Riprendiamo le probabilità. 1.Probabilità a priori oggettiva 2.Probabilità a posteriori frequentista

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1 Riprendiamo le probabilità 1.Probabilità a priori oggettiva 2.Probabilità a posteriori frequentista 1

2 2.Probabilità a posteriori frequentista Tabelle di sopravvivenza.! Volendo calcolare la probabilità di sopravvivenza di una persona da un anno al successivo, ci sono due esiti elementari, fortunatamente non equiprobabili. Non è come lanciare una moneta.! Probabilità di sopravvivere degli italiani residenti in Lombardia nel 1991, che il 1 gennaio erano nella fascia d età anni. Guardiamo i dati ISTAT : popolazione decessi 4494 percentuale

3 Frequenze relative. N italiani, residenti in Lombardia, di età compresa tra 55 e 59 anni, in vita all inizio del m 4994 italiani, residenti in Lombardia, di età compresa tra 55 e 59 anni, non più in vita il 31 dicembre f m m/ N frequenza relativa di mortalità. f v (N-m) / N frequenza relativa di sopravvivenza. che relazione c è tra i due numeri f m e f v? 3

4 Probabilità a posteriori frequentista.! Possiamo usare questi dati per avere un idea sulla probabilità di sopravvivenza nel 1992 degli italiani residenti in Lombardia di età compresa tra i 55 e 59 anni?! Potremmo assumere la frequenza di sopravvivenza del 1991 come probabilità di sopravvivere nel Legge empirica del caso: in una serie di prove ripetute molte volte nelle medesime condizioni, ciascun evento possibile si manifesta con una frequenza relativa che si può assumere come probabilità dell evento stesso. 4

5 3. Probabilità soggettiva Scommesse.! Nella formulazione di una scommessa entra la valutazione della probabilità del realizzarsi di una qualche situazione (vince/perde..). " non è una probabilità del tipo classico CF/CP " non è una probabilità di tipo frequentista (non ci sono prove ripetute..) " ma si basa sulla valutazione soggettiva della riuscita di quell evento.! diversi soggetti possono dare diverse valutazioni e dunque diverse probabilità! lo stesso soggetto può dare valutazioni diverse a seconda delle informazioni che possiede. 5

6 Probabilità soggettiva Ciascun soggetto valuterà la probabilità di un evento E nel modo seguente: E) s / S, dove s è il prezzo massimo che quel soggetto stima equo pagare per avere il diritto di ricevere il compenso S se E si verifica e 0 se non si verifica. Esempio : dire che per me il cavallo Fulmine ha la probabilità del 60% di vincere significa che sono disposto a scommettere 60! per avere diritto di ricevere 100! in caso di vittoria. In caso di vittoria guadagno 40! altrimenti perdo i 60! giocati 6

7 Definizione Assiomatica Def. Evento: qualunque risultato di un esperimento fisico o concettuale non prevedibile a priori. Def. L insieme S di tutti i possibili esiti di un dato esperimento è detto spazio campionario. Un elemento di S si dice punto campionario!"s. Def.Ogni sottoinsieme di S si dice evento. In particolare: " se il sottoinsieme è costituito da un solo punto campione si dice evento elementare; " se è l insieme vuoto Ø si dice evento impossibile; " se è l insieme S stesso si dice evento certo. N.B. l insieme degli eventi se S è finito coincide con S ù,ù,..., l insieme delle parti di S. { } 1 2 ù n 7

8 Esempi di spazio campionario 1) Esperimento : due lanci di una moneta. Spazio campionario S {TT, TC, CT, CC} Evento A : si presenta almeno una volta T A {TT, TC, CT} #S. Eventi elementari : {TT}, {TC}, {CT}, {CC}. Evento certo : S. 2) Esperimento : lancio di una moneta fino ad ottenere T. S {T, CT, CCT, CCCT,..} Evento A: ottenere per la prima volta T al 3 lancio {CCT}#S 3) Esperimento : lancio di una dado S {1,2,3,4,5,6} Evento A: ottenere un numero dispari {1,3,5}#S 8

9 Continua. 4) Esperimento : valutazione del numero di pezzi difettosi prodotti da una macchina in un certo periodo di tempo. S {0, 1,2,,n} n numero massimo di pezzi prodotti Evento A: osservare al massimo 5 pezzi difettosi 5) Esperimento: durata di vita di una lampadina. S {t 0<t<m} m massima durata Evento A: osservare una durata di vita di una lampadina >5 giorni 9

10 Definizione assiomatica. Eventi incompatibili Def.: Due eventi A e B dello spazio campionario S si dicono incompatibili o disgiunti se risulta A $ B Ø, cioè se A è verificato e B non lo è (o viceversa) Def.: Sia S uno spazio campionario finito P (S) l insieme delle parti di S. Una funzione P : P (S) % R è detta misura di probabilità se soddisfa le seguenti proprietà: A1) Per ogni evento A : 0 " A) " 1. A2) S) 1. A3) Se A e B sono incompatibili allora A & B) A) + B). 10

11 Proprietà Proprietà 1 A C ) 1- A) infatti: A $ A C Ø A & A C S A & A C ) A)+ A C ) 1 A C ) 1-A) Proprietà 2 Ø) 0 infatti: Ø)1-S)1-10 Proprietà 3 A $ B) 0 se A $ B Ø Proprietà 4 Se A! B allora A)! B). Teorema Dati due eventi A e B, A & B) A) + B) B $ A) 11

12 Esempio 1.a: due lanci di una moneta Voglio introdurre in S una misura di probabilità.! 1^ ipotesi : ogni evento elementare ha eguale probabilità : x TT) TC) CT) CC).! Usando i postulati determino il valore di x: S) 1 per A2. S) TT) + TC) + CT) + CC) per A3. S) 4x 1 e quindi x. Evento A : si presenta almeno una volta T 3 A) TT) + TC) + CT) 4 Spazio di probabilità uniforme

13 Esempio 1.b. Supponiamo di avere saputo che la moneta è truccata: CC) 1/9, TC) CT) 2/9. Mi domando : A)? Dove A: esce almeno 1 T. A {TC, CT, TT} p(a) TC) + CT) + TT); S) TT) + TC) + CT) + CC) Ipot A3 A2 1/9 + 4/9 + TT) 1 TT) 1 5/9 4/9 A) 2/9+2/9+4/9 8/9 > 3/4 13

14 Esercizi 1 Calcolare la probabilità che, lanciando due dadi, si presenti almeno una volta la faccia 4. 2 Calcolare la probabilità di estrarre, da un mazzo di 52 carte, o il tre di picche o il 6 di fiori. 3 Calcolare la probabilità di estrarre, da un mazzo di 52 carte, o un Re o un Quadri. 4 Calcolare la probabilità di estrarre, da un mazzo di 52 carte, né un 4 né un picche. 5 Calcolare la probabilità che, lanciando due dadi, si abbia o somma 6 o si presenti la stessa faccia. 6 Calcolare la probabilità che, lanciando due dadi, si abbia o somma 5 o si presenti la faccia del primo dado maggiore della faccia del secondo dado. 7 Da un mazzo di 52 carte si estraggono 2 carte: calcolare la probabilità che siano entrambe fiori (A), oppure entrambe picche (B), oppure una fiori e una picche (C). Verificare che gli eventi A,B,C sono incompatibili. 8 Date 4 palline di cui 2 Bianche e due Nere, se ne estraggono 2: calcolare la probabilità di estrarre due colori diversi. 9 Se p(a)2p(b), p(aub)5/8, p(a$b)1/8, determinare p(a) e p(b). 14

15 Esercizi 10 Urna con 20 palline bianche, 30 rosse, 40 nere. Si estraggono 3 palline senza reimbussolamento. Calcolare la probabilità che siano 1 A: tutte rosse 2 B tutte nere 3 C: 2 rosse e una nera 4 D: nessuna nera 5 E: Almeno una rossa 6 F: Né rosse né nere 11 I pezzi prodotti da una macchina possono avere due tipi di difetti: a o b. Si che a)0,1 e non b)0,8 e a$b)0,01. Calcolare la probabilità che un pezzo non abbia difetti. 12 n studenti della classe 4. (con n<365).calcolare la probabilità che due compiano gli anni lo stesso giorno. 15

16 Probabilità delle cause: #$ Probabilità condizionata %$ Teorema delle probabilità composte A" B) A) B/A) &$ Teorema delle probabilità totali B )! '$ Teorema delle probabilità delle cause n i 1 A! B ) A / B ) B ) B " A P ( A / B ) B) A/B) n i )! B / Ai ) Ai ) i 1 B / A ) A ) B ) ($ Teorema di Bayes A k /B) A k ) B / B) A k ) n A! i 1 k ) B / i A A ) B / A ) k 16 ) i

17 1. Probabilità condizionata. In molte questioni ha interesse determinare la probabilità di un evento quando si è verificato l evento A. B/A : B nell ipotesi che A si sia verificato. Def dati due eventi A e B, la probabilità di B subordinato ad A, o anche probabilità condizionata di B dato A, si indica con B/A) e vale : B/A) P ( A! B) A) N.B.:A)'0, cioè A non è l evento impossibile. Per dare una giustificazione di questa definizione, possiamo ritenere A un nuovo spazio degli eventi ( 1, poiché A si è già verificato. U A B 17

18 Esempio! Per dare una giustificazione di questa definizione consideriamo il seguente semplice esempio:! consideriamo 8 matite caratterizzate da colore e durezza: Matite colore durezza(n ) 1 R 4! Si estrae a caso una matita, in ipotesi di equiprobabilità. A{estrazione di matita rossa} 2 R 4 B{estrazione di matita n 4} A$B{estrazione di matita rossa del n 4} Calcoliamo: A)3/8 B)5/8 A$B)2/8 3 R 2 4 N 4 Sapendo che la matita estratta è rossa, qual è la probabilità che il numero sia 4? 18 5 N 4 6 N 2 7 N 2 8 N 4

19 ! Poiché A si è verificato, possiamo ritenere A il nuovo spazio degli eventi elementari: Quindi B/A)2/3 misura di probabilità costituita sulla classe degli eventi ( 1.! Possiamo esprimere questa probabilità riferita agli elementi di ( come rapporto: ( 1 A B ( B / A) / 8 3/ 8 A! B) A) 19

20 2. Teorema delle probabilità composte Dati due eventi A e B, la probabilità del loro prodotto logico è data da A" B) A) B/A) (e per simmetria!!!!) B) A/B). 20

21 Verso le probabilità totali. Esempio 1 Esperimento : 2 estrazioni di una pallina senza reimbussolamento da un urna che ne contiene 7 Rosse e 3 Blu. R : almeno una è r {(R 1 $ R 2 ), (R 1 $ B 2 ), (B 1 $ R 2 )} R)P{(R 1 $ R 2 ) & (R 1 $ B 2 ) & (B 1 $ R 2 )} R 1 $ R 2 )+R 1 $ B 2 )+B 1 $ R 2 ) R 2 /R 1 ) R 1 ) + B 2 /R 1 ) R 1 ) + R 2 /B 1 ) B 1 ) 6/9 7/10 + 3/9 7/10 + 7/9 3/10 14/15 Altro metodo : R non B, dove B : escono due blu. R)1-B) 1- B 1 $B 2 ) 1- B 2 /B 1 ) B 1 ) 1-2/9 3/10 1-6/9014/15. Fare un diagramma ad albero. 21

22 Esempio 2. I II Si hanno due scatole: I (5 R e 3N) II (3R e 7 N) R : estraggo una pallina rossa. Eventi : A 1 : estraggo da I A 2 : estraggo da II A 1 )A 2 )1/2 Qual è la probabilità che sia Rossa? R (R$A 1 ) & (R$ A 2 ) R) R$A 1 ) + R$A 2 ) R/A 1 ) A 1 ) + R/A 2 ) A 2 ) 5/8 # + 3/10 # 37/80. 22

23 Esempio 2: diagramma ad albero. 1/2 1/2 I 5/ 8 I 3/8 3/10 II 7/10 II R N R R) R $ A 1 ) + R $ A 2 ) A 1 ) R/A 1 ) + A 2 ) R/A 2 ) N # 5/8 + 1/2 3/10 37/80 23

24 3. Teorema delle probabilità totali. Generalizzazione al caso in cui l evento B sia condizionato da più cause (ad esempio si hanno 2,3, n scatole da cui estrarre una pallina Rossa): IPOTESI: " A 1, A 2,, A n, eventi a due a due incompatibili A i $A j ), i'j " A 1 & A 2 & & A n ( " B un evento dello spazio campionario (, condizionato dalle cause A 1, A 2,, A n n TESI : B )! i 1 B " A n! i ) B / Ai ) Ai ) i 1 24

25 Dim.: B (B$() B$(A 1 & A 2 &. & A n ) (B$A 1 )& (B$A 2 )& &(B $ A n ) B)B$A 1 )+B$A 2 )+ +B$A n ) B) B/A 1 )! A 1 ) + B/A 2 )! A 2 ) + +B/A n )!A n ) B ) n! i 1 B / i ) Ai ) N.B.: caso particolare più semplice, ma frequente è se B è condizionato dal fatto che A avvenga o A non avvenga, cioè: B) B/A)!A) + B/A c )! A c ) A 25

26 Ancora Esempio 2.! Formuliamo ora un altra domanda: Sapendo che è stata estratta una pallina rossa, qual è la probabilità che provenga dall urna A 2???, cioè : qual è la probabilità di A 2 condizionata a R??? A 2 /R)??? A 2 / R) R / A2 ) A2 ) R) Pr obabilità del cam min o favorevole Pr obabilità di R & 1 $ ' % #!* " 80 37! Per la simmetria del Teorema delle probabilità composte! N.B.: R / A1 ) A1 ) A 1 A 1 / R) / R) + A 2 R) / R) ! A2 ( R) R)

27 4. Probabilità delle cause. dal Teorema delle probabilità composte A$B) A/B) $ B) B/A) $ A) Si ottiene il Teorema delle probabilità delle cause P ( A / B ) B / A ) B ) A ) Dove, se B è condizionato da A 1, A 1, An, Teorema delle probabilità totali B ) n! i 1 B " A n! i ) B / Ai ) Ai ) i 1 27

28 5. Teorema di Bayes (1763) IPOTESI : " B ha come causa uno degli eventi A 1, A 2,., A n ; " A 1, A 2,., A n a due a due incompatibili; " A 1 &A 2 &. & A n S. TESI : A k /B) Ak ) B / Ak ) B) n A! i 1 Dim: è il teorema delle probabilità delle cause, dove a B, che dipende da n eventi, è applicato il teorema delle probabilità totali. k ) B / i A A ) B / A ) k ) i 28

29 Esempio 1-3 Urne! Lanciamo un dado: " se esce 5 si sceglie l urna 1 " Se esce 1 o 3 si sceglie l urna 2 " Se esce un punteggio pari si sceglie l urna 3! U 1 contiene 1 rossa, 2 Nere, 6 Blu! U 2 contiene 5 rossa, 3 Nere! U 3 contiene 3 rossa, 1 Blu Qual è la probabilità che, avendo estratto una pallina rossa, questa provenga da U 1? U 1 / R) R / U 1 ) U 1 R / U ) + R / U 1/ 9! 1/ 6 1/ 9! 1/ / 8! 1/ 3 + 3/ 4! 1/ ) U ) U 1 2 ) ) + R / U 3 ) U 3 ) 29

30 Diagramma ad albero prob casi fav. U1 1/9 2/9 R 1/54 4/ N 2/54 8/ /6 6/9 B 6/54 24/ /3 U2 5/8 R 5/24 45/ /8 N 3/24 27/ /2 3/4 R 3/8 81/ U3 1/4 B 1/8 27/ totale: 130 su

31 ! Esercizio: calcolare U 1 /N), U 1 /B), U 2 /R), U 3 /R) U 2 /N) e U 3 /B). (U 2 /R)45/130) (U 3 /R)81/130). 31

32 Esempio 2- Test diagnostico Supponiamo che in Italia i malati di una certa malattia siano 5000 su una popolazione di unità. In mancanza di altre informazioni, la probabilità (prima del test diagnostico) di avere quella malattia è 1/ Il test diagnostico non è esatto al 100%. Dopo aver sottoposto al test un campione di persone di cui si conoscono le condizioni di salute e si verifica il risultato, si ha il seguente risultato:! se si è malati (M), il test fornisce risposta Pos (Positivo) nel 99,8% dei casi;! se si è sani (S), fornisce risposta Neg (Negativo) nel 99,9% dei casi. #$ Quanto vale la probabilità di essere effettivamente malati se il test fornisce risposta positiva, cioè M/Pos)? %$ Quanto vale la probabilità di essere effettivamente sani se il test fornisce risposta negativa, cioè M/Pos)? &$ Confrontare il risultato con la probabilità che si aveva prima del test. 32

33 #$ La probabilità richiesta è data da: M / Pos) Pos / M ) M ) Pos / M ) M ) + Pos / S) S) Dove Pos/M)0,998 M)0,0001 e quindi S)0,9999 Neg/S)0,999 e quindi Pos/S)1- Neg/S)1-0,9990,001 Quindi: 0,998! 0,0001 M / Pos) 0,998! 0, ,001! 0,9999 0,09 La probabilità, dopo un risultato positivo al test, di avere effettivamente la malattia è di 9% (bassa!!), mentre prima del test diagnostico era di 0,01%. N.B.: ovviamente il risultato sarebbe molto diverso, se si considerassero come popolazione solo i soggetti a rischio: si avrebbe, a priori, una p(m) >>di 0,

34 %$ La probabilità richiesta è data da: S / Neg) Neg / Neg / S) S) S) S) + Neg / M ) M ) Dove Pos/M)0,998 M)0,0001 e quindi S)0,9999 Neg/S)0,999 e quindi Neg/M)1- Pos/M)1-0,9980,002 Quindi: 0,999! 0,9999 S / Neg) 0, ,999! 0, ,002! 0,0001 La probabilità, dopo un risultato negativo del test, di non avere effettivamente la malattia è praticamente del 100%. 34

35 Cambiamo popolazione! Se cambiamo popolazione e questa presenta la probabilità di avere malati nel 40% dei casi, i risultati sono: Sia M)40% Quindi i risultati sono affidabili. M/Pos)99,8% S/Neg)99,9% 35

36 Esempio 3- Controllo di qualità! Quattro ditte producono elettrocalamite che vendono in confezioni standard di 50 elettrocalamite. Elettro1 produce 1000 confezioni di elettrocalamite all ora, Elettro2 ne produce 1500, Elettro3 2000, Elettro La ditta Elettro1 presenta mediamente 2 elettrocalamite difettose per ogni scatolone, Elettro2 ne ha 3, Elettro3 ne ha 5, Elettro4 infine 6. Un cliente, che ha comprato una confezione da ciascuna ditta, trova il primo pezzo difettoso. Qual è la probabilità che quel pezzo sia stato prodotto da Elettro3? (è molto sbadato e ha confuso le scatole). e da Elettro1? da Elettro4? 36

37 n totale di elettrocalamite7500 E1)1000/75002/15 E2)1500/75001/5 E3)2000/75004/15 E4)3000/75002/5 D/E1)2/50 D/E2)3/50 D/E3)5/50 D/E4)6/50 D / E3) E3) E3/ D) D / E1) E1) + D / E2) E2) + D / E3) E3) + D / E4) E4) 5/ 50! 4 /15 2 / 50! 2 /15 + 3/ 50! 1/ / 50! 4 / / 50! 2 / 5 29% 37

38 Diagramma ad albero E1 48/50 B 2/50 D 2/15 E2 47/50 B 1/5 3/50 D 4/15 E3 45/50 B 5/50 D 6/15 44/50 B E4 6/50 D 38

39 Eventi indipendenti. Def. Due eventi A e B si dicono indipendenti (nel senso della probabilità) se B/A) B) e A/B) A) con A)'0 e B)'0! Due eventi A e B sono indipendenti se e solo se A $ B) A) B). (anche con con A)0 e B)0)! N.B.: differenza tra eventi indipendenti e eventi incompatibili: Due eventi A e B si dicono incompatibili se A & B) A) + B), cioè con A $ B * 39

40 Esempio 1. Esperimento : si estrae una carta da un mazzo di 52. Eventi: A : la carta estratta è rossa ; B : la carta estratta è una regina. 1) Calcolare : B) e B/A). Si tratta di uno spazio di probabilità uniforme per la casualità dell estrazione: 1carta) 1/52 B) 4/52 1/13 B/A) A! B ) A ) reg. rossa ) c rossa ) B) + A e B indipendenti, ma A $ B ' Ø compatibili %) Calcolare : A $B)A)*B)26/52*4/522/521/26 (valore atteso) %) Calcolare : A&B)A)+B)-A$B)26/52+4/52-2/5228/

41 Esempio 2. Esperimento : lancio di un dado. Eventi : A : si presenta una faccia pari {2, 4, 6}. B : si presenta 1 o 2 {1} & {2} Spazio di probabilità uniforme. Calcolare : B) e B/A). B) 1) + 2) 1/3 B/A) A $ B) /A) (1/6) / (1/2) 1/3 A$B)A)B)3/6 * 2/61/6 A&B) A)+B)-A$B) 3/6 + 2/6-1/6 4/62/3 A e B indipendenti A e B compatibili 41

42 Esempio 2.bis Esperimento : lancio di un dado. Misura di probabilità : 1) k, 2) 2k,.,6)6k. S) k + 2k + 3k + 4k + 5k + 6k 21 k 1 + k 1/21. Calcolare : B) e B/A). B) 3/21 1/7 A) 12/21 A $ B) 2/21 B/A) 2/12 1/6 ' 1/7 A e B dipendenti La relazione di indipendenza dipende dalla misura di probabilità, non dagli eventi. 42

43 Esercizio Esperimento : lancio di un dado. ({1,2,3,4,5,6} A : si presenta una faccia dispari {1,3,5}. B : si presenta 3 o 6 {3} & {6} con! i )1/12 per i1,2,3,4 Quindi! 5 &! 6 ) 1-4/128/12! 5 )! 6 )1/3 A)1/12+1/12+1/31/2 B)1/12+1/35/12 A $ B) 1/12 ' 1/2 * 5/125/24 Eventi indipendenti 43

44 Indipendenza di più eventi! Definizione: Gli eventi A 1, A 2, A 3,,A n sono se e solo se a due a due indipendenti A i $A j ) A i ) A j ), i'j! Definizione: Gli eventi A 1, A 2, A 3,,A n sono mutuamente indipendenti se e solo se A i $A j ) A i ) A j ), i'j e A i $A j $A k ) A i ) A j ) A k ), i'j'k.. A i $A j $A k $ $A n ) A i ) A j ) A n ) 44

45 Esercizi: probabilità condizionata #$ Calcolare la probabilità di estrarre, da un mazzo di 52 carte: a) 3 picche o 6 fiori b) un seme che non sia di cuori c) un 10 o un quadri d) né un 4, né un picche e) una regina (R) se la carta già estratta è nera (N). R e N sono incompatibili? Sono indipendenti? %$ In un lancio di due dadi: A la somma è 6, B hanno la stessa faccia &$ a) se A, calcolare la probabilità di B b) se B, calcolare la probabilità di A c) calcolare la probabilità di A e B d) calcolare la probabilità di A o B Stabilire se, nei vari casi, A e B sono eventi indipendenti. Calcolare la probabilità di estrarre, da un mazzo di 52 carte: a) due carte entrambi assi b) un asso, avendo estratto già un asso c) un asso e poi un altro asso, senza reinserimento d) un asso e poi un altro asso, con reinserimento. 45

46 '$ Calcolare la probabilità di estrarre, da un mazzo di 52 carte: a) una carta di fiori e una di picche b) una carta di fiori, avendo già estratto una carta di picche ($ In un lancio di un dado: A esce 1 o 2. B pari. a) calcolare la probabilità di A, se si presenta B. A e B sono indipendenti? b) calcolare la probabilità di B, se si presenta A. c) calcolare la probabilità di A e B. *$ Un urna contiene 8 palline Rosse, 3 Bianche, 9 Gialle. Si estraggono 3 palline, calcolare la probabilità che siano : a) tutte e tre Rosse, con e senza reimbussolamento b) tutte e tre Bianche, con e senza reimbussolamento c) due Rosse e una Bianca, con e senza reimbussolamento d) una Bianca, una Rossa e una Gialla (nell ordine) senza reimbussolamento e) una Bianca, una Rossa e una Gialla (senza ordine) senza reimbussolamento f) almeno una Bianca, senza reimbussolamento. +$ In un lancio di due dadi calcolare: a) se la somma dei lanci è 5, la probabilità che il secondo lancio dia un numero minore del primo b) se il primo lancio è maggiore del secondo, la probabilità di avere somma 5.,$ In un lancio di due dadi calcolare la probabilità di: A4,5,6 al 1 lancio, B1,2,3,4 al 2 lancio. a) A e B b) A o B c) B, se è avvenuto A d) A, se è avvenuto B. 46

47 #$ In una nazione con 5 regioni, le percentuali di forza lavoro sono: 10% nella regione R 1, 22% nella regione R 2, 19% nella regione R 3, 30% nella regione R 4, 19% nella regione R 5. I tassi di disoccupazione sono rispettivamente: 5%, 2%, 3%, 1%, 8%. Estraendo a caso un lavoratore di quella nazione, quale è la probabilità che sia disoccupato? (teorema delle probabilità totali) %$ In un urna ci sono M palline, di cui k Bianche e M-k Nere. Si estraggono 2 palline, senza reimmissione. Quale è la probabilità che la seconda estratta sia bianca? (teorema delle probabilità totali) &$ Una malattia colpisce il 5% di una popolazione: un test clinico individua la malattia in 90 casi su 100. Lo stesso test risulta positivo su soggetti sani 5 volte su 100. Qual è la probabilità di non soffrire della malattia per una persona di quella popolazione risultata positiva al test? (teorema di Bayes) '$ Si effettua un controllo di qualità esaminando un oggetto estratto a caso tra i prodotti di tre differenti cicli produttivi che forniscono, rispettivamente, il 50%, il 20%, il 30% della produzione totale. Determinare la probabilità che l oggetto osservato sia difettoso, sapendo che i cicli produttivi generano pezzi difettosi nelle percentuali del 2%, 5%, 1% rispettivamente. Qual è la probabilità che il pezzo difettoso provenga dal secondo ciclo? ($ La moneta M 1 è regolare, la moneta M 2 è truccata. Si lancia una moneta a caso. Si è osservata testa. Qual è la probabilità di aver lanciato la moneta regolare? *$ In due scatole ci sono alcune matite così distribuite: in S 1 2 matite Blu, 3 Rosse, 2 Gialle, 1 Verde, 1 Nera, in S 2 3 matite Blu, 2 Rosse, 4 Gialle, 2 Verde, 1 Nera. Estratta una matita a caso, calcolare la probabilità che sia Gialla. Calcolare la 47 probabilità che sia estratta dalla scatola S 1, sapendo che è Nera.

Probabilità delle cause:

Probabilità delle cause: Probabilità delle cause: Probabilità condizionata 2 Teorema delle probabilità composte A B) A) B/A) 3 Teorema delle probabilità totali B )! 4 Teorema delle probabilità delle cause n i A! B ) A / B ) B

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