e) A10, ( 1;B6,2 ) ( ) f) A3,42;B12,2
|
|
- Maria Teresa Donato
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 7. ESERCIZI SULLA DISTANZA FRA DUE PUNTI ) Calcola le distanze fra le seguenti coppie di punti: a) A;B6 ( ) ( ) A( 8 ); B( 7 5) c) A ( ;B ) ( 7) d) A( ); B e) A ( ;B6 ) ( ) f) A4;B ( ) ( ) g) A ; B 6 h) A;B ( ) ( π ) i) O;P ( ) ( ab ) ) Determina il perimetro del triangolo di vertici A( 4); B( 9); C( ) ) Determina il perimetro del triangolo di vertici D( 7); E(7); F( 9) 4) Trova il perimetro di PQR con P( 4); Q( ); R(56) (il risultato conterrà un radicale) 5) Il triangolo di vertici D( ); E( ); F( 7) è isoscele: dimostralo e calcola la sua base. 6) Verifica che il quadrilatero di vertici A( 6); B(); C(7 ); D( 5) è un parallelogrammo 7 7) Verifica che il quadrilatero di vertici A( ); B( ); C ( ); D ( ) è un quadrato 8) Verifica che il triangolo di vertici O ( ); A( ); B(6) è rettangolo 9) Determina quel punto P dell asse y che è equidistante da A(4 ) e da B( ) (indicazione: il generico punto dell asse y ha coordinate ( y) ; il problema è perciò risolto dall equazione ) 4 ) Determina quel punto P dell asse che è equidistante da O() e da Q( 5 5 ) (indicazione: il generico punto dell asse è ( ); il problema è perciò risolto dall equazione ) ) Quale punto della retta y = è equidistante dall origine e dal punto A( 4 )? Indicazione: un generico punto della retta y = ha coordinate ( ) ) Determina il centro e il raggio della circonferenza passante per i tre punti A(); B( ); C(8 ) (indicazione: il centro è quel punto P di coordinate ( y ) tale che PA = PB = PC. Basterà perciò impostare le due equazioni PA = PB e PA = PC e porle a sistema ) SUL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO 4 ) Calcola le coordinate del punto medio del segmento AB essendo a) A5;B ( ) ( 9) A( 4 ); B( ) c) A( 4 ); B( ) d) A ; B 4 5 g) A(.6.4 ); B(.4.5) h) A ; B 4 4) Calcola le coordinate dei punti medi I L M N dei lati del quadrilatero ABCD essendo A( ); B( 5); C(57); D(7) Il quadrilatero che ha per vertici i punti medi dei lati di un quadrilatero qualsiasi è sempre un parallelogrammo: verificalo in questo caso particolare constatando i lati opposti di ILMN sono a due a due uguali. P;Q 4. Che coordinate ha N punto medio di PM? 5) M è il punto medio di PQ essendo ( ) ( ) e) A ( k ); B( ) f) A ( a+ b a ; B ( a b 6) Nell esercizio 6 si è verificato che ABCD con A( 6); B(); C(7 ); D( 5) è un parallelogrammo; ma allora le sue diagonali dovrebbero tagliarsi scambievolmente per metà vale a dire i loro punti medi dovrebbero coincidere. Verificalo. 7) Se M ( ) è il punto medio del segmento AB e A( 4) quali sono le coordinate di B? 8) Se M 4 è il punto medio del segmento AB e A 6 quali sono le coordinate di B? T 4 S 9) Trova le coordinate del punto R simmetrico di ( ) rispetto a ( ) ) Trova il quarto vertice del parallelogrammo che ha tre vertici in A ; B( 4); C() ) Per quale valore di k il segmento di estremi A(); B(k k) ha come punto medio il punto ( k k )?
2 SULL EQUAZIONE DI UNA CURVA (FORMA ESPLICITA FORMA IMPLICITA) ESEMPI Portare l equazione 8 y = in forma esplicita 5 Si tratta di isolare y a primo membro: 8 8 y = ; y = 8+ ; y = 8 ; y = ; y= 4 Viceversa: Portare l equazione y = + in forma implicita 4 Portare tutto a membro in modo che il membro sia ; sarà bene mandare pure via i denominatori: y = + ; y = 9 + ( abbiamo moltiplicato per ); 9 + y = 4 ESERCIZI ) Porta le seguenti equazioni in forma esplicita: a) + y = y + 4= c) + 4y 6= d) + y = e) 5y = f) 4 y = g) y+ + 6= h) y 4 = i) y + = j) y = 4 k) y+ y = l) y + y = (eq. di grado) ) Porta le seguenti equazioni in forma implicita: 7 m) y = + 8 n) y = + o) y = p) y = 5 4 q) y = r) y = + s) y = t) y = SULL APPARTENENZA DI UN PUNTO A UNA CURVA 4) E data la curva C: + y = 5. Stabilire quali fra i punti seguenti vi appartengono: A( 4); B(6); C( 5) 5) E data la curva di equazione y = 6. Stabilire quali fra i punti seguenti vi appartengono: P( 4/ ); Q( ); R(4) 6) Per quale valore del parametro k il punto A() appartiene alla curva di equazione ( k ) + ky+ 8=? 7) Per quale valore di a la curva y + a+ a = passa per l origine? 8) Determinare m in modo che il punto P( m m+ ) appartenga alla retta + y 5= 9) Trovare i punti di ascissa della curva + y = 5 ) Trovare il punto di ordinata della retta r:5 y+ = SULL INTERSEZIONE DI DUE CURVE ) Trova il punto d intersezione delle due rette r : y = + e r : y = + 9. ) Determina i vertici del triangolo i cui lati sono le rette di equazioni: y = y = 4+ y = 5 ) In quale punto si tagliano le due rette r : y = e r :6 y =? 4) Trova i punti di intersezione fra: C: + y = 5 ed r: + y+ 5= (sistema di grado sup. al ) 5) Trova i punti comuni alla circonferenza + y = 5 e all iperbole y = 6 (sistema di grado sup. al ) SULLA DIVISIONE DI UN SEGMENTO IN PARTI E SUL BARICENTRO DI UN TRIANGOLO 6) A(); B(95). Determina i punti P Q R S T che dividono il segmento AB rispettivamente: a) in parti proporzionali ai numeri e 5 (P) in parti proporzionali ai numeri e (Q) c) in modo che sia AR = RB d) in modo che sia AS = AB e) in modo che sia AT = AB 7) Determina il baricentro: a) di ABC con A ( ); B( 5); C( ) di DEF con D( ); E( ); F(4) 5 c) di ILM con I ; L ; M ) Se due vertici di ABC sono A( 4); B() e il baricentro è G() che coordinate ha il vertice C? 9) Se un vertice di ABC è A( ) e il baricentro è G( 4) che coordinate ha il punto medio M di BC? 4) Se un vertice del triangolo ABC è A(55) e il baricentro è G( 9 5) quanto misura la mediana AM?
3 6 RISPOSTE ) a) 7 c) 4 d) 5/ e) 5 f) 4 g) / h) π π + 6 i) a + b ) ) 4 4) ) In effetti è DE = DF = 5. base = EF = 5 = 5 6) Occorrerà controllare che i lati opposti siano a due a due uguali. E si trova AB = DC = e AD = CB = 5. 7) Si deve verificare che i quattro lati sono uguali e pure le diagonali sono uguali! Si trova AB = BC = CD = DA = 5/ AC = BD = 5 5 = 4 8) Basta verificare che la somma dei quadrati di due lati uguaglia il quadrato del lato rimanente: si potrà allora concludere che il triangolo è rettangolo per l inverso del Teorema di Pitagora. 9) L equazione è ( 4) + ( y+ ) = ( ) + ( y+ ) e per mandar via le radici si eleveranno al quadrato entrambi i membri. Si trova P( ). ) Analogo al problema precedente. Si trova P( 4). ) Il punto è P(4 ). Il problema si risolve con l equazione ( ) + ( ) = ( 4) + ( ) ( ) + ( y ) = ( ) + ( y+ ) ) Il centro è (5) il raggio è 5. Il sistema risolvente è ( ) + ( y ) = ( 8) + ( y+ ) 7 d) 4 85 e) k + f) a a g) (.5.5) h) 8 ; due lati opposti di ILMN misurano 5 e gli altri due 6 ) a) ( 7) c) ( ) 4) ( ); ( ); ( 7 ); ( 4) 5) N 6) In effetti sia AC che BD hanno per punto medio 5 7 7) B6 ( 5) 8) B 9 6 9) R( 8) ) D ) Per nessun valore di k: dovrebbe risultare simultaneamente sia + k + k = k che = k ma le due equazioni hanno soluzioni diverse: non esiste un valore di k che le soddisfi entrambe. ) a) y = + y = + 4 c) y = d) y = e) y = f) y = 5 g) y = + 6 h) ( la condizione si può y = i) y = scrivere ma a ben guardare è inutile : sapresti dire perché?) j) y =± + 4 k) y = + l) y = ± + ) + y = 5+ 5y+ = + y+ 7 = m) + y 8= n) o) p) o y+ = o 5 5y = o y 7 = y = q) 4 + y = r) + y = s) t) y = con y con y 4) A: sì appartiene B: no C: sì 5) P: sì Q: sì R: no 6) k = 7) a = / 8) m = 9) ( 4); ( 4) ) ; ; 6 ( /5 ) ) ( 5 ) ) ( ) ( ) ( ) ) In nessun punto: sono parallele 4) A( 5); B( 4) 7 ± 7 7 ± 7 5) 4 intersezioni: ; 5 6) P Q R( ) S T( 5 7) 7) a) ( 4 ) c) ) C(6) 9) M( 7) 4) AM = 9
4 7 ALTRI ESERCIZI (risposte alla pagina successiva) 4) I punti ( y ) del piano cartesiano le cui coordinate soddisfano le due condizioni 55 y formano un rettangolo. Qual è la sua area? Che coordinate ha il punto di intersezione delle diagonali? 4) Che figura geometrica formano sul piano cartesiano a) i punti per i quali il valore assoluto dell ordinata vale? i punti ( y ) per i quali y >? c) i punti ( y ) per i quali + y > 5? 4) E possibile sul piano cartesiano trovare punti A B C tali che AB = BC = 6 AC = 8? E tre punti P Q R per cui PQ = QR = 8 RP = 4? 44) Quali sono i punti sull asse che vedono il segmento AB con A( 4) e B() sotto un angolo retto? Puoi rispondere a questa domanda conoscendo esclusivamente la formula per la distanza fra due punti e il Teorema di Pitagora col suo inverso! (Equazione di grado) 45) Scrivi l equazione del luogo dei punti che sono equidistanti dai due punti O() e A(). Verifica che i due punti di coordinate () e () soddisfano entrambi com era prevedibile l equazione trovata. Porta questa in forma esplicita e disegna la curva: vedrai che si tratta ovviamente di una retta. In Geometria che nome si dà a questa retta? 46) Se un punto P ha coordinate ( ) a) dall origine dall asse c) dall asse y? y qual è l espressione contenente e/o y che fornisce la sua distanza 47) Qual è il luogo dei punti che hanno la proprietà di essere equidistanti dall origine O() e dall asse? Puoi rispondere sia col ragionamento geometrico puro senza pensare alle coordinate sia scrivendo l equazione del luogo geometrico 48) Considera il triangolo rettangolo OAB con O(); A( a); B( b ) e verifica che la mediana relativa all ipotenusa è uguale a metà dell ipotenusa stessa.
5 RISPOSTE 4) Area = 48. Le diagonali si intersecano in ( ). 8 4) a) Sono distribuiti su due rette parallele all asse di equazioni y = e y = rispettivamente. Un semipiano privato della sua retta origine c) + y > 5 equivale a + y > 5. Ma + y è la distanza di ( y ) dall origine. Allora la figura è formata da tutti i punti del piano tranne quelli del cerchio di centro O e raggio 5. 4) E possibile sul piano cartesiano trovare punti A B C tali che AB = BC = 6 AC = 8? No perché in un triangolo ciascun lato è sempre minore della somma degli altri due ( relazione triangolare ) mentre qui non è <6+8. Inoltre i tre punti non possono essere allineati perché in questo caso fra i segmenti in gioco ce ne sarebbero due con somma uguale al terzo segmento: ora ciò coi nostri segmenti non avviene. E tre punti P Q R per cui PQ = QR = 8 RP = 4? Sì. I tre punti saranno allineati con R compreso fra P e Q. 44) Un punto P dell asse ha coordinate P ( ). L angolo APB sarà retto se e solo se PA + PB = AB. Si trova che i due punti hanno coordinate ( ) e ( ). P y del piano e si traduce in coordinate la condizione PO Ci si libera dalle radici elevando al quadrato. Si trova y = + retta che è l asse del segmento AB. 45) Si considera il generico punto ( ) 46) a) c) y + y 47) Il luogo è l asse y. Tutti e soli i punti dell asse y ossia tutti e soli i punti di ascissa nulla ( = ) 8 hanno la proprietà di essere equidistanti dall origine e dall asse. + y = y ; + y = y + y = y = =. 48) In effetti AB = a + b e OM = a + b = PA.
Rappresenta nel piano cartesiano l insieme dei punti P(x; y) le cui coordinate soddisfano le seguenti condizioni:
ultima modifica /0/0 ESERCIZI PROPOSTI IL PIANO CARTESIANO LE COORDINATE DI UN PUNTO NEL PIANO CARTESIANO A Quali sono le coordinate dei punti indicati in figura? B Quali sono le coordinate dei punti indicati
DettagliPrincipali Definizioni e Teoremi di Geometria
Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Segmento (definizione) Si dice segmento di estremi A e B l insieme costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta AB compresi tra A e B. Angolo
DettagliCostruzioni geometriche. (Teoria pag , esercizi )
Costruzioni geometriche. (Teoria pag. 81-96, esercizi 141-153 ) 1) Costruzione con squadra e riga. a) Rette parallele. Ricorda: due rette sono parallele quando.... oppure quando hanno la stessa. Matematicamente
DettagliTest di Matematica di base
Test di Matematica di base Geometria Il rapporto tra la superficie di un quadrato e quella di un triangolo equilatero di eguale lato è a. 4 b. 4 d. [ ] Quali sono le ascisse dei punti della curva di equazione
DettagliPrincipali Definizioni e Teoremi di Geometria
Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Segmento (definizione) Si dice segmento di estremi A e B l insieme costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta AB compresi tra A e B. Angolo
DettagliTesti verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009
Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 1) Sono assegnati i punti A(- 1; 3) C(3; 0) M ;1 a) Ricavare le coordinate del simmetrico di A rispetto a M e indicarlo con B. Verificare che il segmento congiungente
DettagliLAVORO ESTIVO di MATEMATICA Classi Terze Scientifico Moderno N.B. DA CONSEGNARE ALLA PRIMA LEZIONE DI MATEMATICA DI SETTEMBRE
LAVORO ETIVO di MATEMATICA Classi Terze cientifico Moderno N.B. A CONEGNARE ALLA PRIMA LEZIONE I MATEMATICA I ETTEMBRE PROBLEMI I ALGEBRA APPLICATA ALLA GEOMETRIA ) In un cerchio di raggio r si determini
DettagliI quadrati sono 5. Esercizio pagina 198 numero 119 Calcola la misura del perimetro dell'area del trapezio in figura
Considera il piano cartesiano. Quanti sono i quadrati aventi un vertice in (-1;-1) e tali che uno degli assi coordinati sia asse di simmetria del quadrato stesso? I quadrati sono 5 Esercizio pagina 198
DettagliProblemi sulla circonferenza verso l esame di stato
Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato * * * n. 0 pag. 06 a) Scrivi l equazione della circonferenza γ 1 di centro P ; ) e passante per il punto A0; 1). b) Scrivi l equazione della circonferenza
DettagliC I R C O N F E R E N Z A...
C I R C O N F E R E N Z A... ESERCITAZIONI SVOLTE 3 Equazione della circonferenza di noto centro C e raggio r... 3 Equazione della circonferenza di centro C passante per un punto A... 3 Equazione della
DettagliC6. Quadrilateri - Esercizi
C6. Quadrilateri - Esercizi DEFINIZIONI E COSTRUZIONI 1) Dato il seguente quadrilatero completa al posto dei puntini. I lati AB e BC sono I lati AB e CD sono I lati AD e sono consecutivi I lati AD e sono
DettagliDato un triangolo ABC, è il segmento che partendo dal vertice opposto al lato, incontra il lato stesso formando due angoli retti.
Anno 2014 1 Sommario Altezze, mediane, bisettrici dei triangoli... 2 Altezze relativa a un vertice... 2 Mediane relative a un lato... 2 Bisettrici relativi a un lato... 2 Rette perpendicolari... 3 Teorema
DettagliI quadrilateri Punti notevoli di un triangolo
I quadrilateri Capitolo Quadrilateri 1 erifica per la classe prima COGME............................... ME............................. Quesiti 1.a ero o falso? 1. La somma degli angoli interni di un ottagono
DettagliAppunti ed esercizi di geometria analitica PRIMA PARTE
Appunti ed esercizi di geometria analitica PRIMA PARTE Per la teoria studiare su il libro di testo La retta e i sistemi lineari, modulo E, da pagina 594 a pagina 597. Esercizi da pagina 617 a pagina 623.
DettagliProblemi di geometria
1 3 4 5 6 7 8 9 Un triangolo rettangolo ha un angolo acuto di 30, il cateto minore misura 6 m. Calcola il perimetro e l area del triangolo. [8,39 m; 31,18 m ] Un triangolo rettangolo ha un angolo acuto
DettagliElementi di Geometria euclidea
Proporzionalità tra grandezze Date quattro grandezze A, B, C e D, le prime due omogenee tra loro così come le ultime due, queste formano una proporzione se il rapporto delle prime due è uguale al rapporto
DettagliGEOMETRIA EUCLIDEA. segno lasciato dalla punta di una matita appena appoggiata sul foglio. P
GEOMETRIA EUCLIDEA 1) GLI ENTI FONDAMENTALI: PUNTO, RETTA E PIANO Il punto, la retta e il piano sono gli ELEMENTI ( o ENTI ) GEOMETRICI FONDAMENTALI della geometria euclidea; come enti fondamentali non
DettagliIn un triangolo altezza mediana bisettrice asse Proprietà di angoli e lati di un triangolo
In un triangolo si dice altezza relativa a un lato il segmento di perpendicolare al lato condotta dal vertice opposto. Si dice mediana relativa a un lato il segmento che unisce il punto medio del lato
Dettaglila funzione assume valore per qualsiasi valore di x, quindi il suo dominio è R.
Data la funzione f (x)=a x 3 +b, trova per quali valori di a e di b il grafico di f (x) passa per i punti (; 1) e ( ; 4). Rappresenta f (x), indicandone il dominio e il codominio. Troca i punti di intersezione
DettagliCostruzione 1 Condurre la perpendicolare ad un retta data, passante per un punto della retta stessa.
Costruzioni Costruzioni di rette, segmenti ed angoli Costruzione 1 Condurre la perpendicolare ad un retta data, passante per un punto della retta stessa. Costruzione. Consideriamo la retta r ed un punto
DettagliEsercizi di Geometria Analitica
Esercizi di Geometria Analitica Lucia Perissinotto I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave Beatrice Hitthaler I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave 10 settembre 2012 Capitolo 1 Esercizi di geometria analitica
DettagliVerifiche di matematica classe 3 C 2012/2013
Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013 1) È assegnato il punto P 1 (3; 1), calcolare le coordinate dei punti: P 2 simmetrico di P 1 rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante P 3 simmetrico
DettagliGeometria euclidea. Alessio del Vigna. Lunedì 15 settembre
Geometria euclidea Alessio del Vigna Lunedì 15 settembre La geometria euclidea è una teoria fondata su quattro enti primitivi e sulle relazioni che tra essi intercorrono. I quattro enti primitivi in questione
Dettagli(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo
GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()
DettagliProblemi di geometria
criteri di similitudine sui triangoli 1 Dimostra che le altezze di un triangolo sono inversamente proporzionali ai relativi lati. 2 Dimostra che due triangoli rettangoli sono simili se hanno ordinatamente
DettagliProblemi di geometria
1 2 3 applicazioni al triangolo rettangolo Calcola il perimetro e l area di un triangolo rettangolo sapendo che l ipotenusa e l altezza ad essa relativa sono lunghe rispettivamente 3 cm e 16,8 cm. [8 cm;
DettagliTest su geometria. 1. una circonferenza. 2. un iperbole. 3. una coppia di iperboli. 4. una coppia di rette. 5. una coppia di circonferenze
Test su geometria Domanda 1 Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, il luogo dei punti le cui coordinate (x; y) soddisfano l equazione x y = 1 è costituita da una circonferenza.
DettagliLiceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO GEOMETRIA
Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO GEOMETRIA TRIANGOLI Criteri di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti:
DettagliI PARALLELOGRAMMI E I TRAPEZI
I PARALLELOGRAMMI E I TRAPEZI 1. Il parallelogramma ESERCIZI 1 A Disegna un parallelogramma ABCD, la diagonale BD e i segmenti AK e CH, perpendicolari a BD. Dimostra che il quadrilatero AHCK è un parallelogramma.
DettagliQUESTIONARIO INIZIALE DI AUTOVALUTAZIONE
QUESTIONARIO INIZIALE DI AUTOVALUTAZIONE relativo a GEOMETRIA PIANA EQUAZIONI E DISEQUAZIONI a cura di Mariacristina Fornasari, Daniela Mari, Giuliano Mazzanti, Valter Roselli, Luigi Tomasi 1) Nel piano
DettagliDue rette si dicono INCIDENTI se hanno esattamente un punto in comune, altrimenti si dicono PARALLELE.
Riepilogo di Geometria: Assioma A1 Per tutte le coppie di punti P,Q dell insieme S è assegnato un numero reale (=)> 0, che si dice distanza di P da Q e si indica don d(p,q) 1- Se i punti P,Q sono distinti
DettagliProblemi di geometria
1 2 6 7 9 Calcola la misura dell ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 11,2 cm e 1 cm. [1,7 cm] In un triangolo rettangolo l ipotenusa misura cm, un cateto è dell ipotenusa. Calcola
Dettagliil discriminante uguale a zero; sviluppando i calcoli si ottiene che deve essere
Macerata maggio 0 classe M COMPITO DI MATEMATICA RECUPERO ASSENTI QUESITO Considera il fascio di curve di equazione: x y (.) = k + k 6 a) Trova per quali valori di k si hanno delle ellissi. Deve essere
DettagliProblemi di geometria
equivalenza fra parallelogrammi 1 2 3 4 Dimostra che, fra tutti i rettangoli equivalenti, il quadrato è quello che ha perimetro minimo. Dimostra che ogni quadrato è equivalente alla metà del quadrato costruito
DettagliLe coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole.
Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Teoria in sintesi Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono
DettagliGeometria BATR-BCVR Esercizi 9
Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio
DettagliREGOLA DELLA SEMPLIFICAZIONE DELLE AREE
REGOLA DELLA SEMPLIFICAZIONE DELLE AREE Ogni formula di calcolo delle aree dei poligoni può essere espressa tramite una frazione avente al numeratore un prodotto di due valori e un unico valore al denominatore.
DettagliAREE DEI POLIGONI. b = A h
AREE DEI POLIGONI 1. RETTANGOLO E un parallelogramma avente quattro angoli retti, i lati opposti uguali e paralleli, le diagonali uguali non perpendicolari che si scambiano vicendevolmente a metà. Def.
DettagliPROBLEMI SUI TEOREMI DI EUCLIDE E SUL TEOREMA DI PITAGORA
PROBLEMI SUI TEOREMI DI EUCLIDE E SUL TEOREMA DI PITAGORA 1. Calcolare la misura x di un cateto di un triangolo rettangolo, sapendo che essa supera di 4 cm. quella della sua proiezione sull'ipotenusa,
DettagliPunti nel piano cartesiano
Punti nel piano cartesiano In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo x e. Solitamente, disegniamo la retta x (ascisse) orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta e
DettagliParallelogrammi 1 Parallelogrammi Nome: classe: data:
www.matematicamente.it Parallelogrammi 1 Parallelogrammi Nome: classe: data: 1. Quali tra le seguenti sono proprietà del parallelogramma?. ciascuna diagonale lo divide in due triangoli uguali. gli angoli
DettagliProblemi sui teoremi di Euclide
Capitolo 1 Problemi sui teoremi di Euclide 1.1 Problemi svolti 1. Calcolare il perimetro e l area di un triangolo rettangolo sapendo che la misura di un cateto, supera di 4 cm. quella della sua proiezione
DettagliC8. Teoremi di Euclide e di Pitagora - Esercizi
C8. Teoremi di Euclide e di Pitagora - Esercizi EQUIVALENZA DI FIGURE GEOMETRICHE E CALCOLO DI AREE 1) Dimostra che ogni mediana divide un triangolo in due triangoli equivalenti. 2) Dato un parallelogramma
DettagliLa retta nel piano cartesiano
La retta nel piano cartesiano Se proviamo a disporre, sul piano cartesiano, una retta vediamo che le sue possibili posizioni sono sei: a) Coincidente con l asse delle y; b) Coincidente con l asse delle
DettagliLe caratteristiche dei poligoni. La relazione tra i lati e gli angoli di un poligono. Definizioni
Le caratteristiche dei poligoni 1. Si dice poligono la parte del piano delimitata da una spezzata chiusa. 2. Il perimetro di un poligono è la somma delle misure del suoi lati, si indica cm 2p. 3. Un poligono
DettagliC5. Triangoli - Esercizi
C5. Triangoli - Esercizi DEFINIZIONI 1) Dato il triangolo in figura completare al posto dei puntini. I lati sono i segmenti,, Gli angoli sono,, Il lato AB e l angolo sono opposti Il lato AB e l angolo
Dettagli01. Se il raggio di un cerchio dimezza, la sua area diventa: a) 1/3 b) 1/4 c) 3/2 d) 1/5
GEOMETRIA 01. Se il raggio di un cerchio dimezza, la sua area diventa: 1/ b) 1/4 c) / d) 1/5 0. Quanto misura il lato di un quadrato la cui area è equivalente a quella di un triangolo che ha la base di
DettagliLA CIRCONFERENZA DEFINIZIONI. Una circonferenza è l insieme dei punti del piano che hanno distanza assegnata da un punto, detto centro.
LA CIRCONFERENZA DEFINIZIONI Una circonferenza è l insieme dei punti del piano che hanno distanza assegnata da un punto, detto centro. Un cerchio è una figura piana formata dai punti di una circonferenza
DettagliTriangolo rettangolo
Dato il triangolo rettangolo Possiamo perciò utilizzare angoli). Progetto Matematica in Rete Triangolo rettangolo OPA sappiamo che: PA cateto sen OP cos tg OA cateto OP PA cateto OA cateto opposto ad ipotenusa
DettagliProblemi sull ellisse
1 equazione dell ellisse Determina l equazione di un ellisse che ha i fuochi sull asse delle ascisse, semiasse maggiore lungo 6 e distanza focale uguale a 6 + yy Scrivi l equazione dell ellisse con i fuochi
DettagliUna circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto
La parabola Esercizi Esercizio 368.395 Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto 0 ;5 e raggio, e la parabola ha il suo vertice in 0 ;0.
DettagliCostruzioni inerenti i triangoli
Costruzioni inerenti i triangoli D ora in poi indicheremo con a, b e c i tre lati del triangolo di vertici A, B e C, in modo che a sia opposto al vertice A, b al vertice B e c al vertice C Costruzione
Dettaglirisoluzione di problemi da risolvere tramite la risoluzione di sistemi ed equazioni di 1^ grado. 5 R ed i Radicali
ORD. MODULO MODULO ARGOMENTO 1 Disequazioni disequazioni di 1^ grado disequazioni fratte disequazioni di grado superiore da risolvere con la scomposizione in fattori sistemi di disequazioni 2 Geometria
DettagliEsercizi svolti sulla parabola
Liceo Classico Galilei Pisa - Classe a A - Prof. Francesco Daddi - 19 dicembre 011 Esercizi svolti sulla parabola Esercizio 1. Determinare l equazione della parabola avente fuoco in F(1, 1) e per direttrice
DettagliProblema ( ) = 0,!
Domanda. Problema ( = sen! x ( è! Poiché la funzione seno è periodica di periodo π, il periodo di g x! = 4. Studio di f. La funzione è pari, quindi il grafico è simmetrico rispetto all asse y. È sufficiente
DettagliEQUAZIONE DELLA RETTA
EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale
DettagliGEOMETRIA. Studio dei luoghi /relazioni tra due variabili. Studio delle figure (nel piano/spazio) Problemi algebrici sulle figure geometriche
GEOMETRIA ANALITICA EUCLIDEA Studio dei luoghi /relazioni tra due variabili Studio delle figure (nel piano/spazio) Funzioni elementari Problemi algebrici sulle figure geometriche Grafici al servizio dell
DettagliLICEO PEDAGOGICO-ARTISTICO G. Pascoli di Bolzano VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA CLASSE 4a P-FILA A 04/11/2010- Tempo 100
LICEO PEDAGOGICO-ARTISTICO G. Pascoli di Bolzano VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA CLASSE 4a P-FILA A 4//- Tempo Ogni risposta ai quesiti va opportunamente motivata (con calcoli, grafici, ecc.) pena la sua
DettagliLa parallela tracciata dal punto medio di un lato di un triangolo a uno degli altri due lati incontra il terzo lato nel suo punto medio.
TEOREMA DI TALETE Piccolo Teorema di Talete Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull altra trasversale.
DettagliASSI CARTESIANI: Esercizio n 80: Date le seguenti terne di punti, disegnare il triangolo corrispondente (C3 il perimetro e l area:
ASSI CARTESIANI: Per attivare la visualizzazione degli assi cartesiani scegliere C Mostra gli assi e poi C Griglia, portarsi su un asse e cliccare quando compare la scritta Questi assi. E possibile cambiare
DettagliCORSO DI PREPARAZIONE AI GIOCHI DI ARCHIMEDE 2015
CORSO DI PREPARAZIONE AI GIOCHI DI ARCHIMEDE 2015 Lezione del 3 NOVEMBRE 2015 GEOMETRIA CRITERI DI CONGRUENZA FRA TRIANGOLI IL SIMBOLO indica la congruenza PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA: Se due triangoli
DettagliC7. Circonferenza e cerchio - Esercizi
C7. Circonferenza e cerchio - Esercizi DEFINIZIONI E COSTRUZIONI 1) Dare la definizione di luogo geometrico. 2) Indicare almeno due luoghi geometrici. 3) Dare la definizione di asse di un segmento come
DettagliLA PARABOLA. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse y e passante per l origine. Equazione canonica Vertice V ( 0,0) Fuoco
LA PARABOLA La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse
DettagliGEOMETRIA ANALITICA. Il Piano cartesiano
GEOMETRIA ANALITICA La geometria analitica consente di studiare e rappresentare per via algebrica informazioni di tipo geometrico. Lo studio favorisce una più immediata visualizzazione di informazioni,
DettagliRisoluzione algebrica dei problemi geometrici
Risoluzione algebrica dei problemi geometrici La risoluzione algebrica di un problema geometrico avviene in generale secondo i seguenti passi: 1 passo: Leggere attentamente il testo, cercando di capire
DettagliLe sezioni piane del cubo
Le sezioni piane del cubo Versione provvisoria 11 dicembre 006 1 Simmetrie del cubo e sezioni speciali Sezioni speciali si presentano in corrispondenza di piani perpendicolari agli assi di simmetria del
DettagliProgetto Matematica in Rete - Geometria euclidea - Quadrilateri. I quadrilateri. Il parallelogramma
I quadrilateri Il parallelogramma Definizione: un parallelogramma è un quadrilatero avente i lati opposti paralleli AB // DC AD // BC Teorema : se ABCD è un parallelogramma allora ciascuna diagonale lo
DettagliELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.
ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper
DettagliIn un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1.
L iperbole L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Come si evince del grafico, la differenza delle distanze
DettagliTEST SULLE COMPETENZE Classe Seconda
TEST SULLE COMPETENZE Classe Seconda 1 Una sola tra le seguenti proposizioni è FALSA Quale? A Se due punti A e B hanno la stessa ascissa, il coefficiente angolare della retta che li contiene non è definito
DettagliMATEMATICA: Compiti delle vacanze Estate 2015
MATEMATICA: Compiti delle vacanze Estate 2015 Classe II a PRIMA PARTE Ecco una raccolta degli esercizi sugli argomenti svolti quest anno: risolvili sul tuo quaderno! Per algebra ho inserito anche una piccola
DettagliIV Lezione. 1. Baricentro di un parallelogramma
IV Lezione 1. Baricentro di un parallelogramma Per calcolare il baricentro del parallelogramma Archimede suggerisce due metodi uno si basa su un ragionamento per assurdo e l altro su un ragionamento diretto.
DettagliPostulati e definizioni di geometria piana
I cinque postulati di Euclide I postulato Adimandiamo che ce sia concesso, che da qualunque ponto in qualunque ponto si possi condurre una linea retta. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una
DettagliOttavio Serra. Problemi.
Ottavio Serra Costruzioni e Problemi di geometria La geometria è l occhio della matematica Avvertenza. E bene, preliminarmente, avere (o acquisire) competenza sulle trasformazioni geometriche del piano,
DettagliC7. Circonferenza e cerchio
7. irconferenza e cerchio 7.1 Introduzione ai luoghi geometrici Un luogo geometrico è l insieme dei punti del piano che godono di una proprietà detta proprietà caratteristica del luogo geometrico. Esempio
DettagliALCUNE LINEE GUIDA PER LA DIMOSTRAZIONE DEI TEOREMI
ALCUNE LINEE GUIDA PER LA DIMOSTRAZIONE DEI TEOREMI LE RELAZIONI FRA GLI ELEMENTI DI UN TRIANGOLO 1) La somma degli angoli interni di un triangolo è 180 γ Consideriamo il triangolo ABC. Tracciamo la parallela
DettagliSOLUZIONI DEI QUESITI PROPOSTI
SOLUZIONI DEI QUESITI PROPOSTI Manca di mentalità matematica tanto chi non sa riconoscere rapidamente ciò che è evidente, quanto chi si attarda nei calcoli con una precisione superiore alla necessità QUESITO
DettagliPALESTRA PER IL RECUPERO
PIAN CARTESIAN E RETTA PALESTRA PER IL RECUPER SVLTI Determinare l equazione della retta passante per ð 3; Þ e per il punto P d intersezione della retta r di equazione 0 e della retta s di equazione 0.
DettagliTest A Teoria dei numeri e Combinatoria
Test A Teoria dei numeri e Combinatoria Problemi a risposta secca 1. Determinare con quanti zeri termina la scrittura in base 12 del fattoriale di 2002. 2. Determinare quante sono le coppie (x, y) di interi
DettagliC9. Teorema di Talete e similitudine - Esercizi
C9. Teorema di Talete e similitudine - Esercizi ESERCIZI SU TEOREMA DI TALETE, TEOREMA DELLA BISETTRICE Si consideri la seguente figura e si risponda alle domande che seguono. 1) Se AB=2, BC=4 e EF=3 trovare
DettagliI FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica
I FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica Negli esercizi che seguono si suppone fissato nello spazio
DettagliUn triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni CLASSIFICAZIONE RISPETTO AI
Un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni CLASSIFICAZIONE RISPETTO AI LATI: equilatero, isoscele, scaleno CLASSIFICAZIONE RISPETTO
DettagliEsercitazione per la prova di recupero del debito formativo
LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA Prof. Francesco Marchi 1 Esercitazione per la prova di recupero del debito formativo 24 febbraio 2010 1 Per altri materiali didattici o per contattarmi: Blog personale:
DettagliQuesto teorema era già noto ai babilonesi, ma fu il matematico greco Pitagora, intorno al 500 a.c., a darne una descrizione precisa.
IL TEOREMA DI PITAGORA Questo teorema era già noto ai babilonesi, ma fu il matematico greco Pitagora, intorno al 500 a.c., a darne una descrizione precisa. ENUNCIATO: la somma dei quadrati costruiti sui
DettagliGli enti geometrici fondamentali
capitolo 1 Gli enti geometrici fondamentali 1. Introduzione 1 2. La geometria euclidea come sistema ipotetico-deduttivo 2 Teoremi e dimostrazioni, 3 3. Postulati di appartenenza 4 4. Postulati di ordinamento
Dettaglia) S/ 4; b) S/ 8; c) S/12; d) S/16; e) Nessuna delle precedenti. 2. Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti:
1. Sia ABC un triangolo equilatero di area S. Siano L, M, N, i punti medi dei lati AB, BC, CA, e E, F, D, i punti medi dei lati LM, MN, NL.. L area del triangolo DEF è uguale a: a) S/ 4; b) S/ 8; c) S/12;
DettagliTRIANGOLI. Proprietà: in ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato. CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI
TRIANGOLI Si dice triangolo un poligono che ha 3 lati e 3 angoli. Proprietà: in ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato. a) RISPETTO AI LATI CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI SCALENO:
DettagliCOSTRUZIONI GEOMETRICHE ELEMENTARI
COSTRUZIONI GEOMETRICHE ELEMENTARI 1 ASSE del segmento AB - Con centro in A e in B traccio 2 archi di circonferenza con raggio R>½AB; - chiamo 1 e 2 i punti di intersezione tra gli archi di circonferenza;
DettagliTeoremi di geometria piana
la congruenza teoremi sugli angoli γ teorema sugli angoli complementari Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo α β In generale: Se due angoli sono complementari di due angoli congruenti
DettagliAngoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed esterni, corrispondenti, coniugati).
ppunti di geometria.s. 013-014 1 Prof. Luigi ai PPUNTI ngoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed esterni, corrispondenti, coniugati). In un triangolo l angolo
DettagliDon Bosco, A.S. 2013/14 Compiti per le vacanze - 2A
Don Bosco, A.S. 0/ Compiti per le vacanze - A. Risolvi le seguenti espressioni: [( ) ( ) ] [( ) 5 ] + : ( ) ( ) ( ( ) 5 ) 9 ( 5 ) ( 5 ) ( 7 5 ). Scomponi i seguenti polinomi: a b ax+bx+ay+6by c) x +x d)
DettagliCosa puoi dire del quadrilatero ABCD? Come sono i lati, le diagonali, gli angoli?
Dal parallelogramma al rombo (fase 1 e 2) Fase 1 Disegna due circonferenze concentriche c e c di centro O; disegna su c un punto A e su c un punto B; traccia la retta r passante per i punti A e O, chiama
DettagliDomande di Analisi Matematica tratte dai Test di autovalutazione o di recupero dei debiti formativi.
Domande di Analisi Matematica tratte dai Test di autovalutazione o di recupero dei debiti formativi. (1) Sia A l insieme dei numeri dispari minori di 56 e divisibili per 3. Quale delle seguenti affermazioni
Dettagli1) Quale delle due figure ha maggior perimetro? Quali delle due figure ha maggior superficie? cm 8
1) Quale delle due figure ha maggior perimetro? Quali delle due figure ha maggior superficie? cm 8 cm 8 cm 10 cm 10 2) I quadrati della figura hanno lunghezza 1 cm., qual è l area del rettangolo inclinato?
DettagliLA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI 1. La circonferenza e il cerchio ESERCIZI 1 A Disegna un triangolo ABC di altezza CH relativa ad AB. Fissa un segmento ED minore di CH. Determina il
DettagliIstruzioni. Ecco gli argomenti che ti chiediamo di ripassare:
Matematica La matematica rappresenta una delle materie di base dei vari indirizzi del nostro Istituto e, anche se non sarà approfondita come in un liceo scientifico, prevede comunque lo studio di tutte
Dettagli(a) Le derivate parziali f x. f y = x2 + 2xy + 3 si annullano contemporaneamente in (1, 2) e ( 1, 2). Le derivate seconde di f valgono.
Esercizio 1 Si consideri la funzione f(x, y) = x 2 y + xy 2 + y (a) Determinare i punti di massimo e minimo relativo e di sella del grafico di f. (b) Determinare i punti di massimo e minimo assoluto di
DettagliC che hanno rispettivamente raggi di misura b e c e i cui centri sono rispettivamente sugli
4.3 Risposte commentate 4.1.1 Per rispondere alla domanda posta occorre ricordare la nota proprietà dei triangoli: in ogni triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due. Di conseguenza le
DettagliCirconferenze del piano
Circonferenze del piano 1 novembre 1 Circonferenze del piano 1.1 Definizione Una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza di un qualunque punto della
Dettagli1/6. Esercizi su Circonferenza/retta e circonferenza/circonferenza. Dimostrazioni. Ipotesi. Tesi. Dimostrazione. Ipotesi. Tesi.
Dimostrazioni Risoluzione 1) Le circonferenze Γ e Γ' (e Γ'') sono tangenti P appartiene alla retta tangente comune t PA, PB (e PB*) sono tangenti PA = PB (= PB*) Non ha importanza se le due circonferenze
Dettagli