Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1]

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1 Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1] Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: 1. y = 16 x ;. y = e 1 x +4 + x + x + 1; 3. y = 10 x x 3 4x +3x; 4. y = ln[1 cos(x)]. Esercizio. Determinare il dominio e studiare il segno, determinando le intersezioni con gli assi coordinati, delle seguenti funzioni: 1. y = x +6x+5; x +4x. y = log (4x 3x). Valutazione esercizi: 1-x [1,5 punti]; -x [ punti] 1

2 Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO ] Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: 1. y = e 3 x+1 ;. y = 10 x 3 +1x; 3. y = e 1 x 1 + cos( x); 4. y = ln(x + x + 6). Esercizio. Determinare il dominio e studiare il segno, determinando le intersezioni con gli assi coordinati, delle seguenti funzioni: 1. y = x x 4x 1;. y = e 1 x +1 + x. Valutazione esercizi: 1-x [1,5 punti]; -x [ punti]

3 Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 3] Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: 1. y = 1 10 x + x + 7x + 1;. y = log 4 (15x x + 13); 3. y = x+ x 3 4x ; 4. y = sin(x 4 ). Esercizio. Determinare il dominio e studiare il segno, determinando le intersezioni con gli assi coordinati, delle seguenti funzioni: 1. y = e x 4 1;. y = x+4 x 11. Valutazione esercizi: 1-x [1,5 punti]; -x [ punti] 3

4 Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 4] Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: 1. y = x 3x 4x+1;. y = cos(x) + 6x + 5; 3. y = 3 sin(x ) + ; 4. y = 1 ln(x+). Esercizio. Determinare il dominio e studiare il segno, determinando le intersezioni con gli assi coordinati, delle seguenti funzioni: 1. y = e x 4x 3x 1;. y = log 1 (7 x). Valutazione esercizi: 1-x [1,5 punti]; -x [ punti] 4

5 Soluzione degli esercizi Parte I Correzione Compito [1] Esercizio Il dominio D della funzione y = 16 x si determina imponendo la condizione di esistenza della radice quadrata, dal momento che non vi sono altre operazioni non lecite sui reali: 16 x 0 = x 16 0 = x 4 x 4 e, pertanto, D = (, 4] [4 + ).. La funzione y = e 1 x +4 + x + x + 1 è la somma delle funzioni f(x) = e 1 x +4; g(x) = x + x + 1 per cui detti D f e D g i domini di f e g, rispettivamente, il dominio della funzione è D = D f D g. Si ha che D f = R in quanto il denominatore della frazione che compare come esponente è la somma di due quadrati e, quindi, mai nulla; D g = R poichè x + x + 1 > 0 x R. Ne segue D = R. 3. Il dominio D della funzione y = 10 x x 3 4x + 3x è dato da tutti i numeri reali che rendono non nullo il denominatore: Risulta D = {x R : x 3 4x + 3x 0}. x 3 4x + 3x 0 x(x 4x + 3) 0 5

6 x 0 x 4x x 0 x 1 x 3 cosicché D = (, 0) (0, 1) (1, 3) (3 + ). 4. Il dominio D della funzione y = ln[1 cos(x)] si determina imponendo la condizione di esistenza del logaritmo, dal momento che non vi sono altre limitazioni: 1 cos(x) > 0 che è vericata per ogni x 0 + kπ, k Z essendo, com'è noto, cos(x) 1 e l'uguaglianza vale solo per x = 0 da cui, tenendo conto del periodo, si ha la soluzione precedentemente scritta. Ne segue D = {x R : x kπ, k Z}. Esercizio. 1. Detto D il dominio della funzione y = x +6x+5 e procedendo come al x +4x punto 3. dell'esercizio precedente, si ha: D = (, 4) ( 4, 0) (0 + ). Determiniamo, adesso, le intersezioni con gli assi coordinati e studiamo il segno della funzione. Poiché 0 D, la funzione non interseca l'asse delle ordinate. Per y = 0, si ha: y = x + 6x + 5 x + 4x = 0 x + 6x + 5 = 0 x = 5 x = 1 cosicché la funzione interseca l'asse delle ascisse nei punti P 1 ( 5, 0) e P ( 1, 0). Per avere informazioni sul segno, bisogna risolvere la disequazione x + 6x + 5 x + 4x > 0 (1) tenendo conto anche degli intervalli in cui essa è negativa. Le soluzioni della (1) si ottengono risolvendo le due disequazioni: x + 6x + 5 > 0 e x + 4x > 0 6

7 e facendo il prodotto dei segni o, equivalentemente, { x + 6x + 5 > 0 x + 4x > 0 { x + 6x + 5 < 0 x + 4x < 0 In entrambi i casi, si trova che l'insieme delle soluzioni è dato da S = (, 4) ( 4, 1) (5, + ) che coincide con l'insieme delle soluzioni della (1). Ne segue y(x) > 0 x (, 4) ( 4, 1) (5, + ); y(x) < 0 x ( 4, 1) (0, 5).. Il dominio D della funzione y = log (4x 3x) si ottiene imponendo che l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo: 4x 3x > 0 = x < 0 x > 3 4 cosicché D = (, 0) ( 3 4, + ). La funzione non interseca l'asse delle y poiché 0 / D. Per y = 0, si ha: da cui log (4x 3x) = 0 4x 3x = 1 4x 3x 1 = 0 x = 1 4 x = 1 Ne segue che le intersezioni con l'asse delle x sono date dai punti A( 3/4, 0) e B(1, 0). Per studiare il segno di y = y(x), imponiamo: log (4x 3x) > 0 = 4x 3x > 1 = 4x 3x 1 > 0 Le soluzioni dell'ultima disequazione scritta sono date da x < 3/4 x > 1 per cui, compatibilmente col dominio, y(x) > 0 x (1, + ) mentre y(x) < 0 x (, 3/4). 7

8 Parte II Correzione Compito [] Esercizio Il dominio D della funzione y = e 3 x+1 è costitituito da tutti i numeri reali in quanto né l'esponenziale né la radice cubica né l'argomento di quest'ultima hanno limitazioni; in simboli D = R.. Il dominio D della funzione y = si ottiene imponendo la condizione 10 x 3 + 1x x 3 + 1x 0 x(x + 1) 0 x 0 essendo x + 1 una somma di quantità sempre positive (somma di quadrati). Ne segue D = R {0}. 3. Il dominio D della funzione y = e 1 x 1 + cos( x) si ottiene imponendo (simultaneamente) le condizioni di esistenza della frazione, che compare come esponente di e e della radice quadrata argomento del cosin: { x 1 0 x > 0 = { x 1 x > 0 = D = (0, 1) (1, + ) 4. Per determinare il dominio D della funzione y = ln(x + x + 6), va imposto che l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo: x + x + 6 > 0 = x R poiché il trinomio x +x+6 è associato ad una parabola con la concavità verso l'alto che non interseca l'asse delle ascisse. Ne segue D = R. 8

9 Esercizio. 1. Il dominio D della funzione y = soluzioni della disequazione x x 4x 1 x coincide con l'insieme delle x 4x 1 0 = x < 3 x = 0 x > 7 e, quindi, D = (, 3) {0} (7, + ). Si noti che x = 0 rappresenta un punto isolato per la funzione e O(0, 0) rappresenta l'intersezione con gli assi coordinati; la funzione è, invece, positiva nel resto del dominio.. La funzione y = e 1 x x è la somma delle funzioni u(x) = e x +1 e v(x) = x che non presentano alcuna limitazione essendo x x R in quanto somma di quadrati. Inoltre, essendo u(x) > 0 e v(x) 0 x R, si ha che u + v > 0 cosicché y = u(x) + v(x) è una funzione strettamente positiva. Per x = 0 risulta y = e per cui la funzione interseca l'asse delle ordinate nel punto P (0, e). 9

10 Parte III Correzione Compito [3] Esercizio Il dominio della funzione y = 1 + x 10 x + 7x + 1 coincide con l'insieme D delle soluzioni del sistema di disequazioni { 10 x 0 x + 7x = { x 10 x 4 x 3 per cui D = (, 4] [ 3, 10) (10, + ).. La funzione y = log 4 (15x x+13) è denita per valori della variabile indipendente che rendono posititivo l'argomento del logaritmo: 15x x + 13 > 0 che è vericata per ogni x R per cui il dominio della funzione è D = R. 3. Il dominio D della funzione y = x+ coincide con l'insieme delle x 3 4x soluzioni della disequaglianza x 3 4x 0 da cui, dividendo ambo i membri per e mettendo x in evidenza al primo membro, x (x ) 0 = x 0 x 0 = x 0 x Dunque, D = (, 0) (0, ) (, + ). 4. la funzione y = sin(x 4 ) è una funzione composta essendo essa il prodotto operatorio [sin( ) ( ) 4 ](x) in cui nessuna delle due funzioni ha limitazioni; ne segue che, il dominio di tale funzione, è D = R. Esercizio. 1. Per quanto concerne la funzione y = e x 4 1, il dominio D è costituito dalle soluzioni della disequazione esponenziale e x = e x 4 1 = e 0 = x 4 0 = x x e, in denitiva, D = (, ] [, + ). 10

11 Riguardo al segno, si ha che la funzione è non negativa su tutto D essendo una radice quadrata e, in particolare, essa è nulla per x = x = ed è positiva in D {, }. Dunque, la funzione ovvero il suo graco interseca l'asse delle ascisse nei punti P 1 (, 0) e P (, 0). Notiamo, inne, che 0 / D cosicché la funzione non ha intersezione con l'asse y.. La funzione y = x+4 x 11 è algebrica razionale fratta per cui il suo dominio D si ottiene dalla condizione di non annullamento del denominatore: x 11 0 = x 11 e, quindi, D = R {11}. Determiniamo l'intersezione con l'asse delle ordinate prima di studiare il segno della funzione. Per x = 0, si ha che y(0) = 4/( 11) = 11/4 per cui la funzione interseca l'asse delle y nel punto P (0, 4 11 ). Per y =, si ottiene l'equazione fratta x + 4 x 11 = 0 che ammette l'unica soluzione x = 4 per cui la funzione interseca l'asse delle ascisse nel punto Q( 4, 0). Per procedere allo studio del segno, va risolta la disequazione fratta x + 4 x 11 > 0 che ammette come soluzione l'insieme S = (, 4) (11, + ). Ne segue y(x) > 0 x S; y(x) < 0 x ( 4, 11). 11

12 Parte IV Correzione Compito [4] Esercizio Il dominio della funzione algebrica razionale fratta y = x 3x 4x + 1 coincide con l'insieme D delle soluzioni della disequazione di secondo grado 3x 4x che sono x = 1 x = 1. 3 Ne segue D = (, 1) ( 1, 1) (1, + ) La funzione y = cos(x) + 6x + 5 è la somma di due funzioni di cui la prima non ha limitazioni mentre la seconda è denita solo se l'argomento è non negativo: 6x = x 5 6 per cui il dominio coincide con l'insieme D = ( 5/6, + ). 3. La funzione y = 3 sin(x ) + è una funzione composta: { 3 ( ) [sin( ) ( ) + ]}(x) ma nessuna delle funzioni coinvolte ha delle limitazioni. Il dominio D della funzione è, pertanto, D = R Il dominio D della funzione y = coincide con l'insieme delle ln(x+) soluzioni del sistema di disequazioni { { ln(x + ) 0 (condizione sulla frazione) x 1 = x + > 0 (condizione sul logaritmo) x > per cui D = (, + ). Esercizio. 1

13 1. La funzione y = e x 4x 3x 1 è il prodotto delle funzioni u(x) = e x (funzione esponenziale elementare) e v(x) = 4x 3x 1 (funzione irrazionale composta). Dato che u(x) non ha limitazioni, il dominio D della funzione somma coincide con il dominio della funzione v(x) e, quest'ultimo, coincide con le soluzioni della disequazione di secondo grado 4x 3x 1 0 = x = 1 4 x = 1 per cui D = (, 1/4] [1, + ). Notiamo, inoltre, che y( 1/4) = 0 = y(1) per cui la funzione interseca l'asse delle x nei punti P 1 ( 1/4, 0) e P (1, 0). In tutto il resto del dominio, la funzione è positiva essendo u(x) > 0 x R e v(x) > 0 x D { 1, 1}. 4 Poiché 0 / D, la funzione non interseca l'asse delle ordinate.. Il dominio D della funzione y = log 1 (7 x) si ottiene imponendo che l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo: cosicché D = ( ; 7). Per x = 0, si ha y = log 1 nel punto P (0, log 1 7 x > 0 = x 7 < 0 = x < 7 (7)). (7) per cui la funzione interseca l'asse delle y Per y = 0, si ha log 1 (7 x) = 0 da cui 7 x = 1 cha ha per soluzione x = 6. Il punto Q(6, 0) costituisce, dunque, l'ntersezione della funzione con l'asse delle ascisse. Studiamo il segno della funzione imponendo che y(x) > 0 che conduce alla disequazione logaritmica log 1 (7 x) > 0 = 7 x < 1 = x > 6 Compatibilmente con il dominio si ha, allora, y(x) > 0 per 6 < x < 7; y(x) < 0 per x < 6. 13