Sapienza Università di Roma - Dipartimento di Ingegneria Informatica, Automatica e Gestionale

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1 Saienza Università di Roma - Diartimento di Ingegneria Informatica, Automatica e Gestionale Scheduling Renato Bruni bruni@dis.uniroma.it Il materiale resentato è derivato da quello dei roff. A. Sassano e C. Mannino Alcune arti introduttive o esemi sono tratte dal materiale del rof. S. Smriglio ( e del rof. A. Agnetis (

2 Problemi di scheduling I roblemi di scheduling nascono nel contesto dell automazione della roduzione Generalmente si tratta di trovare un oortuno sequenziamento di un insieme di attività che imiegano risorse scarse, tiicamente macchinari dedicati a secifiche oerazioni Più in generale, sono tutti i roblemi decisionale in cui ha imortanza il temo, visto come risorsa scarsa da allocare in modo ottimo I modelli di scheduling trovano alicazione anche in molte altre aree, dalla logistica al roect management

3 Esemio : industria meccanica In una industria meccanica, i centri di lavorazione devono effettuare delle lavorazioni (er es. taglio, fresatura, tornitura) er rodurre vari ezzi che vengono oi assemblati insieme Ognuna di queste lavorazioni richiede un certo temo e imegna un certo macchinario Sesso esistono temi di riconfigurazione (set-u) delle macchine (er es. cambio della lama, della fresa, etc.), er cui un ezzo non uò essere immediatamente lavorato quando la macchina si libera Il roblema consiste, ad esemio, nel determinare l'ordinamento delle oerazioni in modo da terminare tutte le lavorazioni il rima ossibile

4 Esemio : elaborazione dati Ogni rogramma che gira su un comuter vorrebbe usare la CPU, ma vogliamo oter far girare iù rogrammi contemoraneamente su uno stesso comuter Uno dei comiti di un sistema oerativo è allora quello di discilinare l utilizzo della CPU da arte dei diversi rogrammi Ciascun rogramma ha una certa riorità L'obiettivo del sistema oerativo è quello di gestire l'insieme dei rogrammi in modo tale da minimizzare il temo comlessivo di attesa dei rogrammi, tenendo conto della riorità Il sistema oerativo uò eventualmente interromere (e oi magari rirendere) certi rogrammi rima del loro termine er consentire la rosecuzione anche degli altri. Questa modalità oerativa rende il nome di reemtion L imossibilità di interromere rocessi una volta avviati si chiama invece noreemtion (in alcuni roblemi sarà così)

5 Esemio 3: officina meccanica In un'officina di carrozzeria, vi sono quattro stazioni, dedicate risettivamente a messa in forma, ribattitura, verniciatura, essiccatura a forno In ciascuna stazione è attivo un oeraio, che uò lavorare su una sola autovettura alla volta Le autovetture sinistrate richiedono il servizio da arte di alcune stazioni, in un dato ordine (ad esemio non si uò riverniciare la carrozzeria rima di avere aggiustato le arti danneggiate) Il roblema consiste nel gestire le varie oerazioni in modo da terminare tutte le lavorazioni nel minor temo ossibile, risettando l ordine di sequenziamento sulle macchine

6 In un aeroorto abbiamo l insieme dei velivoli rossimi all atterraggio Il sistema di controllo dell aeroorto ermette di far atterrare al iù un volo alla volta er ogni istae la durata della manovra di atterraggio è nota er ogni velivolo Ad ogni velivolo è inoltre associato un temo revisto di atterraggio Obiettivo del controllore uò essere quello di decidere la equenza s in modo da minimizzare la somma (esata) dei ritardi Vincoli aggiuntivi: - recedenze fra voli dovute alle coincidenze -. Esemio 4: voli in atterraggio

7 Come condurre una analisi: esemio fotocoie Silvia e Francesca giungono nello stesso momento ad una macchina fotocoiatrice. F deve fare fotocoia, S ne deve fare 00 Il galateo imorrebbe a S di lasciar assare er rima F, che imegna la macchina er un temo breve e oi la lascia libera Come valutare se è una buona idea? Serve una analisi quantitativa Suoniamo che l esecuzione di una fotocoia richieda 3 secondi Due casi: S recede F 303 F recede S Attesa totale = = Attesa totale = =

8 Come condurre una analisi: esemio fotocoie E se F giungesse doo che S ha già cominciato? (ad esemio all istante r f ) Se F attende che S finisca, abbiamo: S F r f Attesa totale = r f = 603 r f Se invece S interrome le rorie coie, lascia F fare la sua coia e oi rirende: r f r f Attesa totale = = 306

9 Primo aroccio alla risoluzione Quattro arti meccaniche (A), (B), (C), (D) devono essere lavorate e oi assemblate er realizzare un rodotto finale Ogni arte deve subire 4 rocessi su 4 macchinari diversi e condivisi. La sequenza di macchine e il temo di rocessamento è fissato er ogni arte, così come l istante di arrivo del ezzo in catena Parte Arrivo Sequenza Lavoro + temo in minunti A 8.30 M(60) M(30) M3() M4(5) B 8.45 M(75) M3(3) M(5) M4(0) C 8.45 M3(5) M(5) M(0) M4(30) D 9.30 M4(90) M() M() M3()

10 Caratteristiche del roblema Nessuna arte cede la macchina su cui è lavorata rima di aver comletato la lavorazione (no-reemtion) La sequenza di lavoro che serve er ottenere una arte non uò essere modificata: se er fare B devo usare rima M e oi M3 (e oi altre) non osso usare rima M3 e oi M (e oi altre) Tutte le arti devono essere comletate er oter cominciare l assemblaggio Problema: A che ora (al minimo) è ossibile cominciare ad assemblare le quattro arti?

11 Una Soluzione Ammissibile Il roblema equivale a determinare in quale sequenza ciascuna macchina lavorerà le singole arti meccaniche, in modo da minimizzare il temo di comletamento totale Una ossibile soluzione è : Macch. P P P3 P4 M A D C B M B C A D M3 C B A D M4 D A C B

12 Diagramma di Gantt Macc. M M M3 M4 P A B C D P D C B A P3 C A A C P4 B D D B M Un modo di raresentare la soluzione è il diagramma di Gantt: A D C B M B C A D M3 C B A D M4 DD A C B

13 Commenti M A D C B M M3 M4 C B C A B DD A D A D Ci uò essere una macchina che deve restare ferma anche se c è una arte che deve ancora essere lavorata: M4 otrebbe lavorare B alle.05, ma ciò violerebbe la sequenza di B; M otrebbe lavorare C alle 9.30 ma ciò violerebbe la sequenza di C C B Un ezzo uò essere inattivo (in idle) in certi eriodi (C in [0.5,.0])

14 Soluzione Ottima D M C A B M C B A D M3 M4 B A D C A C D B Soluzione ottima ottenuta tramite formulazione di PL0

15 Elementi del roblema di scheduling ob: collezione di attività da svolgere. L insieme dei ob è sesso indicato con J Documento da fotocoiare, esecuzione di un rogramma di calcolo, roduzione di un autoveicolo (fatta da iù attività) Un ob uò essere costituito da una singola attività (task) o da un insieme di attività tecnologicamente o logicamente legate macchina: risorsa necessaria all esecuzione delle attività. L insieme delle macchine disonibili è M Fotocoiatrice, CPU, robot industriali oerazione: arte di un ob eseguita su una macchina (un ob uò richiedere iù macchine, e quindi una oerazione su ognuna) Documento su fotocoiatrice xerox, veicolo 5 in verniciatura (è una delle varie oerazioni del ob roduzione autoveicolo, quella fatta sulla macchina verniciatrice)

16 Definizione di Oerazione Def. Oerazione: Coia (,m) con J ob, e m M macchina Le oerazioni sono l elemento centrale dei modelli di scheduling Le relazioni di recedenza, infatti, riguardano coie di oerazioni (dello stesso ob o di ob differenti) La verniciatura del veicolo 5 deve avvenire rima della verniciatura del veicolo 6 e doo il montaggio del motore sul veicolo 5 Il concetto di ob è comunque utile er classificare le oerazioni Nei modelli che considereremo, una macchina uò eseguire al iù un oerazione alla volta L insieme di tutte le oerazioni di un roblema è indicato con O

17 Soluzioni di un roblema di scheduling Consideriamo solo il caso in cui le oerazioni non ossono essere interrotte (no-reemtion) Una soluzione di un roblema di scheduling è uno schedule (iano) che fornisce er ogni oerazione oo il suo istante iniziale s o (o finale C o ) Una ermutazione dei ob che definisce l ordine con cui i ob sono rocessati su una certa macchina si dice sequenza Nei roblemi con iù macchine, in genere l insieme di macchine utilizzate da un ob e la loro sequenza è fissata in artenza. Altrimenti bisogna risolvere anche un roblema di routing In genere, è ossibile identificare er ogni ob un oerazione inizio ob e un oerazione fine ob. Nel caso di ob con una sola oerazione, inizio e fine coincidono Nel caso di roblema con iù ob, si considera anche un oerazione di inizio lavoro l (che recede tutti i ob) e una di fine lavoro t (che li segue)

18 Attributi del ob e delle oerazioni temo di rocessamento i : durata del rocessamento del ob sulla macchina i (= durata dell oerazione (,i)) release date r : temo in cui il ob arriva nel sistema, ovvero rimo istante ammissibile er l oerazione inizio ob due date d : temo entro il quale si desidera che il ob sia comletato (data di consegna), ovvero deadline sull oerazione fine ob vincoli di recedenza: vincoli fra oerazioni dello stesso ob o di ob diversi Problema di scheduling: Trovare un iano s che minimizza una data funzione di costo c(s), soddisfacendo tutti i vincoli di recedenza, di release date e due date, e tale che due oerazioni su una stessa macchina non si sovraongano temoralmente

19 Relazioni di recedenza fra oerazioni Le relazioni di recedenza fra due oerazioni u e v ossono essere tutte oste nella forma del tio s v s u l uv Possiamo raresentare associando un nodo a ogni oerazione e un arco esato a ogni relazione di recedenza Release date r e due date d di un ob sono vincoli di recedenza fra l oerazione inizio lavoro l e le oerazioni di inizio i() e fine ob f() (con temo di rocessamento f() ) u l uv v Release date s i() s l r l r i() Due date s f() s l d - f() s l - s f() -d + f() l -d + f() f()

20 Relazioni di recedenza disgiuntive Un ruolo articolare è svolto dalle relazioni di recedenza fra oerazioni su una stessa macchina Infatti, l ordine con cui due oerazioni u = (,m), e v = (k,m) si svolgono su m non è dato a riori, ed è anzi la rinciale decisione da rendere l oerazione u viene effettuata rima dell oerazione v oure l oerazione v viene effettuata rima dell oerazione u Vincolo disgiuntivo: esrime matematicamente la disgiunzione (s v s u l uv = (m) ) (s u s v l vu = (km) ) Ogni soluzione ammissibile deve soddisfare almeno uno dei due vincoli (e rima di risolvere non saiamo quale dei due!) Si raresenta con un arco disgiuntivo, ovvero una coia di archi orientati antiaralleli u l uv l vu v

21 Scheduling e rogrammazione disgiuntiva I roblemi di scheduling vengono allora modellati con la rogrammazione disgiuntiva O insieme delle oerazioni (incluse l oerazione di inizio e fine lavoro) A insieme dei vincoli di recedenza D insieme dei vincoli di recedenza disgiuntivi Problema di Scheduling min c(s) s.t. s v s u l uv uv A (s v s u l uv ) (s u s v l vu ) {(uv),(vu)} D s u R + u O

22 Programmazione Disgiuntiva: formulazione E ossibile raresentare un roblema di rogrammazione disgiuntiva come roblema di rogrammazione intera mista Dato un vincolo disgiuntivo dd: (s v s u l uv ) (s u s v l vu ) ogni soluzione ammissibile s deve soddisfare una delle due condizioni della disgiunzione, ma non tutte e due Se ad esemio s soddisfa la rima condizione, la seconda deve scomarire dal roblema (non otrebbe essere soddisfatta!) A tal scoo si usa la cosiddetta big M M è una costante molto grande, scelta in modo da rendere banalmente soddisfatta una condizione del tio visto tramite il seguente meccanismo (nella scelta del valore di M tenere semre conto di roblemi numerici!) s * s * l M o s * s * l M v u uv u v vu

23 Programmazione Disgiuntiva: formulazione Per ogni dd: (s v s u l uv ) (s u s v l vu ) introduciamo una variabile binaria x d tale che x d = 0 x d = s v s u l uv s u s v l vu In ratica, la variabile indicatrice x d determina quale delle due condizioni del vincolo disgiuntivo è soddisfatta dalla soluzione (rendendo l altra ridondante) Per ottenere una formulazione lineare, si sostituisce il vincolo disgiuntivo con la coia di vincoli (congiuntivi): s v s u l uv M x d s u s v l vu M ( - x d )

24 Il grafo disgiuntivo Grafo disgiuntivo G(V, A, D): raresentazione er roblemi di scheduling. Contiene nodi V, archi orientati A e archi disgiuntivi D Insieme nodi V = O : coincide con le oerazioni O del roblema (inclusi eventualmente i nodi {l,t} di inizio e fine lavoro) Insieme archi: A. Raresentano recedenze stabilite fra oerazioni (e.g. la sequenza di oerazioni di un ob). u l uv v Insieme archi disgiuntivi: D. Un arco disgiuntivo è una coia di archi orientati {(u,v),(v,u)} e raresenta una recedenza disgiuntiva u l uv v l vu

25 Esemio di grafo disgiuntivo Esemio: ob (A, B), 4 macchine 3 oerazioni er ogni ob: A deve essere lavorato sulla macchina, oi sulla 4 e quindi sulla 3; B sulla, oi sulla 4 e quindi sulla Temi di lavorazione delle oerazioni sono i seguenti ob m () [, m() ] m () [,m() ] m (3) [,m(3) ] A [] 4 [] 3 [4] B [3] 4 [] [] A A4 A3 0 4 l t 0 B B4 B 3 OSS: G ha archi disgiuntivi D = {{(A,B),(B,A)}, {(A4,B4),(B4,A4)}}

26 La classificazione a tre cami // Data che esistono molti tii di roblemi di scheduling, si usa una classificazione standard di questi roblemi con notazione a tre cami //: indica il sistema di macchine raresenta vincoli e modalità di rocessamento indica l obiettivo Di seguito si descrivono brevemente questi cami

27 Camo Macchina singola () : ciascun ob richiede una singola oerazione da eseguirsi sull unica macchina disonibile Macchine identiche arallele (P m ) : ciascun ob richiede una singola oerazione da eseguirsi su una qualunque delle m macchine identiche. Flow sho (F m ) : m macchine in serie. Ciascun ob deve essere rocessato su ciascuna di esse (m oerazioni). Tutti i ob hanno lo stesso routing. Una volta terminata un oerazione il ob viene osto nel buffer della macchina successiva m Job sho (J m ) : ciascun ob deve essere rocessato da un sottoinsieme di un insieme di m macchine, secondo un rorio routing (non necessariamente restabilito)

28 Camo Release dates (r ) : il ob non uò iniziare il rocessamento rima dell istante r Temi di set-u (s k ) : temo richiesto er il riattrezzaggio delle macchine fra i ob e k. Se diende dalla macchina i, si esrime con s i k Preemtion (rm) : è ammesso interromere un oerazione su una macchina rima del suo comletamento (e.g. er iniziare una nuova oerazione). Quando l oerazione viene riresa, essa richiede solo il temo rimanente di rocessamento Vincoli di recedenza (rec) : un ob uò essere rocessato solo se tutti i ob di un certo insieme sono stati comletati. Se ciascun ob ha al iù un redecessore e un successore = chain Breakdown (brkdwn) : le macchine non sono semre disonibili, ma hanno eriodi fissati di interruzione del servizio

29 C L = C d Camo temo di comletamento del ob lateness del ob (risetto alla due date d del ob) T = max(l,0) tardiness del ob (è la lateness se >0, 0 altrim.) U = se C > d (tardy ob) e 0 altrimenti Oss: se f() è l ultima oerazione del ob, e f() la sua durata, allora in regine di no-reemtion si ha C = s f() + f() Makesan (C max ) : max(c,, C n ) temo di comletamento dell ultimo ob a essere comletato Massima Lateness (L max ) Temo totale esato di comletamento (w C ) Tardiness totale esata (w T ) Numero di tardy ob (U )

30 Il roblema su singola macchina /-/w C Dati n ob,,n e una sola macchina A ogni ob è quindi associata un unica oerazione : temo di rocessamento (oerazione associata al) ob Assunzione > 0 er ogni w : eso del ob. w C : costo di comletamento del ob s : istante d inizio (variabile) del ob I ob non ossono essere interrotti (no-reemtion) C = s + Problema : trovare uno scheduling s che minimizzi il temo di comletamento esato w C = w (s + ) Nella classificazione a tre indici si chiama Problema /-/w C

31 Formulazione disgiuntiva Job w Questa volta usiamo variabili che indicano istante di comletamento del ob: C = s + min C + 5C + 9C 3 + 6C 4 s.t. C C L =,, 4 (C C i ) (C i C i ) i, i, =,, 4 C L = 0, C R + =,, n L Grafo disgiuntivo Senza erdita di generalità si one C L = 0, che imlica C

32 Formulazione 0, Job w min C + 5C + 9C3 + 6C4 s.t. C > 6 C > 9 C3 > C4 > 3 C - C + 00 x > 6 C - C - 00 x > -9 C - C x3 > 6 C3 - C - 00 x3 > -99 C - C x4 > 6 C4 - C - 00 x4 > -97 C - C x3 > 9 C3 - C - 00 x3 > -99 C - C x4 > 9 C4 - C - 00 x4 > -97 C3 - C x34 > C4 - C3-00 x34 > -97 binary x x3 x4 x3 x4 x34 end 9 Usiamo le variabili x uv di alternativa tra: rima u oi v o rima v oi u File tio l, che uò essere letto dai rinciali solutori commerciali Il segno > denota il L 3 9 Grafo disgiuntivo 9

33 Il roblema /-/w C OSS: non conviene lasciare la macchina inattiva fra il comletamento di un ob e l`inizio del successivo In ogni soluzione ottima, un ob comincia quindi esattamente quando il recedente termina. Chiamiamo questa soluzione comatta. La sequenza (ermutazione),, n dei ob sulla macchina determina univocamente la soluzione comatta k- k n k k n Il temo di comletamento del k-esimo ob vale C k k r r Problema /-/w C : trovare la sequenza dei ob,, n che minimizza il temo di comletamento esato w C

34 La regola di Smith Regola di Smith: ordina er valori non crescenti del raorto w / Quindi, se,, n è una sequenza rodotta dalla regola di Smith: w w Se alcuni raorti coincidono, ossiamo scegliere in uno qualsiasi di essi (esistono iù sequenze che soddisfano la regola di Smith) w n n Th. 6. (Della regola di Smith) La soluzione comatta associata una sequenza,, n rodotta dalla regola di Smith è ottima er il roblema /-/w C

35 Dimostrazione Teorema Regola di Smith Sia una sequenza ottima. Per assurdo suoniamo che non risetti la regola di Smith Esistono quindi due ob adiacenti, e k, tale che k viene immediatamente doo in e si ha: w / < w k / k Consideriamo la sequenza ` ottenuta da invertendo e k t+ k ` k t t+ k t+ + k OSS. Tutti i temi di comletamento dei ob rimangono invariati tranne quelli del ob e del ob k

36 Dimostrazione Regola di Smith i k t+ ` i k t t+ k Sia t il temo di comletamento del ob che recede in (e k in `) Siano C e C` i temi di comletamento in S e S`, risettivamente Sostituendo = w (t+ + k - t- ) + w k (t+ k t - - k ) = w ( k ) + w k (- ) t+ + k C` =t+ + k C`k =t+ k C =t+ C k =t+ + k Differenza di costo fra C e C: = wc wc = w (C` -C ) + w k (C`k -C k ) C` C C`k C k Da w / < w k / k w k < w k = w k - w k < 0 e non è ottima, contraddizione

37 Esemio Job w w / = /3, w / = 5/9, w 3 / 3 = 9, w 4 / 4 = Sequenza ottima: {3, 4,, } C = 9 C = 3, C 3 =, C 4 = 4 w C = 38, w C =65, w 3 C 3 = 9, w 4 C 4 = 4 Costo totale = w C + w C + w 3 C 3 + w 4 C 4 = 36 Da notare che il makesan è uguale er ogni sequenza e vale 9

38 Sequenze equivalenti Lemma. 6. (Sequenze Equivalenti) Se ogni ob N ha un eso w uguale al suo temo di rocessamento allora ogni sequenza è ottima Infatti er ogni N si ha w / = Dal Teorema 6. (della regola di Smith) segue che ogni sequenza è ottima Lemma. 6.3 (Valore della soluzione w = ) Se er ogni N si ha w = allora la soluzione ottima vale: f ( N) N N Per il Lemma 6. ogni sequenza è ottima: quindi anche = {,,,n} C = n- n n C = C n = + + n

39 Dimostrazione Lemma 6.3 Quindi lo schedule: r C r è ottimo e il suo valore f(n) è dato da ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 n n N N r r N C w C N f i N N i i N n N,, Saendo che i N N i i N N f,, ) ( ) (,, N f i N N i i N N N

40 Poliedro degli schedule ammissibili Descriviamo l insieme S() R N degli scheduling ammissibili C In altri termini C = (C,, C n ) T S() se e solo se esiste una sequenza = {,, n } tale che C C C k n k,, k k J C = (9,3,,4) T S() = {3,4,,} C = (0,0,3,4) T S() = {,4,,3}

41 Proiezione delle soluzioni Sia C = (C,, C n ) T R N uno schedule ammissibile, i.e. C S() Sia A N un sottoinsieme di ob e sia S A ( A ) l insieme degli scheduling ammissibili er i soli ob in A ( A sono i temi dei ob in A) Allora la roiezione C A di C nello sazio R A soddisfa C A S A ( A ) Esemio N = {,,3,4}, A = {,3} C = (9,3,,4) T S() = {3,4,,} J C A = (3,) T A = {3,} Naturalmente l ottimalità di C risetto a un sistema di esi w non imlica l ottimalità di C A in S A ( A ) risetto w A (C A è in generale non comatta)

42 Vincoli validi Def. Sia dato un insieme di unti P R n e siano a R n e b R Il vincolo a T x b è detto valido er P se e solo se è soddisfatto da tutti i unti di P ovvero se e solo se non esiste x P tale che a T x < b P P a T x = b a T x = b Lemma. Sia dato un insieme di unti P R n e sia a R n. Sia b = min{a T x: xp} Allora a T x b è un vincolo valido er P Infatti, se esistesse un unto x P tale che a T x < b si avrebbe min{a T x: xp} a T x < b contraddizione 4

43 Prorietà degli schedule ammissibili Teorema 6.4. Sia A N un sottoinsieme di ob e sia A A A f ) ( Allora il vincolo A C f(a) è valido er S() Dim. Qual è il valore minimo che uò assumere la quantità? ) (, S C C A ) ( * A A A C S Sia C * la soluzione ottima del roblema ) ( : min S C C A ) ( : min * A A A A S Q Q C ) ( ) ( : min A f S Q Q A A A dal Lemma 6.3 ) ( ) ( : min ) ( : min ) ( : A f S Q Q S C C S C C A A A A A C * A roiezione di C* nello sazio R A

44 Esemio Esemio N = {,,3,4}, A = {,3} J f(a) = ½ (+9) + ½ ( + 9 ) = 9 A C f(a) 9C + C 3 9 C = (9,3,,4) T S() C soddisfa il vincolo 9C + C 3 = = 8 9

45 Il oliedro degli schedule ammissibili Per ogni A N il vincolo A C f(a) è valido er S() Chiamiamo S c () il oliedro degli scheduling comatti, e cioè l involucro convesso degli scheduling comatti associati a Si uò far vedere che S c () coincide con S c (): A C f(a) N C = f(n) C R n A N Gli schedule comatti coincidono coi vertici Ext(S c ()) di S c ()

46 Esemio: vertici di S c () I vertici Ext(S c ()) di S c () corrisondono agli scheduling comatti. Esemio: C = (9,3,,4) T S() = {3,4,,} J C = (7,7,,9) T S() = {3,4,,} Le combinazioni convesse aartengono al oliedro ma non corrisondono a schedule ammissibili Esemio: ½ C + ½ C = (3,5,,.5)

47 Il roblema singola macchina Temo di comletamento esato con vincoli di recedenza

48 Il roblema /rec/w C I questa arte affronteremo una generalizzazione del roblema singola macchina con temo di comletamento esato La generalizzazione è la resenza di vincoli di recedenza fra ob Non si uò usare direttamente la Regola di Smith e il roblema diviene sostanzialmente iù difficile In linea di rinciio è ossibile risolvere la formulazione 0, associata al rogramma disgiuntivo corrisondente Ma non è così semlice

49 Il roblema /rec/w C Dati n ob,,n e una sola macchina : temo di rocessamento (oerazione associata al) ob w : eso del ob. w C : costo di comletamento del ob. I ob non ossono essere interrotti (no-reemtion) C = s + Alcuni ob osso iniziare solo doo il comletamento di altri: C C i + er ogni i A Problema : trovare uno scheduling comatto C che minimizzi il temo di comletamento esato w C e soddisfi tutti i vincoli di recedenza Nella classificazione a tre indici: Problema /rec/w C

50 Esemio Job w Con i vincoli di recedenza: Bisogna aver concluso er iniziare 3 Bisogna aver concluso er iniziare 4 Bisogna aver concluso er iniziare C 3 C + C 4 C C 4 C + 3 Grafo disgiuntivo

51 Formulazione 0, Job w min C + 5C + 9C3 + 6C4 s.t. C > 6 C > 9 C3 > C4 > 3 C - C + 00 x > 6 C - C - 00 x >= -9 C - C x3 > 9 C3 - C - 00 x3 > -99 C3 - C x34 > C4 - C3-00 x34 > -97 C3 - C > C4 - C > 3 C4 - C > 3 binary x x3 x34 end 6 Sol Ottima: C = 6, C = 6, C3 = 7, C4 = 9 Valore: Grafo disgiuntivo x =x 3 =x 4 =x 3 =x 4 =x 34 =

52 Comlessità roblema /rec/w C Il roblema /rec/w C è in genere difficile comutazionalmente Per alcune classi di vincoli aggiuntivi il roblema uò essere risolto efficientemente In articolare, se il grafo associato ai vincoli aggiuntivi è serie-arallelo (ad esemio, un cammino o un insieme di cammini assanti er nodi distinti) Si ossono usare tecniche di soluzione tio Branch&Bound Per alicare queste tecniche occorre definire un rilassamento Tuttavia la resenza della big M rende questa formulazione molto debole: il rilassamento lineare non fornisce buoni bound Introduciamo quindi un altra tecnica generale er costruire rilassamenti nota come Rilassamento Lagrangiano : si rilassano (=tolgono) alcuni vincoli, e la loro violazione viene sommata alla funzione obiettivo moltilicata er un coefficiente

53 Teorema del Rilassamento Lagrangiano P(Q): z Q = min x {c T x: Ax b, x Q }, con Q R n e A matrice m n RL(u): z RL (u) = min x {c T x + u T (b- Ax), x Q}, con u 0 Teorema 6.5 (del rilassamento lagrangiano) Per ogni ur m RL(u) è un rilassamento di P(Q) e si ha z RL (u) z Q Dim. La regione ammissibile Q di RL(u) è ottenuta rimuovendo vincoli da quella di P(Q): R ={x: Ax b, x Q} R Q x ammissibile er P(Q) Ax b b- Ax 0 u 0, b- Ax 0 u T (b- Ax ) 0 c T x + u T (b- Ax ) c T x (er ogni x R, la f.o.di RL(u) è della f.o. di P(Q) ) RL(u) è un rilassamento di P(Q) e z RL (u) z Q

54 Esemio Rilassamento Lagrangiano min C + 5C + 9C 3 + 6C 4 C 3 - C u = C 4 - C 3 u = C 4 - C 3 u 3 = C Ext(S c ()) min C + 5C + 9C 3 + 6C 4 + ( - C 3 + C ) + (3 C 4 + C ) + (3 C 4 + C ) C Ext(S c ()) + min 5C + 7C + 7C 3 + 3C 4 C Ext(S c ()) Problema residuo risolvibile con Smith! J w' w / 5/6 7/ Valore z RL (u) = z RL ((,,) T ) = + 0 = 3 < 69 (valore ottimo P(Q) )

55 Ma cambia cambiando le u min C + 5C + 9C 3 + 6C 4 C 3 - C u = C 4 - C 3 u = C 4 - C 3 u 3 = 3 C Ext(S c ()) min C + 5C + 9C 3 + 6C 4 + ( - C 3 + C ) + (3 C 4 + C ) + 3 (3 C 4 + C ) C Ext(S c ()) 6+ min 5C + 8C + 8C 3 + C 4 C Ext(S c ()) J w' w' / 5/6 8/9 8 / Valore z RL (u) = z RL ((,,3) T ) = 6+ 0 = 8 < 69 (valore ottimo P(Q) ) Da notare che z RL ((,,3) T ) = 8 > z RL ((,,) T )

56 Duale Lagrangiano Il valore z RL (u) =min x {c T x + u T (b- Ax), x Q}, u 0 varia con u Per ottenere il miglior lower bound ossibile, siamo interessati al massimo di z RL (u) al variare di u Il roblema DL: z RL = max u {z RL (u) } è detto Duale Lagrangiano Quindi DL: max u min x {c T x + u T (b- Ax), x Q, u 0} DL è un robrema di rogrammazione non lineare e uò essere risolto con varie tecniche (es. il metodo del subgradiente) Di seguito mostreremo un aroccio basato sul metodo del simlesso dinamico: risolviamo senza considerare tutti i vincoli, oi ne generiamo uno violato, risolviamo nuovamente e così via

57 Risolvere il Duale Lagrangiano DL: max u min x { c T x + u T (b- Ax), x Q, u 0} Assunzione: Q = {x,, x r } è un insieme finito (non ho rilassato i vincoli di interezza!) Per fissato u = u il roblema min x {c T x + u T (b- Ax), x Q} uò essere risolto er enumerazione trovando il minimo delle seguenti quantità v (u ) = c T x + u T (b- A x ) v (u ) = c T x + u T (b- A x ) v r (u ) = c T x r + u T (b- A x r ) OSS: min {v (u ),, v r (u )} = max {v: v v (u ),, v v r (u ), v R} DL uò essere riscritto come max u0 max v {v: v v (u),, v v r (u), v R}

58 Problema DLv con molti vincoli Quindi DL = max u min x {c T x + u T (b- Ax), x Q, u 0} diventa DLv max u max v v = max u,v v v c T x + u T (b- A x ) v c T x + u T (b- A x ) v c T x r + u T (b- A x r ) v R, u R m + Le variabili di DLv sono v R e u R m Ogni vincolo corrisonde a un unto di Q Se Q è grande si uò (si deve!) alicare il metodo del simlesso dinamico Comonente essenziale: individuare un oracolo di searazione

59 Oracolo di Searazione Descrizione imlicita di: P ={x R n : Ax<b} x ^ R n Oracolo di Searazione ^x P ^x P a ^ i x > b i vincolo violato A x^ < b x^ Riga i a i b i P x^ Oracolo di searazione: algoritmo che, dato un oliedro P ={x R n : Ax<b} e un unto x * R n stabilisce se x * P oure restituisce un vincolo della descrizione di P violato da x *

60 Oracolo di searazione er DLv Oracolo di Searazione: Data una soluzione (v *, u * ) di DLv trova un vincolo tale che v * > c T x t + (u * ) T (b- A x t ) (vincolo violato) o dimostra che tale vincolo non esiste. I vincoli corrisondono ai unti di Q Oracolo di Searazione Trova x t Q che minimizza c T x t + (u * ) T (b- A x t ) Se c T x t + u *T (b- A x t ) < v * vincolo violato v u T (b- A x t ) c x t Altrimenti c T x + u *T (b- A x) v * er ogni x Q e non esiste un vincolo violato

61 Oracolo di searazione er /rec/w C (u * ) T b + min c T x - u *T A x x Q Nel caso del roblema /rec/w C, doo aver rilassato i vincoli di recedenza AC b, il roblema residuo è un roblema/-/w C Le soluzioni del rilassamento (insieme Q) sono quindi schedule comatti, corrisondenti ai vertici di S c () Il roblema di searazione er (v * u * ) diventa quindi u *T b + min w T C - u *T A C C Ext(S c ()) Questo roblema uò essere risolto con la regola di Smith!

62 Metodo del Simlesso Dinamico Risolve un roblema er cui sia disonibile un algoritmo efficiente ALG (es. un roblema di PL, e in tal caso ALG è il simlesso) max c T x : x P ={x R n : Ax b, c T x k} Assunzione: roblema non sia illimitato Due ingredienti: max c T x Ax b, c T x k ^ x R n Oracolo di Searazione di P Risolve con ALG ^x P ^ x P ^ a i x > b i x * soluzione ottima roblema illimitato nessuna soluzione (P =

63 Definizione del roblema core A D 0 d 0 b D=D 0 ; d=d 0 max c T x x Q = Dx<d, (P Q) c T x k Nuova D e nuovo d D d Metodo del Q= Simlesso x * ottima (in Q) Oracolo di x Searazione di P * P P= a i T b i x * P x * ottima Aggiunta del vincolo violato a it x>b i

64 Esemio min C + 5C + 9C 3 + 6C 4 C 3 - C C 4 - C 3 C 4 - C 3 C Ext(S c ()) J w Risolviamo il duale lagrangiano alicando il simlesso dinamico Il roblema core iniziale è costruito a artire da vincoli corrisondenti a un sottoinsieme di schedule comatti Senza erdita di generalità, ossiamo aggiungere al roblema (e al rimo roblema core) in vincolo v k con k oortuno, in modo da rendere non illimitati i roblemi nella successione Essendo il valore finale di v un lower bound sul valore ottimo del roblema originario, k uò essere scelto come il valore di una soluzione ammissibile er il roblema originario

65 Esemio min C + 5C + 9C 3 + 6C 4 C 3 - C C 4 - C 3 C 4 - C 3 C Ext(S c ()) J w A 0 0 b La sequenza = {,, 4, 3} è ammissibile. C() = (5,9,9,8) T w T C = = 354 Possiamo orre nel duale lagrangiano v 354

66 Esemio Duale Lagrangiano max v v 354 v R, u R 3 + Oracolo di searazione u * b + min (w (u * ) T A) C C Ext(S c ()) J w Sol ottima: v * = 354, u * = (0,0,0) (u * ) T b = 0 (u * ) T A = (0, 0, 0, 0) 0+ min C + 5C + 9C 3 + 6C 4 x Ext(S c ()) = {3, 4,, } C = (9, 3,, 4) wc = 36 J w w / /3 5/9 9 Regola di Smith

67 Esemio DLv max v v 354 v R, u R 3 + J w Sol ottima: v * = 354, u * = (0,0,0) C = (9, 3,, 4) Test v * > w T C + (u * ) T (b- A C ) Viene 354 > 36 Si aggiunge al duale lagrangiano il vincolo v w C + u T (b- A C ) w C = 36 A C = (-8, -5, -9) b - A C = (9, 8, ) A b 3 3 v 36 +9u +8u +u 3

68 Esemio DLv max v v 354 v - 9u 8u u 3 36 v R, u R 3 + Oracolo di searazione (u * ) T b + min (w - (u * ) T A) C x Ext(S c ()) J w Sol ottima: v * = 354, u * = (.5,0,0) (u * ) T b =.5 (u * ) T A = (-.5, 0,.5, 0),5+ min 3,5C + 5C -,5C 3 + 6C 4 x Ext(S c ()) = {, 4,, 3} C = (6, 8, 9, 9) wc = 37 J w 3,5 5 -,5 6 w /, 5/9 -,5 Regola di Smith

69 Esemio max v DLv v 354 v - 9u 8u u 3 36 v R, u R 3 + J w Sol ottima: v * = 354, u * = (.5,0,0) C = (6, 8, 9, 9) Test v * > w T C + (u * ) T (b- A C ) Viene 354 > Si aggiunge al duale lagrangiano il vincolo v w C + u T (b- A C ) w C = 37 A C = (3, 3, -9) b - A C = (-, 0, ) A b 3 3 v 37 - u + u 3

70 Esemio max v v 354 v - 9u 8u u 3 36 v + u - u 3 37 v R, u R 3 + Oracolo di searazione DLv (u * ) T b + min (w - (u * ) T A) C x Ext(S c ()) J w Sol ottima: v * = 354, u * = (0, 0.6,.5) (u * ) T b = (u * ) T A = (-0.6, -.5, 0,.86) 38,58+ min,6c +7,5C +9C 3-6,86C 4 x Ext(S c ()) 3 = {3,,, 4} C 3 = (7, 6,, 9) wc 3 = 7 J w,6 7,5 9-6,86 w /, 0,8 9 -,8 Regola di Smith

71 Esemio DLv J 3 4 max v v 354 w v - 9u 8u u 3 36 v + u - u 3 37 Sol ottima: v * = 354, u * = (0, 0.6,.5) v R, u R 3 + C 3 = (7, 6,, 9) Test v * > w T C 3 + (u * ) T (b- A C 3 ) Viene 354 > 7-7,3 Si aggiunge al duale lagrangiano il vincolo v w C 3 + u T (b- A C 3 ) w C 3 = 7 A C 3 = (-6,, 3) b - A C 3 = (7, -, 0) A b 3 3 v 7 + 7u - u

72 Esemio max v DLv v 354 v - 9u 8u u 3 36 v + u - u 3 37 v - 7u + u 7 v R, u R 3 + Oracolo di searazione (u * ) T b + min (w - (u * ) T A) C x Ext(S c ()) 4 = {,, 4, 3} C 4 = (6, 5, 9, 8) wc 4 = 366 J w Sol ottima: v * = 354, u * = (9.57, 0,.8) (u * ) T b = 85 (u * ) T A = (-9.57, -.8, 9.57,.8) 85+ min,57c +6,8C -0,57C 3-5,8C 4 x Ext(S c ()) J w,57 6,8-0,57-5,8 w / 3,59,98-0,57-5,7 Regola di Smith

73 Esemio max v DLv J 3 4 v v - 9u 8u u 3 36 w v + u - u 3 37 v - 7u + u 7 Sol ottima: v * = 354, u * = (9.57, 0,.8) v R, u R 3 + C 4 = (6, 5, 9, 8) Test v * > w T C 4 + (u * ) T (b- A C 4 ) Viene 354 > , Si aggiunge al duale lagrangiano il vincolo v w C 4 + u T (b- A C 4 ) w C 4 = 366 A C 4 = (3,, 3) b - A C 4 = (-, -9, 0) A b 3 3 v u - 9u

74 Esemio max v DLv v 354 v - 9u 8u u 3 36 v + u - u 3 37 v - 7u + u 7 v + u + 9u 366 Oracolo di searazione (u * ) T b + min (w - (u * ) T A) C x Ext(S c ()) 5 = {, 3,, 4} C 5 = (6, 6, 7, 9) wc 5 = 69 J w Sol ottima: v * = 7.9, u * = (7.84, 0, 3.5) (u * ) T b = 7.6 (u * ) T A = (-7.84, -3.5, 7.84, 3.5) 7.6+ min 9,84C +8,5C +,6C 3 +,75C 4 x Ext(S c ()) J w 9,84 8,5,6,75 w /,64 0,9,6 0,9 Regola di Smith

75 Esemio max v DLv J 3 4 v v - 9u 8u u 3 36 w v + u - u 3 37 v - 7u + u 7 v + u + 9u 366 Sol ottima: v * = 7.9, u * = (7.84, 0, 3.5) C 5 = (6, 6, 7, 9) Test v * > w T C 4 + (u * ) T (b- A C 4 ) Viene 7.9 > Si aggiunge al duale lagrangiano il vincolo v w C 5 + u T (b- A C 5 ) w C 5 = 69 A C 5 = (, 3, 3) b - A C 5 = (0, -0, 0) A b 3 3 v 69-0u

76 Esemio max v v 354 DLv v - 9u 8u u 3 36 v + u - u 3 37 v - 7u + u 7 v + u + 9u 366 v + 0u 69 Oracolo di searazione (u * ) T b + min (w - (u * ) T A) C x Ext(S c ()) J w Sol ottima: v * = 69, u * = (8, 0, 3.5) (u * ) T b = 7.75 (u * ) T A = (-8, -3.5, 8, 3.5) min 0C +8,5C +C 3 +,75C 4 x Ext(S c ()) 6 = {, 3,, 4} C 6 = (6, 6, 7, 9) wc 6 = 69 J w 0 8,5,75 w /,66 0,9 0,9 Regola di Smith

77 Esemio max v v 354 DLv v - 9u 8u u 3 36 v + u - u 3 37 v - 7u + u 7 v + u + 9u 366 v + 0u 69 J w Sol ottima: v * = 69, u * = (8, 0, 3.5) C 6 = (6, 6, 7, 9) Test v * > w T C 4 + (u * ) T (b- A C 4 ) Allora non si aggiunge iù nessun vincolo! w C 6 = 69 A C 6 = (, 3, 3) b - A C 6 = (0, -0, 0) A Viene 69 > b 3 3 Il vincolo v 69-0u non è violato da (v * u * ), quindi non ci sono altri vincoli violati e v * =69 è il valore della sol ottima del duale lagrangiano Quindi è un LB (che osso usare in un Branch&Bound) er il roblema misto intero scritto rima (il cui ottimo valeva rorio 69), ed è un LB migliore di quello del ril. lineare, che vale 9