Corso multimediale di matematica

Transcript

1 2006 GEOMETRIA ANALITICA Il piano cartesiano rof. Calogero Contrino

2 iano cartesiano Su un piano, si considerino due rette incidenti, sulle quali siano fissati due sistemi di ascisse. Si trasli una delle rette od ambedue in modo da far coincidere i punti origine O ed O. Da un punto di ascissa parallela alla retta. sulla retta si tracci la Analogamente da un punto di ascissa sulla retta si tracci la parallela alla retta. Le due rette si intersecano in un punto del piano che è univocamente determinato dai valori di ed. Tale costruzione puo essere effettuata per qualsiasi valore di di ed. Si è in questo modo creata una corrispondenza biunivoca tra la coppia ordinata ( p, ) ed il punto. O 1 O O Le rette e prendono il nome di assi coordinati (rispettivamante asse delle ascisse ed asse delle ordinate ) dimetrici (unita di misura diverse ) mentre i valori, prendono il nome di coordinate (rispettivamente ascissa ed ordinata ) del punto. 1 q 22/09/2015 2/8

3 iano cartesiano ortogonale monometrico In generale si preferisce scegliere assi coordinati ortogonali e monometrici (con la stessa unità di misura su e ). I due assi coordinati dividono il piano in quattro quadranti. I quadranti prendono il nome rispettivamente di primo(i ), secondo(ii ), terzo(iii ), quarto(iv ), in concordanza con la sequenza con la quale essi vengono spazzati da una semiretta che, inizialmente sovrapposta al semiasse positivo delle ascisse, ruoti in senso antiorario attorno all origine. II p O I ertanto le coordinate del punto saranno diversamente caratterizzate secondo che il punto ricada internamente ad un determinato quadrante oppure si trovi sugli assi che sono le frontiere di ciascun quadrante. III IV 22/09/2015 3/8

4 iano cartesiano Nella figura a lato sono esaminate le diverse situazioni che si possono verificare. unto nell origine degli assi: = 0 ; = 0. unto sul semiasse positivo delle ascisse: > 0 ; = 0. p unto interno al primo quadrante : > 0 ; > 0. unto sul semiasse positivo delle ordinate : = 0 ; > 0. unto interno al secondo quadrante : < 0 ; > 0. O unto sul semiasse negativo delle ascisse: < 0 ; = 0. unto interno al terzo quadrante : < 0 ; < 0. p unto sul semiasse negativo delle ordinate: = 0 ; < 0. unto interno al quarto quadrante : > 0 ; < 0. 22/09/2015 4/8

5 Distanza tra due punti sul piano cartesiano Ci si chiede a questo punto in che modo sia possibile esprimere la distanza euclidea tra due punti del piano cartesiano. In si possono determinare diverse situazioni. Con riferimento alla figura a lato si consideri dapprima il caso in cui i due punti, Q individuano gli estremi di un segmento parallelo all asse delle. Siano e Q le proiezioni sull asse delle ascisse dei punti e Q, essendo Q Q e = ; Q = Q, la distanza è così esprimibile: d(q) = d(q) = Q - = - Q Q Q = O Q = Q 22/09/2015 5/8

6 Distanza tra due punti sul piano cartesiano Si consideri ora il caso in cui i due punti R, S individuano gli estremi di un segmento parallelo all asse delle. Siano R e S le proiezioni sull asse delle ordinate dei punti R e S, essendo RS R S e R = R ; S = S, la distanza è così esprimibile : S = S S S d(rs) = d(sr) = S - R = R - S O R = R R R 22/09/2015 6/8

7 Distanza tra due punti sul piano cartesiano Si esamina ora il caso in cui i due punti, Q individuano gli estremi di un segmento non parallelo a nessuno degli assi coordinati. er i punti e Q,si conducano le parallele agli assi coordinati. Sia H il punto d intersezione tra l orizzontale per e la verticale per Q e si consideri il triangolo HQ. Essendo i segmenti H e HQ paralleli rispettivamente all asse ed all asse si ha: d(h) = d(h) = H - = - H d(hq) = d(qh) = Q - H = H - Q Ed infine per il teorema di pitagora : d(q) = d(q) = ( Q - ) 2 + ( Q ) 2 Q = H Q H Q = O Q = Q = H 22/09/2015 7/8

8 Richiami di geometria euclidea : fascio improprio di rette E opportuno a questo punto richiamare qualche conoscenza di geometria euclidea acquisita nel corso del biennio. Si ricordi la seguente definizione Si dice fascio improprio di rette (fascio di rette parallele) l insieme delle rette giacenti su un piano parallele ad una retta assegnata. fascio di rette parallele r 22/09/2015 8/8

9 Richiami di geometria euclidea : teorema di Talete Sussiste il seguente: teorema (di Talete ) Se un fascio di rette parallele è intersecato da due rette trasversali i segmenti tra rette parallele che si formano sulla prima trasversale sono direttamente proporzionali ai segmenti compresi fra le stesse parallele sulla seconda trasversale. Illustrazione del teorema di Talete r A s A B B C C E D D E AB :CD = A B : C D = AC :DE = A C :D E =. 22/09/2015 9/8

10 punto medio di un segmento (sul piano cartesiano) Si affronta ora il problema della determinazione delle coordinate del punto medio di un generico segmento giacente sul piano cartesiano e con inclinazione qualsiasi rispetto agli assi. Con riferimento alla figura a lato, si consideri il segmento di estremi (, ) e Q( Q, Q ). Sia M ( M, M ) il suo punto medio. er il teorema di Talete il punto M ( di ascissa M ) ed il punto M (di ordinata M ) sono punti medi rispettivamente del segmento Q e del segmento Q. ertanto l ascissa del punto medio sarà : M = ( + Q ) 2 mentre la sua ordinata sara : M = ( + Q ) 2 Q M Q Q M M H = H M Q = O Q = M Q 22/09/ /8

11 Richiami di geometria euclidea : simmetria centrale Si ha la seguente: definizione assegnato nel piano un punto C,dicesi simmetria centrale di centro C una trasformazione del piano in se che associa ad ogni punto del piano un punto (detto simmetrico di rispetto a C) tale che :, C, giacciono su una stessa retta con e da parti opposte rispetto a C d(, C) = d(c, ) Simmetria centrale C in conseguenza della definizione data in precedenza, il punto C risulta essere il punto medio del segmento che ha per estremi i punti simmetrici e. 22/09/ /8

12 equazioni della simmetria centrale Si pone il seguente: problema Dato un centro di simmetria C ed un generico punto,si pone il problema di determinare le coordinate del punto simmetrico rispetto a e viceversa dato il punto determinare il punto. Tale problema, di semplice soluzione, viene risolto di seguito. Con riferimento alla figura a lato, (essendo il centro di simmetria C punto medio del segmento ) per quanto visto in precedenza si avra : C = ( + ) C = ( + ) 2 2 pertanto le coordinate del punto saranno date da : = 2 C - = 2 C - p mentre le coordinate del punto saranno date da : = 2 C = 2 C p 1 2 C C Le 1 e 2 sono le equazioni della simmetria centrale, rispettivamente nella forma diretta ed inversa : O C 22/09/ /8

13 simmetria centrale con centro nell origine degli assi coordinati Se il centro di simmetria C coincide con l origine degli assi cartesiani, si ha allora : C = 0 e C = 0 ertanto le equazioni della simmetria centrale diretta ed inversa diventano: =, = p 3 =, = p 4 O C 22/09/ /8

14 Richiami di geometria euclidea : baricentro di un triangolo Si ha la seguente: definizione dicesi baricentro di un triangolo il punto d intersezione delle mediane relative ai tre lati. Sussiste il seguente: teorema Il baricentro di un triangolo divide ciascuna mediana in due segmenti tali che il segmento che ha per estremo il vertice risulta di lunghezza doppia rispetto a quello che che ha per estremo il punto medio del lato opposto (corrispondente). teorema del baricentro B M A C G M C M B A AG = 2GM A, BG = 2GM B, CG = 2GM c. 22/09/ /8

15 determinazione delle coordinate del baricentro di un triangolo Si determinano ora, con riferimento alla figura, le coordinate del baricentro di un triangolo di cui sono note le coordinate dei vertici rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano. Sia il triangolo ABC, applicando il teorema precedente ad una delle tre mediane (p.e. BM B ) si ha : BG = 2GM B Quindi per il teorema di Talete rispetto al fascio di rette parallele all asse tagliate dalla trasversale passante per B e G e dall asse delle ascisse si ha : B G = 2( G MB ) = Da cui : 3 G = A + B + C 2 G 2 A + C 2 3 Ancora per il teorema di Talete rispetto al fascio di rette parallele all asse tagliate dalla stessa trasversale per B e G e dall asse delle ordinate si ha : G A + C B G = 2( G MB ) = 2 G 2 2 Da cui infine : 3 G = A + B + C A + B + C G = 3 Le 1 e 2 sono le formule cercate. = A + B + C 1 2 G B MA C MC MB A O C C M A M B G MA MB G B B M C A MC A 22/09/ /8

16 Richiami di geometria euclidea : traslazione nel piano Si ha la seguente: definizione si dice traslazione di vettore V = [ Q ] una trasformazione del piano in se che associa ad ogni punto A un punto A tale che il segmento orientato A A sia equipollente al segmento orientato Q. Traslazione di vettore V = [ Q ] Q A A 22/09/ /8

17 traslazione nel piano : proprietà er una traslazione nel piano sussiste la seguente: roprieta Due figure geometriche che si corrispondono in una traslazione sono tra loro congruenti Figure congruenti in una traslazione B B C C A A 22/09/ /8

18 traslazione degli assi cartesiani sul piano Con riferimento alla figura 1 consideriamo un sistema di assi coordinati cartesiani O. Applicando una traslazione di vettore V = [ OO ] si otterra un nuovo sistema di assi XO Y. Ci proponiamo di trovare le relazioni che intercorrono tra le coordinate di un generico punto del piano nel vecchio e nel nuovo riferimento. A tale scopo si indichino con 0 e 0 le componenti del vettore V nel vecchio sistema di riferimento. Siano X, Y e, rispettivamente le coordinate di un generico punto nel nuovo e nel vecchio riferimento. Si avrà pertanto : X = - O Y = - O 1 0 FIG 1 Y Y O X X = O + X = O + Y Le 1 e 2 sono le formule cercate per il passaggio da un sistema all altro. 2 O 0 22/09/ /8