Variabile Casuale Normale

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1 Variabile Casuale Normale Variabile Casuale Normale o Gaussiana E una variabile casuale continua che assume tutti i numeri reali, è definita dalla seguente funzione di densità: 1 f( x) = e σ 2 π ( x µ ) 2 2σ Proprietà: è simmetrica rispetto a x=m (punto di simmetria: media, moda e mediana coincidono) assume valore massimo per x=m è asintotica rispetto all asse delle ascisse Presenta due flessi nei punti x 1 =m-s e x 2 =m+s 2 π = π = e = e =

2 Variabile Casuale Normale o Gaussiana In una distribuzione normale il 68% dei casi cade nell'intervallo Media±Deviazione Standard il 95% dei casi nell'intervallo Media±1,96 Deviazione Standard il 99,7% nell intervallo Media±3 Deviazione Standard. Variabile Casuale Normale o Gaussiana È la distribuzione degli errori casuali Tutte le distribuzioni con l aumentare delle prove tendono ad assumere una distribuzione normale (teorema centrale del limite) È definita da due parametri: la media µ e la varianza σ 2

3 Indicatori di distribuzione CURTOSI SIMMETRIA Intensità standardizzate o PUNTEGGI Z z i x = i σ µ La variabile z con media e varianza 1 Tale procedura mi serve per poter confrontare diverse distribuzioni Funzione di Excel : NORMALIZZA

4 La normale con media e varianza 1 è detta NORMALE STANDARD Esistono delle tavole che riportano i valori e le corrispondenti probabilità sottese (quantili) Funzioni di excel: DISTRIB.NORM e INV.NORM

5 ESERCIZIO: VARIABILE CASUALE NORMALE Si supponga di avere una variabile X che abbia media 1 e deviazione standard Se X fosse distribuita esattamente come una gaussiana, quale percentuale di casi deve avere valori compresi tra 7 e 13? 2. Quale percentuale di casi vi attendete non inferiore a 115? 3. Quale percentuale di casi vi attendete inferiore 85? 4. Ammettete che la variabile X venga standardizzata e chiamata ZX. Qual è la media e la deviazione standard della distribuzione di ZX? Rappresentarla graficamente. 5. Quale percentuale di casi vi attendete compresa tra 1 e +1? Tra e 2? Meno di 2? 1. Se X fosse distribuita esattamente come una gaussiana, quale percentuale di casi deve avere valori compresi tra 7 e 13? Si.3 osservi che 7=1-2*15 e 13=1+2*15, Si osservi che 7=1-2*15 e.25 in una normale tra 13=1+2*15, µ +/ 2σ ci stanno in una il 95% normale dei casi casi tra.2 µ +/ 2σ ci stanno il 95% dei.15 95% Volendo effettuare la verifica con le tavole, bisognerebbe considerare che P( 7 < x< 13) = P < z< = P( 2 < z< 2) ( ) P( z ) Dalle tavole: P z< 2 < 2 = =.95

6 2. Quale percentuale di casi vi attendete non inferiore a 115? Si osservi che.3 115=1+15, in una normale Si osservi tra che µ +/ 115=1+15, σ ci stanno in il una normale tra µ +/ σ ci stanno il 68% ci sta. Nelle il 32% due code x>115 e x<85.2dei casi. Per la simmetria ci sta nella il 32% sola dei coda casi. di Per destra la avremo simmetria il 32% nella.15dei sola casi coda diviso di destra 2, avremo il cioè 32% dei casi diviso 2,.1il 16% cioè il 16% 68%. Nelle due.25 code x>115 e x< % Volendo effettuare la verifica con le tavole, bisognerebbe considerare che 15 1 P x P z P z 15 ( > 115) = > = ( > 1) Dalle tavole: ( ) P( z ) P z > 1 = < 1 = Quale percentuale di casi vi attendete inferiore 85? E la coda simmetrica a E x>115, la coda e quindi simmetrica la a.3 probabilità x>115, e è quindi sempre la probabilità è sempre.25 16% 16%.2 16% Volendo effettuare la verifica con le tavole, bisognerebbe considerare che 85 1 P x P z P z 15 ( < 85) = < = ( < 1) Dalle tavole: P z < 1 =.1587 ( )

7 4. Ammettete che la variabile X venga standardizzata e chiamata ZX. Qual è la media e la deviazione standard della distribuzione di ZX? Rappresentarla graficamente Media = Deviazione Standard = 1 5. Quale percentuale di casi vi attendete compresa tra 1 e +1? Tra e 2? Meno di 2? % %/2 = 47,5% %/2 = 2.5%

8 Convergenza della binomiale alla normale Distribuzione BINOMIALE X p q n Distribuzione GAUSSIANA Bin( n, p) X N ( np, np(1 p) ) Esempio: Convergenza della binomiale alla normale Una marca di cioccolatini dà 1 possibilità su 5 di poter vincere un altro cioccolatino, se si ripristinano sempre le condizioni di partenza, calcolare la probabilità di vincere al massimo 19 cioccolatini su 1 estratti Bisognerebbe usare la v.c. binomiale, calcoli molto dispendiosi! Bisognerebbe usare la v.c. binomiale, calcoli molto dispendiosi! (, ) ( 1,.2) X Bin n p = Bin 1 1 P( X 19) = = Sfruttando la convergenza si può ottenere lo stesso risultato con la v.c. normale Sfruttando la convergenza si può ottenere lo stesso risultato con la v.c. normale X N ( n p, np (1 p ) ) = (.2 1, 1.2.8) N ( 2, 16 ) = N = 19 2 P( X 19) = P Z = P( Z.79) =

9 Esempio: Convergenza della binomiale alla normale Basta standardizzare e utilizzare le tavole Basta della standardizzare normale standardizzata e utilizzare le tavole della normale standardizzata.2148