Legge di Faraday. x x x x x x x x x x E. x x x x x x x x x x R x x x x x x x x x x. x x x x x x x x x x. x x x x x x x x x x E B 1.

Transcript

1 Φ ε ds ds dφ egge di Faraday E x x x x x x x x x x E x x x x x x x x x x R x x x x x x x x x x 1 x x x x x x x x x x E x x x x x x x x x x E

2 Schema Generale Elettrostatica moto di una carica q in un campo E esterno campo E generato da Sq i Magnetostatica moto di q e flusso I in un campo esterno campo generato da I Elettrodinamica campo dipendente dal tempo che genera un campo E» campo E dipendente dal tempo genera» radiazione elettromagnetica - luce» circuiti ac, induttori, trasformatori, etc

3 Esperimenti di Faraday Una corrente elettrica circola nel galvanometro ogni volta che vi è un moto relativo del magnete rispetto alla spira

4 Effetti di Induzione Generazione di corrente (indotta) in assenza di generatori (f.e.m. indotta) arra magnetica si muove attraverso la spira Corrente indotta nella spira Ribaltando i poli magnetici la corrente indotta cambia segno N S S N v v arra magnetica stazionaria dentro la spira Nessuna corrente indotta nella spira Spira in moto, barra magnetica fissa Corrente indotta nella spira in qualunque caso, cambio di direzione del moto Induce una variazione nel segno della corrente v N S S N

5 Effetti di Induzione generati da correnti E Apertura (o chiusura interruttore) corrente indotta in avvolgimento second. Corrente stazionaria nel primario nessuna corrente indotta in secondario Conclusioni di Faraday: Una corrente elettrica può essere generata da un campo magnetico variabile nel tempo Quantifichiamo queste osservazioni!

6 egge di Faraday Definiamo il flusso del campo magnetico attraverso una superficie aperta come: da Φ da egge di Faraday dell induzione : a f.e.m. indotta in un circuito è determinata dalla variazione temporale del flusso del campo magnetico attraverso quel circuito. ε dφ Il segno meno indica la direzione della corrente indotta (data dalla egge di enz).

7 Forza Elettro-Motrice tempo Un campo magnetico, crescente nel tempo, attraversa la spira: Un campo elettrico viene generato nello spazio circostante il campo magnetico crescente Questo campo elettrico può generare correnti, proprio come una differenza di potenziale, SE è presente una spira chiusa conduttrice (filo metallici, fluido conduttore, ecc.) integrale sulla linea chiusa del campo E è la fem ε E dl FEM è la stessa lungo spire grandi o piccole. Questo implica che il campo E è più debole a distanze maggiori dalla variazione di flusso.

8 a f.e.m. indotta vale quindi ε dφ d Esempio Campo magnetico uniforme attraverso una spira piana di area A: il flusso concatenato vale Φ da dacos cos da Acos Acos Dall espressione si vede che una f.e.m. può essere indotta: a) quando varia nel tempo il modulo di b) quando varia nel tempo la superficie A del circuito c) quando varia nel tempo l angolo tra e la normale al circuito d) per qualsiasi combinazione dei casi precedenti

9 Pick-up chitarra elettrica Applicazioni Interruttore salvavita

10 Forza elettromotrice dinamica Consideriamo un filo che si muove perpendicolarmente a F Fe F 0 qe qv quindi E v f. e. m. DV E v Una differenza di potenziale è presente fra gli estremi del conduttore finchè esso si muove nel campo magnetico. Se si inverte la direzione del moto, anche la polarità di DV si inverte.

11 Forza elettromotrice dinamica Conduttore in movimento parte di circuito chiuso energia meccanica (sbarretta in movimento) si conserva (energia dissipata nel resistore)!!! d d dx x v v I R R F F I, a potenza dissipata sarà app x v v 2 P Fappv I v R I R R R

12 Applicazione: generatore di corrente alternata turbina idraulica o a vapore (centrale elettrica), ovvero motore a combustione (gruppo elettrogeno) Acos Acost vel. angolare d N NA cost NA sent d f.e.m. variabile sinusoidalmente nel tempo

13 Applicazione: KERS KERS: Kinetic Energy Recovery System, p. es. applicato in F1

14 Correnti parassite o di Foucalt Variando il flusso compaiono delle correnti indotte interne, dette correnti di Foucault o correnti parassite. In questo modo si aumenta l'energia interna causando un aumento di temperatura del materiale. Per limitare ciò i materiali immersi in campi magnetici variabili sono spesso disposti in pacchi di lamine isolate. e correnti di Foucault seguono molti percorsi più ristretti (invece di uno solo, grande) aumentando così la lunghezza totale e quindi la resistenza corrispondente: poichè P=E 2 /R l effetto è minore.

15 Applicazioni correnti parassite 'effetto di riscaldamento è utilizzato nei nelle cucine con fornelli a induzione: ove non è possibile avere un contatto termico con il materiale da riscaldare. Freno magnetico: nella lastra vengono indotte correnti parassite, queste, per la legge di enz, generano un campo magnetico, che interagisce con quello preesistente in modo da opporsi al movimento. applicato a una ruota che gira o a una rotaia in movimento causano forze frenanti. Non vi è consumo per attrito ed è più efficace alle alte velocità.

16 egge di enz a polarità della f.e.m. indotta nell avvolgimento tende a produrre una corrente il cui campo magnetico si oppone alla variazione di flusso concatenato con il circuito. Cioè, la corrente indotta è in una direzione tale che il campo magnetico indotto tende a mantenere il flusso iniziale attraverso il circuito.

17 egge di enz e conservazione dell energia Ipotesi: la direzione della corrente indotta deve essere tale da opporsi alla variazione, altrimenti la legge di conservazione dell energia sarebbe violata. Se la corrente rinforzasse la variazione, allora la variazione crescerebbe inducendo a sua volta una corrente maggiore, che aumenterebbe ancora la variazione, ecc.. p.es. la sbarretta verrebbe continuamente accelerata: il sistema acquisterebbe energia con un lavoro iniziale praticamente nullo (paradosso!)

18 F.E.M. indotte e campi elettrici Tesi: Un campo elettrico è determinato da un flusso magnetico variabile (p.es. in un conduttore), ovvero, un flusso magnetico q qe 2r E 2 r 2 d essendo r e 1 d 1 d 2 r d E r 2r 2r 2 Nota la variazione temporale di, si può calcolare E In forma generale: Questo risultato è vero anche in assenza di cariche (E indotto da una variazione di nel vuoto) variabile produce sempre un campo elettrico. Considerando il lavoro compiuto dal campo elettrico su una carica q che percorre la spira: E d s d egge dell induzione di Faraday: III legge di Maxwell

19 F.E.M. indotte e campi elettrici I campi elettrici indotti non sono generati da cariche ma da variazioni di flusso magnetico. Ciò determina una importante differenza: I campi elettrici generati da cariche possono essere rappresentati con una funzione potenziale (grandezza scalare) e sono conservativi. Ciò non vale per i campi elettrici generati da flussi magnetici variabili! ricordiamo che V V E ds su un percorso chiuso b a b a E ds 0 E d s d Il campo elettrico indotto E, prodotto da un campo magnetico variabile, è non conservativo (lavoro svolto lungo un percorso chiuso non nullo). Non è quindi descrivibile attraverso una funzione potenziale! Applicazione: pinza amperometrica

20 Riassumendo egge di Faraday (egge di enz) una variazione di flusso magnetico attraverso una spira induce una corrente nella spira stessa ε dφ il segno negativo indica che la FEM indotta si oppone alla variazione di flusso egge di Faraday in termini di campo elettrico E dl d il campo elettrico indotto non è conservativo!

21 Induttanza induttore è un elemento circuitale che immagazzina energia nel campo magnetico generato dalle spire percorse da corrente. Un induttore è caratterizzato da una induttanza che dipende dalle sue caratteristiche geometriche. induttanza è definita come la costante di proporzionalità tra la f.e.m. indotta e la derivata temporale della corrente quindi data da: unità di misura henry (H): 1 henry=1 volt sec/ampere di

22 Calcolo dell induttanza Dalla legge di Faraday applicata al caso di N spire concatenate con il flusso di un campo magnetico : dn Eguagliando in valore assoluto con la definizione di di d N Poichè è proporzionale alla corrente, in realtà dipende unicamente dalla geometria del sistema. e integrando rispetto al tempo i N N i E E

23 Induttanza di un solenoide Solenoide lungo : N avvolgimenti totali, raggio r, lunghezza l N il campo magnetico vale r l 0 I l N per una singola spira, A r A Ir l l r N avvolg. Il flusso totale attraverso il solenoide è dato da: 2 N 2 N 0 Ir l induttanza del solenoide è quindi data da: N N r l r I l l dipende solo da fattori geometrici!

24 Auto-Induttanza Consideriamo la spira a destra, R spira =0. (Assumendo una batteria ideale con resistenza interna R = 0) interr. chiuso la corrente fluisce nella spira. inizialmente di/0, quindi I(t=0) /R=Imax induttanza del circuito limita di/, cioè la crescita della corrente perchè? Quando la corrente fluisce, si produce un campo magnetico nell area racchiusa dalla spira. Il flusso attraverso la spira cresce al crescere della corrente Viene indotta nella spira una f.e.m. che si oppone alla variazione di flusso di corrente in quanto si oppone ad un incremento di flusso magnetico (legge di Faraday) Auto-Induzione: variazione di corrente in una spira che induce una tensione opposta nella medesima spira.

25 Auto-Induttanza Il campo magnetico prodotto dalla corrente nella spira mostrata è proporzionale alla corrente. I I Il flusso, quindi, è anche proporzionale alla corrente. Definiamo questa costante di proporzionalità tra flusso e corrente come induttanza,. Unità di misura Henry, 1H=1V s/a Si può anche definire l induttanza,, usando la legge di Faraday, in termini della f.e.m. indotta da una corrente variabile. ds I I ( di / ) ε di

26 Auto-Induttanza induttanza di un induttore (un insieme di spire... p.es. un solenoide), può essere calcolata solo dalla sua geometria, se il dispositivo è fatto solamente da conduttori avvolti in aria. Analogamente al caso di un condensatore. Se si aggiunge altro materiale (p.es. nucleo di ferro), bisogna aggiungere una qualche proprietà specifica del materiale, come già fatto per condensatori (dielettrici) e resistori (resistività). I ( di / ) C Q V C C 0 R A Un prototipo di induttore è un lungo solenoide, proprio come una coppia di piatti paralleli sono il prototipo di un condensatore. l r N avvolgimenti r << l d A d A

27 Circuiti R serie Un circuito che contiene una bobina, tipo un solenoide, ha una autoinduttanza che impedisce alla corrente di aumentare e diminuire istantaneamente. Chiudendo l interruttore a t=0 la corrente aumenta e la f.e.m. dell induttore (DV ab < 0) sarà: di di e, applicando Kirchoff, IR 0 ponendo x R I, dx di con x t 0 R poichè I 0 0 di dx dx R I x 0 R R R x x x i t dx R x R ln t x x i x xie I e I e e R R R R costante di tempo del circuito R serie R i 1 1 Rt Rt Rt t

28 Circuiti R serie andamento temporale della corrente è t I t 1e R derivando si ha di e di max R per t 0 t a caduta di tensione sull induttore sarà di Rt t V e e

29 Circuiti R Analogamente ai circuiti RC RC esiste una costante di tempo che caratterizza il comportamento temporale del circuito Perchè R cresce per più grandi? si oppone a variazioni di corrente, e quindi rallenta il tasso di variazione. Perchè R diminuisce per R più grandi? Grandi R riducono la corrente finale. Grandi R dissipano l energia velocemente, velocizzano la scarica dell induttore (cioè velocizzano la perdita di corrente). R R RC

30 Circuiti R Dopo che l interruttore è stato in posizione a per un tempo lungo, a t=0, viene portato in posizione b. a I b R I legge della maglia: IR di 0 l appropriata condizione iniziale è: a soluzione deve avere la forma: I V e R di Rt/ I( t e 0) Rt/ R

31 on Q off /R 1 /R 2/R 1 /R 1 /R 2/R f( x) I 0.5 I 1 e R Rt/ f( x) I 0.5 I e R Rt/ f( xv) V x t/rc di t 3 4 t e Rt/ f( x) V x V di t t e 4 Rt/

32 Energia di un induttore Quanta energia (U) è immagazzinata in un induttore quando una corrente fluisce attraverso esso? legge della maglia: moltiplichiamo per I : rammentare P du potenza erogata batteria εi IR I 2 R I potenza dissipata resistenza di di In questa equazione della conservazione dell energia (per unità di tempo), identifichiamo P, il tasso con cui l energia è immagazzinata nell induttore: Integriamo l equazione per trovare una espressione per U, l energia immagazzinata nell induttore quando la corrente = I : U U du I di I 0 0 a b I R rapidità immagazzinamento energia (potenza) nell induttanza P du U 1 2 I I 2 di I

33 Dove è immagazzinata l energia? Come nel caso del condensatore (energia immagazzinata nel campo elettrico) per l induttore l energia è immagazzinata nel campo magnetico stesso. Per calcolare questa densità di energia, consideriamo il campo uniforme generato da un lungo solenoide: N 0 I l 2 N 2 l induttanza vale: 0 r l l energia U: 1 1 N 1 U I r I r l l 0 a densità di energia si ottiene dividendo per il volume in cui è contenuto il campo: u U 2 rl l r N avvolg. Questa relazione, pur essendo stata ricaata nel caso del solenoide, è valida in ogni regione dello spazio in cui è presente un campo magnetico!

34 Applicazione mutua induzione: caricabatteria wireless per spazzolino elettrico

35 induttanza nei circuiti: Induttori in parallelo Consideriamo due induttori in parallelo i i 1 i Usando la legge di Kirchhoff ai nodi, si ha: di di1 di2 i i1 i2 induttanza equivalente si trova imponendo che tutti i 3 induttori siano alla stessa differenza di potenziale (in parallelo)

36 Induttori in parallelo Quindi di di1 di2 V equivalente 1 2 V di di di V V 1 2 equivalente 1 2 quindi gli induttori in parallelo si combinano come le resistenze: equivalente 1 2

37 Induttori in serie Consideriamo due induttori in serie. Entrambi gli induttori saranno attraversati dalla stessa corrente i. i i Poichè la corrente è la stessa allora di/ è la stessa e la caduta di tensione sulla coppia vale: di di di V equivalente 1 2 Quindi gli induttori in serie si combinano come resistenze in serie: 1 equivalente 2 1 2