Prova scritta di Complementi di Probabilità e Statistica. 7 Dicembre 2012
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- Francesco Rizzi
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1 Prova scritta di Complementi di Probabilità e Statistica 7 Dicembre. Un ingegnere vuole investigare se le caratteristiche di una superficie metallica sono influenzate dal tipo di pittura usata e dal tempo di asciugatura. Seleziona dunque 3 tempi di asciugatura (, 5 e 3 minuti) e due tipi di pittura ( e ). Vengono effettuate tre ripetizioni per combinazione e misurato un indice di performance relativo alle caratteristiche esaminate. I dati sono assegnati in tabella. Effettuare un ANOVA. Valutare anche le interazioni tra fattori. Effettuare comunque una analisi dei residui. Tempo di asciugatura La tavola che segue mostra osservazioni sulla concentrazione dell output di un processo chimico. Le osservazioni sono prese ad intervalli di un ora. Se più osservazioni fossero prese contemporaneamente, queste differirebbero solo per effetto dell errore di misurazione. Poiché tale errore è stato stimato trascurabile, viene presa una misurazione ogni ora. Costruire la relativa carta di controllo. Costruire la carta di controllo CUMSUM prendendo come valore di riferimento del processo in esame. Osser Concent Osser Concent Per un processo di produzione di componenti elettronici, una corrente ha specifiche ±milliampere. Il processo ha deviazione standard pari a.5. Determinare l indice di capacità del processo Cp. 4. Sono state monitorate 5 sezioni di censimento. Determinare quali sono le componenti principali associate al dataset. Provare a darne una interpretazione statistica.
2 Sezioni Popolazione in migliaia Mediana anni scolastici Totale lavoratori (in migliaia) Lavoratori presso strutture sanit Reddito mediano $.) (in
3 Prova scritta di Complementi di Probabilità e Statistica Soluzioni - 7 Dicembre. Un ingegnere vuole investigare se le caratteristiche di una superficie metallica sono influenzate dal tipo di pittura usata e dal tempo di asciugatura. Seleziona dunque 3 tempi di asciugatura (, 5 e 3 minuti) e due tipi di pittura ( e ). Vengono effettuate tre ripetizioni per combinazione e misurato un indice di performance relativo alle caratteristiche esaminate. I dati sono assegnati in tabella. Effettuare un ANOVA. Valutare anche le interazioni tra fattori. Tempo di asciugatura Si tratta di una ANOVA a due fattori con repliche. L analisi con Excel restituisce la seguente tabella: Analisi varianza: a due fattori con replica RIEPILOGO 5 3 Totale Conteggio Somma Media 6, , Varianza 45,3333, ,75 Conteggio Somma Media 8 86, , ,88889
4 Varianza 56 58,3333 4,3333 7,86 Totale Conteggio Somma Media 7, , ,6667 Varianza 3, , ,7667 ANALISI VARIANZA Origine della variazione SQ gdl MQ F Valore di significatività F crit Campione 355, ,5556,9497,9963 4,747 Colonne 7, ,7,7344,996 3,8859 Interazione 878, ,3889 5,6457,5959 3,8859 In 4,667 86,8889 Totale 454,444 7 da cui si evince che tra i due fattori in esame c è interazione, essendo il p-value pari a.5. Pertanto nulla si può aggiungere sui fattori. Effettuare i box-plots per un commento qualitativo sulle differenze dei fattori. Per il grafico delle interazioni, la tabella delle medie risulta 5 3 6, , , ,33333
5 Interazioni da cui si evince la presenza di interazioni. Per i residui, sulle righe (/) il q-q plot restituisce un andamento rettilineo. Q-Qplot /,5, ,5,5 - -,5 - -,5 Serie Per il test KS, il valore della statistica test risulta. che confrontato con il quantile.3 corrispondente ad un campione di taglia 8 e un livello di significatività pari a.5 consente di non rigettare l ipotesi che il campione casuale proviene da una popolazione gaussiana. Per i residui, sulle colonne (/5/3) il q-q plot restituisce un andamento rettilineo. Q-Q plot colonne ,5 - -,5,5,5,5 - -,5 Serie
6 Per il test KS, il valore della statistica test risulta.8 che confrontato con il quantile.3 corrispondente ad un campione di taglia 8 e un livello di significatività pari a.5 consente di non rigettare l ipotesi che il campione casuale proviene da una popolazione gaussiana..la tavola che segue mostra osservazioni sulla concentrazione dell output di un processo chimico. Le osservazioni sono prese ad intervalli di un ora. Se più osservazioni fossero prese contemporaneamente, queste differirebbero solo per effetto dell errore di misurazione. Poiché tale errore è stato stimato trascurabile, viene presa una misurazione ogni ora. Costruire la relativa carta di controllo. Costruire la carta di controllo CUMSUM prendendo come valore di riferimento del processo in esame. Si tratta di una carta di controllo MR. Per la media si ha Carta per la media, 5,, 95, 9, dati LC LINF LSUP 85, da cui risulta che il processo è in controllo statistico. Per l escursione
7 Carta MR dati LC LINF LSUP si evince che la rilevazione 3, e 6 sono fuori controllo statistico. La carta di controllo CUMSUM, effettua il grafico delle somme parziali S = ( X µ ) Carta cumsum i i j= i. La carta risulta essere 5,, -5, , cum -5, -, -5, C è uno shift verso il basso e quindi il processo è fuori controllo statistico. Per un processo di produzione di componenti elettronici, una corrente ha specifiche ±milliampere. Il processo ha deviazione standard pari a.5. Determinare l indice di capacità del processo Cp. L indice di capacità Cp=(ULC-LLC)/6σ vale /(6*.5)=,. Sono state monitorate 5 sezioni di censimento. Determinare le prime componenti principali. Provare a darne una interpretazione statistica. La matrice dei dati è stata memorizzata in una vettore x in matlab. La matrice di correlazione risulta >> C=corrcoef(x)
8 C = La scelta della matrice di correlazione si rende necessaria perché i dati hanno unità di misura molto diverse tra loro. Per effettuare la PCA bisogna determinare gli autovalori di questa matrice. In Matlab, questo calcolo viene realizzato dalla procedura SVD. >> [U,S,V] = svd(c) U = S =
9 V = Gli autovalori sono sulla diagonale della matrice S, gli autovettori sono sulle colonne della matrice U. La percentuale di variabilità riassunta dagli autovalori risulta essere.658 (aut=3.89).864 (aut=.9).9785 (aut=.575).9976 (aut=.954). (aut=.) Pertanto le prime due componenti principali riassumono l 86% della variabilità del campione e sono sufficienti per la sua riduzione. Nella prima componente principale tutte le variabili hanno peso negativo, fatta eccezione per l ultima che difatti è associata ad una variabile (il reddito) il cui carattere qualitativo è totalmente diverso dagli altri.
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