di Ingegneria A.A. / ( = %7E) (Versione del 4 dicembre ) Note scritte in collaborazione con il prof. Fabio Camilli, Università La Sapienza, Roma

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3 L analisi matematica è un ramo della matematica che si occupa tra l altro dei numeri reali, dei iti di successioni delle serie numeriche, delle funzioni reali e della loro continuità, del calcolo differenziale ed integrale. iii

4 Indice Capitolo. Concetti Fondamentali Insiemi Proprietà dei Numeri Reali R Funzioni 4 Fattoriale e Coefficienti Binomiali 5 Formula del Binomio di Newton 6 Principio di Induzione 7 Capitolo. Successioni Numeriche Convergenza, Divergenza e Irregolarità per Successioni Regole per il Calcolo dei Limiti Limiti e Ordinamento 5 Confronto tra Successioni 8 Capitolo. Serie numeriche Convergenza e prime Proprietà Serie a Termini Positivi 3 Serie a Termini di Segno Variabili 6 Capitolo 3. Funzioni Reali di una Variabile Reale 9 Operazioni e Composizione tra Funzioni 9 Proprietà di Funzioni Reali 3 Funzioni Elementari 3 Limiti delle Funzioni Reali 36 Capitolo 4. Funzioni Continue di una Variabile Reale 4 Funzioni Continue 4 Funzioni Continue su Intervalli 4 Altre Funzioni Invertibili 45 Funzioni Continue su Intervalli Chiusi e Limitati 47 Capitolo 5. Calcolo Differenziale di Funzioni di una Variabile 49 Derivata: Definizione e prime Proprietà 49 Regole per la Derivazione 5 Estremi Locali e il Teorema di Fermat 55 I Teoremi di Rolle e Lagrange 59 Conseguenze del Teorema di Lagrange 6 Le Regole di de l Hospital 63 Approssimazione Lineare di Funzioni 65 La Formula di Taylor 67 Applicazioni della Formula di Taylor 7 Serie di Taylor 8 Studio di Funzione 8 Capitolo 6. Calcolo Integrale di Funzioni di una Variabile 89 Integrale: Definizione e prime Proprietà 89 iv

5 INDICE v Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale 93 Metodi di Integrazione 96 Integrazione di Funzioni Razionali 4 Calcolo di Aree Piane 7 Calcolo della Lunghezza di una Curva 8 Calcolo di Volumi di Corpi di Rotazione 9 Integrali Impropri Capitolo 7. Funzioni Reali di Più Variabili: iti e continuità 7 La Struttura di R N 7 Funzioni Reali di più Variabili Reali: Prime Proprietà 8 Limiti di Funzioni Reali di più Variabili Reali 9 Calcolo dei Limiti in R N Continuità 3 Capitolo 8. Calcolo Differenziale per Funzioni Reali di più Variabili 4 I Concetti di Derivabilità in R N 4 Derivate di Ordine Superiore 9 Capitolo 9. Funzioni a Valori Vettoriali 3 Trasformazioni Regolari di Coordinate 3 Capitolo. Calcolo Integrale per Funzioni di più Variabili 36 Integrali Doppi: Definizione e prime Proprietà 36 Teorema di Fubini Tonelli 38 Cambiamento di Variabili negli Integrali Doppi 4 Integrali Tripli 45 Testi consigliati 5 Appendice A. Tre Principali Modi di Dimostrazioni 5 Appendice B. Elenco di alcuni Limiti Notevoli 53 Limiti Notevoli: Successioni 53 Limiti Notevoli: Funzioni 54 Appendice C. Definizione alternativa dei Limiti per Funzioni 55 Elenco delle figure 56

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7 CAPITOLO Concetti Fondamentali In questo capitolo introduttivo raccoglieremo alcuni concetti di matematica che servono successivamente ed inoltre stabiliremo le principale notazioni. Insiemi Intuitivamente un insieme è una raccolta di oggetti (chiamati elementi) distinguibili tra di loro che formano una totalità. Per indicare un insieme si usano generalmente lettere maiuscole A, B, C,..., X, Y, Z, per gli elementi invece lettere minuscole a, b, c,...,, y, z. Prima di fare esempi introduciamo alcune Notazioni. Spesso useremo i cosiddetti quantificatori = per ogni e = esiste Per evidenziare che A = B per definizione scriviamo A := B oppure B =: A. indica un implicazione. indica una contraddizione. indica il simbolo di appartenenza, / indica il simbolo di non-appartenenza., indicano i simboli di inclusione. Per definire un insieme ci sono in pratica possibilità: elencando tutti gli elementi tra parentesi graffe, per esempio A := {,, 3}, oppure attraverso una proprietà che caratterizza tutti gli elementi dell insieme, per esempio P := {n : n è un numero primo} Consideriamo alcuni Esempi. Siano A := {,, 3}, B := {, 7, 8}, C := {,, 3, 5, 7, 8}, allora A, 5 / B, A C, A / C, A / A. L insieme senza alcun elemento si chiama insieme vuoto e si usa la notazione := {}. Questa vista semplificata di insiemi, che comunque è sufficiente per i nostri scopi, porta facilmente a problemi come si vede dal seguente Esempio. Paradosso di Russell: Consideriamo l insieme A := {X : X è un insieme tale che X / X}. Ora per A stesso si deve verificare A A oppure il contrario A / A. Però A A A / A poiché A non verifica la condizione che definisce gli elementi X di A, ma anche A / A A A poiché A per ipotesi verifica la condizione che definisce gli elementi X di A. Operazioni tra insiemi. Dati due insiemi A e B chiamiamo A B := { : A oppure B} l unione tra A e B, A B := { : A e B} l intersezione tra A e B, A \ B := { : A e / B} la differenza tra A e B,

8 . CONCETTI FONDAMENTALI A B := {(a, b) : a A e b B} il prodotto cartesiano tra A e B, gli elementi (a, b) si chiamano coppie ordinate. Osservazione. Se A e B sono insiemi, allora vale sempre A B = B A e A B = B A; in generale A \ B B \ A e A B B A; se A ha n elementi e B ha m elementi, allora A B ha n m elementi; definiamo A := A A. Consideriamo un Esempio. Se A := {,, 3}, B := {, 7, 8}, allora A B = {,, 3, 7, 8}, A B = {}, A \ B = {, 3} =: C, A C = {(, ), (, 3), (, ), (, 3), (3, ), (3, 3)} con 3 = 6 elementi. Insiemi Numerici. Definiamo i seguenti insiemi numerici N : = {n : n è un numero naturale} = {,,, 3, 4, 5,... } = insieme dei numeri naturali, Z : = {n : n è un numero intero} = {...,,,,,,... } = insieme dei numeri interi, { } Q : = {r : r è un numero razionale} = p q : p, q Z, q = insieme dei numeri razionali, R : = { : è un numero reale} = { p, α α α α 3... : p Z, α k {,,,..., 9} k N } = insieme dei numeri reali. Esempi. R \ Q ( corso di Algebra e Geometria), =, , cioè qui abbiamo p =, α = 4, α =, α = 4, α 3 =, α 4 =, α 5 = 3. Oppure per π R \ Q vale π = }{{} 3, }{{} }{{} 4 }{{} }{{} 5 }{{} 9 }{{} }{{} 6... =p =α =α =α =α 3 =α 4 =α 5 =α 6 Proprietà dei Numeri Reali R () In R valgono per le operazioni somma + e prodotto tutte le regole dell algebra, per esempio, y, z R vale + y = y +, (y z) = ( y) z, (y + z) = y + z. Più precisamente si dice che (R, +, ) è un campo corso di Algebra e Geometria. () In R esiste un ordinamento totale <, cioè per, y R vale una ed una sola delle relazioni = y, < y oppure y <. (3) R è completo, cioè la retta reale non ha buchi. Prima di spiegare meglio la Proprietà (3) di R facciamo alcune Osservazioni. anziché y < scriviamo anche > y, y (o y ) significa < y oppure = y.

9 PROPRIETÀ DEI NUMERI REALI R 3 Usando l ordinamento in R definiamo per a, b R i seguenti insiemi detti intervalli: [a, b] : = { R : a b} = intervallo chiuso, (a, b) : = { R : a < < b} = intervallo aperto, [a, b) : = { R : a < b}, (a, b] : = { R : a < b}, (, b] : = { R : b} = intervallo chiuso, [a, + ) : = { R : a } = intervallo chiuso, (, b) : = { R : < b} = intervallo aperto, (a, + ) : = { R : a < } = intervallo aperto. (, + ) : = R. Valgono le seguenti regole: Se a b e y allora a + b + y. Se a b e > allora a b. Attenzione: Se a b e < allora a b. Se < a b allora < b a. Le Proprietà () e () valgono anche in Q, cioè anche Q è un campo ordinato. Per continuare servono i concetti di Maggioranti ed Estremo Superiore. Sia A R. (a) Se s R tale che a s per ogni a A, allora s si chiama maggiorante di A. (b) Se s R è un maggiorante di A tale che s s per ogni maggiorante s di A, allora s si chiama estremo superiore di A. Notazione: sup A := s = maggiorante più piccolo di A. (c) se s = sup A A allora s si chiama anche massimo di A. Notazione: ma A := s = elemento più grande di A. Osservazioni. Valgono le seguenti caratterizzazioni: { a s a A (cioè s è un maggiorante) s = sup A ε > a A tale che s ε < a (cioè s ε non è più un maggiorante), { a s a A s = ma A s A. Esempi. Se A = (, ], allora sup A = ma A =. Se A = (, ), allora sup A = / A e quindi ma A non esiste. Osservazione. Non tutti gli insiemi hanno maggioranti, per esempio A = N non ha maggiorante poiché non esiste s R tale che n s per ogni n N. In tal caso si scrive sup A = +. Nell ipotesi che A R abbia un maggiorante (e in tal caso ne ha infiniti), allora si dice che A è superiormente itato. Per esempio A = (, ) è superiormente itato poiché s = è un maggiorante di A. Dopo questo intermezzo torniamo alla Proprietà 3, cioè alla completezza di R. L Assioma della Completezza. R è completo, cioè ogni insieme A R superiormente itato ammette estremo superiore. In altre termini, se A ha maggioranti, allora esiste sempre il maggiorante più piccolo.

10 4. CONCETTI FONDAMENTALI Esempi. A := { R : < } è superiormente itato. Per esempio, s =, 5 è un maggiorante poiché se è tale che >, 5 > (, 5) =, 5 cioè A. Quindi la completezza di R implica che esiste s = sup A. Ora si può verificare che s =, cioè s =. Sia A = {( + n )n : n N, n } Q. Usando la formula del binomio di Newton (cfr. pagina 6) si può verificare che s = 3 è un maggiorante di A. Quindi esiste s = sup A =: e. Osservazioni. e =, / Q viene chiamato numero di Nepero. Il secondo esempio dimostra che in Q la proprietà (3) non vale, cioè Q non è completo. In parole povere questo significa che la retta razionale ha buchi, per esempio in oppure in e. Analogamente ai concetti di maggiorante ed estremo superiore possiamo introdurre i concetti di Minoranti ed Estremo Inferiore. Sia A R. (a) Se r R tale che r a per ogni a A, allora r si chiama minorante di A. (b) Se r R è un minorante di A tale che r r per ogni minorante r di A, allora r si chiama estremo inferiore di A. Notazione: inf A := r = minorante più grande di A. (c) se r = inf A A allora r si chiama anche minimo di A. Notazione: min A := r = elemento più piccolo di A. Osservazioni. Valgono le seguenti caratterizzazioni: { r = inf A r a a A (cioè r è un minorante) ε > a A tale che r + ε > a (cioè r + ε non è più un minorante), { r = min A r a a A r A. Esempi. Se A = [, ], allora inf A = min A =. Se A = (, ], allora inf A = / A quindi min A non esiste. Osservazione. Non tutti gli insiemi hanno minoranti, per esempio A = Z non ha minoranti poiché non esiste r R tale che r n per ogni n Z. In tal caso si scrive inf A =. Nell ipotesi che A R abbia un minorante (e in tal caso ne ha infiniti), allora si dice che A è inferiormente itato. Per esempio A = (, + ) è inferiormente itato poiché s = è un minorante di A. Se A è superiormente e anche inferiormente itato, allora si chiama itato. Per esempio A = (, ] [3, 5) è itato mentre N non lo è. Funzioni Definizione.. Se A, B sono insiemi, allora una funzione da A a B è una legge (spesso in forma di una formula) che ad ogni a A associa un unico b B. In breve si scrive f : A B, f(a) = b. Inoltre si chiama A il dominio di f, B il codominio di f, f(a) := {f(a) : a A} l immagine di f, G(f) := {( a, f(a) ) : a A } A B il grafico di f.

11 FATTORIALE E COEFFICIENTI BINOMIALI 5 Esempio. Il modulo: Per R definiamo il suo modulo (oppure valore assoluto) come { se, := se <. Per esempio 3 = 3, 4 = ( 4) = 4. Quindi f() :=, R definisce una funzione f : R R con immagine f(r) = [, + ). Il grafico G(f) R è riportato nella Figura Figura. Il grafico del modulo. Osservazioni. Per il modulo valgono le seguente relazioni importanti: Se, y, l R, allora, = =, < l l < < l, = e =, y = y e y = y, + y + y (disuguaglianza triangolare), y y. L importanza del modulo si basa in particolare sulla seguente Osservazione. Per ogni, y R, y = distanza tra e y sulla retta reale y R Figura. Modulo e distanze sulla retta reale Quindi il modulo ci permette di misurare distanze. Fattoriale e Coefficienti Binomiali Definizione.. Per n N definiamo il suo fattoriale { se n =, n! :=... n se n >. Per esempio 4! = 3 4 = 4. Osservazioni. n! = numero di permutazioni di n oggetti distinti. Per esempio per tre oggetti a, b, c esistono 3! = 6 permutazioni: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Se n allora vale n! = n (n )!. Definizione.3. Per n, k N con k n definiamo il coefficiente binomiale ( ) n n! := k k! (n k)! Per esempio ( ) 4 = 4!! (4 )! = 4 = 6.

12 6. CONCETTI FONDAMENTALI Osservazioni. Per n, k N con k n vale ( n k) N, cioè i coefficienti binomiali sono sempre numeri naturali. ( n k) = numero di sottoinsiemi di {,, 3,..., n} di k elementi. Per esempio l insieme {,, 3,..., 89, 9} ha ( ) 9 6 = sottoinsiemi con 6 elementi. Quindi la probabilita di fare 6 al SuperEnalotto giocando una scheda è = ( ) n k = n (n ) (n )... (n k+) 3... (k ) k, per esempio ( ) 4 = 4 3 = = 6. Osservazioni. Per i coefficienti binomiali valgono le seguenti proprietà. ( ( n ) = n n) = per ogni n N. ( ) ( n k = n ) ( k + n ) k. ( ) ( n k = n n k). Le prime due regole si possono utilizzare per calcolare coefficienti binomiali con il triangolo di Tartaglia. La terza regola stabilisce la simmetria di questo triangolo. ( n ) k k= = = =3 =4 n= = = + = =3 3 3 = per esempio ( ) + ( ) = ( 3 ). Formula del Binomio di Newton Introduciamo dapprima il concetto di sommatoria: Se m, n N con m n e a m, a m+,..., a n R allora poniamo per la loro somma n a k := a m + a m a n. Per esempio n k= k=m k = n. Per le sommatorie valgono le seguente regole n n n a k = a i =... a l. k=m n a k = k=m r i=m n+ n a k = k=m n a k = k=m n a k + k=m k=m+ a k. l=m n r a k per ogni r R. k=m l a k + k=m n b k = k=m n k=l+ a k per ogni m l < n. n (a k + b k ). k=m Se inoltre definiamo a := per ogni a R allora vale la Proposizione.4 (Formula del Binomio di Newton). Se a, b R e n N, allora n ( ) n (a + b) n = a k b n k. k k=

13 PRINCIPIO DI INDUZIONE 7 Per esempio per n = 4 troviamo i coefficienti binomiali necessari nella 4. riga del triangolo di Tartaglia e quindi risulta: (a + b) 4 = a b a b a b + 4 a 3 b + a 4 b = b ab a b + 4 a 3 b + a 4. Principio di Induzione Passiamo a un principio che è collegato ai numeri naturali. Dato un numero fisso n N supponiamo che per ogni n N con n n sia data un affermazione A(n). Problema. Verificare che A(n) sia vera per ogni n n, cioè verificare un numero infinito di affermazioni. Esempio. Per n =: n sia A(n) l affermazione che vale la formula n = n (n + ). Per esempio A(3): = 3 (3+) = 6 che è vera. Abbiamo quindi dato un numero infinito di formule da verificare e ovviamente non si può procedere verificandole una per una. Per risolvere questo problema useremo il seguente Teorema.5 (Principio di Induzione). Se (base dell induzione) A(n ) è vera, e (passo induttivo) l ipotesi A(n) vera } {{ } ipotesi dell induzione implica che anche A(n + ) è vera, allora A(n) è vera per ogni n n. Esempio. Verifichiamo per induzione che n = n (n+) per ogni n. Base: Dobbiamo verificare A(), cioè che vale = (+) che è vero. Passo induttivo: Sotto l ipotesi che A(n) sia vera per un certo n n (non per tutti n, quello infatti è da verificare!) dobbiamo verificare che anche l affermazione successiva A(n + ) vale. Allora per ipotesi vale quindi risulta n = n (n + ) n (n + ) ( n) + (n + ) = + (n + ) (n + ) (n + ) = che è esattamente A(n + ), cioè la formula che si ottiene sostituendo in A(n) il numero n con (n + ). In un certo senso il principio di induzione formalizza l effetto domino: La base fa cadere il primo pezzo mentre il passo induttivo afferma che con un pezzo cade anche sempre quello successivo. Quindi se facciamo cadere il primo pezzo alla fine cadranno tutti i pezzi. Consideriamo altre due esempi.

14 8. CONCETTI FONDAMENTALI Esempio (Disuguaglianza di Bernoulli). Se, allora Dimostrazione. Per induzione. ( + ) n + n per ogni n N. Base: Per n = l affermazione diventa ( + ) = + che è vera. Passo induttivo: Supponiamo che per un certo n N vale ( ) ( + ) n + n per ogni n N. Sotto questo ipotesi dobbiamo verificare la disuguaglianza che si ottiene sostituendo n con n +. Perciò moltiplichiamo ( ) con + ( + ) n+ = ( + ) ( + ) n ( + ) ( + n ) = + (n + ) + n } {{ } + (n + ) che era da verificare. Esempio (Progressione Geometrica). Sia q R, allora n k= q k = qn+ q per ogni n N. Dimostrazione. Per induzione. Base: Per n = l affermazione diventa q k = q = q+ q k= Passo induttivo: Supponiamo che per un certo n N vale che è vera. (#) n k= q k = qn+. q Sotto questo ipotesi dobbiamo verificare la formula che si ottiene sostituendo n con n +. Perciò sommiamo su entrambi i lati di (#) la quantità q n+ e otteniamo n+ q k = k= n k= q k + q n+ = qn+ q + q n+ = qn+ + q n+ q n+ q = qn+ q che era da verificare. Esercizio. Verificare che per ogni n N, n, il numero n + n è pari. Concludiamo con la seguente domanda.

15 Dov è l errore? Tutti i cavalli sono bianchi. PRINCIPIO DI INDUZIONE 9 Dimostrazione. Sia A(n) l affermazione tutti i cavalli in un insieme di n cavalli hanno lo stesso colore. Base: Per n = l affermazione è ovviamente vera. Passo induttivo: Supponendo che in un insieme di n cavalli tutti hanno sempre lo stesso colore dobbiamo verificare che anche in un insieme di n + cavalli tutti hanno lo stesso colore. Allora togliendo dall insieme di n + cavalli un cavallo rimangono n cavalli che per ipotesi hanno lo stesso colore. Rimettiamo il cavallo tolto dall insieme e togliamo un altro. Di nuovo rimane un insieme con n cavalli che per ipotesi hanno lo stesso colore. Quindi per transitività tutti i n + cavalli hanno lo stesso colore. Inoltre l altro ieri ho visto un cavallo bianco in televisione e quindi tutti cavalli sono bianchi.

16 CAPITOLO Successioni Numeriche Lo scopo di questo capitolo è di studiare il comportamento di un espressione dipendente da un parametro naturale n per n sempre più grande, cioe per n tendente a +. Iniziamo con la definizione rigorosa di una successione. Definizione.. Una successione numerica è una funzione a : N R, cioè una regola che fa corrispondere ad ogni n N un unico a(n) R. Generalmente si usa la notazione a n := a(n). Inoltre si rappresenta una successione elencando tutti i valori assunti in ordine crescente oppure attraverso una formula che definisce gli elementi a n. Esempio. a : N R, a(n) := n+ definisce una successione che si può rappresentare come (a n ) n N = ( ( ),, 3, 4,...) oppure (a n ) n N = n + n N Può accadere che una formula che definisce gli elementi a n di una successione non ha senso per alcuni valori di n, cioè il dominio di a non è tutto N = {,,, 3, 4,...} ma soltanto un sottoinsieme della forma {n, n +, n +, n + 3,...}. Comunque anche in questo caso si parla di successioni. Esempio. La formula a n := n (n 3) definisce una successione a : {4, 5, 6, 7,...} R (il problema è che qui il denominatore si annulla per n = e n = 3 e quindi non sono definiti gli elementi a e a 3 ). In questo caso si scrive ( ) (a n ) n 4 = n (n 3) Altri esempi di successioni sono (, 3, 5, 7,, 3,...) (successione dei numeri primi), (( + ) n ) n n, (q n ) n N = (q, q, q, q 3,...) per un q R fisso (successione geometrica). n 4 Convergenza, Divergenza e Irregolarità per Successioni Come già accennato sopra vogliamo studiare il seguente Problema. Studiare il comportamento degli elementi a n di una successione (a n ) n N per n sempre più grande. Consideriamo alcuni Esempi. Per la successione (a n ) n N = ( ) n n = (,, 3, 4, 5,...) gli elementi n tendono a l = se n diventa sempre più grande. Per la successione (a n ) n N = (n) n N = (,,, 3, 4, 5,...) n N gli elementi superano qualsiasi valore fissato se n diventa sempre più grande. Per la successione (a n ) n N = (( ) n ) n N = (+,, +,, +,,...) n N gli elementi oscillano tra i valori e. Nelle seguenti definizioni formalizziamo questi tre tipi di comportamenti per le successioni.

17 CONVERGENZA, DIVERGENZA E IRREGOLARITÀ PER SUCCESSIONI Definizione. (Successione convergente). (i) Si dice che la successione (a n ) n N è convergente al ite l R se per ogni ε > esiste n N tale che (ii) Se In questo caso si scrive l a n < ε per ogni n n. a n = l oppure a n l per n + n + a n =, allora (a n ) n N si chiama successione infinitesima. n + Esempio. Vogliamo verificare che n + n =. Perciò è da verificare che per ε > esiste n tale che per ogni n n segue che n = n < ε n > ε. Quindi, se scegliamo n N tale che n > ε allora n < ε per ogni n n, cioè n + n =, in altre parole ( ) n n è infinitesima. Proposizione.3 (Unicità del ite). Il ite di una successione (a n ) n N, se esiste, è unico. Dimostrazione. Per assurdo supponiamo che esiste una successione (a n ) n N tale che a n = l e a n = l n + n + con l, l R e l l. Allora ε := l l 4 > e quindi esistono n, n N tale che l a n < ε per ogni n n e l a n < ε per ogni n n Usando la disuguaglianza triangolare risulta per N := ma{n, n } l l = (l a N ) + (a N l ) l a N + a N l < ε + ε = ε = l l. Dividendo per l l > segue <. Quindi il ite è unico. Esercizio. Utilizzando la definizione di convergenza verificare che n + n n+5 =. Definizione.4 (Successione divergente). Si dice che la successione (a n ) n N diverge a +, se per ogni M > esiste n N tale che a n > M per ogni n n e in questo caso si scrive a n = + oppure a n + per n + ; n + diverge a, se per ogni M < esiste n N tale che a n < M per ogni n n e in questo caso si scrive a n = oppure a n per n +. n + diverge se diverge a + oppure. Per esempio n = +. Se (a n) n N ammette ite finito (cioè se converge) oppure n + infinito (cioè se diverge), allora si dice regolare. Rimane quindi la classe delle successioni che non ammettono ite. Per i tre principali modi di dimostrazioni cfr. pagina 5.

18 . SUCCESSIONI NUMERICHE Definizione.5 (Successione irregolare). Se la successione (a n ) n N non è convergente né divergente allora si dice irregolare (oppure oscillante). Per esempio la successione (( ) n ) n N è irregolare. Più in generale consideriamo il seguente Esempio (Successione geometrica). Per q R fisso definiamo a n successione geometrica (a n ) n N (i) diverge a + se q >, (ii) è costante (cioè a n = a per ogni n N) se q = e quindi (iii) è infinitesima se q <, (iv) è irregolare se q. := q n. Allora la a n = a =, n + Dimostrazione. Verifichiamo soltanto (i). Per ipotesi q > e quindi q >. Per la disuguaglianza di Bernoulli segue q n = ( + (q ) ) n + n (q ) per ogni n N. Ora per M > scegliamo n N con n > M q. Allora risulta che q n + n (q ) + n (q ) > + M q (q ) = M per ogni n n. Quindi n + qn = + per ogni q >. Consideriamo un altra successione importante. Esempio (Successione armonica). Per α R fisso definiamo a n := n α. Allora la successione armonica (a n ) n (i) diverge a + se α >, (ii) è costante (cioè a n = a per ogni n N) se α = e quindi a n = a =, n + (iii) è infinitesima se α <, Il prossimo risultato dà una condizione necessaria per la convergenza di una successione. Proposizione.6. Una successione convergente (a n ) n N è itata, cioè esistono m, M R tale che m a n M per ogni n N. Dimostrazione. Se l := a n allora per ε = esiste n N tale che l a n <, n + cioè l < a n < l +, per ogni n n. Quindi per m := min{l, a, a,..., a n } e M := ma{l +, a, a,..., a n } segue m a n M per ogni n N, cioè (a n ) n N è itata. Il contrario della proposizione precedente non vale, cioè una successione itata non deve essere convergente, basta considerare la successione (( ) n ) n N che è itata ma non converge. Cerchiamo ora modi per semplificare lo studio della convergenza di una successione senza dover verificare direttamente la definizione. Regole per il Calcolo dei Limiti Problema. Data una successione complicata (a n ) n N, studiare la sua convergenza. Una soluzione parziale per questo problema fornisce il seguente risultato Proposizione.7 (Regole per il calcolo dei iti). Siano (a n ) n N, (b n ) n N due successioni convergenti con a n l e b n l per n +. Allora per n + (i) a n ± b n l ± l ; (ii) a n b n l l ;

19 (iii) an b n l l se l ; (iv) (a n ) bn l l se l > ; (v) a n l. REGOLE PER IL CALCOLO DEI LIMITI 3 Dimostrazione. Verifichiamo solo (ii) cioè che a n b n l l per n + : Visto che (a n ) n N converge, per la proposizione precedente esiste M > tale che a n M per ogni n N. Inoltre poiché a n l e b n l, per ogni ε > esiste n N tale che l a n < ε/ M + l Quindi con la disuguaglianza triangolare segue e l b n < ε/ M + l l l a n b n = = { }} { (l l a n l ) + (a n l a n b n ) l l a n l + a n l a n b n cioè a n b n l l per n +. Esempi. = l a n l + a n l b n ε/ M + l l + M = ε/ l M + l } {{ } + ε/ ε/ + ε/ = ε n n, Calcolare, se esiste, il seguente ite n + 7n n + 3 3n + n. ε/ M + l M M + l } {{ } n n. L espressione rappresenta il rapporto di due successioni ma scritto così non si può ancora utilizzare la regola per an b n poiché sia il numeratore sia il denominatore divergono. Comunque basta mettere in evidenza nel numeratore e nel denominatore la quantità che cresce più rapidamente, in questo caso n. Utilizzando le regole per somma, differenza, prodotto e rapporto otteniamo 7n n n + 3 3n + n = Calcolare, se esiste, il ite n = 7 { }} { (7 n + 3 n ) n ( 3 + n n ) } {{ } 3+ = 3 n + 3 n. 7 3 Non si può applicare direttamente la regola per le differenze poiché i due termini divergono entrambi. Per procedere si sfrutta la formula (a b) (a + b) = a b : n + 3 n = ( n + 3 n ) n n n n = n + 3 n n n = Qui l ultimo passaggio viene giustificato dalla seguente 3 3 n n + =

20 4. SUCCESSIONI NUMERICHE Osservazione. Le regole per il calcolo dei iti si possono estendere alle successioni regolari se al ite si ottiene una delle seguenti forme determinate: Per ogni a R definiamo ± + a := ± ± a := { ± se a > se a < a ± := (± ) + (± ) := ± (± ) (± ) := + (± ) ( ) := { { q + + se q > := q se q > := q := se q > se < q < + se < q < Per esempio, se a n 3 e b n + allora a n b n 3 (+ ) = oppure a n bn 3 + =. a Osservazione. La forma determinata ± = si può generalizzare: Sia (a n) n N itata, cioè esistono m, M R tale che m a n M per ogni n N. Allora an b n per ogni successione divergente (b n ) n N e a n c n per ogni successione infinitesima (c n ) n N. Quindi possiamo definire altre forme determinate itata ± Esempi concreti sono dati da = e itata =. sin(n) n e cos(n ) ( 3) n. in quanto sin(), cos() per ogni R, n + e ( 3) n per n +. Osservazione. Con le forme determinate abbiamo esteso le operazioni algebriche in alcuni casi per gli elementi dei numeri reali estesi R := R {, + }. Non si possono però definire tutte le operazioni tra elementi in R, per esempio le seguenti operazioni rappresentano forme indeterminate: (± ) (± ) (± ) ± a per ogni a R ± ± (± ) Quindi se per la composizione di due successioni (a n ) n N e (b n ) n N al ite otteniamo una forma indeterminata, allora non si può dire nulla sul comportamento della composizione avendo soltanto informazioni sulla convergenza o divergenza di (a n ) n N e (b n ) n N. Esempio. Verifichiamo che (+ ) (+ ) è indeterminata, cioè sapendo soltanto che a n + e b n + non si può dire nulla sul comportamento di a n b n per n +. Basta considerare b n := n e a n := n a n b n =, cioè la differenza converge; a n := n a n b n = n n = n ( n ) + = +, cioè la differenza diverge; a n := n + ( ) n a n b n = ( ) n, cioè la differenza è irregolare. Le regole per il calcolo dei iti manifestano che il concetto di ite è compatibile con le operazioni algebriche.

21 Esercizio. Calcolare il ite (Risultato l = 5 5 ). LIMITI E ORDINAMENTO 5 ( ) n 5 5 n + n. Continuiamo studiando il comportamento tra Limiti e Ordinamento Teorema. Se a n l e b n l per n + con l, l R e a n b n per ogni n N, allora l l (Teorema del Confronto); se inoltre a n c n b n per ogni n N e l = l, allora anche c n l per n + (Teorema dei Carabinieri). In particolare il Teorema dei Carabinieri è molto utile per studiare successioni complicate (c n ) n N incastrandole tra successioni (a n ) n N, (b n ) n N più semplici (cioè tra i due carabinieri). Esempi. Vogliamo studiare la convergenza della successione (c n ) n N con ( ) n c n := 3 + cos(n. ) Allora, cos(n ) = cos(n ) 3 + = 4 ( ) n ( ) n ( ) n cos(n } {{ } per n + ) } {{ } =:a n =:b n e di conseguenza Verifichiamo che c n =. n + n + n a = per ogni a >. Consideriamo prima il caso a > e poniamo d n := n a > cioè n a = + d n per ogni n N. Per la disuguaglianza di Bernoulli segue ( + d n ) n + n d } {{ } n =a a n } {{ } d n }{{} per n +. n Di conseguenza d n e quindi a = + d n + = per n +. Se < a < poniamo ã := a >. Da sopra segue quindi n ã n a = n ã = per n +. Osservazione. Il concetto di ite per una successione (a n ) n N è collegato al comportamento degli elementi a n per n sempre più grande. Quindi i primi elementi non influiscono sulla esistenza oppure sul valore del ite. Nel seguito diremo che una proprietà per una successione vale definitivamente, se esiste un n tale che tale proprietà vale per n > n. Per esempio la successione (a n ) n N = (n ) n N è positiva definitivamente poiché a n > per ogni n > =: n. Invece (( ) n ) n N non è positiva definitivamente. Osservazioni. Dal teorema del confronto segue che per una successione (a n ) n N convergente al ite l e con a n [α, β] definitivamente vale l [α, β]. In particolare segue il Teorema della permanenza del segno: Se (a n ) n N è positiva definitivamente e a n = l allora l. n +

22 6. SUCCESSIONI NUMERICHE Non vale l osservazione precedente per intervalli aperti oppure disuguaglianze strette. Per esempio, se a n > per ogni n N e n = l allora NON segue l >!! n + Come controesempio basta considerare a n := } n {{ + }{{} = l } per n +. > n N Abbiamo detto che a anche per a è una forma indeterminata. Tuttavia si potrebbe pensare che sia invece determinata con il valore. Il problema è che non si può decidere il segno dell infinito. Si possono seguire strade: Si introduce un terzo infinito senza segno e si pone a := per ogni a, oppure si considerano soltanto gli infiniti e + (come faremo nel seguito) e di conseguenza a diventa una forma indeterminata come si vede dal seguente esempio: a n := ( )n n ma a n = ( ) n n è oscillante. Il problema posto nell ultima osservazione si può risolvere parzialmente introducendoinfinitesimi con segno. Definizione.8. Sia (a n ) n N una successione infinitesima, cioè a n per n +. Se a n definitivamente, allora scriviamo a n + (oppure a n = + ), n + a n definitivamente, allora scriviamo a n (oppure a n = ). n + Così otteniamo altre due forme determinate a ± : = ± se a >, a : = se a <. ± Inoltre abbiamo a ± : = a ± se a >, ± : = se a <. Con queste definizioni le regole per il calcolo dei iti restano validi. Per esempio a n, b n an b n =, a n, b n + an b n + =. Problema. Per studiare la convergenza di una successione abbiamo finora avuto bisogno di avere almeno un candidato per il suo ite. Per esempio, come vedremo tra poco la successione (a n ) n N = ( ( + n )n) n N converge ma ciò non si può dimostrare usando la definizione oppure le regole per il calcolo dei iti. Per risolvere questo problema cerchiamo quindi criteri che implicano la convergenza senza fare riferimento al ite. Prima ci serve una Definizione.9. Una successione (a n ) n N si dice crescente, se a n+ a n per ogni n N, decrescente, se a n+ a n per ogni n N, monotona, se è crescente oppure decrescente. Il seguente risultato è molto importante. Teorema. (Regolarità delle successione monotone). Se (a n ) n N è monotona, allora ammette ite. Questo ite è finito, cioè (a n ) n N converge, se e solo se (a n ) n N è itata. Inoltre vale a n = n + { sup{a n : n N} inf{a n : n N} se (a n ) n N è crescente, se (a n ) n N è decrescente.

23 LIMITI E ORDINAMENTO 7 Dimostrazione. Verifichiamo soltanto che una successione crescente e itata converge. Per la completezza di R esiste l := sup{a n : n N} R. Sia ε >. Allora usando la caratterizzazione dell estremo superiore segue che a n l l a n n N e a n tale che l ε < a n l a n < ε. Usando inoltre la crescenza di (a n ) n N otteniamo e quindi l a n < ε per ogni n n, cioè l a n l a n < ε per ogni n n a n = l. n + Per dimostrare l importanza di questo risultato consideriamo due applicazioni. Inoltre sarà utilizzato per dimostrare il Teorema degli Zeri, cfr. pagina 4. Il Metodo di Erone. Per a >, k N con k definiamo la successione ( n ) n N come : = n+ : = k ( (k ) n + a n k In questo caso non è data una formula per calcolare direttamente n per un valore n N, ma una regola per calcolare il termine successivo n+ della successione conoscendo quello precedente n. Questo modo di definire una successione si dice per ricorrenza ed è legata al principio di induzione. Nel seguente grafico è riportato come viene costruito n+ da n : k -- a ) --a n+ n Figura 3. Il metodo di Erone. si traccia in = n la retta tangente al grafico della funzione f() = k a che poi interseca l asse- in n+ (come verificheremo a pagina 5). In particolare si vede che ( n ) n N è definitivamente decrescente (per n ), e itata ( n per ogni n N). Quindi per il teorema precedente esiste r [, + ) tale che n =: r n + converge. Per calcolare r notiamo che anche il calcolo dei iti: Per n + vale r n+ = ( k (k ) n quindi }{{} r r = ( k (k )r + a ) r k n+ = r e poi usiamo le regole per n + + a ) ( k } n k (k )r + a ) r {{ } k, r k r k = a

24 8. SUCCESSIONI NUMERICHE Cioè abbiamo costruito r =: k a = radice k-esima di a. Interesse Composte e il Numero e di Nepero. Se un capitale di viene investito a % di interesse annuale, allora dopo un anno il capitale è di ( a n := + n) n, se l interesse viene pagato ogni n-esimo dell anno. Quindi ci si può chiedere che cosa succede se gli interessi vengono pagati dopo periodi sempre più brevi: per esempio dopo ogni mese: n = a =, , ogni giorno: n = 365 a 365 =, , ogni ora: n = 876 a 876 =, , ogni secondo: n = 3536 a 3536 =, etc. Visto che per n crescente si accumulano sempre più interessi composti, la successione (a n ) n N = ( ( + n )n) n N è crescente. Quindi (a n) n N è crescente, e itata in quanto a n [, 3] per ogni n N (usare la formula del binomio di Newton). Quindi per il teorema precedente sulla convergenza delle successioni monotone (a n ) n N converge e si pone ( e := + n = numero di Nepero. n + n) Per il teorema del confronto vale e [, 3]. Si può verificare che e / Q e e =, Confronto tra Successioni a Definizione.. Se per due successioni si ha n n + bn =, allora si dice che (a n ) n N e (b n ) n N sono asintotiche e si scrive a n b n per n +. Osservazioni. Se a n b n per n +, allora (a n ) n N e (b n ) n N hanno lo stesso comportamento asintotico, cioè (a n ) n N converge (b n ) n N converge e in tal caso a n = b n; n + n + (a n ) n N diverge (b n ) n N diverge e in tal caso a n = b n; n + n + (a n ) n N è irregolare (b n ) n N è irregolare. è una relazione di equivalenza sull insieme delle successioni, cioè a n a n per n + (riflessivita), a n b n b n a n per n + (simmetria), a n b n e b n c n a n c n per n + (transitività). Il seguente principio è spesso utile per semplificare il calcolo dei iti. Teorema. (Principio di Sostituzione). Se a n a n, b n b n e c n c n per n +, allora a n b n c n In particolare a n b n a n b n e an b n a n b n c n a n b n per n +. per n +. Quindi in prodotti e rapporti si possono sostituire successioni con altre successioni asintotiche senza cambiare il comportamento asintotico, in particolare senza cambiare il ite se esiste.

25 Esempi. CONFRONTO TRA SUCCESSIONI 9 n 3 5n 3n + n 3 per n + poiché n 3 5n 3n + n 3 = 5 n 3 n + n 3 + = per n +. n + 5 n poiché n+5 n = + 5 n per n +. Quindi per il principio di sostituzione segue (n + 5) 3 n 3 e n 3 5n 3n + (n + 5) 3 n3 n 3 = = n 3 5n 3n + n + (n + 5) 3. È doveroso fare la seguente Osservazione. Il principio di sostituzione!!! NON!!! vale per somme, differenze o potenze, cioè se a n a n e b n b n allora a n + b n a n + b n per n +, a n b n a n b n per n +, (a n ) bn (a n) b n per n +, Controesempi. (per la somma) a n := n + n =: a n e b n := n n =: b n ma a n + b n = (n + ) n = e a n + b n = n n = non sono asintotiche in quanto ammettono iti diversi. (per la potenza) a n := + n =: a n e b n := n n =: b n ma (a n ) bn = ( + n )n e (a n) b n = n = non sono asintotiche sempre poiché ammettono iti diversi. Concludiamo questo capitolo con un criterio che è utile per studiare iti che coinvolgono radici n-esime. Proposizione.3. Se (a n ) n N è una successione tale che a n > definitivamente e =: q esiste, allora segue che anche n + a n+ a n n + Esempio. Sia a n = n. Allora a n+ a n = n+ n Esercizio. Calcolare, se esiste, n + n + n an = q. = + n e quindi n n =. n n! n. (Suggerimento: n = n n n )

26 CAPITOLO Serie numeriche Consideriamo il seguente Problema. Sommare tutti gli elementi di una successione (a n ) n N, cioè dare senso alla somma infinita a + a + a + a = L idea per risolvere questo problema è di considerare prima le somme parziali (oppure ridotte) n-esime + k= a k. n s n := a + a + a a n = a k, k= n N e poi mandare n +. Convergenza e prime Proprietà Definizione.. Diremo che la serie numerica + a k k= converge alla somma s R, se s n = s e in questo caso scriveremo + a k = s; n + k= diverge a ±, se s n = ± e in questo caso scriveremo + a k = ± ; n + k= è irregolare (oppure oscillante), se (s n ) n N è irregolare. Quindi studiare una serie + a k significa studiare la successione delle somme parziali (s n ) n N. Esempi. k= Serie geometrica. Se q R allora + q k = + q + q + q 3 + q 4 q se q <, +... = + se q, k= è irregolare se q. Dimostrazione. caso q = : Se q = allora q k = per ogni k N e quindi s n = n = n +. caso q : In questo caso le somme parziali valgono (cfr. pagina 8) s n = q + q + q q n = qn+ q = q q q qn. La tesi ora segue dal comportamento della successione geometrica, cfr. pagina

27 s s s s Serie armonica. + k= CONVERGENZA E PRIME PROPRIETÀ k = = +. Idea della dimostrazione. + k = + ( ) ( ) 8 k= } {{ } } {{ } 4 = 4 8 = = +. ( ) } {{ } 8 6 = Osservazione. Useremo la divergenza della serie armonica per dimostrare che (teoricamente) si può costruire una scala autoportante che superare qualsiasi distanza. Perciò consideriamo gradini della lunghezza l = e del peso che sistemiamo uno sul altro (senza usare colle o fissaggi) in maniera di superare una distanza massima. Usando solo gradini è molto semplice: dobbiamo sistemare il gradino sotto tale che lo spigolo capita esattamente sotto il (bari)centro del gradino sopra: l= s = baricentro Figura 4. Scala autoportante: gradini. Continuiamo e sistemiamo un terzo gradino sotto i primi due: Se indica lo sbalzo del secondo al terzo gradino, dalla legge della leva (cfr. Figura 5) s baricentro ± gradino: peso baricentro ± gradino: peso = spigolo ± gradino spigolo 3 ± gradino Figura 5. Scala autoportante: 3 gradini. segue ( ) = =. Continuando in questa maniera arriviamo al punto in cui dobbiamo sistemare il (n + )-esimo gradino sotto quelli n precedenti. Come prima dobbiamo piazzare il gradino sottostante in maniera che lo spigolo capita esattamente sotto il baricentro del corpo fatto dai n = (n ) + gradini sovrastanti. Visto che lo spigolo del n-esimo gradino capita esattamente sotto il baricentro del corpo fatto dai primi (n ) gradini (e quindi dal peso n ) e la distanza tra lo spigolo del n-esimo gradino e il suo baricentro è sempre per la legge della leva segue (cfr. Figura 6) sopra non si può aggiungere niente senza che crollasse tutto!

28 s s. SERIE NUMERICHE baricentro n ± gradino: peso baricentro primi (n-) gradini: peso n- = spigolo n ± gradino -- spigolo (n+) ± gradino Figura 6. Scala autoportante: n + gradini. ( ) = (n ) = n. Così con n + gradini abbiamo costruita una scala autoportante che supera la distanza s n := n + per n ± gradino ± gradino 3 ± gradino 4 ± gradino 5 ± gradino 6 ± gradino / /3 /4 /5 (n-) ± grad. n ± gradino /(n-) (n+) ± grad. /n ½ s n Figura 7. Scala autoportante che supera (teoricamente) qualsiasi distanza. Comunque, con. gradini di lunghezza l = m in questa maniera si superano appena 9, m e per superare m servono addirittura 8 gradini! Serie di Mengoli = k (k + ) =. Dimostrazione. Per induzione si può dimostrare (Esercizio!) che n s n = k (k + ) = n + per n +. k= k= Solo in casi rari è possibile trovare una formula esplicita semplice per le somme parziali di una serie. Di conseguenza si pone il seguente In alternativa si può usare il seguente trucco: s n = n k= = { }} { (k + ) k k (k + ) = n ( k ) = k + k= } {{ } =somma telescopica n k= n+ k k = n + k=

29 SERIE A TERMINI POSITIVI 3 Problema. Come si può studiare la convergenza di una serie + a k senza conoscere una formula semplice per le somme parziali s k= n? Evidenziamo che così non chiediamo più di calcolare la somma della serie ma soltanto di verificare che la somma esiste e sia finita. Iniziamo con la seguente Proposizione. (Condizione necessaria). Se + a k converge, allora a k =. k + Dimostrazione. Sia s := + a k, cioè s = quindi k= (s n s n ) = s s =. Così risulta n + k= s n. Allora anche n + s n = s e n + s n s n = (a + a + a a n + a n ) (a + a + a a n ) = a n per n +. Evidentemente questa condizione è soltanto necessaria ma non sufficiente per la convergenza come si vede dalla serie armonica. Come vedremo nel seguente paragrafo l ordine in R ci aiuta a risolvere il problema posto sopra. Serie a Termini Positivi Se a k per ogni k N, allora s n+ = s n + a n+ s n cioè (s n ) n N è crescente. Quindi possiamo usare il teorema sulla convergenza delle successioni monotone (cfr. pagina 6) per studiare il comportamento della serie + a k. In questa maniera otteniamo k= Teorema.3. Se a k per ogni k N (basta anche a k definitivamente), allora { + converge se e solo se (s n ) n N è itata, la serie a k diverge a + se e solo se (s n ) n N non è itata. k= Quindi per una serie a termini positivi basta verificare la itatezza della successione delle somme parziali per ottenere convergenza. Inoltre risulta che una serie a termini positivi non può essere irregolare. Esempio. Consideriamo la serie a termini positivi + k= k! = serie esponenziale Per verificare la convergenza osserviamo che per k vale k! = } 3 {{... k} k... = k k! k = ( ) k. Questa relazione vale però anche per k = e k = e quindi risulta che n n s n = k! ( k ) + ( k ) = = 4 per ogni n N. k= k= k= Quindi (s n ) n N è itata e di conseguenza s := + confronto segue che s 4. k= Osservazione. In seguito dimostreremo che s = e, cioè + k= k! = e. k! converge. Inoltre dal teorema del

30 4. SERIE NUMERICHE Nell esempio precedente per dimostrare la convergenza della serie esponenziale l abbiamo confrontata con la serie geometrica con q =. Nel seguente risultato generalizziamo questa idea e consideriamo serie qualsiasi. Proposizione.4 (Criterio del confronto). Sia a k b k definitivamente. Allora oppure + b k k= } {{ } maggiorante + a k k= } {{ } minorante Esempio. Consideriamo la serie divergenza della serie armonica converge diverge + k= + k= + a k k= } {{ } minorante + b k k= } {{ } maggiorante k. Visto che k k + k la divergenza di k= Del criterio precedente esiste anche una versione asintotica. converge diverge k. per ogni k segue dalla Proposizione.5 (Criterio del confronto, versione asintotica). Sia a k e b k > definitivamente tali che esista a k =: l R. k + b k Allora oppure + k= + k= b k converge a k diverge + k= + k= a k converge b k diverge Se inoltre l (in particolare se a k b k per k + ), allora valgono anche le implicazioni opposte, cioè + a k converge + b k converge oppure k= + k= a k diverge Esempio. Consideriamo la serie la serie di Mengoli k k (k+) + k= + k= k (k+). Allora = k (k + ) k = + k k= + k= b k diverge k. Per studiare la convergenza confrontiamola con = l per k +. Quindi, visto che la serie di Mengoli converge, converge anche la serie + k= k.

31 SERIE A TERMINI POSITIVI 5 Osservazione. Usando metodi più sofisticati si può dimostrare che + k= k = π 6 Problema. Data una serie, trovare una serie minorante divergente oppure una serie maggiorante convergente per applicare il Criterio del Confronto. Una possibilità per affrontare questo problema è di usare come seconda serie la serie geometrica + q k per q >. Sfruttando questa idea si possono dimostrare i seguenti due criteri. k= Proposizione.6 (Criterio del Radice). Sia a k definitivamente. Se esiste q := ak, allora la serie + k + k a k k= converge se q <, diverge se q >, non si può concludere nulla sul comportamento della serie se q =. Esempio. Sia a k := ak per a > fisso. Allora k k k ak = a = q < per k + k e quindi la serie + a k converge. k= Proposizione.7 (Criterio della Rapporto). Sia a k > definitivamente. Se esiste a q := k+ k + a k, allora la serie + a k k= converge se q <, diverge se q >, non si può concludere nulla sul comportamento della serie se q =. Esempio (Serie Esponenziale). Sia a k := ak k! per a > fisso. Allora a k+ a k = e quindi la serie + a k+ (k+)! a k k! k= = ak+ k! (k + )! a } {{ } k = a = q < per k + k + =k! (k+) a k k! converge. Concludiamo questa sezione con un importante Esempio (Serie Armonica Generalizzata). Sia a k := k per α R fisso. Allora sappiamo α per il criterio del confronto che la serie + a k k= diverge per α = diverge per ogni α, converge per α = converge per ogni α dove le implicazioni seguono dal criterio del confronto: α k k α α k k α della serie armonica generalizzata. cioè cioè + k= + k= k k è un minorante divergente, è un maggiorante convergente

32 6. SERIE NUMERICHE Mancano però i parametri α (, ). Quindi si pone la domanda come si comporta la serie armonica generalizzata per questi parametri. Come vedremo in seguito (cfr. pagina 6) vale la seguente. Proposizione.8. + k= k α converge α > Serie a Termini di Segno Variabili Abbiamo visto che la serie armonica diverge: + k= k = = +. Cioè facendo un numero sufficientemente grande di passi di lunghezza k supera qualsiasi ite. in avanti si ! + 3 Figura 8. Divergenza della serie armonica Problema. Che cosa succede se dopo ogni passo invertiamo direzione o, in termini matematici, se i termini cambiamo segno? Cioè come si comporta la Serie di Leibniz + k= ( ) k k = ±...? Per ottenere una idea tracciamo un grafico simile a quello precedente: : : : Figura 9. Convergenza della serie di Leibniz.

33 SERIE A TERMINI DI SEGNO VARIABILI 7 Dalla Figura 9 si può avere l impressione che la serie converge. Ciò è infatti vero per la Proposizione.9 (Criterio di Leibniz). Se la successione (a k ) k N è decrescente, e infinitesima allora la serie + ( ) k a k =: s R converge. Inoltre vale s s n a n+ per ogni n N, cfr. Figura. k= a n+ a n+ n + pari s s n n + dispari s s n s n s s n+ =s n+a n+ s n a n+ =s n+ s s n Figura. Criterio di Leibniz: Stima dell errore. Osservazione. Si può verificare che + ( ) k k = ln() Esempio. Sia a k := k α k= per α >. Allora (a k ) k N è decrescente e infinitesima e quindi + k= ( ) k k α converge per ogni α >. Confrontando la serie armonica con la serie di Leibniz ricaviamo un importante Osservazione. Se + a k converge k= } {{ } convergenza (semplice) Infatti per a k = ( ) k k la serie + a k converge mentre + k= Invece vale il contrario: a k = k= + k= ( )k + k = k= + k= a k converge } {{ } convergenza assoluta k diverge. k= Proposizione.. Se + a k converge, allora converge anche + a k, cioè la convergenza assoluta implica la convergenza semplice. Questa proposizione è molto utile in quanto la serie + a k è sempre a termini positivi e quindi può essere studiata con i criteri per tale serie. Per esempio, applicando il criterio del rapporto e della radice a + a k otteniamo la seguente k= Proposizione.. Se q := a k+ k + a k k= < oppure q := k + allora + a k converge assolutamente e quindi anche semplicemente. k= k= k ak <

34 8. SERIE NUMERICHE Esempio (Serie Esponenziale). Sia a k := ak k! per a R fisso. Allora a k+ a k = = a k + = q < e quindi la serie + a k converge. k= a k+ (k+)! a k k! Osservazione. Più tardi (vedi pagina 8) dimostreremo che + k= a k k! = ea per ogni a R. Concludiamo con un osservazione abbastanza sorprendente. Osservazione. Mentre per una somma finita l ordine degli addenti non influisce al risultato, p.e = = = =... ciò in generale non vale per le serie, cioè per somme infinite. Per esempio si può verificare che per qualsiasi s R esiste un riordinamento della serie di Leibniz + ( ) k k, cioè un ordine per sommare gli elementi della successione ( ) k= ( ) k k, che converge esattamente alla somma s. In altre parole, sommando gli k elementi ( ) k k, k =,, 3, 4,... nell ordine giusto si può avere qualsiasi somma. In questo senso una somma infinita non è più commutativa, cioè indipendente dall ordine degli addendi. Questo fenomeno, però, si verifica solo per le serie che convergono ma non convergono assolutamente come per esempio la serie di Leibniz. Per una serie che converge assolutamente invece ogni riordinamento converge alla stessa somma.

35 CAPITOLO 3 Funzioni Reali di una Variabile Reale Definizione 3.. Una funzione f : X R Y R si dice funzione reale di una variabile reale. In questo caso il grafico { (, ) } G(f) = f() : X R, cioè si può disegnare nel piano y. Esempio. Definiamo A(r) := area di un cerchio di raggio r. Questa regola definisce und funzione A : [, + ) R con immagine A(R) = [, + ). Inoltre A(r) = πr e quindi il grafico G(A) R è dato da (parte di) una parabola: A(r) Figura. Grafico di A(r). r Operazioni e Composizione tra Funzioni Somma, Differenza, Prodotto e Frazioni di Funzioni. Le operazioni algebriche si possono facilmente estendere dai numeri alle funzioni. Se f : X R R e g : X R R sono due funzioni allora definiamo per X := X X la somma f + g : X R, (f + g)() := f() + g() per X; la differenza f g : X R, (f g)() := f() g() per X; la prodotto f g : X R, (f g)() := f() g() per X; la frazione f g : X R, f f() g () := g() per X := {z X : g(z) }; Un altro modo per costruire una nuova funzione da due funzioni date è la Composizione di funzioni. Se f : X Y e g : Y Z allora la funzione g f : X Z, si dice funzione composta di f e g. (g f)() := g ( f() ), X Esempio. Se f() = e g() = sin() allora (g f)() = sin. In questo esempio possiamo anche considerare f g per il quale si ottiene (f g)() = sin(). Quindi in generale f g g f. 9

36 3 3. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE Proprietà di Funzioni Reali Elenchiamo in seguito alcune proprietà importanti di funzioni reali. Funzioni Invertibili. Definizione 3.. Una funzione f : X Y si dice iniettiva, se per ogni, X, si ha f( ) f( ), cioè se per ogni y Y esiste al più un X con f() = y; suriettiva se per ogni y Y esiste almeno un X con f() = y; biettiva se f è iniettiva e suriettiva, cioè se per ogni y Y esiste un unico X con f() = y. Esempio. Consideriamo la funzione f k : X k Y k, f k () := per diverse scelte di X k, Y k R (k =, ): (a) X = R, Y = R. In questo caso per < y Y esistono due, X, = y = + y con ( ) = ( ) = y e quindi f non è iniettiva; per y < non esiste X tale che f () = = y e quindi f non è suriettiva. Riassumendo f non è né iniettiva né suriettiva. (b) X = R, Y = [, + ). In questo caso per < y Y esistono due, X, = y = + y con ( ) = ( ) e quindi f non è iniettiva; per y Y definiamo := + y X che implica f () = = y e quindi f è suriettiva. Riassumendo f non è iniettiva ma è suriettiva. (c) X 3 = [, + ), Y 3 = R. In questo caso per y Y 3 := + y è l unico X 3 con = y mentre per > y Y 3 non esiste X 3 tale che f 3 () = = y. Quindi f 3 è iniettiva; f 3 non è suriettiva. Riassumendo f 3 è iniettiva ma non è suriettiva. (d) X 4 = [, + ), Y 4 = [, + ). In questo caso per ogni y Y 4 := + y è l unico X 4 con = y. Quindi f 4 è iniettiva; f 4 è suriettiva. Riassumendo f 4 è biettiva. Osservazioni. Al livello del grafico G(f) per una funzione reale f : X Y vale: f è iniettiva ogni retta orizzontale attraverso un punto y Y interseca G(f) al più una volta; f è suriettiva ogni retta orizzontale attraverso un punto y Y interseca G(f) almeno una volta; f è biettiva ogni retta orizzontale attraverso un punto y Y interseca G(f) un unica volta; cfr. Figura Una funzione f : X Y è biettiva se e solo se esiste una funzione g : Y X tale che (g f)() = g ( f() ) = per ogni X, e (f g)(y) = f ( g(y) ) = y per ogni y Y. In questo caso g è unica, si chiama funzione inversa di f e si scrive f := g. Dal fatto che f() = y = f (y) segue che i grafici G(f) di f e G(f ) di f sono simmetrici rispetto alla bisettrice y =, cfr. Figura 3. Esempio. Abbiamo visto nell esempio precedente che la funzione f : [, + ) [, + ), f() := è invertibile. In questo caso la funzione inversa f : [, + ) [, + ) è data da f () =. In particolare, f () f() =!!!

37 PROPRIETÀ DI FUNZIONI REALI 3 (a) (b) (c) (d) f () f () f 3 () f 4 () y> y> y> y> y< y< Figura. Funzione (a) non iniettiva, non suriettiva; (b) non iniettiva ma suriettiva; (c) iniettiva ma non suriettiva; (d) iniettiva e suriettiva cioè biettiva. f() = f () = Figura 3. Grafico di f() = e f () =. Funzioni Limitate. Una funzione f : X R R si dice itata superiormente se esiste M R tale che f() M per ogni X; itata inferiormente se esiste m R tale che m f() per ogni X; itata se è superiormente e inferiormente itata, cioè se esistono m, M R tale che m f() M per ogni X. Esempi. f() =, R è inferiormente ma non superiormente itata; f() = 3, R non è inferiormente né superiormente itata; f() = sin(), R è itata, cfr. pagina 35. Funzioni Simmetriche. Sia X R un dominio simmetrico rispetto a = (cioè X X). Allora f : X R si dice pari, se f( ) = f() per ogni X; dispari, se f( ) = f() per ogni X. Osservazioni. f è pari il grafico di f è simmetrico rispetto all asse y; f è dispari il grafico di f è simmetrico rispetto all origine, cfr. Figura 4 Se f è dispari e X (= dominio di f) allora f() =. Valgono le seguente regole per prodotto e rapporto tra funzioni pari (=p) e dispari (=d): Esempi. f f opp. f f f =p =d f =p p d =d d p Inoltre vale pari ± pari = pari e dispari ± dispari = dispari. f() =, R è pari, f() = 3, R è dispari.

38 3 3. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE f pari f dispari Figura 4. Funzione pari e dispari. Più in generale si ha: f() = n con n N è pari n è pari, dispari n è dispari. f() = è pari, g() = 5 3 è dispari, quindi r() = f() è dispari. g() = Funzioni Monotone. Sia X R,, X con <. Allora f : X R si dice crescente, se f( ) f( ); strettamente crescente, se f( ) < f( ); decrescente, se f( ) f( ); strettamente decrescente, se f( ) > f( ). (strettamente) monotona, se è (strettamente) crescente oppure (strettamente) decrescente. Esempi. f() = 3, R è strettamente crescente; f() =, R non è monotona; f() =, (, ] è decrescente. Funzioni Periodiche. Sia X R e T > tale che + T X per ogni X. Allora f : X R si dice periodica di periodo T, se T è il più piccolo numero > tale che f( + T ) = f() per ogni X. Esempio. f() = sin() è periodica di periodo T = π. Funzioni Elementari Nel seguito iniziamo una lista di funzioni elementari che utilizzeremo nello svolgimento del corso. Polinomi. Se a, a,..., a n R allora l espressione p() := a n n + a n n a + a con R si dice polinomio. Se a n allora n si dice grado di p. Un polinomio della forma p() = a n si dice anche monomio. Esempio. p() = è un polinomio di grado n = 3. Funzioni Razionali. Se p e q sono due polinomi di grado n ed m rispettivamente, l espressione r() = p() q() si chiama funzione razionale con grado n m. Il dominio X della funzione razionale r è data da { R : q() }. Esempio. r() = è una funzione razionale di grado 5 = 3 e con dominio X = R \ {,,,, }.

39 Potenze ed Esponenziali. FUNZIONI ELEMENTARI 33 Problema. Come si può definire a r per a > e r R, per esempio quanto vale π =? Per risolvere questo problema, cioè per dare una definizione rigorosa di a r, useremo alcuni risultati del Capitolo procedendo in passi: Caso: r = p q Q. Se p Z e q N, allora usando le radici (introdotte con il metodo di Erone a pagina 7) definiamo Per esempio a r = a p q := (a p ) q = q a p = ( q a ) p a 3 4 := 4 a 3 = ( 4 a ) 3, 3,4 := 34 = ( ) 34. Si osservi che per definire q a, per q pari, deve essere a >. Caso: r R. Per semplificare la presentazione consideriamo solo il caso a > e r >, gli altri casi si possono trattare similmente. Se r R ha la rappresentazione r = p, α α α α 3 α 4... α n α n+... allora definiamo r n := p, α α α α 3 α 4... α n... = pα α α α 3 α 4... α n n+ Q. Per esempio per r = π vale r = 3, 4 = 34. Così abbiamo definito una successione (r n ) n N con le proprietà r n Q per ogni n N, r n [p, p + ] per ogni n N, r n = r poiché r r n =,... α n+ α n+... n per n + n +, (r n ) n N è crescente. Visto che r n Q possiamo definire a n := a rn come nel primo passo. Siccome la funzione a con Q per a > è crescente, la successione (a n ) n N è crescente poiché (r n ) n N è crescente, e itata poiché a n [a p, a p+ ]. Quindi per il teorema sulle successioni monotone itate (cfr. pagina 6) il ite a r := a n = n + n + arn converge e definisce la potenza a r di base a ed esponente r. Proposizione 3.3. Per le potenze valgono le regole a r a s = a r+s per ogni a >, r, s R; (a r ) s = a r s per ogni a >, r, s R; a r b r = (a b) r per ogni a, b >, r R. Fissando la base e facendo variare l esponente come argomento, oppure il viceversa, possiamo definire altre funzioni elementari. Definizione 3.4. f : (, + ) R, f() := r per r R fisso si dice funzione potenza di esponente r, cfr. Figura 5. g : R R, g() := a per a > fisso si dice funzione esponenziale di base a, cfr. Figura 6. Osservazione. Per r si può estendere la funzione potenza r su [, + ) definendo r :=. Inoltre per certi valori di r R si può definire r anche per <, per esempio = oppure ( 8) 3 = 3 8 =.

40 34 3. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE r r> r= <r< r= r< Figura 5. La funzione potenza. <a< a a> e 4 3 a=,5,5,5,5 Figura 6. Funzione esponenziale di base a e funzione esponenziale. L esponenziale più importante è quello in base a = e che si chiama funzione esponenziale e che fornisce una delle funzioni più importanti della matematica. Funzioni Iperboliche. Con la funzione esponenziale definiamo le seguenti tre funzioni: Coseno Iperbolico cosh() := e +e, R. Seno Iperbolico sinh() := e e, R. cosh() Tangente Iperbolico tanh() := sinh() cosh(), R. 5 tanh().5.5 sinh() 5 Figura 7. Le funzioni iperboliche. Osservazioni. cosh è pari e inferiormente itata. Infatti cosh(), in particolare cosh(), per ogni R. Il grafico di cosh si chiama anche catenaria in quanto l andamento è quello caratteristico di una catena che si lascia pendere (cfr. Figura 8). Figura 8. La catenaria. sinh è dispari e strettamente crescente. tanh è dispari, strettamente crescente e itata: tanh() per ogni R. Vale la relazione cosh () sinh () = per ogni R.

41 FUNZIONI ELEMENTARI 35 Q P # Figura 9. Misura di angoli in radianti. Funzioni Circolari. Per definire le funzioni circolari dobbiamo dapprima misurare angoli in radianti (cfr. Figura 9). Quindi l angolo ϑ = (radianti), dove = lunghezza dell arco P Q [, π) orientato in senso antiorario. Per < oppure π si può identificare con mod π. Per esempio 9 = π, 8 = π, 7 = 3π, 36 = π e 3π mod π = π, 5π mod π = π etc. Introduciamo ora con ϑ = radianti graficamente le funzioni tan() sin() cos() Figura. Definizione delle funzioni circolari. Seno: sin(), R, Coseno: cos(), R, Tangente: tan() = sin() cos(), R \ { k+ π : k Z}. sin() ¼ ¼/ 3¼/ ¼ ¼/ ¼ 3¼/ ¼ tan() ¼ 3¼ ---- cos() ¼ --- ¼ --- ¼ ¼ 3¼ ---- ¼ 3¼ ---- ¼ --- ¼ ¼ --- ¼ 3¼ ---- Figura. Grafici di sin, cos e tan. Osservazioni. cos è pari, itata ( cos() R) e periodica di periodo T = π.

42 36 3. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE sin è dispari, itata ( sin() R) e periodica di periodo T = π. tan è definita per k+ π, k Z, dispari, né inferiormente né superiormente itata ma periodica di periodo T = π. Per le funzioni circolari valgono numerose relazioni, per esempio cos () + sin () = per ogni R (ciò segue dal Teorema di Pitagora, cfr. Figura ); sin() sin(y) = sin ( y ) ( cos +y ) per ogni, y R; cos() cos(y) = sin ( y ) ( sin +y ) per ogni, y R. Le ultime due relazioni si chiamano formule di prostaferesi. Limiti delle Funzioni Reali Data una funzione f : X R R e c R consideriamo il seguente Problema. Studiare il comportamento di f() per vicino (ma differente!) a c. Esempio. Se X = N e c = +, f : N R diventa una successione (a n ) n N dove a n = f(n) e il problema si trasforma nello studio di a n per n vicino a +, cioè ci ha portato al concetto di ite per le successioni. Per analizzare questo problema per una funzione qualsiasi ci serve dapprima una Definizione 3.5. c R si dice punto di accumulazione dell insieme X R se esiste una successione ( n ) n N con n X per ogni n N, n c per ogni n N, n + n = c. I primi punti si possono brevemente scrivere come ( n ) n N X \ {c}. Quindi c è un punto di accumulazione di X se in X \ {c} si può avvicinare al punto c. Esempi. c = 3 non è un punto di accumulazione di N in quanto non esiste una successione ( n ) n N N \ {3} con n = 3. n + c = + è infatti l unico punto di accumulazione di N. c = non è un punto di accumulazione di [, + ). Se I R è un qualsiasi intervallo con gli estremi a e b, allora c è un punto di accumulazione di I c [a, b]. Ora siamo in grado di generalizzare il concetto di ite dalle successioni alle funzioni reali arbitrarie. Definizione 3.6 (Limiti per le Funzioni). Sia f : X R R una funzione reale e sia c R un punto di accumulazione di X. Allora diremo che f tende a l R per tendente a c se per ogni successione ( n ) n N X \ {c} con In questo caso scriviamo n = c segue che n + f() = l oppure f() l per c. c f( n) = l. n + Osservazioni. Il ite, se esiste, è unico. Se nel seguito scriviamo f() supponiamo sempre che c sia un punto di c accumulazione del dominio X di f. Per esempio non è ammesso poiché c = non è un punto di accumulazione del dominio X = [, + ) della radice. Il fatto che nella definizione di ite consideriamo soltanto successioni ( n ) n N convergenti a c con n c per ogni n N riflette il fatto che studiamo f() per vicino ma differente a c.

43 LIMITI DELLE FUNZIONI REALI 37 Il concetto di ite per le funzioni come definito sopra si basa su quello del ite per le successioni. Esiste anche un altra possibilità di introdurre iti per le funzioni che non fa riferimento alle successioni. Questa alternativa dipende però dal fatto se c ed l sono finiti oppure infiniti e quindi servono molti casi per coprire tutte le possibilita, cfr. pagina 55 nell Appendice. Esempi. sin() =. Dal grafico su pagina 35 si vede che sin() per ogni R. Quindi per ( n ) n N R \ {} con n = risulta n + }{{} < sin( n ) n per n + }{{} e per il teorema dei Carabinieri segue sin( n ) per n +. Allora sin() = per definizione. cos() =. Per la formula di prostaferesi (cfr. pagina 36) segue cos() = cos() cos() = sin ( ). Allora per ogni successione ( n ) n N R \ {} con cos( n ) = sin ( n ). ( ) Quindi cos() = cioè cos() =. non esiste. Definiamo f() := per. Allora f() = { se >, se <. Figura. Funzione segno. n = risulta n + f() Quindi per n := ( )n n per n + segue f( n ) = ( ) n che non ammette ite per n +. Ciò dimostra che f() non esiste. Osservazione. Nonostante l ultimo ite di f() = f() tende a + se ci avviciniamo a c = da destra, f() tende a se ci avviciniamo a c = da sinistra. Per precisare ciò ci serve una per non esista, si ha che Definizione 3.7 (Limite Destro e Sinistro). Sia f : X R R. Diremo che n c da destra per n +, se n c e n c definitivamente. In questo caso usiamo la notazione: n c + per n + oppure n = c +. n + n c da sinistra per n +, se n c e n c definitivamente. In questo caso usiamo la notazione: n c per n + oppure n = c. n + f() l R per tendente a c da destra, se per ogni successione ( n ) n N X\{c} con n c + segue f( n ) = l per n +. In questo caso usiamo la notazione f() l per c + oppure f() = l. c + f() l R per tendente a c da sinistra, se per ogni successione ( n ) n N X \ {c} con n c segue f( n ) = l per n +. In questo caso usiamo la notazione f() l per c oppure f() = l. c

44 38 3. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE c c f() = l e f() = l si dicono ite destro e ite sinistro rispettivamente. + Esempi. + = +, =. + = = +, + = =. Osservazioni. f() = l f() = l = f(). c c + c Il concetto di ite destro e sinistro si possono definire anche senza l utilizzo delle successioni. Però facendo così si devono considerare vari casi secondo le possibilità c, l R, c, l = ±, cfr. pagina 55 nell Appendice. Limiti ed Asintoti. Se f() = ± con c R, allora si dice che f ha un asintoto verticale = c. c (±) Se f() = l con l R, allora si dice che f ha un asintoto orizzontale y = l. ± Esempi. La funzione tan() ha asintoti verticali nei punti k = k+ π per k Z, cfr. il grafico a pagina 35. La funzione tanh() ha asintoti orizzontali nei punti y =, +, cfr. il grafico su pagina 34. Come nel caso delle successioni esistono anche per i iti delle funzioni. Regole per il Calcolo dei Limiti. Se f() = l e g() = l con c R e c c l, l R, allora c ( f() ± g() ) = l ± l ; c ( f() g() ) = l l ; c f() g() = l l se l ; c ( f() ) g() = (l ) l se l > ; c f() = l. Queste regole seguono direttamente dalle regole corrispondenti per le successioni. Inoltre valgono anche per il ite destro e sinistro e anche per l, l R se al ite si ottiene una forma determinata. In sostanza il risultato precedente manifesta il fatto che le operazioni algebriche sono compatibili con il concetto di ite. Cioè non ha importanza se si fa prima l operazione e poi il ite oppure viceversa, se tutte le forme ottenute sono determinate. Anche i risultati riguardanti iti e ordinamento per le successioni si generalizzano facilmente alle funzioni. Limiti e Ordinamento. Se f, g : X R R tale che f() g() per ogni X e f() l, g() l per c, allora l l (Teorema del Confronto); se inoltre per h : X R vale f() h() g() per X e l = l, allora anche h() l per c (Teorema dei Carabinieri). Come già per le successioni anche per calcolare iti di funzioni il Teorema dei Carabinieri è spesso molto utile. L idea per la sua applicazione è di incastrare l espressione che si vuole studiare (= h()) tra due carabinieri (= f() e g()) che sono piú semplici da studiare e ammettono lo stesso ite. Consideriamo alcuni esempi.

45 Tre Limiti Notevoli. sin() () = LIMITI DELLE FUNZIONI REALI 39 Dimostrazione. Graficamente si vede che per ogni (, π ) vale dividendo per sin() > segue sin() tan() < sin() tan() = sin() cos() Figura 3. Relazione tra, sin() e tan(). quindi per gli inversi otteniamo Inoltre sin() sin() cos() }{{} sin() cos() } {{ } per +. è pari e quindi dal Teorema dei Carabinieri segue che sin() =. () cos() = Dimostrazione. Per ( π, π) vale per. cos() e (3) = = cos() ) ( sin() = } {{ } } {{ } = + cos() + cos() = + cos() } {{ } } {{ } + = =sin () { }} { cos () ( + cos() ) = Dimostrazione. Partiamo dalla relazione e = ( + n + n )n. Dalla disuguaglianza di Bernoulli segue ( ) + n n + n n = + se n cioè n Allora (+ n )n + definitivamente e quindi per il teorema del confronto risulta ( + n n) = e + per ogni R. n +

46 4 3. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE Sostituendo in questa relazione con otteniamo inoltre e quindi per gli inversi vale e = e } {{ } > per < e se <. Riassumendo abbiamo verificato che per ogni < vale + e (sottraendo ) e = (dividendo per ) se > > : e }{{} per + } {{ } per + e = + e se < : }{{} per } {{ } per per il Teorema dei Carabinieri. e = Anche il teorema sulla convergenza delle successioni monotone (cfr. pagina 6) si generalizza facilmente alle funzioni. Teorema 3.8. Se f : X R R è monotona allora c l R e c l+ R + esistono. Inoltre vale l = sup{f() : X, < c}, l + = inf{f() : X, > c} se f è crescente, l = inf{f() : X, < c}, l + = sup{f() : X, > c} se f è decrescente. Passiamo ora ai Limiti per le Funzioni Composte. Se per f : X R Y R e g : Y R e c, l, y R vale c f() = y, y y g(y) = l, esiste δ > tale che f() y per ogni X con < c < δ allora c g( f() ) = l. Questo risultato non vale senza la terza condizione che riflette il fatto che per l esistenza e il valore del ite il valore della funzione nel punto ite è indifferente. Esempio. Sappiamo che sin() = (qui f = sin, c = e y = ), y cos(y) = (qui g = cos, l = ), sin() per ogni R con < < π (quindi possiamo scegliere δ := π) Con il risultato precedente risulta che cos( sin() ) =

47 CAPITOLO 4 Funzioni Continue di una Variabile Reale Funzioni Continue Osservazione. Sia f : X R R. Per l esistenza e il valore del ite c f() = l non è importante che c X, e che, nel caso c X, f(c) = l. Queste due condizioni invece in un certo senso caratterizzano funzioni continue. Definizione 4. (Continuità). f : X R R si dice continua in X se per ogni successione ( n ) n N X con n segue f( n ) f( ) per n +. continua, se è continua in ogni X. Osservazioni. La continuità si può anche definire senza fare riferimento alle successioni: f è continua in per ogni ε > esiste δ > tale che f() f( ) ε per ogni X con < δ. Se X è un punto di accumulazione di X, allora f è continua in f() = f( ). Se X non è un punto di accumulazione di X (in questo caso si dice anche che è un punto isolato), allora f è sempre continua in. Dalla definizione di continuità e dalle regole per il calcolo dei iti segue facilmente la seguente Proposizione 4.. Se f, g : X R R sono continue (in X), allora anche f ± g : X R sono continue (in ), f g : X R è continua (in ), f g : X R è continua (in se g( ) ), dove X := { X : g() }, f : X R è continua (in ). Quindi somme, differenze, prodotti, rapporti e moduli di funzioni continue sono anche continue. Da questo risultato segue che per ogni X R l insieme C(X) := {f : X R : f è continua} è uno spazio vettoriale (o addirittura un algebra). Con il teorema sul ite delle funzioni composte si può dimostrare il seguente risultato. Proposizione 4.3. Se f : X R Y R è continua in e g : Y R è continua in y := f( ), allora la funzione composta g f : X R è continua in. Quindi la composizione di funzioni continue è sempre continua. Con le due proposizioni precedenti e usando i iti notevoli è facile verificare la continuità di vari funzioni elementari. Esempi. Polinomi: f() = e g() :=, R sono continue h() := k è continua per ogni k N p() = a a n n è continua per ogni scelta di a,..., a n R cioè ogni polinomio è continuo. 4

48 4 4. FUNZIONI CONTINUE Funzioni razionali: Ogni funzione razionale è continua (nel suo dominio!), essendo il rapporto di due polinomi che sono continui. Modulo: f() = per R è continuo (usare l ultima osservazione a pagina 5). Funzioni circolari: Per la formula di prostaferesi vale per ogni, R sin() sin( ) = sin ( { }} { ) cos ( ) + per, } {{ } } {{ } itata quindi sin è continua. Similmente segue che anche cos è continua e quindi anche tan = sin cos è continua. Funzione esponenziale: Per ogni, R, e h := vale h. Quindi e e = ( ) e e = h e eh e = per h. h Ciò dimostra e e per e di conseguenza la funzione esponenziale è continua. Funzioni iperboliche: sinh() = e e e cosh() = e +e sono continue e quindi anche tanh() = sinh() cosh() è continua. Se per l R definiamo f : R R come f() := { sin() se l se = allora f è sempre continua in ogni. Inoltre f è continua in = sin() f() = = = f() = l cioè l =. Si dice che f() = sin() ha una discontinuità rimovibile in =. Se per l R definiamo f : R R come { f() := se l se = allora f per qualsiasi scelta di l R è discontinua (cioè non continua) in =. Funzione di Dirichlet: Se definiamo f : R R come { se Q f() := se R \ Q allora f è discontinua in ogni R. Funzioni Continue su Intervalli Problema. Data una funzione f : X R R, verificare che f ammette uno zero, cioè che esiste c X tale che f(c) =, calcolare (un valore approssimativo per) c. Il seguente teorema, che è uno dei più importanti risultati del corso, fornisce una soluzione a questo problema sotto alcune ipotesi su f. Nel seguito, per intervalli [a, b], supponiamo sempre che sia a < b. Teorema 4.4 (Teorema degli Zeri). Sia f : [a, b] R continua tale che f(a) e f(b) abbiano segno opposto (cioè f(a) f(b) < ), allora esiste c (a, b) tale che f(c) =.

49 FUNZIONI CONTINUE SU INTERVALLI 43 Dimostrazione. Usiamo il metodo di bisezione: Esiste una successione (I n ) n N intervalli I n = [a n, b n ] tale che (i) [a, b] = I I I... I n I n+..., (ii) la lunghezza di I n è data da b n a n = b a, n (iii) f(a n ) f(b n ). f() b 3 a + b = b di a +b a=a = a = a = a 3 b=b = b Allora, per la proprietà (i) abbiamo che Figura 4. Il metodo di bisezione. a = a a a... a n... b n... b b b = b da cui (a n ) n N e (b n ) n N sono monotone e itate e quindi convergenti. Sia Da (ii) segue a n =: c e b n =: c. n + n + b n }{{} c = a }{{} n + c b a n } {{ } b a + = per n + e quindi c = c =: c. Infine per (iii), il teorema del confronto e per la continuità di f risulta che f(a n ) f(b } {{ } n ) f (c) per n +. } {{ } f(c) f(c) Quindi f (c) che è possibile solo se f(c) =. Osservazione. Il teorema degli zeri non soltanto stabilisce l esistenza di uno zero c per f ma la dimostrazione dà anche un modo per trovare un valore approssimativo di c. In casi come questo si dice anche che la dimostrazione è costruttiva. Dal Teorema degli zeri segue facilmente la seguente generalizzazione. Teorema 4.5 (Teorema dei Valori intermedi). Sia I R un intervallo qualsiasi (non necessariamente chiuso), f : I R continua e siano m := inf f := inf { f() : I }, M := sup f := sup { f() : I }. Allora per ogni y (m, M) esiste I tale che f() = y. In altre parole, f assume tutti i valori tra m = inf f e M = sup f. La dimostrazione si fa applicando il Teorema degli Zeri alla funzione f() := f() y. Questo teorema ha delle applicazioni molto importanti. Come esempio dimostreremo l esistenza dei

50 44 4. FUNZIONI CONTINUE Logaritmi. Sia < a. Allora per ogni y > esiste un unico R tale che a = y. Questo valore si chiama logaritmo di y in base a e si scrive =: log a (y). Per la base a = e useremo la notazione ln(y) := log e (y). Dimostrazione. Procediamo in passi: Caso: a = e. Abbiamo visto (cfr. pagina 4) che e + per ogni R e quindi sup{e : R} sup{ + : R} = + M := sup{e : R} = +. Inoltre, < e = }{{} e + = per m := inf{e : R} =. + Visto che I := R è un intervallo e e, I è continua, per il teorema dei valori intermedi per ogni y (m, M) = (, + ) esiste R tale che e = y. Questo è unico poiché e è strettamente crescente. Caso: < a. Cerchiamo per y > un R tale che a = y. Però e ln(a) = ( e ln(a)) = a = y = e ln(y) ln(a) = ln(y) e quindi = log a (y) = ln(y) ln(a). Regole per i Logaritmi. Siano < a, b,, y > e r R. Allora log a () =, log a (a) =, log a ( y) = log a () + log a (y), log a ( y ) = loga () log a (y), in particolare log a ( y ) = loga (y), log a ( r ) = r log a (), log a () = log a (b) log b () in particolare log a () = log a (e) ln(). Osservazione. Con l esistenza dei logaritmi abbiamo dimostrato che per < a la funzione f : R (, + ), f() = a è invertibile con f : (, + ) R, f () = log a (). In particolare i grafici di a e log a () sono simmetrici rispetto alla bisettrice y =. <a< a log a () a> a loga () ln() Figura 5. I Logaritmi. Visto che in questo capitolo stiamo studiando funzioni continue si pone il Problema. log a : (, + ) R è una funzione continua? La risposta è si per il seguente

51 ALTRE FUNZIONI INVERTIBILI 45 Teorema 4.6. Sia I R un intervallo e sia f C(I). Allora anche J := f(i) = {f() : I} è un intervallo e f : I J è invertibile f è strettamente crescente oppure strettamente decrescente; se f è invertibile, f : J I è continua. Il teorema precedente non vale se il dominio di f non è un intervallo. Esempio. Consideriamo f : [, ] (, ] [, ], f() =. Allora f è continua e invertibile ma non è strettamente monotona e f : [, ] [, ] (, ] è discontinua in =. f() - f () Figura 6. Funzione continua con inversa discontinua. Altre Funzioni Invertibili Osservazione. Possiamo utilizzare lo stesso schema che abbiamo usato per invertire l esponenziale a per invertire altre funzioni f. Più precisamente, usiamo il teorema dei valori intermedi per verificare la suriettività di f, la stretta monotonia per ottenere l iniettività di f, il teorema sulla continuità della funziona inversa per stabilire la continuità di f. In questa maniera possiamo costruire altre funzioni elementari. Radici. Consideriamo f : [, + ) [, + ), f() = n per n. Allora, f è continua, strettamente crescente, il dominio X = [, + ) è un intervallo, inf f = min f = e sup f = +. Quindi f è invertibile e la funzione inversa f : [, + ) [, + ) è continua e data da f () = n = n. n n n e n e (n pari) (n dispari) Figura 7. La radice n-esima.

52 46 4. FUNZIONI CONTINUE Osservazione. Se nel precedente n è dispari, allora possiamo considerare f anche come funzione f : R R. In questo caso f rimane continua, strettamente crescente con inf f =, sup f = + cioè è invertibile con f : R R, f () = n = n. In altre parole, per n dispari la radice n è anche definita per argomenti <, per esempio 3 8 =. Invece per n pari e < la radice n non ha senso nel campo dei numeri reali, per esempio non è più un numero reale ma complesso. Al livello della funzione f : R R, f() = n ciò si rispecchia nel fatto che f : R R per n pari non è suriettiva (e neanche iniettiva, cfr. pagina 3). Potenze. Dal paragrafo precendente sappiamo che n = n, definisce una funzione continua per ogni n =,, 3, 4,.... Più in generale vale che r = ( e ln()) r = e r ln(), > come composizione di funzioni continue è continua. Inverse delle Funzioni Circolari. (Cfr. Figura 8) Considerando il grafico della funzione sin : R R (cfr. Figura ) si vede che non è invertibile non essendo né suriettiva né iniettiva. La suriettività, però si ottiene considerando come codominio l insieme [min sin, ma sin] = [, ] mentre per ottenere l iniettività basta considerare soltanto una parte del dominio R in cui la funzione sin è strettamente monotona. Perciò ci sono infinite scelte ma generalmente si ristringe il dominio all intervallo [ π, π ]. Quindi consideriamo ora sin : [ π, π ] [, ] che così diventa invertibile. Nella stessa maniera, considerando --- ¼.5 arcsin() arccos() sin() 3 ¼ 4 tan().5 ¼ --- arctan() ¼ ¼ cos() 4 Figura 8. Inverse delle funzioni circolari. cos : [, π] [, ] e tan : ( π, π ) R Così anche loro diventano invertibili e tutte le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente sono nuovamente continue. arcsin := sin : [, ] [ π, π ], arccos := cos : [, ] [, π], arctan := tan : R ( π, π ) Inverse delle Funzioni Iperboliche. (Cfr. Figura 9) Ragionando come prima si vede che le funzioni iperboliche sinh : R R, cosh : [, + ) [, + ) e tanh : R (, ) sono invertibili e le loro inverse arcosenoiperbolico, arcocosenoiperbolico e arcotangenteiperbolico arcsinh := sinh : R R, arccosh := cosh : [, + ) [, + ), arctanh := tanh : (, ) R

53 sono nuovamente continue. FUNZIONI CONTINUE SU INTERVALLI CHIUSI E LIMITATI 47 6 sinh() 6 cosh() 3 arctanh() 4 arcsinh() 5 4 tanh() arccosh() Figura 9. Inverse delle funzioni iperboliche. Osservazione. Visto che sinh() = y = arcsinh(y), risolvendo l equazione sinh() = e e = y per si ottiene la rappresentazione ( arcsinh(y) = ln y + ) y +, per ogni y R. Similmente segue ( arccosh(y) = ln y + ) y, per ogni y, ( + y ) arctanh(y) = ln, per ogni y (, ). y Ci poniamo il seguente Funzioni Continue su Intervalli Chiusi e Limitati Problema. Data una funzione f : X R R, determinare, se esistono, il valore minimo e quello massimo di f, cioè m := min f := min{f() : X}, M := ma f := ma{f() : X}, La soluzione del problema si svolge in passi: () Verificare che minimo e massimo di f esistono, () trovare, tale che min f = f( ), ma f = f( ). Il primo punto si risolve con il seguente teorema mentre affronteremo il secondo punto nel prossimo capitolo usando il calcolo differenziale. Teorema 4.7 (Teorema di Weierstraß). Se f C[a, b], allora esistono m := min f e M := ma f, cioè esistono, [a, b] tale che In particolare f è itata. f( ) f() f( ) per ogni [a, b].

54 48 4. FUNZIONI CONTINUE Osservazioni. Il Teorema di Weierstraß vale soltanto su intervalli chiusi e itati cioè del tipo [a, b]. La funzione f : [, ] R, ( f() := + e sin ) + 3 ln + cos 9 + arctan ( (e + ) π) è una composizione di funzioni continue e quindi continua. Per Weierstraß ammette minimo e massimo che, però, saranno quasi impossibili da determinare. Quindi Weierstraß è un risultato di esistenza ma non aiuta per trovare, e min f = f( ) e ma f = f( ).

55 CAPITOLO 5 Calcolo Differenziale di Funzioni di una Variabile Problemi. Data una funzione f : (a, b) R e un punto (a, b), (i) Trovare la retta tangente t al grafico di f nel punto P = (, f( )) (problema geometrico), e (ii) trovare un approssimazione lineare g() (cioè della forma g() = α +β, α, β R) per f() per vicino a (problema analitico). y t s h f( +h) ϕ P h f f( ) P ψ +h Figura 3. Retta secante e tangente. Iniziamo a studiare il problema (i). Come vedremo nel seguito la sua soluzione risolve anche il problema (ii). Per risolvere (i) consideriamo prima la retta secante s h attraverso i punti P = (, f( ) ) e P h := ( + h, f( + h) ) per h. L equazione della retta s h è data da s h () = f( ) + f( + h) f( ) ( ). } {{ h } = pendenza di s h =: rapporto incrementale Quindi solo il rapporto incrementale dipende da h che, nel passo successivo, mandiamo a. Derivata: Definizione e prime Proprietà Considerando il ite del rapporto incrementale per h arriviamo alla seguente Definizione 5.. Se per f : (a, b) R e (a, b) converge f( + h) f( ) h h = }{{} = +h f() f( ) =: f ( ) R allora f si dice derivabile in con derivata f ( ). Se f è derivabile in ogni (a, b) allora si dice derivabile e la funzione f : (a, b) R è la derivata di f. Altre notazioni: f = df d = Df. 49

56 5 5. CALCOLO DIFFERENZIALE Se f è derivabile in allora otteniamo l equazione t() della retta tangente t sostituendo il rapporto incrementale nell equazione della retta secante s h con la derivata f ( ), cioè Quindi (cfr. Figura 3) t() = f( ) + f ( ) ( ) f ( ) = tan(ϕ) = pendenza della retta tangente t, f( + h) f( ) = tan(ψ) = pendenza della retta secante s h h In particolare f ( ) = significa che la retta tangente ha pendenza, cioè è orizzontale. Consideriamo alcuni Esempi. Se f è costante cioè se esiste c R tale che f() = c per ogni (a, b) allora il rapporto incrementale è sempre uguale a. Quindi una funzione costante è sempre derivabile con derivata nulla. Sia f() = n per n =,, 3, 4,... e R. Allora, dalla formula del binomio di Newton segue usando che ( ( n ) = n ) n =, = h = e ( n n ) = n che f( + h) f( ) h = ( + h) n n h ( (n ) h n + ( ) n h n ( =n n h n n ) n h ({ }} { { }} {) + n n ) n h ( + n ) n n h n = ( h (n ) h n + ( ) n h n ( ) ) n n n h + n n h = h = ( ) n h n + ( ) n h n ( ) n n n h n + n n n = f ( ) per h. Quindi f() = n è derivabile per ogni n, n N con Per esempio, ( 5 ) = 5 4. Sia f() = e, R. Allora f( + h) f( ) h = e +h e h Quindi f() = e è derivabile con ( n ) = n n = n = e eh e per h. } {{ h } (e ) = e cioè f = f che è una proprietà molto particolare e che (a meno di una costante moltiplicativa) caratterizza la funzione esponenziale. Sia f() = sin(), R. Allora usando la formula di prostaferesi, il ite notevole sin() = e la continuità della funzione cos risulta = sin( + h) sin( ) = sin( ) ( h cos + h ) h h = sin( ) h cos ( h + h ) cos( ) = f ( ) per h. } {{ } } {{ } cos( ) f( + h) f( ) h

57 DERIVATA: DEFINIZIONE E PRIME PROPRIETÀ 5 Quindi f() = sin() è derivabile con sin () = cos() Similmente segue che cos : R R è derivabile con cos () = sin() Osservazione. Ricordiamo che sin è una funzione dispari (come anche sin) mentre cos è pari. Nell esempio precedente abbiamo visto che sin = cos e cos = sin e quindi la derivata ha trasformata una funzione dispari in un una pari e viceversa. Ciò vale sempre, cioe se f è derivabile e f dispari f pari, f pari f dispari. Sia f() :=. Allora f non è derivabile in =, infatti abbiamo { f(h) f() = h h h = + se h >, se h < e quindi non esiste il ite del rapporto incrementale in = per h. Comunque in questo esempio esistono ite destro e ite sinistro del rapporto incrementale. Questa osservazione dà luogo alla seguente Definizione 5.. Se per f : (a, b) R e (a, b) converge oppure f( + h) f( ) = h + h + f( + h) f( ) = h h f() f( ) f() f( ) =: f +( ) = derivata destra =: f ( ) = derivata sinistra allora diremo che f è derivabile da destra oppure derivabile da sinistra in. Esempio. f() := è derivabile da destra e anche da sinistra in = con f +() = +, f () =. Osservazione. f : (a, b) R è derivabile in (a, b) f è derivabile da destra e da sinistra in con f +( ) = f ( ). Studiamo ora il legame tra derivabilità e continuità. Proposizione 5.3. Se f : (a, b) R è derivabile in (a, b) è continua in. Dimostrazione. f() f( ) = f() f( ) } {{ } f ( ) Cioè f() = f( ) e quindi f è continua in. ( ) f ( } {{ } ) = per. Osservazione. Non vale il contrario cioè f continua f derivabile, per esempio f() = è continua ma non derivabile in =. Esercizio. (Metodo di Erone, cfr. pagina 7) Sia f() := k a per a > e k N, k. Calcolare l equazione della retta tangente t al grafico di f nel punto >.

58 5 5. CALCOLO DIFFERENZIALE Verificare che l intersezione tra t e l asse è data da := ( k (k ) + a ). k Regole per la Derivazione Cerchiamo ora modi per semplificare il calcolo delle derivate. Derivazione di Somme, Prodotti e Rapporti di Funzioni. Siano f, g : (a, b) R derivabili in, allora (i) per ogni α, β R anche α f + β g è derivabile in con (ii) f g è derivabile in con (α f + β g) ( ) = α f ( ) + β g ( ) (f g) ( ) = f ( ) g( ) + f( ) g ( ) (iii) se g( ) anche f g è derivabile in con In particolare ( f g ) ( ) = g( ) f ( ) g ( ) f( ) g ( ) ( g ) ( ) = g ( ) g ( ) Dimostrazione. Dimostriamo soltanto (ii). Perciò studiamo il rapporto incrementale del prodotto utilizzando che g è continua in ( (f g)() (f g)( ) f() g() f( ) g() ) + ( f( ) g() f( ) g( ) ) = = f() f( ) } {{ } f ( ) g() }{{} g( ) +f( ) g() g( ) } {{ } g ( ) f ( ) g( ) + f( ) g ( ) per. La regola (i) stabilisce che la derivazione è un operazione lineare, cioè la derivata di una combinazione lineare e la combinazione lineare delle derivate. Inoltre implica che l insieme { } C f è derivabile e (a, b) := f : (a, b) R f è continua è uno spazio vettoriale. Se f C (a, b) si dice anche che f è derivabile con continuità (qui la continuità si riferisce a f non a f che essendo derivabile è anche continua). Con queste regole diventa semplice verificare la derivabilità di varie funzioni elementari. Esempi. Visto che ogni monomio k per k =,, 3,... è derivabile, per le prime due regole ogni polinomio è derivabile con p () = (a n n +a n n +...+a +a ) = na n n +(n )a n n +...+a +a. Per esempio, ( ) = Per l esempio precedente e la terza regola, ogni funzione razionale è derivabile. Per esempio per ogni n =,, 3,... vale ( n ) = ( n ) = n n n Quindi, per ogni n Z vale = n n+ ( n ) = n n = n n

59 REGOLE PER LA DERIVAZIONE 53 Infatti questa regola abbiamo visto precedentemente per n =,, 3,... (cfr. pagina 5), per n = vale poiché la derivata di una funzione costante =, mentre per n =,, 3,... è stata appena dimostrata. Visto che sin e cos sono derivabili anche la funzione tan = sin cos è derivabile con tan () = cos() sin () cos () sin() cos () { cos = () + tan () = cos () + sin () cos () Derivazione delle Funzioni composte. Sia f : (a, b) (c, d) derivabile in (a, b) e sia g : (c, d) R derivabile in y := f( ). Allora la funzione composta g f : (a, b) R è derivabile in con (g f) ( ) = g ( f( ) ) f ( ) Questa formula si chiama Regola della Catena. Esempi. Se g : R R è derivabile, allora anche h() := g( ) è derivabile poiché h() = (g f)() per f() =. Inoltre h () = ( g( ) ) = g ( ) ( ) = g ( ). Dal esempio precedente segue che le funzioni iperboliche sinh() = e e e cosh() = e +e sono derivabili con sinh () = (e ) (e ) = e +e = cosh(). Similmente segue che cosh () = sinh(). Infine, utilizzando la regola di derivazione per un rapporto segue che anche tanh = sinh cosh è derivabile con { tanh () = cosh () sinh () cosh = cosh () () tanh () Quindi abbiamo dimostrato che per ogni R vale sinh () = cosh() cosh () = sinh() tanh () = { cosh () tanh () Sia a >, allora a = e ln(a), R, è derivabile (visto che è la composizione (g f)() per f() = ln(a) e g(y) = e y ) con (a ) = (e ln(a) ) = ln(a) e ln(a) = ln(a) a cioè ( a ) = ln(a) ( a ) Per funzioni più complesse (cioè composizioni di più di due funzioni) si può iterare la regole della catena iniziando all esterno. Per esempio, e cos(3 +) è derivabile con ( e cos(3 +) ) = e cos(3 +) (cos(3 + ) ) L ultima regola per la derivazione tratta la = e cos(3 +) sin(3 + ) (6 ). Derivazione delle Funzioni Inverse. Sia f : (a, b) (c, d) continua, biettiva e derivabile in (a, b). Se f ( ) allora f : (c, d) (a, b) è derivabile in y := f( ) con ( f ) (y ) = f ( ) Quanto si considerano sia f e f conviene, per non confondersi, usare sempre come variabile per f e y come variabile per f.

60 54 5. CALCOLO DIFFERENZIALE Osservazioni. È importante osservare che mentre f viene derivata in la derivata di f si riferisce al punto y = f( )! Questo fatto e anche la formula per (f ) (y ) si spiega dal seguente grafico. y f t = retta tangente al grafico di f in t r = retta tangente al grafico di f in y = f( ) r f ( ) f f (y ) f ( ) pendenza di t = f ( ) = f ( ) f( ) pendenza di r = f ( ) = (f ) (y ) y Figura 3. Derivata della funzione inversa. Si nota che una retta tangente orizzontale al grafico di f in (cioè se f ( ) = ) corrisponde a una retta verticale al grafico di f in y = f( ) che significa che f non è derivabile in y. Non come dimostrazione, ma come modo per ricordare la formula per ( f ), si può utilizzare la regola della catena: Per definizione, = f (f()) per ogni (a, b). Derivando entrambi i lati di questa equazione otteniamo con y = f() = () = [f ( f() )] = ( f ) ( f() ) f () = ( f ) (y) f () ( f ) (y) = f () Esempi. Sia f() = a, R per < a che è derivabile con f () = ln(a) a per ogni R. Inoltre abbiamo visto (cfr. pagina 44) che f è invertibile con f (y) = log a (y), y >. Quindi log a è derivabile e per y := f() = a vale log a (y) = (a ) = ln(a) }{{} a = =y Sostituendo y con otteniamo così per ogni > ln(a) y log a () = ln(a) in particolare per a = e ln () = Per ogni r R e > la potenza r = e r ln() è derivabile con (usare la regola della catena) ( ( r ) = e r ln()) = e r ln() } {{ } r = r r. = r Quindi la regola per la derivazione di n per n Z (cfr. pagina 5) vale anche per esponenti reali r R, cioè per ogni > si ha ( r ) = r r

61 ESTREMI LOCALI E IL TEOREMA DI FERMAT 55 Se f e g sono due funzioni con lo stesso dominio e f() > per ogni allora possiamo definire ( h() := f() g() = (e f())) g() ( ) ln = e g() ln f(). Quindi, se f e g sono derivabili anche h è derivabile con ( h () = f() g()) ( ) ( = e g() ln f() g () ln ( f() ) + g() f () ) f() ( = f() g() g () ln ( f() ) + g() f () ) f() Abbiamo visto (cfr. pagina 46) che f := sin : [ π, π ] [, ] è invertibile. Inoltre f = sin è derivabile con f () = sin () = cos(). Però, cos() si annulla nell intervallo [ π, π ] negli estremi = ± π e quindi per ottenere una funzione inversa derivabile dobbiamo togliere questi punti dal dominio di f = sin. Allora consideriamo f = sin : ( π, π ) (, ) che è invertibile e derivabile con f () = cos() per ogni ( π, π ). Quindi f = arcsin : (, ) ( π, π ) è derivabile in y = f() = sin() con arcsin (y) = sin () = cos(). Per ottenere una rappresentazione di arcsin (y) nella variabile y dobbiamo esprimere ora cos() in funzione di y = sin(). Perciò utilizziamo la relazione sin () + cos () =, cioè cos() = ± sin = ± y. Per decidere il segno + oppure basta osservare che ( π, π ) e quindi cos() >. Quindi dobbiamo scegliere il segno + e sostituendo y con otteniamo finalmente arcsin () = (, ) Raggiornando come nel esempio precedente si possono derivare anche le seguenti funzioni inverse: arccos () = (, ) arctan () = + R arcsinh () = + R arccosh () = > arctanh () = (, ) Estremi Locali e il Teorema di Fermat Torniamo al problema che abbiamo posto a pagina 47 sull esistenza e il calcolo del minimo e del massimo di una funzione. Per il Teorema di Weierstraß sappiamo almeno che ogni f C[a, b] ammette massimo e minimo, ma rimane il seguente Problema. Come si può determinare minimo e massimo di una funzione.

62 56 5. CALCOLO DIFFERENZIALE Consideriamo un problema concreto di questo tipo: Esempio. Dato un cartoncino di dimensione a b (con < a b) costruire un contenitore (senza coperchio) di volume massimo, cfr. Figura 3. b V()= (a-)(b-) a b- a- Figura 3. Contenitore. Quindi cerchiamo [, a ] tale che Vma := V ( ) V () per ogni [, a ]. Torneremo a questo problema a pagina 59. Prima di affrontare problemi di questo tipo generalizziamo il concetto di minimo e massimo per una funzione. Definizione 5.4. Sia f : X R R una funzione reale, allora X si dice punto di minimo locale, se esiste δ > tale che f( ) f() per ogni X con < δ; se è un punto di minimo locale, f( ) si dice minimo locale; X si dice punto di massimo locale, se esiste δ > tale che f( ) f() per ogni X con < δ; se è un punto di massimo locale, f( ) si dice massimo locale; se è un punto di minimo o di massimo locale, allora si dice punto di estremo locale mentre f( ) si chiama estremo locale. Esempio. Consideriamo il grafico in Figura 33. In questo caso abbiamo: M f a 3 4 b Figura 33. Esempi di estremi locali. a, e 3 e b sono punti di massimo locale di f, e 4 sono punti di minimo locale di f, non è un punto di estremo locale di f, è un punto di massimo assoluto di f, M = f( ) è il massimo assoluto di f, il minimo assoluto non esiste (soltanto l estremo inferiore).

63 ESTREMI LOCALI E IL TEOREMA DI FERMAT 57 Per trovare i punti di estremo locale si usa il Teorema 5.5 (Teorema di Fermat). Sia (a, b) un punto di estremo locale di f : [a, b] R. Se f è derivabile in allora f ( ) =. Dimostrazione. Supponiamo che sia un punto di minimo locale. Allora f ( ) = f +( ) = h + { }} { f( + h) f( ) h }{{} > { }} { f ( f( + h) f( ) ) = h }{{} h < Quindi f ( ) che implica f ( ) =. Esempio. Consideriamo di nuovo il grafico in Figura 34. Allora la derivata f () si f a 3 4 b Figura 34. Estremi locali e tangenti orizzontali. annulla negli estremi locali = e = che graficamente corrisponde ad una retta tangente orizzontale. Osservazioni. Come si vede nel grafico sopra il teorema di Fermat non vale negli estremi dell intervallo [a, b]. Cioè se = a oppure = b è un punto di estremo locale ciò non implica (come si vede nel grafico) che f ( ) =. Se f ( ) = allora si dice punto critico oppure punto stazionario di f. Il Teorema di Fermat fornisce soltanto una condizione necessaria ma non sufficiente per estremi locali, cioè non ogni punto critico è un punto di estremo locale. Basta considerare f() = 3 per R. Allora f () = 3 e quindi = è un punto critico ma non è un punto di estremo locale. Tornando al problema di trovare gli estremi locali di una funzione f : X R R possiamo affermare che i candidati per punti di estremo locale sono i punti in cui f non è derivabile, i punti sul bordo del dominio X di f, i punti critici all interno del dominio. I punti delle prime due classi sono quelli per i quali non si può applicare Fermat, la terza classe invece sono quelli che vengono da Fermat. Consideriamo un altro

64 58 5. CALCOLO DIFFERENZIALE Esempio. Definiamo f : [, ] R, f() := { se =, se (, ]. Per studiare f si rappresenta usando logaritmo ed esponenziale, cioè si scrive Per procedere calcoliamo il ite Usando la sostituzione = ( e ln()) = e ln() f() = e ln(). + + per ogni >. ln() = t + per + e visto che e t = + t + t + t3 3! +... t per ogni t > segue ln() = t t + t + e t t + t / = ln() =. + Quindi dalla continuità dell esponenziale risulta e ln() = e + ln() = e = = f() + implicando che f è continua in =. Siccome f, come composizione di funzioni continue, è anche continua in ogni (, ] risulta che f C[, ] e quindi ammette minimo e massimo per il teorema di Weierstraß. Per calcolarli useremo il teorema di Fermat. Allora per (, ) la funzione f e derivabile con f () = ( e ln()) = ( + ln()) e ln() = ( + ln() ) = = e, cioè := e [, ] è l unico punto critico di f. Quindi sappiamo: i candidati per i punti di estremo locale sono gli estremi dell intervallo a =, b = e il punto critico = e, f ammette m := min f e M := ma f nell intervallo [, ], f() = f() =, f( ) = ( e )( e ) = e e <. Ciò implica M = ma f = f() = f() = e m = min f = f( e ) = e e /e Figura 35. Grafico di f() =. Vedremo in seguito metodi più semplici per calcolare questo ite

65 I TEOREMI DI ROLLE E LAGRANGE 59 Esempio. Continuiamo lo studio del problema posto a pagina 56: Trovare il valore massimo V ma di V () = (a )(b ) per [, a ]. Visto che la funzione V è continua e l intervallo [, a ] è chiuso e itato questo problema ammette almeno una soluzione per il teorema di Weierstraß. Inoltre, V è derivabile e quindi possiamo utilizzare il teorema di Fermat per trovare il punto di massimo [, a ] cioè tale che V ma = V ( ). Calcolando V () = 4(a + b) + ab otteniamo i punti critici, = 6( a + b ± a ab + b ). Visto che < a b segue a ab e quindi a ab 4a 4ab. Di conseguenza = (a + b + ) a 6 ab + b (a + b + ) 4a 6 4ab + b = (a + b + ) (a b) 6 = ( ) a + b + a b 6 ( ) a a + b + (a b) = 6. Usando il fatto V () = V ( a ) = risulta che = = 6( a + b a ab + b ). Per esempio se scegliamo un cartoncino di formato A 4, cioè di dimensione cm 9, 7 cm, allora otteniamo 4, 4 cm e V ma = V ( ) = 8, 5 cm 3, cfr. Figura 36. In particolare si può costruire un contenitore il cui volume è più di un litro. V ma V()=(-)(9,7-) a/ =,5 5 5 Figura 36. Volume contenitore da cartoncino formato A4. I Teoremi di Rolle e Lagrange Il seguente risultato stabilisce l esistenza di punti critici sotto certi ipotesi. Teorema 5.6 (Teorema di Rolle). Sia f C[a, b] derivabile in (a, b). Se f(a) = f(b) allora esiste c (a, b) tale che f (c) = (cfr. Figura 37). Dimostrazione. Per Weierstraß f ammette minimo m := min f = f( ) e massimo M := ma f = f( ) in, [a, b]. Ora ci sono possibilità: Caso: m = M, allora f è costante e quindi f () = per ogni (a, b). Caso: m < M. Poiché f(a) = f(b) almeno uno dei punti, è diverso da a e da b e in questo punto f si annulla per il teorema di Fermat. Il Teorema di Rolle si può generalizzare togliendo la condizione f(a) = f(b). Così segue il prossimo risultato che è uno dei più importanti di questo corso.

66 6 5. CALCOLO DIFFERENZIALE f() f(a)=f(b) a c c c 3 b Figura 37. Teorema di Rolle: Tre punti con f (c ) = = f (c ) = f (c 3 ) retta tangente orizzontale Teorema 5.7 (Teorema di Lagrange (o del valor medio)). Sia f C[a, b] derivabile in (a, b). Allora esiste c (a, b) (detto punto di Lagrange) tale che f (c) } {{ } =pendenza della retta tangente t in (c, f(c)) = f(b) f(a) b a } {{ } =pendenza della retta secante s attraverso (a, f(a)) e (b, f(b)) f() t s t a c c b Figura 38. Teorema di Lagrange: Due punti di Lagrange c e c. Quindi il teorema stabilisce che esiste un punto c tale che la retta tangente t al grafico di f in (c, f(c)) e la retta secante attraverso (a, f(a)) e (b, f(b)) sono parallele. Dimostrazione. Basta applicare il Teorema di Rolle alla funzione f : [a, b] R, f() := f() f(b) f(a) b a Conseguenze del Teorema di Lagrange ( a). Il Teorema di Lagrange ha molte applicazioni per le quali, però, viene usato nel seguente modo: Se f C[a, b] è derivabile in (a, b) allora per ogni, [a, b] esiste c tra e tale che f( ) = f( ) + f (c) ( ) Per ottenere questa versione del teorema basta sostituire a, b con, e poi risolvere l equazione per f( ).

67 CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI LAGRANGE 6 Test di Monotonia. Se f C[a, b] è derivabile in (a, b) allora f è crescente f () per ogni (a, b); f è decrescente f () per ogni (a, b); f () > per ogni (a, b) f è strettamente crescente; f () < per ogni (a, b) f è strettamente decrescente. Prima di dimostrare il test osserviamo che nel punto 3 e 4 non vale l equivalenza, basta considerare f() = 3 per R che è strettamente crescente nonostante che f () = 3 si annulla per =. Dimostrazione. Dimostreremo soltanto il primo punto. : Se f è crescente, allora f() { }} { f () = f +() f( + h) f() =. h + }{{} h > : Sia f () per ogni (a, b). Allora per, [a, b] con < esiste c (a, b) tale che cioè f è crescente. f( ) = f( ) + f (c) ( } {{ } ) f( } {{ } ), > Esempio. Consideriamo la funzione f : R R, f() := Allora f () = = 3( + ) + 3 = 3( ) + 3 > per ogni R e quindi f è strettamente crescente e di conseguenza iniettiva. Inoltre ± f() = ± e quindi f : R R è anche suriettiva e di conseguenza invertibile. Visto che f () dal risultato sulla derivabilità della funzione inversa (cfr. pagina 53) segue che f : R R è derivabile con (f ) (y ) = f ( ) dove y = f( ). Per esempio, per y = 3 vale y = f(), cioè = e quindi (f ) ( 3) = f () = 6. Dal test di monotonia segue anche facilmente la seguente Proposizione 5.8. Se f, g C[a, b] sono derivabili in (a, b) e f(a) g(a) e f () g () per ogni (a, b) allora f() g() per ogni [a, b]. Dimostrazione. Definiamo h := f g. Allora h () = f () g () e quindi h è crescente con h(a) = f(a) g(a). Ciò implica h() = f() g(), quindi f() g() per ogni [a, b]. Criterio per Estremi Locali. Sia f : (a, b) R derivabile e sia (a, b) un punto critico di f (cioè f ( ) = ). Allora è un punto di massimo locale, se f () cambia in segno da + a ; minimo locale, se f () cambia in segno da a + ; Dimostrazione. L affermazione segue dal test di monotonia: se vale la prima condizione, allora f poco prima di è crescente mentre poco dopo è decrescente e quindi è un punto di massimo locale. Similmente segue la seconda affermazione, cfr. Figura 39.

68 6 5. CALCOLO DIFFERENZIALE ma locale min locale f ()> ) f crescente + f ()< ) f decrescente f ()< ) f decrescente f ()> ) f crescente Figura 39. Criterio per estremi locali. Esempio. Sia f : (, + ) R, f() := ln(). Allora f è derivabile con f () = ln() = ln(). Quindi f () = ln() = = e, cioè = e è l unico punto critico di f. Inoltre, ln() < per (, e) f () è positiva prima di = e, ln() > per (e, + ) f () è negativa dopo = e cioè f () cambia in = e segno da + a = e è un punto di massimo locale. ln()/ e 3 Figura 4. Grafico di f() = ln(). Caratterizzazione di Funzioni Costanti. Se f : (a, b) R e derivabile, allora f è costante f () = per ogni (a, b) Dimostrazione. Questa implicazione è banale visto che per f è costante il rapporto incrementale è e quindi anche ammette ite. Usando il test di monotonia dall ipotesi { f f () per ogni (a, b) f è crescente, inoltre () = per ogni (a, b) f () per ogni (a, b) f è decrescente. Questa caratterizzazione sembra banale ma tuttavia è utile per dimostrare risultati che non sono così ovvi. Esempio. Definiamo f : R \ {} R, f() := arctan() + arctan ( ),.

69 Allora f è derivabile con LE REGOLE DI DE L HOSPITAL 63 f () = ( ) = + = per ogni. + A questo punto, però, non possiamo concludere che f è costante visto che il dominio X := R \ {} non è un intervallo. Comunque X = (, ) (, + ) è l unione di due intervalli e quindi f è costante sia sul intervallo (, ) che su (, + ). Quindi esistono c, c R tale che f() = c per ogni > e f() = c per ogni <. Per calcolare le costanti c, c (che, come vedremo sono diversi) basta scegliere un valore opportuno > e < poiché in ogni caso f( ) = c e f( ) = c. Per la funzione f possiamo per esempio scegliere = e = e così risulta arctan() + arctan ( ) = f() = { f() = arctan() + arctan() = π = 4 = π per ogni >, f( ) = arctan( ) + arctan( ) = π 4 = π per ogni <. Criterio per Funzioni Lipschitziane. Definizione 5.9. Se per f : X R R esiste una costante L (detta costante di Lipschitz) tale che f( ) f( ) L per ogni, X allora f si dice funzione lipschitziana con costante L. Osservazione. È semplice verificare che ogni funzione lipschitziana è continua mentre il contrario non vale. Ciò si vede riscrivendo la relazione nella definizione come f( ) f( ) L per ogni, X,, che in pratica significa che la pendenza di qualsiasi retta secante attraverso i punti (, f( )) e (, f( )) ha (in modulo) al massimo pendenza L. Se ora consideriamo il grafico di f : [, ] R, f() = e scegliamo = e (, ] si vede che la pendenza della retta secante tende per + a + e quindi f non è lipschitziana. Dal Teorema di Lagrange segue il seguente Criterio. Proposizione 5.. Sia f : [a, b] R derivabile tale che f () L per ogni (a, b). Allora f è lipschitziana con costante L. In particolare ogni f C [a, b] è lipschitziana. Dimostrazione. Siano, [a, b],. Allora per Lagrange esiste c (a, b) tale che f( ) f( ) = f (c) L per ogni, X Se f C [a, b], allora f C[a, b] è itata per il teorema di Weierstraß. Partiamo con il seguente importante Problema. Calcolare il ite Le Regole di de l Hospital f() g() che al ite rappresenta una forma indeterminata del tipo oppure ± ±.

70 64 5. CALCOLO DIFFERENZIALE Per esempio sin() = ln() oppure = Nonostante i due iti precedenti si possano calcolare anche direttamente, le seguenti regole ne semplificano molto lo svolgimento. Non presentiamo la dimostrazione che comunque si basa sempre sul Teorema di Lagrange. Teorema 5. (Regole di de l Hospital). Siano a < b + e f, g : (a, b) R tale che f() = g() = oppure = ±, a + a + f, g sono derivabili con g () per ogni vicino ad a, f () a + g () =: l R esiste. Allora anche f() a + g() = l. La stessa conclusione vale anche per iti del tipo e per (a, b). b Prima di svolgere alcuni esempi facciamo le seguenti Osservazione. Se f () a + g () non esiste non si può dedurre che anche f() a + g() non esiste. Cioè l Hospital offre soltanto una condizione sufficiente ma non necessaria per l esistenza di un ite. Per verificare ciò consideriamo + sin() = che quindi converge mentre ( ) + sin() + () = + itato { }} { sin() }{{} + = + cos() non esiste. L Hospital non si deve applicare a forme determinate. Per esempio + + = ( + ) ( + ) = =. Consideriamo ora alcuni esempi in cui il simbolo H = significa che abbiamo applicato l Hospital, cioè derivato numeratore e denominatore. Esempi. Sia α >. Allora ln() ( + α = + ) H= + α α = + α α =. Usando piccoli trucchi si possono anche studiare iti che all inizio non sono della forma indeterminata ± oppure ±. Per esempio, per α > vale α ln() = ( ( ) ) ln() ( = + + α = + ) H= α = + α α + α =. Puó succedere anche che dopo un applicazione di l Hospital si ottiene nuovamente una forma indeterminata ammessa. In questi casi si può provare ad applicare l Hospital più volte. Per esempio sin() ) (= H= cos() ) 3 (= H= sin() ( 3 = H= cos() 6 ) = 6 6.

71 APPROSSIMAZIONE LINEARE DI FUNZIONI 65 Qui la seconda e terza applicazione di l Hospital si potrebbe evitare ricordando i iti notevoli () e () a pagina 39. Però confrontando i procedimenti si vede che le regole di l Hospital hanno semplificato notevolmente il calcolo di questi iti. Per calcolare iti del tipo f() g() si procede come segue: ( ) ( ) g() f() = e g() ln f() = e g() ln dove l ultima uguaglianza segue dalla continuità della funzione esponenziale. Per dare un esempio concreto consideriamo Allora ln ( + e ) sin() e quindi ( + e ) sin() = e ln (+e ) sin(). ( = ln( + e ) = ln() = H= ) ( + e ) sin() = e Approssimazione Lineare di Funzioni ( f() ) +e ( + e ) = cos() Torniamo ora al problema iniziale posto a pagina 49: Data f : (a, b) R e un punto (a, b), trovare (i) la retta tangente t al grafico di f nel punto P = (, f( )), e (ii) un approssimazione lineare g() = α + β (cioè g è un polinomio di grado ) per f() per vicino a. Abbiamo risolto (i): Se f è derivabile, allora la retta tangente t è data dall equazione t() = f( ) + f ( ) ( ). Quindi la retta tangente definisce un polinomio di grado e di conseguenza si può avere l idea di usare proprio g() := t() come approssimazione lineare. Come vedremo in seguito, questa scelta è infatti in un certo senso la migliore possibile. Per verificare ciò scriviamo f() = t() + r() = f( ) + f ( ) ( ) } {{ } approssimazione lineare cioè r() = f() t(), cfr. Figura 4. + r() }{{} resto (o errore) t() t ) f() f = r() f( ) Studiamo le proprietà di r(): Figura 4. Il resto r(). r( ) = cioè nel punto l approssimazione dà il valore esatto,

72 66 5. CALCOLO DIFFERENZIALE vale r() = f() f( ) f ( ) per. } {{ } f ( ) Cioè r() tende a più rapidamente di per. Per confrontare meglio il comportamento di due funzioni facciamo la seguente Definizione 5.. Se f() g() = allora si dice che f è o-piccolo di g per e in questo caso si scrive f() = o(g()) per o più brevemente f = o(g) per. Osservazioni. o( ) si chiama simbolo di Landau. f = o(g) per significa per infinitesimi che f() più rapidamente che g() per ; infiniti che f() ± più lentamente che g() ± per. Esempi. ln() = o() per + poiché ln() per +. cos() = o() per poiché cos() = cos() } {{ } }{{} = per. = o( ) per ± mentre = o() per. f() per f() = o() per. Tornando al problema di approssimazione lineare possiamo ora dire che r() = o( ) per. Con gli o-piccoli si possono caratterizzare le funzioni derivabili. Proposizione 5.3. Per una funzione f : (a, b) R e (a, b) le seguenti affermazioni sono equivalenti. (a) f è derivabile in. (b) Esiste A R tale che f() = f( ) + A ( ) + o( ) per. In questo caso A = f ( ). Quindi questa proposizione stabilisce che l approssimazione lineare t() data dalla retta tangente t è l unica che lascia un resto r() che per tende a più rapidamente che la distanza tra e. Cioè per ogni altra scelta di approssimazione con un polinomio di grado il resto tende a zero più lentamente. In questo senso t() è la migliore approssimazione lineare possibile di f() per vicino a. Consideriamo alcuni Esempi. Se f() = e e =, allora la derivabilità di f implica e = f() + f () + o() = e + e + o(), cioè e = + + o() per Se f() = sin() e =, allora la derivabilità di f implica sin() = f() + f () + o() = sin() + cos() + o(), cioè sin() = + o() per Se f() = ln( + ) e =, allora la derivabilità di f implica ln( + ) = f() + f () + o() = ln() o(), cioè ln( + ) = + o() per

73 LA FORMULA DI TAYLOR 67 La Formula di Taylor Abbiamo quindi risolto anche il problema dell approssimazione lineare, cioè di approssimare il valore f() di un funzione (possibilmente molto complicata) vicino al punto con un polinomio t() (cioè con una funzione molto semplice) di grado. A questo punto si può avere l idea di itare il grado dell approssimazione non a ma a un numero n N qualsiasi. Cioè si può generalizzare il problema dell approssimazione lineare nel seguente modo: Problema. Data f : (a, b) R, (a, b) e n N, approssimare f() per vicino a con un polinomio T n () di grado n Per n = abbiamo visto che T () = t() è la migliore scelta possibile. Per risolvere il problema per n N dobbiamo prima introdurre le Derivate Successive. Definizione 5.4. Se f è derivabile e tale che f è nuovamente derivabile, allora possiamo definire ( f ) =: f = derivata seconda =: D f =: d f d. Se si può continuare in questa maniera n volte otteniamo f (n) = derivata n-esima =: D n f =: dn f d n. Inoltre, se I è un intervallo e n N definiamo C (I) := C(I) (e f () := f) e per n { C n f è derivabile n-volte } (I) := f : I R e f (n) è continua Se f C n (I) si dice anche che f è derivabile n-volte con continuità (qui la continuità si riferisce alla derivata n-esima f (n) e non a f). Esempio. Se f() = sin(), allora f è derivabile con f () = cos() che è anche derivabile. Quindi otteniamo f () = cos () = sin() che è nuovamente derivabile. Così otteniamo f () = sin () = cos() che è sempre derivabile. Quindi esiste anche la derivata quarta che indichiamo con il simbolo f (4) () = cos () = sin() = f(). Quindi dopo 4 derivazioni si ritorna alla funzione originale. Dopo questo intermezzo sulle derivate successive possiamo tornare al problema dell approssimazione di f() per vicino a attraverso un polinomio di grado n. Per ottenere un idea come si può risolvere questo problema consideriamo i casi n = e n =. Per n = la migliore approssimazione con un polinomio di grado (cioè con una costante) è ovviamente T () := f( ) = T ( ), cioè T e f hanno in il valore in comune: T ( ) = f( ). Per n = il problema diventa quello dell approssimazione lineare che abbiamo risolto precedentemente: Se f è derivabile in allora la migliore approssimazione ci dà t() =: T () = f( )+f ( ) ( ). Quindi T ( ) = f( ) e T () = f ( ) cioè T e f hanno in il valore e derivata prima in comune: T ( ) = f( ), T ( ) = f ( ).

74 68 5. CALCOLO DIFFERENZIALE Quindi per n supponiamo che f sia n-volte derivabile e poi cerchiamo un polinomio T n che con f ha in valore e tutte le derivate fino alla n-esima in comune: T n ( ) = f( ), T n( ) = f ( ), : f e T n hanno contatto di ordine n in. T n (n) ( ) = f (n) ( ). Visto che questo sistema consiste da n + equazione e il polinomio T n da determinare ha n + coefficienti a,... a n R come incognite, il seguente risultato è plausibile. Proposizione 5.5. Se f C n (a, b) e (a, b) allora esiste un unico polinomio T n di grado n che ha un contatto di ordine n in con f. Questo polinomio si chiama polinomio di Taylor di ordine n con centro generato da f ed è dato da T n () = f( ) + f ( ) ( ) + f ( )! n f (k) ( ) = ( ) k. k! k= ( ) f (n) ( ) n! Infine, se =, allora T n viene anche chiamato polinomio di Maclaurin. ( ) n Dimostrazione. Verifichiamo soltanto che per n = 3 il polinomio T 3 definito sopra ha contatto di ordine 3 con f C 3 (a, b) in (a, b). Infatti T 3 () = f( ) + f ( ) ( ) + f ( ) ( ) + f ( ) 3! ( ) 3 T 3 ( ) = f( ), T 3() = f ( ) + f ( ) ( ) + f ( ) ( ) T 3( ) = f ( ), T 3 () = f ( ) + f ( ) ( ) T 3 ( ) = f ( ), T 3 () = f ( ) T 3 ( ) = f ( ). Esempio. (Cfr. Figura 4) Sia f() = e. Allora f C n (R) per ogni n N con f (k) () = f() = e per ogni k n. Quindi risulta per = che f (k) ( ) = e = per ogni k n e di conseguenza T n () = ! n n! = e 4 T () n k= k k!. T5() T 9 () T 3 () T 7 () T 4 () 5 T 3 () sin() T () T () T () T 3 () T 7 () T () T 5 () T 9 () Figura 4. I primi polinomi di Maclaurin di f() = e e f() = sin() (cfr. p. 69). Prima di considerare altri esempi ci poniamo il seguente Problema. Quanto vale il resto (o errore) dovuto all approssimazione con il polinomio di Taylor, cioè R n () := f() T n () =?

75 LA FORMULA DI TAYLOR 69 Consideriamo prima i casi che abbiamo già studiati. n = : Per il Teorema di Lagrange esiste c tra e tale che R () = f() T () = f() f( ) = f (c) ( ) = o() = o ( ( ) ). n = : Visto che T () = t() = approssimazione lineare (cfr. pagina 65) segue R () = r() = o ( ( ) ). Nel caso generale n N vale la seguente generalizzazione di queste rappresentazioni di R n (). Teorema 5.6 (Formula di Taylor). Sia f C n+ (a, b) e sia (a, b). Allora per R n () := f() T n () vale R n () = o ( ( ) n) per (Resto di Peano) esiste c tra e tale che R n () = f (n+) (c) (n + )! ( ) n+ (Resto di Lagrange) Osservazioni. Per la formula di Taylor con il resto di Peano basta che f C n (a, b). La Formula di Taylor con il Resto di Peano è un affermazione qualitativa, cioè afferma soltanto con che velocità il resto R n () tende a per ; Resto di Lagrange è un affermazione quantitativa, che permette anche valutare la grandezza del resto (si noti tuttavia che c non è noto). Se per un polinomio p() di grado n vale f() p() = o ( ( ) n) per, allora p() = T n (). In altre parole T n () è l unico polinomio di grado n che lascia un resto che tende più rapidamente a per che ( ) n. In questo senso la scelta di T n () come approssimazione di f() per vicino a è ottima. Questa osservazione ci permetterà in seguito di calcolare T n () senza calcolare alcuna derivata. Una rappresentazione esplicita del tipo f() = T n () + o(( ) n ) si chiama sviluppo di Taylor di f di ordine n e centro. Calcoliamo appunto alcuni sviluppi di Taylor. Esempi. Dall esempio precedente segue per f() = e e = che e = ! n n! + o( n ) = n k= k k! + o( n ) per. Per esempio e = o(3 ) per. Abbiamo già visto nell esempio su pagina 67 che per f() = sin() vale f () = cos(), f () = sin(), f () = cos() e f (4) () = sin() = f(). Quindi f C n (R) per ogni n N e per ogni k N vale f (k) () = ± sin() = e f (k+) () = ( ) k cos() = ( ) k. Ciò implica T n+ () = 3 3! + 5 n+ n... + ( )n 5! (n + )! = k= ( ) k k+ (k + )!

76 7 5. CALCOLO DIFFERENZIALE e quindi sin() = 3 3! + 5 5! n = k= ( ) k... + ( )n n+ (n + )! + o(n+ ) k+ (k + )! + o(n+ ) per. Osservazione. Siccome per ogni n N vale f (n+) () = segue T n+ () = T n+ () e di conseguenza f() = T n+ () +o( n+ ) = T } {{ } n+ () + o( n+ ). =T n+ () Così risulta lo sviluppo n sin() = ( ) k k+ (k + )! + o(n+ ) per. k= Per esempio per n = vale e quindi = { }} { T 4 () = 3 3! + f (4) () 4 = T 3 () 4! sin() = o(4 ) per. Lo sviluppo precedente è migliore dello sviluppo sin() = o(3 ) in quanto per l espressione 4 tende più rapidamente a zero che 3. Questo guadagno di un grado nel o( ) si ottiene anche per altri sviluppi di Maclaurin (cioè per = ) di funzioni pari oppure dispari in quanto tutte le derivate di ordine pari di una funzione dispari in = si annullano (come sopra per il sin), tutte le derivate di ordine dispari di una funzione pari in = si annullano (per esempio per il cos). Di conseguenza in uno sviluppo di Maclaurin di una funzione pari compariranno soltanto termini k con k pari, mentre per funzione dispari compariranno soltanto termini k con k dispari. Nella stessa maniera seguono i seguenti sviluppi. Come già sopra indicato vale per f() = cos() (= funzione pari) e = che T n () = T n+ (). Quindi cos() = n ( ) k k (k)! + o(n+ ) per. k= Per esempio per n = otteniamo cos() = o(5 ) per. Per le funzioni iperboliche sinh (= dispari) e cosh (= pari) valgono i seguenti sviluppi che sono molto simili a quelli delle funzioni circolari sin e cos: n k+ sinh() = (k + )! + o(n+ ) per, cosh() = k= n k= k (k)! + o(n+ ) per.

77 APPLICAZIONI DELLA FORMULA DI TAYLOR 7 Per esempio sinh() = o(4 ) e cosh() = o(5 ) per. Per f() = arctan() (= funzione dispari) e = vale T n+ () = T n+ (). Quindi arctan() = n ( ) k k+ k + + o(n+ ) per. k= Per esempio per n = otteniamo arctan() = o(6 ) per. Per f() = arctanh() (= funzione dispari) e = vale T n+ () = T n+ (). Quindi arctanh() = n k= k+ k + + o(n+ ) per. Per esempio per n = otteniamo arctanh() = o(6 ) per. Scegliendo f : (, + ) R, f() := ln( + ) e = si ottiene ( ) α := k ln( + ) = n ( ) k+ k k + o(n ) per. k= Per α R e k N definiamo il coefficiente binomiale generalizzato se k = α (α ) (α )... (α k + ) 3... k altrimenti. Per esempio ( ) = ( ) = 8. Allora per f : (, + ) R, f() := ( + )α per α R e = si ottiene ( + ) α = n k= ( α ) k k + o( n ) per che è una generalizzazione della formula del binomio di Newton (cfr. pagina 6) per esponenti α R. Per esempio, scegliendo α = e n = otteniamo ( + = ( + ) = ) + ( ) + ( ) + o( ) = o( ) per. La Formula di Taylor è molto importante come si vede anche dalle seguenti Applicazioni della Formula di Taylor Criterio per Estremi Locali. Sia f C n (a, b) per n e sia (a, b) tale che f ( ) = = f ( ) =... = f (n ) ( ) e f (n) ( ). Se n è pari, allora f ammette in un minimo locale, se f (n) ( ) >, massimo locale, se f (n) ( ) <. Se n è dispari, allora non è un punto di estremo locale di f.

78 7 5. CALCOLO DIFFERENZIALE Il caso più importante è n = : Se f ( ) = e f ( ) > è un punto di minimo locale, f ( ) < è un punto di massimo locale. Cenno della Dimostrazione. Per La Formula di Taylor con Resto di Peano vale = { }} { f() = f( ) + f ( ) ( ) f (n ) ( ) (n )! ( ) n + f (n) ( ) n! ( ) n + o ( ( ) n) } {{ } = piccolo errore trascurabile f( ) + c ( ) n per vicino a e con c = f (n) ( ) n!. Quindi anziché studiare se è un punto di estremo locale di f() basta considerare la stessa questione per il polinomio p() = f( ) + c ( ) n. A questo punto ci sono tre casi, cfr. Figura 43. f( ) p() p() p() () n pari c > min f( ) f( ) () n pari c < ma (3) n dispari c> c< Figura 43. Criterio per estremi locali. () n pari e c > ( f n ( ) > ): Allora è un punto di minimo locale; () n pari e c < ( f n ( ) < ): Allora è un punto di massimo locale; (3) n dispari: Allora non è un punto di estremo locale. Esempi. Consideriamo f() =. Allora f () = e f () = f () = e f () > (cioè n = = pari) = è un punto di minimo di f. Consideriamo f() = 3. Allora f () = 3, f () = 6 e f () = 6 f () = = f () e f () (cioè n = 3 = dispari) = non è un punto di estremo di f. Sia f() = sin() cos(), R. Allora f () = cos()+ sin()+sin() e quindi f () =, cioè = è un punto critico di f. Per decidere la sua natura calcoliamo anche le derivate successive in = : f () = ( sin())+ cos()+cos()+ cos() f () = +++ = 6 > = è un punto di minimo locale di f. Calcolo dei Limiti. Generalizziamo prima il concetto di asintoticità dalle successioni alle funzioni. f() Definizione 5.7. Se =, allora si dice che f() e g() sono asintotiche e g() si scrive f() g() (o anche solo f g) per. Osservazione. Se f g per, allora f() e g() hanno lo stesso comportamento asintotico, cioè f() l per g() l per. Come per le successioni anche per le funzioni vale il

79 APPLICAZIONI DELLA FORMULA DI TAYLOR 73 Teorema 5.8 (Principio di Sostituzione). Se f f e g g per, allora f g f g per, in particolare f () g () = l f f f () per, in particolare g g g () = l f () g () = l f () g () = l Quindi in prodotti e rapporti si possono sostituire espressioni con altre espressioni asintotiche senza cambiare il comportamento asintotico, in particolare senza cambiare il ite se esiste. Esempi. sin() per poiché sin() =. cos() per poiché cos() = Quindi per il principio di sostituzione vale sin() sin() cos() cos() = =. = sin () cos() Come già per le successioni, il principio di sostituzione!!! NON!!! vale per somme, differenze o potenze, cioè se f f e g g per allora f () ± g () f () ± g () per, ( f () ) g () ( f () ) g () per. Quindi come già detto in prodotti e in rapporti si possono sostituire espressioni (complicate) con altre espressioni asintotiche (più semplici) senza cambiare l esistenza e il valore del ite. Come vedremo ciò permette di facilitare il calcolo dei iti. A questo punto, però, si pone il seguente Problema. Come si può trovare per una funzione f (possibilmente complicata) una funzione f (semplice) tale che f () f () per? Per risolvere questo problema usiamo la seguente Proposizione 5.9. f () f () per f () = f () + o ( f () ) per. Esempi. ln( + ) = + o() per ln( + ) per. f() = a n ( ) n +o(( ) n ) per (con a n ) f() a n ( ) n per. Come nel secondo esempio l idea è ora di rappresentare f () e g () usando la Formula di Taylor con resto di Peano in maniera tale che f e g diventeranno monomi. Più precisamente dal principio di sostituzione e dalla proposizione precedente segue per f () = a n ( ) n + o ( ( ) n) } f () g () a n b m ( ) n+m g () = b m ( ) m + o ( ( ) m) f () g () a n ( ) n m b m =.

80 74 5. CALCOLO DIFFERENZIALE Quindi nel caso del rapporto segue f () g () = a n ( ) n m b m se n > m, a = n bn se n = m, ± se n < m. f() Riassumendo, per studiare il ite g() con Taylor si procede così: () Si cerca lo sviluppo del denominatore del tipo g() = b ( ) m +o(( ) m ) con b, cioè b ( ) m è il primo polinomio di Taylor di g che non è identicamente =. () Si sviluppa il numeratore f fino allo stesso ordine m. Non è necessario superare oltre all ordine m per ottenere un polinomio di Taylor del numeratore poiché se f() = + o(( ) m ) il ite del rapporto è in ogni caso =. Consideriamo alcuni Esempi. Studiamo sin() sin(). Come dalla regola generale iniziamo sempre con il denominatore. Qui non è necessario svilupparlo con Taylor, è invece più semplice semplificarlo usando il principio di sostituzione: sin() per e quindi sin() sin() sin() 3. Ora visto che il denominatore è di 3 ordine dobbiamo quindi sviluppare anche il numeratore fino al 3 ordine: sin() = o(3 ) sin() = o(3 ) 3 6 per. Così risulta e quindi Studiamo sin() = 6 sin() sin() = 6. sin() ln ( ( + ) ) cos ( ). Iniziamo sempre con il denominatore: Sappiamo che per t ) (t= cos(t) = t +o(t ) = ) cos( ) ( ( = ( +o ) ) = 8 +o( ) 8 ( = t ) Visto che il denominatore è di ordine dobbiamo ora sviluppare anche il numeratore al ordine. Perciò notiamo prima che ln(( + ) ) = ln( + ), quindi sin(t) = t + o(t (t=) ) (t ) = sin() = + o ( () ) = + o( ) ln( + ) = ( + o( ) ) = + o( ) sin() ln ( ( + ) ) ( ) = + o( ) + o( ) = + o( ) ( ) Così risulta sin() ln ( ( + ) ) cos ( ) = 8 8

81 e quindi APPLICAZIONI DELLA FORMULA DI TAYLOR 75 sin() ln ( ( + ) ) cos ( ) = 8. Abbiamo già visto in questi esempi semplici che per procedere servono delle regole per il calcolo con gli o( ) come per esempio o( ) o( ) = o( ) oppure o(4 ) = o( ). Per calcolare iti più complicati servono ulteriori Regole per il Calcolo con gli o( ). Per con R α o(f) = o(f) per ogni α R, per esempio o( n ) = o( n ); o(α f) = o(f) per ogni α R, per esempio o(4 n ) = o( n ); o(f) ± o(f) = o(f), per esempio o( n ) + o( n ) = o( n ); f o(g) = o(f g), per esempio m o( n ) = o( m+n ); o(f) o(g) = o(f g), per esempio o( m ) o( n ) = o( m+n ); o(o(f)) = o(f), per esempio o(o( n )) = o( n ); o(( ) m ) = o(( ) n ) se m n, per esempio o( 4 ) = o( ) per. ( ) m = o(( ) n ) se m > n, per esempio 5 = o( 4 ) per. se f g allora o(f) = o(g), p.e. sin() e quindi o(sin()) = o() per ; se f() g() per e ϕ(t) per t t allora f(ϕ(t)) g(ϕ(t)) per t t, p.e. ln( + ) ( ) e sin(t) (t ) allora ln( + sin(t)) sin(t) t (t ). Qui, come sempre, con o(f) si deve immaginare la qualità di un resto di tendere più velocemente a di f e non come una quantità. In particolare in generale si ha o(f) = o(g) o(g) = o(f), f + o(h) = g + o(h) f = g, o(f) o(f). Esempi. Calcolare, se esiste, e + sin() ln ( cos() ). Soluzione. Tutti gli sviluppi si intendono per. Iniziamo con il denominatore. Visto che si tratta di un unica espressione è più semplice usare l ultima regola e il principio di sostituzione anziche svilupparlo con Taylor (che comunque faremo nel prossimo esercizio). Allora, prima serve un piccolo trucco ln ( cos() ) ( = ln =:t { }} { + ( cos() ) ) t = cos(). Abbiamo verificato l ultima equazione (con segno opposto) già a pagina 73. Si potrebbe, però, anche ragionare usando lo sviluppo cos() = + o( ) cos() = + o( ). Poiché il denominatore è di ordine, dobbiamo sviluppare anche il numeratore fino al ordine: Ponendo t = otteniamo e t = + t + t + o(t ) = + ( + ) + o ( ( ) ) = o( ) = e. Inoltre ponendo ora t := sin() segue (per lo sviluppo della radice + t cfr. pagina 7) + t = + t t 8 + o(t ) { }} { = + sin() sin () 8 + o( sin ()) = + sin().

82 76 5. CALCOLO DIFFERENZIALE Per la penultima regola o(sin ()) = o( ) e usando lo sviluppo sin() = + o( ) segue ( ) + sin() = + +o( ) +o( ) 8 + o( ) Quindi = + +o( ) + =o( 3 )=o( ) { }} { =o( 4 )=o( ) { }} { o( ) + 8 o( ) + o( ) = o( ). e + sin() = o( ) ( ) o( ) = 8 + o( ) = 4 + o( ) 4. Qui è importante osservare che soltanto dopo aver sviluppato tutto il numeratore si usa l asintoticità, farlo prima significherebbe usare il principio di sostituzione per una differenza (che è gravemente sbagliato!!). Quindi per il principio di sostituzione per rapporti risulta da cui Calcolare, se esiste, e + sin() ln ( cos() ) 4 = e + sin() ln ( cos() ) =. cos() + ln ( cos() ) Soluzione. Tutti gli sviluppi si intendono per. Iniziamo come sempre con il denominatore: Visto che 5 = o( 4 ) risulta = 4 + o( 4 ) 4. Quindi il numeratore è da sviluppare fino al 4 ordine. cos() = o(4 ) cos() = o(4 ). Mentre nell esempio precedente era sufficiente osservare che ln(cos()) qui non possiamo ragionare così altrimenti si applicherebbe il principio di sostituzione ad una differenza. Dobbiamo invece sviluppare ln(cos()) fino al 4 ordine: Allora con e ln ( cos() ) ( = ln + ln( + t) = t t + o(t ) =:t {( }} ){ ) cos() cos() = o(4 ) = + o( ). Non è necessario sviluppare ln( + t) fino a t 4 poiché t = cos() è di ordine e di conseguenza t espresso in diventa di 4 ordine. Inoltre, nello sviluppo di ln(+t) dobbiamo sostituire t con cos() sviluppato fino al 4 ordine mentre nel espressione t basta come vedremo lo sviluppo fino al ordine. Non è sbagliato usare anche lì lo sviluppo fino al 4 ordine, soltanto i conti si complicheranno

83 APPLICAZIONI DELLA FORMULA DI TAYLOR 77 leggermente. La cosa importante è che alla fine non ci saranno resti o( k ) con k < 4. Quindi ( ) = ln ( cos() ) = ( cos() ) ( ) ( 4 4 { }} {) cos() ( ) + o cos() } {{ } =o( 4 ) = ) ( ( o(4 ) + o( ) ) + o( 4 ) = Così per il numeratore segue ( = o(4 ) = 4 + o(4 ). =o( 4 ) ) { }} { o( ) + o( ) cos() + ln ( cos() ) ( ) = o(4 ) = o(4 ) = o( 4 ) 8 4. Per il rapporto segue con il principio di sostituzione cos() + ln ( cos() ) = 8 + o( 4 ) ) + ( 4 + o(4 ) e quindi Calcolare, se esiste, cos() + ln ( cos() ) = 8. e sin() sin() tan. (3) Soluzione. Per anche t := 3 e quindi vale tan(t) = sin(t) cos(t) t = t (t=3) = tan (3) (3) = 9. Allora dobbiamo sviluppare il numeratore fino al ordine: Da e t = + t + t + o(t ), sin() = + o( )

84 78 5. CALCOLO DIFFERENZIALE segue con t := sin() per Inoltre quindi e sin() = + sin() + sin () + o ( sin () ) ( + o( = + + o( ) ) ) + + o( ) = o( ) + o( ) + o( ) = o( ). sin() = o(3 ) sin() = = 6 + o( ). =o( 3 )=o( ) { }} { o(3 ) Notiamo che qui era necessario sviluppare sin() fino al 3 ordine poiché la divisione per abbassa l ordine per. Così risulta e sin() sin() ) = + + ( + o( ) 6 e quindi che implica e sin() sin() tan (3) Concludiamo questi esempi con una = 3 + o( ) = 7 e sin() sin() tan = (3) 7. Osservazione. In questo esempi abbiamo calcolato sviluppi di Taylor di diverse funzioni usando sviluppi noti e le regole per il calcolo con gli o( ) senza fare alcuna derivata. Usando la terza osservazione su pagina 69 in questa maniera abbiamo anche calcolato i polinomi di Taylor. Per esempio f() := + sin() = o( ) T () = + 8, f() := ln ( cos() ) = 4 + o(4 ) T 4 () = 4, f() := e sin() = o( ) T () = + +, dove il polinomio di Taylor si riferisce alla corrispondente funzione f e il centro =. Mentre le prime due applicazioni della Formula di Taylor usavano il resto di Peano, la terza fa uso del resto di Lagrange.

85 APPLICAZIONI DELLA FORMULA DI TAYLOR 79 Calcolo Numerico. Problema. Data una funzione (possibilmente complicata) f : (a, b) R e (a, b), trovare un valore approssimato per f(), per esempio calcolare cos( ) con un errore < 3. L idea per risolvere questo problema è di usare la Formula di Taylor con resto di Lagrange: Esiste c tra e tale che n f (k) ( ) f() = ( ) k + f (n+) (c) ( ) n+ k! (n + )! k= } {{ } } {{ } =R =T n() n() dove il centro (a, b) e l ordine n sono ancora da determinare. Se sappiamo che f (n+) (s) M per ogni s (a, b) allora possiamo stimare l errore R n () = f() T n () R n () = f (n+) (c) (n + )! n+ M (n + )! n+ e così si può valutare la precisione dell approssimazione. Rimane la scelta del centro (a, b) che deve rispettare i seguenti principi: (i) in si devono conoscere valore e tutte le derivate di f fino al n-esimo ordine, cioè f (k) ( ) per k =,,..., n, altrimenti non si può calcolare T n esplicitamente; (ii) tra tutti i punti in (i) si sceglie quello che sta più vicino a in maniera che il fattore n+ = (distanza tra e ) n+ sia più piccolo possibile. Se, fortunatamente, <, allora le potenze n+ per n + e quindi contribuisce, insieme al fattoriale (n + )! nel denominatore, a diminuire l errore R n () fatto. Consideriamo alcuni esempi concreti: Esempi. Calcolare cos ( ) con un errore < 3. Soluzione. Qui f = cos e =. Visto che qualsiasi derivata di f è data da ± sin() oppure ± cos() vale f (k) (s) =: M per ogni k N ed ogni s R. Passiamo alla scelta del centro. Il punto più vicino a = nel quale si conoscono tutte le derivate di f = cos è =. Così otteniamo la stima 3 R n () (n + )! n+ = Questo è una disuguaglianza in n che è equivalente a (n + )! n+ >. (n + )! n+! < 3 Per trovare il valore n N più piccolo che verifica questa relazione si deve procedere per tentativi: n (n + )! n+ 4 = = = = 384 > 3 qui il simbolo! < 3 significa che deve essere <.

86 8 5. CALCOLO DIFFERENZIALE Quindi possiamo scegliere n = 4 e così risulta ( cos ) ( T4 ) 384 < 3. Infine T 4 è dato da ( T 4 () = + 4 ( T 4 4 ) = Riassumendo abbiamo verificato che cos( ) < 3, ) + ( ) 4 4 = cioè la soluzione è Usare uno sviluppo di secondo ordine per calcolare un valore approssimativo di 3 valutando anche l errore fatto. Soluzione. Il numero quadrato più vicino a = 3 è 5 = 5 e quindi scegliamo come centro = 5 (le derivate di contengono ancora, pertanto questa scelta semplificherà i calcoli). Per la Formula di Taylor con il resto di Lagrange esiste poi un c [, ] = [5, 3] tale che dove f() = = f(5) + f (5) ( 5) + f (5) ( 5) + f (c) ( 5) 3, } {{! } } 3! {{ } T () R () f() = f(5) = 5, f () = f (5) = 5 =, f () = 4 3 f () = e quindi sostituendo = 3 risulta f (5)! f (c) 3! 3 = c = = =, = c 5 = 6 c 5 9 c 5 + }{{} } {{ } =valore approssimativo =errore R (3) compiuto con c [5, 3]. Per stimare l errore osserviamo che la funzione c 5 è decrescente in c e quindi segue R (3) = 4. Riassumendo, lo sviluppo di secondo ordine dà come approssimazione di 3 il valore 9 4 che lascia un errore 4 =, 5. Esercizio. Calcolare e con un errore <. (Suggerimento: e = e.) Osservazione. In entrambi gli esempi la funzione f ammetteva derivate di qualsiasi ordine. Ci si può chiedere che cosa succede con l approssimazione T n () di f() se n +. Per studiare questo problema definiamo dapprima per un intervallo I R C (I) := n N C n (I).

87 SERIE DI TAYLOR 8 Quindi f C (I) significa che f : I R ammette derivate f (n) di qualsiasi ordine n N. Serie di Taylor Se per f C (a, b) esiste M tale che f (k) () M k per ogni (a, b) ed ogni k N allora possiamo stimare il resto R n () = f() T n () come Rn () f (n+) (c) = (n + )! n+ M n+ (n + )! n+ } {{ } =:r n Per verificare che r n = si usa un trucco: Calcoliamo n + r n+ = M n+ r n (n + )! n+ (n + )! n+ M n+ = M n + per n +. =: q <. Ciò implica che per il criterio del rapporto la serie + n= r n converge e quindi il criterio necessario per la convergenza di una serie implica r n = R n () per n +. Di conseguenza f() = n + ( { }} { Tn () + R n () ) = T n() n + Quindi abbiamo dimostrato il seguente risultato. per ogni (a, b). Proposizione 5.. Sia f C (a, b) e (a, b). Se esiste M tale che f (k) () M k per ogni (a, b) ed ogni k N, allora f() = n + k= n f (k) ( ) ( ) k = k! } {{ } =T n() Polinomio di Taylor + f (k) ( ) ( ) k k! k= } {{ } =: Serie di Taylor Quindi, se f è C e le derivate f (k) non crescono troppo rapidamente con l ordine k, f() si può rappresentare come Serie di Taylor f() = + k= f (k) ( ) k! ( ) k per ogni (a, b) Esempi. sin C (R) con sin (k) () =: M = M k per ogni R ed ogni k N e quindi dallo sviluppo a pagina 7 segue (con = ) sin() = + k= ( ) k k+ (k + )! per ogni R Similmente seguono i seguenti sviluppi di altre funzioni elementari cos() = e = k= + k= ( ) k k (k)! k k! per ogni R per ogni R

88 8 5. CALCOLO DIFFERENZIALE sinh() = cosh() = ln( + ) = ( + ) α = arctan() = + k= + k= + k= + k= arctanh() = k+ (k + )! k (k)! + k= ( ) k+ k k ( α k) k per ogni R per ogni R ( ) k k+ k + + k= k+ k + per ogni (, ) per ogni α R e (, ) per ogni (, ) per ogni (, ) Concludiamo questo capitolo sul calcolo differenziale con lo Studio di Funzione Problema. Data una funzione f : X R R, tracciare un grafico approssimativo di f. Per risolvere questo problema conviene procedere cercando di seguire lo schema seguente più possibile. Si tenga presente che spesso non è possibile eseguire tutti i punti sottoelencati. In questi casi le informazioni mancanti (p.e. esistenza di zeri, estremi locali ecc.) si possono eventualmente dedurre alla fine dello studio come conseguenza delle altre informazioni. (i) Determinazione del dominio X: Sono da individuare tutti i punti R per i quali l espressione f() sia ben definita. Per esempio argomenti sotto radici di ordine pari devono essere, argomenti di logaritmi devono essere >, la base di un esponenziale deve essere >, denominatori devono essere, ecc. In generale, per calcolare il dominio X di una funzione si deve risolvere un sistema di disequazioni. sin( Esempio. Sia f() := ). Allora il numeratore è definito per ogni R ln( ) mentre per il denominatore si deve verificare > e ln( ) > > e > ln( ) > e e > > e < e + ( e +, ) (, e + ). (ii) Simmetrie (pari, dispari) e periodicità: cfr. pagine 3 e 3. (iii) Intersezioni con gli assi: Con l asse-: risolvere l equazione f() =. Con l asse y: se X calcolare f(). (iv) Segno della funzione: Risolvere l equazione f() > (o f() < ).

89 STUDIO DI FUNZIONE 83 (v) Calcolo dei iti (da destra/sinistra) alla frontiera di X: Si calcolano i iti (da destra/sinistra) di f() negli estremi finiti, se esistono, del dominio X e si deducono gli eventuali asintoti verticali, cfr. pagina 38. Se X è ilitato, si calcolano inoltre i iti ± f() =: l, determinando se vi sono asintoti orizzontali y = l (se l R), cfr. pagina 38. Se invece l = ± si procede con la (vi) Individuazione degli asintoti obliqui: Se esistono m e q R tale che m = + ( f() [m + q] ) = e/o ( f() [m + q] ) = allora si dice che la retta y = m + q è asintoto obliquo per f a + e/o. Graficamente ciò significa che la distanza tra il grafico di f e la retta y = m + q tende a per ±. Per verificare l esistenza di un asintoto obliquo si procede come segue: Si verifica prima se esiste finito il ite f() =: m = pendenza dell asintoto. ± Nel caso affermativo si verifica se esiste finito il ite ( ) f() m =: q = ordinata all origine dell asintoto. ± Se entrambi i iti esistono in R con m, allora y = m + q è asintoto obliquo di f per ±. Esempio. Sia f() := ln ( e ). Allora f() = ln(5), mentre f() = + + Quindi y = ln(5) è un asintoto orizzontale di f per. Inoltre, puo esistere un asintoto obliquo per +. Per ciò studiamo f() + = ln ( e ) + H = + 3 e 3+ e e inoltre (usando la continuità del logaritmo) ( ) ( q = f() m = ln ( e ) ) ( e 3+ = ln + 5 ) ( e ) ( H= + e 3 = ln ln + e 3 ( = ln + 3 e 3 e 3 e 3 ) = ln ( e ) =. Pertanto la retta di equazione y = 3 + H 9 e 3+ = + 3 e 3+ = 3 = (ln ( e ) ln ( e 3)) e 3+ 3 e 3 ) è asintoto obliquo per + della funzione data, cfr. Figura 44. (vii) Studio della derivata prima (crescenza/decrescenza, punti critici ed estremi locali): Si calcola la derivata prima f () e il corrispondente dominio. Risolvendo l equazione f () = si calcolano i punti critici di f. Eventualmente, studiando il cambiamento del segno di f () in = si può classificare la natura del punto critico (minimo o massimo locale, cfr. pagina 6). Infine si studia il segno di f () per ottenere informazioni sulla monotonia di f. (viii) Studio della derivata seconda (estremi locali, concavità/convessità, punti di flesso): Si calcola (se non si ottiene un espressione troppo complessa) la derivata seconda. Se i punti critici non sono già stati classificati nel punto (vii) si calcolano i valori di f nei punti critici per poi applicare il criterio per estremi locali, cfr. pagina 7.

90 84 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 4 ln(e 3+ +5) y=ln(5) 4 4 y=3+ Figura 44. Asintoto obliquo. Definizione. Sia f : X R R derivabile in (a, b) X. Se f () in (a, b) è crescente, allora si dice che f è convessa (oppure concava verso l alto) in (a, b), decrescente, allora si dice che f è concava (oppure concava verso il basso) in (a, b). f convessa f concava Figura 45. Funzioni convesse e concave. Dal test di monotonia (cfr. pagina 6) segue che se f C (a, b), allora f è convessa in (a, b) f è crescente in (a, b) f () per ogni (a, b), f è concava in (a, b) f è decrescente in (a, b) f () per ogni (a, b). Diremo che f : (a, b) R ammette retta tangente in (a, b) se il rapporto incrementale di f in ammette ite (finito o infinito), cioè se esiste f() f( ) R. Definizione. Un punto (, f( )) si chiama (punto di) flesso di f : (a, b) R in (a, b), se f è continua in (a, b), derivabile in (a, b) \ { } e se f ammette retta tangente in, e la concavità di f è opposta dalle due parti di. Si nota che per f C (a, b) in un punto di flesso (a, b) vale necessariamente f ( ) = per il teorema degli zeri. Esempi. (Cfr. Figura 46) Sia f() = 3. Allora f () = 3 e f () = 6. Visto che f () < per < e f () > per >, l origine è un punto di flesso di f. Sia f() = 3. Allora f ammette una retta tangente verticale in =. Inoltre f () = ( 3 ) = 3 3 e f () = = 3 9 per. Quindi f () > per < e f () < per > e allora l origine è un punto di flesso di f.

91 STUDIO DI FUNZIONE 85 Sia f() = + 3. Allora il rapporto incrementale di f in = è dato da f(h) f() h + h 3 = h ± h h ± h = h ± ( h h + h) = ±. Quindi f non ammette tangente in = e quindi (, ) non è un punto di flesso di f, nonostante che f cambia concavità in quel punto. 3 3p jj+ 3 flesso flesso non flesso Figura 46. Punti di flesso e no. Seguendo questo schema è utile tracciare il grafico gradualmente, inserendo le informazioni via via raccolte anziché raccogliere tutto e poi fare il grafico: i processi graduali aiutano a controllare la coerenza del procedimento e a capire quali informazioni è ancora utile raccogliere. Consideriamo ora un esempio completo. Esempio. Studiare la funzione f() = e e tracciarne un grafico approssimativo. Soluzione: (i) Dominio: f() è definito per ogni 3 e quindi X = (, 3) (3, + ). (ii) Simmetrie: il grafico di f non rappresenta simmetrie. (iii) Intersezione con gli assi: Visto che la funzione esponenziale è sempre >, f() = + 3 = + 3 = = 3. Inoltre vale X e f() = e 3 3 = 3 3 e. (iv) Segno di f(): Visto che il modulo è sempre, f() per ogni X. (v) Limiti alla frontiera del dominio: I punti di frontiera di X sono:, 3, +. Studiamo perciò i iti (da destra/sinistra dove indicato) in quei punti: { }} { + { }} { f() = e = e (+ ) = +, ± ± f() = e 3 3 f() = e = { }} { 3 + =+ { }} { 3 6 { }} { + 3 = e 6 =, 6 { }} { + 3 = e + 6 = +. Quindi la retta = 3 rappresenta un asintoto verticale per 3 +. Visto che f() = +, possono esistere ±

92 86 5. CALCOLO DIFFERENZIALE (vi) Asintoti obliqui per ± : Allora calcoliamo m ± : = {}}{ f() ± = e = = ±, ± ± e ( q ± : = f() m± ) ( ) = e ± ± ( ) ( (e ) { e 3=3 }} { ) e 3 ( + 3) = 3 + e = ( ) ( ( ) ) e 3 ( 3) + = e 3 e 3 3 } {{ } e 3=3 Quindi studiamo prima ( (e ) ) e 3 3 = ± ± 3 3 = e t t t ± ove abbiamo usato che t := 3 per ±. Così risulta q ± = ± ± 3 = ±4 nel caso +, nel caso. 3 = =, e quindi y = + 4 e y = 4 sono asintoti obliqui per + e, rispettivamente. (vii) Studio di f (): Visto che + 3 è derivabile per ogni 3, la funzione è derivabile per ogni X con 3. Inoltre per il rapporto incrementale nel punto = 3 vale f ±( 3) = f() f( 3) e = 3 ± ( 3) 3 ± = e 6 (±) = ±e e ± + 3 Quindi f ( 3) f +( 3) e di conseguenza f non è derivabile in = 3. Calcoliamo ora f () per ±3: per > 3, 3 vale f () = ( e ) ( ) = e 3 ( + 3) = e 3 ( + 3) + e 3 ( 3) = e 3 ( 3) ( + 3) ( 3) = e ( 3). Similmente segue per < 3 f () = ( e ) = ( e 3 ( 3) ) = e ( 3) e quindi f e se > 3, 3, ( 3) () = e se < 3. ( 3) Calcoliamo ora i punti critici di f: Visto che la funzione esponenziale non ammette zeri, segue che f () = = =, = 7 ± = = 6 opp. = =. = 7 ± 5

93 STUDIO DI FUNZIONE 87 Studiamo ora la monotonia di f attraverso il segno di f (): Visto che segue che f () = Di conseguenza e 3 e 3 ( 3) > 3 e = ( 6) ( ) ( 3) ( 6) ( ) < per < 3, e 3 ( 3) ( 6) ( ) > per 3 < <, e 3 ( 6) ( ) < ( 3) per < < 6, 3, e 3 ( 6) ( ) > ( 3) per 6 <. f è strettamente crescente in ( 3, ) (6, + ), f è strettamente decrescente in (, 3) (, 6) \ {3}. (viii) Studio di f (): f è derivabile per ±3. Inoltre per > 3, 3 vale f () = f () = (e ) 3 ( 3) = e 3 ( 3) ( 7 + 6) ( 3) + e ( 3) ( 7) ( 3) ( 7 + 6) 3 ( ) ( 3) = e 3 ( ) ( 3) 4 ( 3) ( 7) ( 3) ( 7 + 6) ( 7 + 6) = e 3 ( 3) 4 (3 33 ). Similmente per < 3 si ottiene ( e Quindi risulta f () = 3 ) e = ( 3) (3 33). ( 3) 4 e 3 ( 3) 4 (3 33) se > 3, 3, e 3 ( 3) 4 (3 33) se < 3. Classifichiamo i due punti critici = 6 e = trovati nel punto precedente: Visto che e 3 > per ogni X segue che ( 3) 4 segno ( f (6) ) = segno ( ) > = 6 è un punto di minimo locale, segno ( f () ) = segno ( 3 33 ) < = è un punto di massimo locale con f(6) = 9 e 3 3 = 9 e, f() = 4 e = 4 e. Per trovare eventuali flessi risolviamo f () = 3 33 = := = 33 3.

94 88 5. CALCOLO DIFFERENZIALE Inoltre per ±3 vale f () 33 3, cioè f è convessa in ( 33 3, 3) e (3, + ) f () 33 3, cioè f è concava in (, 3) e ( 3, 33 ) 3 e quindi risulta che = 33 3 è un punto di flesso. Da tutte le informazioni ottenute risulta che f ha il seguente grafico. --3 f()=ej+3j y=+4 y= =3 Figura 47. Studio di f() = e

95 CAPITOLO 6 Calcolo Integrale di Funzioni di una Variabile Integrale: Definizione e prime Proprietà Problema. Data una funzione f : [a, b] R itata, calcolare l area A tra il grafico di f e l asse, cfr. Figura 48. L idea per risolvere questo problema è di approssimare f() A a Figura 48. L area A. b l area A da sotto e da sopra, cioè per eccesso e per difetto. Se poniamo m := inf f e M := sup f, allora sicuramente m (b a) A M (b a), che però dà una approssimazione troppo scarsa. Per migliorarla dividiamo l intervallo [a, b] in tanti sottointervalli e procediamo in ogni sottointervallo come prima. Per precisare questa idea ci serve una Definizione 6.. Un insieme P = {,,,..., n } si chiama partizione di [a, b] se a = < < <... < n = b. Se f : [a, b] R è itata e P è una partizione di [a, b], allora definiamo per i =,, 3,..., n m i := inf { f() : [ i, i ] }, M i := sup { f() : [ i, i ] }, i := i i (= lunghezza dell intervallo [ i, i ]) n s(f, P ) := m i i =: somma inferiore (cfr. Figura 49) S(f, P ) := i= n M i i =: somma superiore (cfr. Figura 49) i= Quindi per ogni partizione P di [a, b] vale s(f, P ) A S(f, P ), cioè le somme inferiori sono sempre approssimazioni di A per difetto mentre le somme superiori danno sempre approssimazioni per eccesso. Perciò più grande è s(f, P ) meglio è, più piccolo è S(f, P ) meglio è. 89

96 9 6. CALCOLO INTEGRALE M f() s(f,p ) M f() S(f,P ) m m a= =b a= =b Figura 49. Somma inferiore s(f, P ) e somma superiore S(f, P ). Se non c è differenza tra la migliore approssimazione da sotto (cioè quella più grande per difetto) e quella migliore da sopra (cioè quella più piccola per eccesso), allora il problema è (teoricamente) risolto e f si dice integrabile. Per precisare questo procedimento facciamo la seguente Definizione 6.. Sia f : [a, b] R itata. Se sup { s(f, P ) : P partizione di [a, b] } = inf { S(f, P ) : P partizione di [a, b] } =: I, allora f si dice integrabile (secondo Riemann ). In questo caso A = I e I := b a f() d si dice integrale di f (= funzione integranda) in [a, b] (= dominio dell integrazione). Osservazioni. Come variabile di integrazione non è necessario scegliere si può anche scrivere b a f() d = b a f(s) ds = b a f(t) dt =... f è integrabile per ogni ε > esiste una partizione P = P ε tale che S(f, P ε ) s(f, P ε ) < ε. f() <ε a= =b Figura 5. Criterio per l integrabilità. L area sotto l asse è negativa, per esempio se f : [, ] R, f() := per ogni [, ] allora f() d =. In un certo senso b n f() d = f( i ) i i a che spiega l uso della notazione b a f() d (inventata da Leibniz più di 3 anni fa) per l integrale. Consideriamo alcuni Ci sono altri modi per affrontare questo problema che portano a definizioni diverse, per esempio quella di Lebesgue. i=

97 INTEGRALE: DEFINIZIONE E PRIME PROPRIETÀ 9 Esempi. Se f è costante, cioè f() = c per ogni [a, b] allora s(f, P ) = S(f, P ) = c (b a) per P = {a, b} e quindi f è integrabile con b a f() d = c (b a). La funzione di Dirichlet (cfr. pagina 4) { se [a, b] Q f() := se [a, b] \ Q non è integrabile. Infatti visto che per ogni partizione P ogni intervallo [ i, i ] contiene sia punti razionali (in cui f ammette il valore ) si punti irrazionali (in cui f ammette il valore ) segue m i = e M i = per ogni i =,,..., n. Così risulta per ogni partizione che implica che f non è integrabile. Continuiamo studiando alcune s(f, P ) = b a = S(f, P ) Proprietà dell Integrale. Siano f, g : [a, b] R integrabili. Allora α f + β g è integrabile per ogni α, β R (cioè l insieme delle funzioni integrabili con dominio [a, b] è uno spazio vettoriale) e b a ( ) b α f() + β g() d = α f() d + β (cioè l integrale è un operazione lineare); Se f() g() per ogni [a, b] allora b a f() d a b a g() d (cioè l integrale è monotona); anche f è integrabile e b b f() d f() d (disuguaglianza triangolare). per ogni α, β, γ [a, b] si ha β α a f() d + γ β a f() d = γ α f() d (additività dell integrale rispetto agli estremi di integrazione) b a g() d f() a α β γ b ove definiamo α α Figura 5. Additività rispetto agli estremi di integrazione. f() d := e β α f() d := α β f() d se α > β; per esempio f() d := f() d. Se la funzione integranda e il dominio di integrazione hanno qualche simmetria, allora l integrale si semplifica nella seguente maniera.

98 9 6. CALCOLO INTEGRALE Proposizione 6.3. Sia f := [ a, a] R integrabile. Allora a f() d = se f è dispari, a a a f() d = f() d se f è pari, a + = f() dispari + = f() pari -a a A questo punto si pongono due Figura 5. Integrazione di funzioni simmetrici. -a a Problemi. (i) Quali funzioni sono integrabili? (ii) Se f è integrabile, come si può calcolare b a f() d? Per i nostri scopi il seguente risultato dà una risposta sufficiente al primo problema. Teorema 6.4. Se f : [a, b] R è itata e ha un numero finito di discontinuità, oppure è monotona allora f è integrabile. In particolare ogni f C[a, b] è integrabile. Qui l ultima affermazione segue dal primo punto visto che una funzione continua su [a, b] ha zero punti di discontinuità ed è itata per Weierstraß. Esempi. Le funzioni f : [, ] R e g : [, 3] R definite come { ( ) [ n+ se ( n, ( f() := ) ) ) n+, e se [, ), g() := se = se [, ), sin() se [, 3], f() g() Figura 53. Esempi di funzioni integrabili non continue. sono integrabili in quanto f (nonostante abbia un numero infinito di punti di discontinuità) è crescente e g ha soltanto punti di discontinuità ( = e = ).

99 IL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE 93 Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale Passiamo ora al secondo problema, cioè cerchiamo modi per calcolare A = b a f() d visto che soltanto in casi particolarmente semplici è possibile di determinare A usando la definizione. Perciò ci serve prima il seguente Teorema 6.5 (Teorema della Media). Se f C[a, b], allora esiste c [a, b] tale che f() = b a f() d = f(c) (b a) f(c) a c b Figura 54. Teorema della media. Dimostrazione. Per Weierstraß esistono m := min f, M := ma f. Inoltre vale (cfr. pagina 89) m (b a) b a f() d M (b a) b min f = m f() d b a a } {{ } M = ma f. = valor medio di f in [a,b] Quindi per il teorema dei valori intermedi (cfr. pagina 43) esiste c [a, b] tale che b a f() d = f(c) (b a). Da questo risultato segue un importante teorema: Teorema 6.6 (Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale). Sia f C[a, b] allora la funzione F : [a, b] R, F () := è derivabile con a f(s) ds = funzione integrale di f (cfr. Figura 55) F () = f() per ogni [a, b].

100 94 6. CALCOLO INTEGRALE f(s) F () a b s Figura 55. La funzione integrale. Dimostrazione. Per verificare la derivabilità di F dobbiamo studiare il suo rapporto incrementale per h. Allora usando prima l additività dell integrale rispetto agli estremi di integrazione e poi il teorema della media segue F ( + h) F () h = = +h a f(s) ds a f(s) ds h +h f(s) ds h = h f(c) = f(c) h per un c = c,h tra e + h. Quindi h implica c,h e la continuità di f implica F ( + h) F () = f(c,h ) f() per h, h cioè F è derivabile con F () = f(). Osservazioni. Se G è una funzione derivabile tale che G = f, allora G si dice primitiva di f. L insieme f() d =: {G : G e una primitiva di f} si chiama integrale indefinito di f. Per distinguere un integrale indefinito f() d (che rappresenta un insieme di funzioni) da un integrale b a f() d (che è un numero reale), quest ultimo viene anche chiamato integrale definito. Se F e G sono due primitive di f C[a, b] allora (F G) = F G = f f = e per la caratterizzazione delle funzioni costanti (cfr. pagina 6) esiste c R tale che F () = G() + c per ogni [a, b]. Per questo motivo se F è una primitiva qualsiasi di f si scrive spesso f() d = F () + c dove c R indica una costante arbitraria di integrazione. Siamo ora in grado di dare una soluzione al secondo problema. Corollario 6.7. Se f C[a, b] e G è una primitiva di f (cioè G = f), allora b a f() d = G(b) G(a) =: [ G() ] b a =: G() b a

101 IL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE 95 Dimostrazione. Sia F la funzione integrale di f. Allora per il Teorema fondamentale F è una primitiva di f e quindi per l osservazione precedente esiste c R tale che F () = G() + c per ogni [a, b]. Quindi b Quindi vale la seguente Osservazione. a f() d = =F (b) { }} { b a f() d ==F (a) { }} { a a f() d = F (b) F (a) = ( G(b) + c ) ( G(a) + c ) = G(b) G(a). Per calcolare b a f() d basta trovare una primitiva di f. Abbiamo scritto basta tra virgolette poiché come vedremo trovare una primitiva di una funzione f (si dice anche integrare f) generalmente non è un compito semplice. Tuttavia possiamo ora calcolare i primi integrali non banali. ) = segue Esempi. Visto che ( 3 3 d = 3 3 = 3 ( 3 3) = y= 3 _ 7 3 Figura 56. Area sotto il grafico. Sia G() := ln per. Allora G è derivabile e {( ) ln() = G () = se >, ( ) ln( ) = ( ) = se <. Quindi d = ln + c Osservazione. Questo fatto ci permette di dare una nuova rappresentazione per il logaritmo: Per > vale s ds = ln(s) = ln() ln() = ln() (cfr. Figura 57). s ln() s Figura 57. Il logaritmo.

102 96 6. CALCOLO INTEGRALE Visto che per ogni r vale ( ) r+ r+ = r insieme con l esempio precedente segue ln + c se r = r d = r+ r + + c se r La funzione G() := arctan(), R è derivabile con arctan () = e quindi + d = arctan() + c + e d = e + c sin() d = cos() + c sinh() d = cosh() + c cos() d = sin() + c cosh() d = sinh() + c In questi esempi era semplice di indovinare la primitiva di una funzione integranda data (per esempio per r con r ) oppure siamo partiti con una funzione derivabile G che poi per definizione diventa la primitiva della sua derivata f = G. Nelle applicazioni invece è in generale data una funzione integranda f per la quale non è immediato indovinare una primitiva. Quindi ci poniamo il seguente Problema. Come si può trovare una primitiva di una funzione più complicata? Per esempio, il logaritmo ln è continuo e quindi integrabile ma come si può calcolare ln() d =? Per risolvere questo problema studiamo ora Metodi di Integrazione L idea per risolvere il problema di trovare una primitiva di una funzione è che, grazie al Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, la derivazione e l integrazione sono operazioni inverse, cioè: Se h è derivabile con continuità (brevemente si dice h C ), allora ( ) h () d = h() + c. Così una regola di derivazione implica una regola associata di integrazione. Integrazione per Parti. Sappiamo che se f, g sono C allora anche h := f g è C con Quindi da ( ) segue f () g() d + h () = f () g() + f() g (). (f f() g () d = () g() + f() g () ) d = f() g() +c } {{ } } {{ } =h () =h() Così risultano le formule Integrazione per Parti (versione indefinita) f () g() d = f() g() f() g () d

103 Integrazione per Parti (versione definita) b a METODI DI INTEGRAZIONE 97 f () g() d = f() g() b b a f() g () d Quindi il metodo di integrazione per parti corrisponde alla regola di derivazione di un prodotto. Vediamo ora come si applica questa regola Esempi. Utilizziamo integrazione per parti per calcolare r ln() d per r. A questo punto dobbiamo decidere quale dei fattori è f () e quale g(). Ma visto che con la scelta f () = ln() non si può continuare non conoscendo la primitiva del logaritmo, l unica possibilità è r = f () e ln() = g() e quindi (siccome r ) f() = r+. Così risulta r+ e g () = r ln() d = r+ r + ln() a r+ r + = r+ r + ln() r + d r d = r+ r + ln() r + r+ r + + c = r+ r + ln() (r + ) r+ + c = r+ ( r + ln() ) + c. r + In questo esempio il metodo integrazione per parti funziona poiché il logaritmo g() = ln() è una funzione complicata con derivata g () = semplice. Quindi passando la derivata da f() a g() l integrale si semplifica. Inoltre possiamo dire che per r = otteniamo g() = = per ogni e quindi abbiamo anche calcolato ln() d = (ln() ) + c. Se si vuole calcolare questo integrale direttamente (cioè senza il fattore r ) si deve procedere con un piccolo trucco: ln() d = Anche l integrale }{{} f () ln() d = } {{ } g() = ln() + c. }{{} f() e cos() d ln() } {{ } g() }{{} f() = { }} { }{{} g () si può calcolare usando integrazione per parti. Perciò scegliamo f () = e e g() = cos() (ma funzionerebbe anche viceversa). Allora f() = e e g () = sin() e quindi e }{{} f () cos() } {{ } g() d = e }{{} f() cos() } {{ } g() }{{} e f() ( sin() ) d. } {{ } g () d

104 98 6. CALCOLO INTEGRALE Sembra che non è cambiato molto, invece il trucco è di integrare un altra volta per parti, dove usiamo u, v invece di f, g per non confonderci e cos() d = e cos() + }{{} e sin() d } {{ } u () v() = e cos() + e }{{} u() sin() } {{ } v() }{{} e u() cos() d. } {{ } v () Così siamo tornati all integrale iniziale e a prima vista il procedimento risulta essere inutile. Invece abbiamo trovato un equazione del tipo I = E + α I per l integrale I in questione con un espressione E nota e, molto importante, α =. Nel caso α = l integrale si semplifica e quindi tutto era infatti inutile. Per α invece l equazione si risolve facilmente come I = E α cioè (visto che qui α = ) e cos() d = e( sin() + cos() ) + c. Consideriamo cos () d. Allora, con f () = g() = cos() otteniamo f() = sin() e g () = sin() e quindi sin() cos() cos() } {{ } } {{ } f () g() d = sin() cos() } {{ } } {{ } f() g() } {{ } f() ( sin() ) d } {{ } g () Ora si potrebbe avere la stessa idea come nell integrale precedente di integrare un altra volta per parti. Ciò invece non funziona e porta soltanto all annullamento di tutto. Invece si usa la relazione sin () + cos () = che implica cos () d = sin() cos() + sin () d } {{ } cos () = sin() cos() + d cos () d = sin() cos() + cos () d che, come prima, è un equazione per l integrale in questione che è facilmente da risolvere con la soluzione cos sin() cos() + () d = + c. Integrazione per Sostituzione. Abbiamo visto come il metodo integrazione per parti segue dalla regola per la derivazione di un prodotto. Ora invece partiamo con la regola della catena (per derivare le funzioni composte) e cerchiamo la regola corrispondente per l integrazione. Sia f C[a, b] con una primitiva F. Sia, inoltre ϕ : [α, β] [a, b] derivabile con continuità. Allora la funzione composta h : [α, β] R, h(t) := F ( ϕ(t) ) per non confonderci usiamo come variabili t [α, β] e [a, b].

105 è derivabile con METODI DI INTEGRAZIONE 99 h (t) = F ( ϕ(t) ) ϕ (t) = f ( ϕ(t) ) ϕ (t). Sostituendo queste espressioni nell equazione ( ) a pagina 96 risulta la formula chiamata Integrazione per Sostituzione (versione indefinita) f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt = F ( ϕ(t) ) + c. dove F è una primitiva di f, cioè F = f. Sostituendo nella versione indefinita gli estremi t = β e t = α segue dal corollario sul Teorema Fondamentale a pagina 94 β α f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt = F ( ϕ(t) ) t=β t=α = F ( ϕ(β) ) F ( ϕ(α) ) = F () =ϕ(β) = =ϕ(α) ϕ(β) ϕ(α) Quindi abbiamo dimostrato la formula Integrazione per Sostituzione (versione definita) β α f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt = ϕ(β) ϕ(α) f() d. f() d Prima di considerare esempi concreti deduciamo due regole generali di integrazione: Esempi. Se nella versione indefinita della formula integrazione per sostituzione scegliamo f() = con la primitiva F () = ln e per ϕ una funzione C con ϕ(t) per ogni t allora segue ϕ (t) ϕ(t) dt = ln ϕ(t) + c Un esempio concreto di questo tipo è tan(t) dt = = sin(t) cos(t) dt ϕ (t) { }} { sin(t) dt cos(t) } {{ } ϕ(t) = ln cos(t) + c. Se nella versione indefinita della formula integrazione per sostituzione scegliamo f() = con la primitiva F () = e per ϕ una funzione C allora segue ϕ(t) ϕ (t) dt = ϕ(t) + c Un esempio concreto di questo tipo è sin(t) cos(t) dt = sin (t) + c. } {{ } } {{ } ϕ(t) ϕ (t)

106 6. CALCOLO INTEGRALE Osservazione. In pratica, si usa il metodo integrazione per sostituzione nel seguente modo: Nella funzione integranda (nella variabile t) si indovina un espressione ϕ(t) che indichiamo con, cioè si fa la sostituzione := ϕ(t). Considerando come funzione in t si deriva rispetto a t e si ottiene (formalmente) Così risulta già la versione indefinita: f ( {}}{ = ϕ(t) ) } {{ } =f() d dt = ϕ (t) d = ϕ (t) dt ϕ (t) dt = } {{ } =d f() d = F () + c = F ( ϕ(t) ) + c. dove F = f. Per ottenere la versione definitiva basta osservare che t = α = ϕ(t) = ϕ(α), e t = β = ϕ(t) = ϕ(β) cioè t [ϕ(α), ϕ(β)] 3 [a, b] e quindi β α f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt = ϕ(β) ϕ(α) f() d. Questo ragionamento è puramente formale, ma dimostra la forza della notazione per df le derivate (come rapporti d tra infinitesimi) e gli integrali (come somme continue f() d) inventati più di 3 anni fa da Leibniz. Vediamo ora come funziona questo procedimento in un esempio concreto: Esempi. Calcoliamo t t dt. In questo caso l idea è far sparire la radice ponendo := t (= ϕ(t)). Visto che anche il fattore t nell integrale deve essere espresso nella nuova variabile risolviamo l equazione := t per t: = t t = +. Ora ci sono modi per trovare la relazione tra d e dt: consideriamo (come sopra indicato) = t come funzione in t e deriviamo rispetto a t, cioè d ( ) dt = (t ) = (t ) = = t dt = d. oppure consideriamo t = + come funzione in e deriviamo rispetto a, cioè dt = dt = d d e quindi le due possibilità portano allo stesso risultato. Inoltre abbiamo t = = =, e t = = =. 3 se ϕ(α) < ϕ(β), altrimenti t [ϕ(β), ϕ(α)]

107 Quindi risulta METODI DI INTEGRAZIONE }{{} t t } {{ } }{{} dt = + d = = = ( + ) d ( 4 + ) d [ ] 3 3 [ ] = 6 5. Nell esempio precedente si trattava di un integrale definito in t per il quale abbiamo calcolato gli estremi nella nuova variabile. Anziché calcolare gli estremi in, dopo la integrazione si può anche tornare alla variabile iniziale (che per integrali indefiniti è sempre necessario) e poi sostituire gli estremi originali. Così faremo nei prossimi esempi. Calcoliamo 4 t e dt. Allora, per fare sparire la radice procediamo come prima e poniamo := t cioè t =. Ciò implica dt d = e quindi dt = d. Ora non calcoliamo gli estremi in ma li sostituiamo con... intendendo che non ci interessano in questo momento. Così risulta 4 e t dt = e d. Questo è un tipico integrale che si risolve per parti e quindi dobbiamo individuare chi è f e chi g. Qui la scelta giusta è f () = e e g() = poiché se facciamo viceversa l integrale non si semplifica ma diventa tipo e d che è ancora più difficile. Allora }{{} g() ( }{{} e d = e... f () ]... = [ e e... ) e d ( = [ t) = e t ( ) ] 4 t ( ) = e ( ) e ( ) = e. In questo esempio abbiamo visto che può capitare che si devono usare entrambi i metodi, cioè integrazione per sostituzione e anche integrazione per parti. Consideriamo ora l integrale indefinito cos ( ln(t) ) dt. In questo esempio facciamo sparire il logaritmo ponendo := ln(t) cioè t = e. Ciò implica dt d = e dt = e d. Quindi otteniamo cos ( ) ln(t) }{{} }{{} dt = e d cos() e d

108 6. CALCOLO INTEGRALE l ultimo integrale è già stato calcolato a pagina 98 usando integrazione per parti e quindi = e( sin() + cos() ) + c ( ) = ln(t) = e ln(t) sin( ln(t) ) + cos ( ln(t) ) + c ( ) sin(ln(t)) + cos(ln(t)) = t + c Ripetiamo che in questo esempio, come per tutti gli integrali indefiniti, dopo la sostituzione è necessario tornare alla variabile iniziale, in questo caso t. Mentre negli esempi passati era abbastanza semplice indovinare la sostituzione (cioè trovare il ϕ(t) che poi viene chiamato ) ci sono integrali dove la sostituzione è abbastanza difficile da trovare. Calcoliamo l area A di un cerchio di raggio data dall equazione + y =. Risolvendo l equazione nel primo quadrante si ottiene y = e per simmetria segue A = 4 d Con la sostituzione := sin(t) cioè t = arcsin() segue d dt = cos(t) d = cos(t) dt, = t = arcsin() =, = t = arcsin() = π. Visto che per t [, π ] vale cos(t) risulta cos(t) = + sin (t) e quindi =cos(t) π { }} { d = sin (t) cos(t) dt = π cos (t) dt. Abbiamo calcolato questo integrale già a pagina 98 π cos sin(t) cos(t) + t (t) dt = Quindi risulta π = π 4. A = 4 π 4 = π. Nella stessa maniera si può verificare che l area A(r) di un cerchio di raggio r è data da A(r) = π r. Calcoliamo arctan() d Allora visto che arctan() (come anche ln()) è una funzione complicata con una derivata + molto più semplice, l idea per risolvere questo integrale é usare

109 METODI DI INTEGRAZIONE 3 integrazione per parti. Perciò useremo il trucco di inserire il fattore che abbiamo già usato per integrare il logaritmo ln() (cfr. pagina 97): arctan() d = }{{} arctan() d } {{ } f () = }{{} f() g() arctan() } {{ } g() = arctan() }{{} f() } + {{ } g () ϕ () {}}{ } + {{ } d ϕ() = arctan() ln( + ) dove per l ultimo integrale abbiamo usato la formula a pagina 99. Altrimenti si potrebbe anche utilizzare la sostituzione t := + e procedere come negli altri esempi. Osservazione. Gli esempi che abbiamo visto dimostrano chiaramente che integrare una funzione può essere difficile ed impegnativo mentre in confronto derivare è una semplice procedura che si può fare abbastanza meccanicamente. In effetti ci sono funzioni continue (che quindi, per il teorema fondamentale, possiedono una primitiva) composizione di funzioni elementari tali che le primitive non possono essere espresse usando solo funzioni elementari. Per esempio f : R R, f() = e ± sono continue (infatti C ) ma le loro primitive non si possono esprimere utilizzando solo le funzioni che abbiamo incontrati finora. Quindi in un certo senso non si possono calcolare e d e e d e questo fatto dimostra che integrare esplicitamente una funzione può essere addirittura impossibile. + c, d Esempio. Calcolare il ite ( ) e s ds sin( 3 =: l. ) Soluzione. Come indicato sopra non possiamo calcolare l integrale. Però, grazie alle Regole di l Hospital e il Teorema Fondamentale del calcolo integrale ciò non è neanche necessario! Prima di derivare sostituiamo sin( 3 ) con l espressione 3 che è asintotica per e possiede derivate molto più semplici. Quindi, per il principio di sostituzione, vale l = ( ) e s ds ) (= 3 H e = 3 = 3. = 3 e

110 4 6. CALCOLO INTEGRALE Integrazione di Funzioni Razionali Problema. Come si integra una funzione razionale p() q() per due polinomi p, q, per esempio d? A questo problema c è sempre una soluzione che inoltre coinvolge soltanto i tre integrali notevoli per r con r, e. Il problema è scomporre la funzione integranda + in maniera tale si possono utilizzare tali integrali. Si procede in 3 passi: passo: Se grado(p) grado(q), allora dividiamo p per q con resto ottenendo polinomi s e r con p = s q + r, grado(r) < grado(q), cioè p() r() = s() + q() q(). Per esempio per p() = 4 + e q() = 3 + otteniamo ( 4 + ) : ( 3 + ) = passo: Usando la linearità dell integrale si ottiene p() q() d = + Per esempio d = s() d } {{ } semplice da calcolare d + = r() q() d d d passo: Si calcola r() q() d. Consideriamo soltanto il caso grado(q) = cioè q() = a + b + c, r() = d + e. Ci sono 3 casi secondo il segno del discriminante di q(): (i) b 4ac >, cioè q() ha due zeri reali distinti,. (ii) b 4ac =, cioè q() ha soltanto uno zero reale. (iii) b 4ac <, cioè q() non ha zeri reali. Caso (i): I due zeri distinti di q() sono date da, = b ± b 4ac. a Allora si possono trovare due costanti A, B R (uniche) tali che r() q() = A + B r() q() d = A ln + B ln + c.

111 INTEGRAZIONE DI FUNZIONI RAZIONALI 5 L esempio precedente con q() = 3 + entra proprio in questo caso: Qui abbiamo, = 3 ± 3 4 = 3 ± = opp.. Inoltre r() = 9 e quindi cerchiamo costanti A, B R tale che 9 3 +! = A + B (A + B) (A + B) =. ( ) ( ) Confrontando i coefficienti ciò vale se e solo se { } { } A + B = 9 A = 9 A + B = B = 8 e quindi otteniamo = d = 9 ln +8 ln +c. 3 + Così risulta d = ln + 8 ln + c. Caso (ii): L unico zero di q() è dato da = b a Allora si possono trovare due costanti A, B R (uniche) tali che r() q() = A + B ( ) Come esempio concreto consideriamo l integrale 3 + d. Allora il denominatore si annulla se e solo se r() q() d = A ln = ± 4 = =. Quindi cerchiamo A, B R tale che 3 + +! = A + B A + (B A) = ( ) ( ) Confrontando i coefficienti ciò vale se e solo se { } { } A = 3 A = 3 B A = B = 3 e quindi otteniamo 3 + = ( ) B + c. 3 3 d = 3 ln + + c. Caso (iii): In questo caso q() non ha zeri reali. Allora si possono trovare due costanti A, B R (uniche) tali che r() q() = A q () + B r() d = A ln q() + B q() q() q() q() d, dove abbiamo usato la formula q () q() d = ln q() (cfr. pagina 99). Rimane da calcolare l integrale d q() = a + b + c d.

112 6 6. CALCOLO INTEGRALE Per fare ciò si cercano costanti α, β, γ R tale che ( q() = a + b + c = γ + ( ) ) +α β Usando la sostituzione risulta t := + α β dt d = β d = β dt d q() = d ( γ + ( ) ) +α β = β γ dt + t = β γ arctan(t) + c = β ( + α ) γ arctan + c. β Riassumendo, in questo caso otteniamo r() β B ( + α ) d = A ln q() + arctan + c. q() γ β dove ( e q() = γ r() q() = A q () + B q() Come esempio concreto consideriamo l integrale d. + ( +α β ) ). Visto che il discriminante del denominatore b 4ac = < siamo nel terzo caso. Allora, cerchiamo prima A, B R tale che = 4 { }} { 4 +! = A ( 4 + 3) +B A + ( 4A + B) = Confrontando i coefficienti ciò vale se e solo se { } { } A = 4 A = 4A + B = B = 8 e quindi Inoltre vale d = ln( ) + 8 ( = ( ) + 9 = 9 + ( ) ) d. cioè α =, β = 3 e γ = 9 e così con la sostituzione t := 3 d = 3dt risulta d = 9 d ) = ( 3 dt = 3 arctan( 3 + t = 3 arctan(t) + c ) + c. Riassumendo otteniamo il risultato finale d = ln( ) arctan( ) 3 + c.

113 A = /3 CALCOLO DI AREE PIANE 7 Calcolo di Aree Piane Ricordiamo che per una funzione f : [a, b] R integrabile b a f() d = area tra il grafico di f e l asse, dove, però, l area sotto l asse è negativa. Quindi per calcolare l area A di una funzione che assume sia valori positivi sia negativi si deve dividere il dominio in sottointervalli in cui f() non cambia segno: f() f() I=A +A +A 3 A= =A A +A 3 a c d b a c d b Quindi in questo esempio vale I = A = c a c a f() d + f() d d c d c Figura 58. Calcolo di aree. f() d + f() d + b d b d f() d = f() d b a f() d mentre Più in generale, se vogliamo determinare l area A compresa tra i grafici di due funzioni f, g : [a, b] R integrabili, cfr. Figura 59, allora f() A = b f() g() d a a b g() Figura 59. Calcolo dell area tra due grafici. Esempio. Calcolare l area A compresa tra i grafici di e per [, ], cfr. Figura 6. Allora, visto che per [, ] abbiamo w A = ( ) d = Figura 6. Esempio: Calcolo dell area tra due grafici. [ ] = 3 3 = 3.

114 8 6. CALCOLO INTEGRALE Se invece i grafici si intersecano, allora bisogna calcolare le ascisse dei punti di intersezione e poi spezzare il dominio di integrazione come sopra. Esempio. Calcolare l area A tra i grafici di f() := 3 e g() :=, cfr. Figura 6. Soluzione. Per cominciare dobbiamo calcolare i punti di intersezione tra f e g. Allora 3 = = 3 = ( ) =,,. Inoltre vale f() = 3 g() = [, ] [, + ) e quindi A = ( 3 ) ( d = ( 3 ) ) ( d + ( 3 ) ) d [ 4 = 4 3 ] [ ] = ( ( )) + ( ) = 37 f() g() A= = 37/ - Figura 6. Esempio: Calcolo dell area tra due grafici. Calcolo della Lunghezza di una Curva L idea per calcolare la lunghezza di una curva è di scomporrla in segmenti di lunghezza infinitesime e poi di sommare questi infinitesimi usando l integrale per ottenere la lunghezza cercata. Mentre il caso generale viene trattato in Analisi, qui consideriamo soltanto curve che sono date da un grafico di una funzione f C [a, b]. Allora, dalla f() d +dy =dl dy d a b Figura 6. Lunghezza di una curva.

115 CALCOLO DI VOLUMI DI CORPI DI ROTAZIONE 9 Figura 6 segue per il teorema di Pitagora che la lunghezza del segmento infinitesimale dl è data da dl = d + dy. Visto che f () = d dy segue 4 dy = f () d e quindi dl = d + ( f () ) d = + ( f () ) d. Sommando le lunghezze di questi segmenti infinitesimi, per tra a e b, otteniamo la formula b l = + ( f () ) d a per la lunghezza dalla curva data dal grafico di una funzione f : [a, b] R che è derivabile con continuità. Esempio. Calcoliamo la lunghezza l della curva data dal grafico di f() = cosh() per [a, b] (cfr. la catenaria, pagina 34). Allora + ( f () ) = + sinh () = cosh (). Visto che cosh() > per ogni R risulta b b l = cosh () d = cosh() d = sinh(b) sinh(a). a a Calcolo di Volumi di Corpi di Rotazione L idea utilizzata nel paragrafo precedente di scomporre una quantita cercata in parti infinitesimi e poi di sommarli usando l integrale per trovare il risultato si può anche usare per calcolare il volume V di un solido. Più precisamente, l idea è di scomporre il solido in sezioni di spessore infinitesimale e poi di sommare queste sezioni usando l integrale per ottenere il volume cercato. Mentre il caso generale viene trattato in Capitolo, qui consideriamo soltanto corpi ottenuti facendo ruotare intorno all asse il grafico di una funzione f : [a, b] R (cfr. Figura 63). y y=f() dv a b z d Figura 63. Corpo di rotazione. Allora, usando il fatto che l area di un cerchio di raggio r è data da A(r) = π r (cfr. pagina ) otteniamo e quindi risulta dv = π f () d = volume della sezione V = π b a f () d 4 Ricordiamo che questi conti sono puramente formali ma portano, grazie ad una notazione ingegnosa, ad un risultato giusto.

116 6. CALCOLO INTEGRALE Esempi. Calcoliamo il Volume di un cono di altezza h e raggio r della base. Allora f() = r h per [, h] e quindi h ( r ) V = π h r d = π h 3 h 3 = π r h. 3 Calcoliamo il Volume di una sfera di raggio r. Allora f() = r e quindi r ) V = π (r ) d = π (r 3 r ( 3 = π r r3 ) = π r3. r Integrali Impropri Ricordiamo che finora un integrale definito rappresenta un area A tra l asse ed una funzione integranda f itata, su un dominio di integrazione [a, b] itato. Questo significa che al momento non abbiamo definito integrali del tipo oppure + cfr. Figura 64. d d (funzione integranda non itata) (dominio di integrazione [, + ) non itato) 3 e Figura 64. Integrali impropri. Però con il concetto di ite è semplice einare questi due vincoli. Definizione 6.8 (Integrale Improprio). Sia f : [a, b) R con a R e b R {+ } tale che f è integrabile in [a, c] per ogni a < c < b. Allora, se converge si dice che l integrale b a f() d := A c b c a f() d =: A (= integrale improprio oppure generalizzato) esiste nel senso improprio oppure che converge 5. Una definizione analoga si ha per f : (a, b] R, con a R { }, b R: b a f() d := c a + b c f() d. 5 Per integrali impropri si usa lo stesso linguaggio delle serie, cioè si parla di convergenza e divergenza etc.

117 Esempi. c INTEGRALI IMPROPRI Per r R studiamo la convergenza dell integrale improprio + Conviene considerare casi r = : Allora c cioè l integrale r d := c c + r d. d = ln() c = ln(c) ln() + + diverge. r : Allora r d = r+ c r + = cr+ r + r + Quindi risulta + r d = d = + (c + ) Per esempio per r = < otteniamo + per c +, { r+ se r + < r <, + se r + > r >. { r+ se r <, + se r. d = + = Figura 65. Integrali impropri. Consideriamo ora la stessa funzione integranda ma sul dominio di integrazione [, ], cioè studiamo 6 r d := c + Come prima conviene considerare casi r = : Allora c c r d. d = ln() c = ln() ln(c) ( ) = + per c +, cioè l integrale diverge. 6 qui il ite è solo necessario se r <. d = +

118 6. CALCOLO INTEGRALE c r : Allora r d = r+ r + = r + cr+ r + c Quindi risulta (c + ) { r+ se r + > r >, + se r + < r <. r d = { r+ se r >, + se r. Per esempio per r = > otteniamo d = + = e Figura 66. Integrali impropri. Mentre per r nei due esempi precedenti era abbastanza semplice trovare una primitiva abbiamo visto che può essere difficile e addirittura impossibile integrare una funzione. Perciò si pone il seguente 7 Problema. Come si può studiare la convergenza di un integrale improprio senza conoscere una primitiva della funzione integranda? Evidenziamo che così non chiediamo più di calcolare il valore dell integrale ma soltanto di verificare che esiste e sia finito. Teorema 6.9 (del Confronto per gli Integrali Impropri). Siano f, g : [a, b) R con a R, b R {+ } e tale che per ogni a < c < b, f, g siano integrabili su [a, c]. Se f() g() per ogni [a, b) (cioè g è un maggiorante di f ) e b a g() d converge, allora converge anche b a f() d. Un risultato simile vale anche per f, g : (a, b] R con a R { }, b R. 7 Questo problema è molto simile a quello che abbiamo incontrato nel capitolo sulle serie: come si può studiare la convergenza di una serie senza avere una formula esplicita per le somme parziali, cfr. pagina 3.

119 INTEGRALI IMPROPRI 3 Esempi. Consideriamo l integrale improprio + e d. e e¼ 3 3 Figura 67. Integrale improprio della Campana di Gauss. In questo caso non soltanto uno degli estremi è critico (nel senso che è infinito oppure un asintoto verticale della funzione integranda) ma entrambi. In questi casi si spezza l integrale nella somma di due integrali scegliendo un punto c tra gli estremi. Nel caso in questione per simmetria conviene scegliere il punto c = e quindi definiamo + e d := e d + + e d. Visto che f() = e è una funzione pari, dalla proposizione su pagina 9 segue + e d = + e d e quindi l integrale converge su (, + ) se e solo se converge su (, + ). A questo punto ci serve una funzione maggiorante per la quale l integrale improprio converge. Poiché + e d = e d + + e d, dove il primo integrale è un integrale definito e quindi esiste finito, basta che tale funzione sia maggiorante soltanto per. Allora, per vale f() = e e =: g() e c e d = c = e c e d = e e c e per c +. Quindi + g() d converge e per il criterio del confronto converge anche + f() d e di conseguenza anche + f() d. Osservazione. In seguito (cfr. pagina 44) dimostreremo che + e d = π

120 4 6. CALCOLO INTEGRALE Verifichiamo che + sin() sin() d converge..5 3 Figura 68. Integrale improprio convergente. Visto che sin() + = solo l estremo b = + è critico. Quindi l integrale converge su [, + ) se e solo se converge su [, + ). Integrando per parti risulta c sin() d = ( cos() ) c c }{{} } {{ } } {{ } ( cos() ) d } {{ } g f g() g }{{} f() = cos() cos(c) } {{ c } cos() per c + Quindi l integrale converge se e solo se + cos() d c }{{} f cos() converge. Ora è semplice trovare un maggiorante per il quale converge l integrale improprio. Infatti cos() + e d converge (vedi pagina ). Quindi anche l integrale + sin() converge. Notiamo che qui era necessario integrare una volta per parti (aumentando così il grado del denominatore da a ) visto che + d = + diverge d d. considerare l integrale su [, + ) e non su [, + ) visto che + d = + diverge. Concludiamo questo capitolo con alcune osservazioni su

121 INTEGRALI IMPROPRI 5 Integrali Impropri e Serie. Spesso gli elementi di una serie di una funzione f : [, + ) R in = k, cioè a k = f(k), k =,, 3, 4,... + k= a k sono dati dai valori f()=a f()=a f(3)=a f(4)=a f(5)=a f =k Figura 69. Integrali impropri e serie: f(k) = a k. Quindi si può chiedere che legame c è tra + a k k= e + f() d. Interpretando la somma della serie come area dimostreremo il seguente Teorema 6. (Criterio Integrale per le Serie). Se f : [, + ) [, + ) è decrescente e a k := f(k), allora + k= a k converge + f() d converge. Dimostrazione. : Se la serie + k= a k converge, allora dal seguente grafico segue f =k a a a 3 a 4 a 5 Figura 7. La serie maggiora l integrale. F (c) := c f(s) ds + k= a k per ogni c. Inoltre, F è crescente e quindi per il teorema su pagina 4 converge + F (c) = f() d. c +

122 6 6. CALCOLO INTEGRALE f a =k a a a a a Figura 7. L integrale maggiora la serie. : Se invece l integrale improprio + f() d converge, allora dal grafico segue n + s n := a k a + f() d per ogni n =,, 3... Inoltre la serie + k= k= a k è a termini positivi e quindi convergente per il teorema su pagina 3. Esempio. Per α R consideriamo la serie armonica generalizzata + k=, cfr. pagina 5. kα Allora per α la successione ( k non è infinitesima e quindi la serie diverge a )n α +. Se invece α >, allora la funzione f() = α,, e derivabile con Quindi f è decrescente e visto che anche Criterio Integrale per le Serie che + k= k α converge f () = α α < per ogni. + f() = (cfr. pagina 33) segue dal + d converge α >. α dove la seconda equivalenza è stata dimostrata su pagina con r = α. Quindi possiamo definire la funzione ζ : (, + ) R, ζ(s) := che si chiama la funzione zeta di Riemann ed è legato all ipotesi di Riemann, uno dei problemi aperti più importanti della matematica. + k= k s

123 CAPITOLO 7 Funzioni Reali di Più Variabili: iti e continuità In questo capitolo consideriamo funzioni reali di più variabili reali, cioè funzioni definite in un sottoinsieme di R N, N, a valori reali. Per prima cosa diamo uno sguardo all insieme ambiente, cioè consideriamo delle proprietà di R N che ne definiscono la struttura. La Struttura di R N È ben noto (cfr. il corso di Geometria) che l insieme R N := { (,..., N ) : i R, i =,..., N } delle N-uple ordinate di numeri reali è uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali con le ordinarie operazioni di somma tra vettori e moltiplicazione per uno scalare, cioè (,..., N ) + (y,..., y N ) = ( + y,..., N + y N ), α (,..., N ) = (α,..., α N ) per α R. Dal nostro punto di vista identificheremo il vettore (,..., N ) con il punto dello spazio Euclideo N-dimensionale con le corrispondenti coordinate. Introduciamo su R N una norma, cioè un modo di misurare la lunghezza dei vettori, definendo (,..., N ) := N i. Per il teorema di Pitagora è immediato vedere che (,..., N ) misura la lunghezza del vettore posizione che congiunge l origine al punto di coordinate (,..., N ). La norma soddisfa le seguenti proprietà: per ogni (,..., N ), (y,..., y N ) R N e α R (,..., N ) e (,..., N ) = (,..., N ) = (,..., ), α(,..., N ) = α (,..., N ), (,..., N ) + (y,..., y N ) (,..., N ) + (y,..., y N ) (disuguaglianza triangolare). Osservazione. È interessante osservare che per N =, la definizione di norma si riduce a quella di modulo (cfr. pagina 5). Infatti, per R, ( ) / = e quindi =. A partire dalla definizione di norma si può introdurre il concetto di distanza tra punti di R N definendo la distanza di (,..., N ) da (y,..., y N ) come la norma (lunghezza) del vettore congiungente i due punti, cioè (,..., N ) (y,..., y N ) = N ( i y i ). Osserviamo infine che per N = o N = 3, piuttosto che utilizzare le notazioni (, ) e (,, 3 ), è più comodo utilizzare le notazioni senza indici (, y) e (, y, z). 7 i= i=

124 8 7. FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI Funzioni Reali di più Variabili Reali: Prime Proprietà Definizione 7.. Una funzione f : X R N Y R si dice funzione reale di più variabili reali. Esempi (di funzioni di più variabili reali). f : R 3 R definita da f(, y, z) = + yz + zy + z (polinomio nelle variabili, y, z di grado 4). f : X R R definita da f(, y) = y. Si noti che in questo caso il dominio di f è l insieme X = {(, y) R : + y }, cioè il cerchio di centro l origine e raggio. f : X R R definita da f(, y) = ( ) ( y ). Si disegni per esercizio il suo dominio X. Abbiamo visto nei precedenti capitoli che si può visualizzare una funzione reale f di una variabile disegnandone il suo grafico cartesiano in R. Si osservi che il grafico { ( G(f) =,..., N, f(,..., N ) ) ) } : (,..., N X di una funzione f : X R N R è un sottoinsieme di R N+. Quindi il grafico di una funzione si può visualizzare soltanto se essa è definita in R = R oppure R! Esempi (di grafici in R 3 ). z= +y z= -y y y Figura 7. Grafici di f (, y) = +y e f (, y) = y per (, y) [, ] [, ]. Un altro modo per visualizzare le funzioni di più variabili sono le curve (o linee) di livello: Data f : X R N R e c R, si definisce curva di livello c di f l insieme Γ c := { X : f() = c } R N. Esempi concreti sono le isobare in una mappa meteorologica oppure le curve di livello in una mappa topografica. Si nota che per alcuni valori di c le curve di livello corrispondenti possono essere l insieme vuoto. Esempi (di curve di livello in R ). y y Figura 73. Linee di livello Γ c delle funzioni f (, y) = +y per c =, /6, /4, /, e f (, y) = y per c =-, -/, -/4,, /4, /, con (, y) [, ] [, ].

125 LIMITI DI FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI REALI 9 Un vantaggio delle curve di livello rispetto ai grafici cartesiani è che, essendo definite nello stesso spazio R N dove è definita la funzione, consentono di guadagnare una dimensione. Infatti, mentre non possiamo visualizzare il grafico di una funzione f : R 3 R, ne possiamo visualizzare le sue curve (o, meglio, superfici) di livello essendo sottoinsiemi di R 3. Esempio. z=p (- )(-y ) 3 y y Figura 74. Grafico di f(, y) = ( )( y ) e le linee di livello Γ c per (, y) [, ] [, ] e c =,.,.4,...,.6,.8, 3. Limiti di Funzioni Reali di più Variabili Reali L idea che seguiremo per introdurre la definizione di ite in R N è molto simile a quella seguita in R (in fondo basta sostituire il modulo con la norma) ed è basata sull uso delle successioni approssimanti il punto in cui vogliamo calcolare il ite. Definizione 7. (Limiti per i Vettori). Data una successione di vettori ( n ) n N R N, diremo che ( n ) n N converge a R N se n per n +. In questo caso scriviamo n + n = oppure n per n +.

126 7. FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI Se n = ( n,..., N n ) R N, allora è facile verificare che n = in R N n + n + i n = i in R per ogni i =,..., N. Cioè una successione ( n ) n N di vettori converge se e solo se converge componente per componente al vettore. Con la definizione precedente di convergenza per una successione di punti (vettori) di R N, possiamo estendere facilmente le definizioni date in R. Definizione 7.3. Un punto c R N si dice punto di accumulazione dell insieme X R N se esiste una successione ( n ) n N R N con n X per ogni n N, n c per ogni n N, n + n = c. Definizione 7.4 (Limiti per le Funzioni). Sia f : X R N R una funzione reale di più variabili reali e sia c R N un punto di accumulazione di X. Allora diremo che f tende a l R per tendente a c se per ogni successione ( n ) n N X \ {c} con In questo caso scriveremo n = c segue che f( n) = l. n + n + f() = l oppure f() l per c. c Osservazioni. Si osservi che la definizione di ite per funzioni di più variabili può essere data solo per c R N, cioè al finito, poiché, a differenza di R, non essendoci un ordinamento naturale in R N non si può definire una direzione privilegiata secondo cui raggiungere in R N Il concetto di ite per le funzioni come definito sopra si basa su quello del ite per le successioni. Come nel caso di una variabile esiste anche un altra possibilità di introdurre iti per le funzioni di più variabili che non fa riferimento alle successioni: f() = l ε > δ > tale che f() l < ε X con c < δ c La definizione di ite in R N conserva molte delle proprietà di quella in R. In particolare valgono i seguenti risultati (i) unicità del ite; (ii) le Regole per il calcolo dei iti di una somma, differenza, prodotto, quoziente di funzioni (cfr. pagina 38). Calcolo dei Limiti in R N Mentre, come abbiamo visto, la definizione di ite in R N non presenta particolari difficoltà aggiuntive rispetto al caso di R, il calcolo dei iti presenta in questo caso delle difficoltà aggiuntive. Ciò è dovuto al fatto che, rispetto al caso di R, possiamo avvicinarci al punto in cui vogliamo calcolare il ite da molte direzioni e modi diversi. Per semplicità ci restringeremo al caso di R e sempre considereremo come punto di accumulazione (, ). Una Condizione per la non Esistenza del Limite. Consideriamo il ite y (,y) (,) + y Si osservi che (, ) è di accumulazione per R \{(, )}, dominio della funzione f(, y) = y +y. Dato l insieme delle rette che passano per l origine, quindi y = m al variare di

127 CALCOLO DEI LIMITI IN R N m R, si consideri la restrizione di f ad una di queste rette, cioè f(, m), e se ne calcoli il ite per : f(, m) = m + m = m + m. Risulta quindi dal precedente calcolo che il ite di f per (, y) (, ) dipende dalla direzione scelta per avvicinarci all origine, cioè dal parametro m, e quindi il ite non esiste. In altre parole, se scegliamo successioni tendenti al punto di accumulazione da direzioni diverse, i corrispondenti valori ite saranno diversi in contraddizione con la definizione di ite. Proposizione 7.5 (Condizione necessaria). Affinché il ite (,y) (,) f(, y) esista è necessario (ma non sufficiente) che esistano e siano uguali i iti f(, m) al variare di m R. La proposizione precedente fornisce anche un candidato l R per il ite (,y) (,) f(, y). Infatti se tale ite esiste, esso deve coincidere con il ite lungo le rette. Il seguente esempio mostra come la condizione precedente sia solo necessaria, ma non sufficiente a garantire l esistenza del ite. Consideriamo (,y) (,) y 4 + y. Si ha che m 3 f(, m) = 4 + m = per ogni m R. Quindi tutti i iti al variare di m R esistano e sono uguali. Pertanto se il ite di f esiste, deve essere uguale a. Consideriamo ora la curva y =. Tale curva passa per il punto di accumulazione (, ), quindi fornisce un altro modo per avvicinarsi ad esso. Consideriamo la restrizione di f a tale curva e calcoliamone il ite per, cioè muovendoci verso il punto di accumulazione. Allora si ha f(, 4 ) = =!! Quindi abbiamo trovato una curva passante per il punto di accumulazione, muovendoci lungo la quale troviamo un diverso valore del ite. Possiamo pertanto concludere che il (,y) (,) non esiste. y 4 +y Osservazione. Le scelta della curva y = è stata fatta per ristabilire il rapporto omogeneo fra le variabili e y. Infatti sia al numeratore che al denominatore il rapporto fra il grado della e della y è a Concludiamo questa prima parte con un procedimento generale per dimostrare la non esistenza di un ite: Per dimostrare la non esistenza di un ite è sufficiente trovare due curve passanti per il punto di accumulazione tali che i iti (in una variabile) della funzione ristretta a queste curve siano diversi (o non esistono). Una Tecnica per Dimostrare l Esistenza del Limite. Fin qui abbiamo visto come si può dimostrare la non esistenza di un ite. Adesso vediamo come si può dimostrare l esistenza di un ite. Coordinate polari: Ricordiamo (cfr. corso di Geometria) che un punto P del piano, oltre che con le sue coordinate cartesiane (, y), può essere rappresentato con le coordinate polari (ρ, ϑ) [, ) [, π).

128 7. FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI y ½ P =(,y) P =(½,#) in coordinate cartesiane in coordinate polari # Figura 75. Coordinate polari. Le formule di passaggio da coordinate cartesiane a coordinate polari sono date da { { = ρ cos(ϑ) ρ = + y y = ρ sin(ϑ) tan ϑ = y Si noti che la relazione tan ϑ = y non può essere esplicitata in quanto la funzione tan non è invertibile in [, π). Consideriamo un esempio (,y) (,) y + y. Innanzitutto osserviamo che f(, m) = per ogni m R, quindi se il ite l esiste deve essere. Riscriviamo la funzione f in coordinate polari utilizzando le relazioni precedenti, cioè f(, y) = f ( ρ cos(ϑ), ρ sin(ϑ) ) = ρ cos (ϑ) ρ sin(ϑ) ρ. Si ha, utilizzando sin(ϑ), cos(ϑ), f(ρ, ϑ) l = ρ 3 cos (ϑ) sin(ϑ) ρ = ρ cos (ϑ) sin(ϑ) ρ per ρ. Si noti che ρ equivale a dire (, y) (, ). Quindi abbiamo maggiorato f(ρ, ϑ) l con una quantità che dipende solo dalla distanza dall origine (cioè ρ) e non dalla direzione di avvicinamento (cioè ϑ) all origine. La proprietà precedente consente di concludere che il ite esiste e vale l =. Riassumiamo: Per dimostrare che (,y) (,) f(, y) = l è sufficiente, avendo espresso la funzione in coordinate polari, ottenere una disuguaglianza del tipo f ( ρ cos(ϑ), ρ sin(ϑ) ) l g(ρ) ove la funzione g(ρ) tende a per ρ. Esempio. Si consideri sin( y) + + y (,y) (,) + y. È facile verificare che f(, m) = per ogni m R, quindi se il ite l esiste deve essere. Si ha f(ρ, ϑ) = sin(ρ3 cos (ϑ) sin(ϑ))+ρ e quindi ρ f(ρ, ϑ) l = sin(ρ 3 cos (ϑ) sin(ϑ)) ρ Se procediamo utilizzando come prima sin(t), si ottiene { }} { f(ρ, ϑ) l sin(ρ 3 cos (ϑ) sin(ϑ)) = ρ per ρ. ρ

129 CONTINUITÀ 3 Quindi non possiamo concludere l esistenza del ite. Tuttavia possiamo ricordare che sin(t) t per t R, quindi per t = ρ 3 cos (ϑ) sin(ϑ), f(ρ, ϑ) l ρ3 cos (ϑ) sin(ϑ) ρ ρ3 { }} { cos (ϑ) sin(ϑ) ρ ρ per ρ. Continuità Come conseguenza della definizione di ite si può dare la definizione di continuità Definizione 7.6 (Continuità). Una funzione f : X R N R si chiama continua in X se per ogni successione ( n ) n N X con n segue f( n ) f( ) per n + ; continua, se è continua in ogni X. Denotiamo con C(X) := {f : X R : f è continua} l insieme delle funzioni continue su X. Valgono molte delle osservazioni fatte nel caso di R. Osservazioni. La continuità si può anche definire senza fare riferimento alle successioni: f è continua in per ogni ε > esiste δ > tale che f() f( ) ε per ogni X con < δ. Se X è un punto di accumulazione di X, allora f è continua in f() = f( ). Se X non è un punto di accumulazione di X (in questo caso si dice anche che è un punto isolato di X), allora f è sempre continua in. Somme, differenze, prodotti, rapporti e composizione di funzioni continue sono continue. Esempio. Si consideri la funzione f : R R definita da f(, y) = sin(y + ). Essa risulta continua in quanto composizione delle funzioni continue p(, y) = y + (polinomio in due variabili) e g(t) = sin(t) (funzione continua su R).

130 CAPITOLO 8 Calcolo Differenziale per Funzioni Reali di più Variabili In questo capito si estenderà il concetto di derivazione alle funzioni di piú variabili reali. Introduciamo la definizione di intorno circolare di un punto in R N. Per R N e r >, definiamo intorno (circolare) di raggio r l insieme B r ( ) := { R N : < r }. Esso rappresenta il luogo dei punti che hanno distanza minore di r da. Se R e r >, allora l insieme B r ( ) = { R : < r} è dato dall intervallo ( r, + r). In R esso geometricamente rappresenta il cerchio (esclusa la circonferenza) di centro e raggio r ed in R 3 la sfera (esclusa la superficie sferica) di centro e raggio r. Definizione 8.. Dato un sottoinsieme X R N, un punto si dice interno a X se esiste r > tale che l intorno B r ( ) X. Inoltre X si chiama aperto se ogni X è interno, chiuso se il complemento R N \ X è aperto. Se il punto è interno al dominio di una funzione, vuol dire che possiamo avvicinarci al punto da ogni direzione rimanendo all interno del dominio. I Concetti di Derivabilità in R N Mentre per le funzioni reali di una variabile esiste soltanto un concetto di derivabilità scopriremo in seguito che per funzioni di più variabili la situazione è più complicata. Derivabilità e Derivate Parziali. Una prima generalizzazione del concetto di derivata è data dalla seguente Definizione 8.. Sia f : X R N R e = (,..., N ) X un punto interno di X. Se, dato i {,..., N} esiste f(,..., i, i + h, i+,..., N ) f(,..., i,..., N ) =: f ( ) R h h i allora f si dice derivabile parzialmente rispetto i in con derivata parziale f i ( ). Altre notazioni: f i ( ) = D i f( ). Osservazione. Per N =, abbiamo la derivate parziali rispetto e rispetto y f( + h, y ) f(, y ) =: f h h (, y ) = f (, y ) f(, y + h) f(, y ) =: f h h y (, y ) = f y (, y ) Osservazione. Per spiegare il significato delle derivate parziali consideriamo il caso N =. La derivata parziale rispetto corrisponde a fare la derivata ordinaria (cioè rispetto una variabile) della funzione g() := f(, y ) che è la restrizione di f alla retta y = y, cfr. Figura 76. Quindi f (, y ) fornisce informazioni sulla crescenza/decrescenza di f lungo la retta y = y nell intorno del punto (, y ). Un interpretazione analoga vale per f y (, y ). 4

131 I CONCETTI DI DERIVABILITÀ IN RN 5 z=f(,y) y y P =(,y ) = y=y h(y)=f(,y) g()=f(,y ) y y f (,y )=g ( )=tan( ) f y (,y )=h (y )=tan( ) Figura 76. Derivate parziali. Osservazione. Per calcolare le derivate parziali di una funzione, se le funzioni che la compongono sono derivabili, è sufficiente derivare in maniera ordinaria, considerando le altre variabili come costanti. Ad esempio Se f(, y) = 3 y y + 3y, allora f (, y) = 6 y + 3y, f y (, y) = 3 y + 3 Se f(, y) = e y + y, allora f (, y) = y ey, f y (, y) = ey + y Se f(, y, z) = cos(yz), allora f f z (, y, z) = y sin(yz) f (, y, z) = yz sin(yz), y (, y, z) = z sin(yz), Se peró le funzioni che intervengono non sono derivabili, bisogna passare attraverso la definizione di derivate parziale. Sia f(, y) = y, allora in un punto del tipo (, y), non possiamo derivare direttamente rispetto, ma dobbiamo passare attraverso la definizione { f(h, y) f(, y) h y se y, f (, y) = = h h h h = se y =. Definizione 8.3. Sia f : X R N R e X interno a X. Se f è derivabile parzialmente rispetto i in per ogni i {,..., N}, allora f si dice derivabile (parzialmente)

132 6 8. CALCOLO DIFFERENZIALE in. In tal caso si può definire il vettore delle derivate parziali ( ) f f Df( ) = ( ),..., ( ) R N N Tale vettore si chiama gradiente di f in. Inoltre si usano anche le notazioni Df() =: grad f() =: f() nabla di f. Esempio. Se f(, y) = 3 y y + 3y, allora Df(, y) = (6 y + 3y, 3 y + 3). Osservazione. Avendo dato una definizione di derivabilità è naturale chiedersi se essa gode delle stesse proprietà del caso unidimensionale. Il seguente esempio mostra che non è così!! Consideriamo la funzione { y se (, y) (, ), f(, y) = +y se (, y) = (, ). Abbiamo verificato (cfr. pagina ) che tale funzione non ammette ite e quindi non è continua in (, ). Tuttavia in (, ) esistono le derivate parziali e analogamente f y (, ) =. f f(h, ) f(, ) (, ) = = h h h h = Questa osservazione ci porta a concludere che la precedente definizione di derivabilità non è la corretta generalizzazione di quella unidimensionale. Si osservi che d altra parte la continuità non implica la derivabilità, poiché ad esempio la funzione f(, y) = + y = (, y) è continua, ma non è derivabile in (, ). Per trovare la giusta generalizzazione del concetto di derivabilità dal caso unidimensionale a quello di più variabili ricordiamo che per una funzione reale f : (a, b) R e (a, b) di una variabile le seguenti affermazioni sono equivalenti, cfr. pagina 66. (a) f è derivabile in, cioè f( +h) f( ) h h converge. (b) Esiste A R tale che f() = f( ) + A ( ) + o( ) per e in quel caso A = f ( ). Differenziabilità. Abbiamo visto che generalizzando la prima proprietà sulla convergenza dei rapporti incrementali non si ottiene una proprietà soddisfacente in R N. Nella prossima definizione seguiamo il secondo approccio. Definizione 8.4. Sia f : X R N R e X un punto interno di X. Se esiste un vettore A R N tale che f() = f( ) + A ( ) + o( ) per allora f si dice differenziabile in (il simbolo denota in questo caso il prodotto scalare tra vettori in R N ). Osservazioni. Se f è differenziabile in, allora risulta che f e anche derivabile in e A = Df( ). Quindi si ha f() = f( ) + Df( ) ( ) + o( ) per. In particolare segue differenziabilità derivabilità Si dimostra come nel caso di R che la differenziabilità continuità Quindi derivabilità e continuità sono condizioni necessarie ma non sufficienti per la differenziabilità (si veda l osservazione sulla pagina 6)

133 I CONCETTI DI DERIVABILITÀ IN RN 7 Ricordando la definizione di o( ) la condizione f() = f( ) + Df( ) ( ) + o( ) per si può riscrivere come ( f() f( ) + Df( ) ( ) ) = (ite in R!) Il termine lineare nella definizione di differenziabilità fornisce l equazione z = p() = f( ) + Df( ) ( ) del piano tangente p al grafico di f nel punto, cioè il piano (o più propriamente l iperpiano) che localmente ha un unico punto di intersezione con il grafico di f, cfr. Figura 77. Si osserva che per N = l equazione del piano tangente è data da p(, y) = f(, y ) + ( f (, y ), f y (, y ) ) (, y y ) = f(, y ) + f (, y ) ( ) + f y (, y ) (y y ). p(,y) f(,y) y (,y ) Figura 77. Piano tangente. y La seguente proposizione fornisce una condizione sufficiente per la differenziabiltà che a volte risulta più semplice da verificare. Proposizione 8.5. Sia f : X R N R e X un punto interno di X. Se esiste r > tale che f è derivabile con continuità in B r ( ) (cioè le derivate parziali esistono e sono continue in B r ( )) allora f è differenziabile in. Riassumendo abbiamo f derivabile con continuità = = f differenziabile = = f derivabile parzialmente = = = f continua Derivate Direzionali. Concludiamo le varie definizioni di derivabilità con quella di derivata direzionale. Definizione 8.6. Sia f : X R N R, X un punto interno di X e v R N un versore, cioè v =. Se esiste = f( + hv) f( ) =: f h h v ( ) R allora f si dice derivabile rispetto la direzione v in con derivata direzionale f v ( ). Altre notazioni: f v ( ) = D v f( ).

134 8 8. CALCOLO DIFFERENZIALE Osservazione. La derivata direzionale rispetto corrisponde a fare la derivata ordinaria (cioè rispetto una variabile) della funzione F (t) = f( + tv), t R, che è la restrizione della f alla retta y = +tv. Quindi essa fornisce informazioni sul comportamento (crescenza/decrescenza) della f lungo tale retta nell intorno del punto. Se v coincide con i-esimo vettore della base canonica di R N, cioè v = (,...,, }{{},,..., ) allora f v ( ) coincide con la i-sima derivate parziale f i-esimo i ( ), cfr. Figura 78. z=f(,y) F(t)=f(P +tv) D v f(,y )=F ()=tan(') ' y P =(,y ) v =(v,v ) y t Figura 78. Derivata direzionale. Si ha il seguente importante teorema che lega gradiente e derivate direzionali. Oltre a fornire una semplice regola per il calcolo delle derivate direzionale, esso ha applicazioni in fisica. Teorema 8.7 (Teorema del gradiente). Sia f : X R N R, X interno a X e v R N un versore. Se f è differenziabile in allora f v ( ) = Df( ) v Osservazione. Dal teorema precedente segue che se f è differenziabile in, allora in esistono le derivate direzionali secondo ogni direzione v. ( ) Esempio. Sia f(, y) = 3 y y + 3y, v =, e (, y) = (, ). Allora f ( ) ( ) v (, ) = Df(, ), = (9, 3), = = = 6 Osservazione. Diamo ora due significative proprietà geometriche del gradiente. ) Dal teorema del gradiente si ha che f ma v: v = v ( ) = ma Df( ) v = Df( ) v: v = Df( ) Df( ) visto che il prodotto scalare tra due vettori è massimo se i due vettori sono paralleli e concordi. Quindi la derivata direzionale è massima nella direzione del gradiente. Ricordando l interpretazione della derivata direzionale come misura del tasso di crescita di f in una data direzione, possiamo concludere che il gradiente Df punta nella direzione di massima crescita di f. Inoltre, Df punta nella direzione di massima decrescita di f. ) Consideriamo ora la curva di livello di f per il punto, cioè Γ f( ) = { X : f() = f( ) }. Supponendo che Γ f( ) sia una curva regolare (potrebbe non essere vero), sia τ il versore tangente a Γ f( ) in. Poiché f è costante su Γ f( ) e muoversi lungo la direzione τ corrisponde, a meno di termini di ordine superiore, a muoversi lungo la curva Γ f( ), si ha euristicamente f τ ( ) =.

135 DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE 9 Quindi dal Teorema del Gradiente segue Df( ) τ =. Ricordando che il prodotto scalare tra due vettori è nullo solo se i due vettori sono perpendicolari, concludiamo che Df( ) è ortogonale alla curva di livello di f per, cfr. Figura 79. Figura 79. Grafico e linee di livello con gradiente. Derivate di Ordine Superiore Definizione 8.8. Se f è derivabile parzialmente rispetto i ed è tale che f i è nuovamente derivabile parzialmente rispetto la variabile j, allora possiamo definire ( ) f f =: = derivata seconda di f rispetto i e j =: D j i i i, j f =: f i, j j e si può continuare in questa maniera considerando derivate parziali di ordine superiore. Esempio. Sia f(, y) = 3 y y + 3y, allora f (, y) = y, f yy (, y) =, f y (, y) = f y (, y) = Osserviamo che le derivate parziali f y e f y coincidono nell esempio precedente. È naturale chiedersi se conta l ordine rispetto cui deriviamo, cioè se f i j = f j i. Il seguente teorema garantisce che sotto opportune condizioni l ordine non è importante. Teorema 8.9 (Teorema di Schwarz). Sia f : X R N R, X, interno. Se in esistono e sono continue entrambe le derivate parziali f i j ( ) e f j i ( ), allora esse coincidono, cioè f ( ) = f ( ). i j j i Supponiamo che la funzione f ammetta in tutte le derivate seconde e consideriamo la matrice N N definita nel seguente modo f ( ) f ( )... f N ( ) f Hf( ) = ( ) f ( )... f N ( ) f N ( ) f N ( )... f N N ( ) Quindi nell i-esima riga abbiamo le derivate seconde fatte prima rispetto alla variabile i e poi rispetto alle altre variabili (in ordine crescente). La matrice Hf( ) è detta matrice di Hesse (d ora in avanti semplicemente Hessiana) di f in. Dal teorema di Schwarz segue che la Hessiana è simmetrica.