PROBABILITA :Popolazioni biologiche

Transcript

1 PROBABILITA :Popolazioni biologiche In due popolazioni biologiche A, B una certa caratteristica F è presente con probabilità rispettivamente 0.7, 0.4. La frequenza della popolazione A è 0.2, mentre quella di B è 0.8. Scegliendo a caso un individuo (non si sa da quale popolazione) calcolare: a) La probabilità che l individuo non abbia la caratteristica F; b) Sapendo che l individuo non presenta la caratteristica F, la probabilità che appartenga ad A

2 PROBABILITA :Popolazioni biologiche Rappresentiamo con un grafo ad albero, quanto descritto nel problema: A B F NF F NF

3 PROBABILITA :Popolazioni biologiche E richiesto di calcolare P(NF). L evento NF, si può avere sia in A che in B, vale a dire NF = (A NF) (B NF) Gli eventi A NF, B NF sono incompatibili, quindi per le regole di coerenza, si ha P(NF) = P(A NF) + P (B NF) Per la legge delle probabilità composte, si ha P (A NF) = P(A) P(NF A) = (0.2)(0.3) = 0.06 P(B NF) = P(B) P(NF B) = (0.8) (0.6) = 0.48 P(NF) = = 0.54

4 PROBABILITA :Popolazioni biologiche E richiesto, inoltre, di calcolare P(A NF) Dalla definizione di probabilità condizionale: P(A NF) = P(A NF) / P(NF) Si è già calcolato P (A NF) = P(A) P(NF A) = (0.2)(0.3) = 0.06 P(NF) = 0.54 dunque P(A NF) = 0.06/0.54 = 6/54 = 1/9

5 PROBABILITA : FUMATORI In una data popolazione è noto che il 35% è fumatore abituale. E noto inoltre che il 5% dei decessi avviene a causa di un certo tipo di tumore. Infine si è constatato che tra quanti sono deceduti a causa di quel tipo di tumore, il 60% era fumatore abituale. Calcolare la probabilità che un fumatore abituale muoia di quel tipo di tumore. Indichiamo con F l evento il soggetto è fumatore abituale, la probabilità di F è P(F) = 0.35

6 PROBABILITA : FUMATORI Indichiamo con T l evento il soggetto muore di tumore, la probabilità di T è P(T) = 0.05 Quale evento ha probabilità 0.60? P(F T) = 0.60 La probabilità richiesta è. P(T F)

7 PROBABILITA : FUMATORI Ricorrendo alla definizione di probabilità condizionale, possiamo scrivere: P(T F) = P(T F)/P(F), possiamo calcolare P(T F)? P(T F) = P(T) P(F T) = (0.05) (0.6) =0.03 Per calcolare la probabilità richiesta, basta dividere 0.03 per 0.35 P(T F) = P(T F)/P(F) = 0.03 / 0.35 = 3/35

8 PROBABILITA : GEMELLI Due fratelli gemelli sono monocoriali con probabilità p (ed in tal caso hanno sicuramente lo stesso sesso) o dicoriali con probabilità 1-p (ed in tal caso hanno uguale sesso con probabilità 1/2) a) Qual è la probabilità che due gemelli abbiano lo stesso sesso? b) Se hanno lo stesso sesso, qual è la probabilità che siano monocoriali? SOLUZIONE: a) p + (1-p)/2 = ( p+1)/2 b) 2p/(p+1)

9 VERIFICA: PROVA A SVOLGERE IL SEGUENTE ESERCIZIO Uno studente al primo anno di università vuole conoscere le sue possibilità di conseguire la laurea magistrale entro 5 anni. Gli vengono fornite le seguenti informazioni: 1) Il 15% degli iscritti si laurea entro 5 anni; 2) su 10 laureati entro i 5 anni, 6 hanno riportato il massimo dei voti all esame di diploma della scuola media superiore; 3) Su 100 laureati con tempi superiori ai 5 anni 10 hanno riportato il massimo dei voti all esame di diploma della scuola media superiore Sapendo che lo studente ha riportato il massimo dei voti all esame di diploma della scuola media superiore, qual è la probabilità che si laurei entro i 5 anni?

10 PROBABILITA :Paolo e Francesca ESERCIZIO 1: Un gruppo di 12 persone, fra cui Paolo e Francesca, viene suddiviso a caso in tre gruppi ugualmente numerosi. Qual è la probabilità che: a) Paolo e Francesca facciano parte entrambi del primo gruppo? SOLUZIONE: CALCOLO COMBINATORIO: # & " 10 % " %! 2 $ # " "! 12 4 & % % $

11 PROBABILITA :Paolo e Francesca SOLUZIONE UTILIZZANDO LA LEGGE DELLE PROBABILITA COMPOSTE: (4/12)(3/11) b) Francesca finisca nel primo gruppo e Paolo no? SOLUZIONE UTILIZZANDO IL CALCOLO COMBINATORIO: # & " 10 % " %! 3 $ # " "! 12 4 & % % $

12 PROBABILITA :Paolo e Francesca SOLUZIONE UTILIZZANDO LA LEGGE DELLE PROBABILITA COMPOSTE: (4/12)(8/11) c) Paolo e Francesca finiscano in uno stesso gruppo? SOLUZIONE UTILIZZANDO IL CALCOLO COMBINATORIO: 3 " "# 10! 2 $ %%& # " "! & 12 % % 4 $

13 PROBABILITA :Paolo e Francesca c) Paolo e Francesca finiscano in uno stesso gruppo? SOLUZIONE UTILIZZANDO LA LEGGE DELLE PROBABILITA COMPOSTE: (12/12)(3/11)

14 PROBABILITA :Cellule e radiazioni ESERCIZIO 2 Quando le cellule sono esposte a radiazioni, alcuni cromosomi si spezzano in due parti. La parte lunga è quella che contiene il centromero. Se due parti lunghe o due parti corte si riuniscono tra loro la cellula muore. Supponiamo che 10 cromosomi si siano spezzati e le parti così ottenute formino 10 nuove coppie a caso. Calcolare la probabilità che: a) Si riformi per ogni coppia la configurazione originale; b) tutte le parti più lunghe si accoppino con le parti più corte. c) sapresti generalizzare il problema ad n cromosomi?

15 PROBABILITA :Cellule e radiazioni Calcolare la probabilità che: a) Si riformi per ogni coppia la configurazione originale; SOLUZIONE: LEGGE DELLE PROBABILITA COMPOSTE: Per la prima coppia la prima parte va bene comunque, la seconda solo se è quella accoppiata con essa in origine, questo può avvenire con probabilità 1/19; supponendo che per la prima coppia si sia formata la configurazione originale, per una nuova coppia si avrà che la prima parte va bene comunque mentre la seconda va bene solo se è quella accoppiata con essa in origine, essendo rimaste 17 pezzi, questo può avvenire con probabilità 1/17, e così via; poiché l evento richiesto è dato dalla congiunzione di tutti questi eventi, la probabilità cercata è data da (1/19)(1/17)(1/15) (1/5)(1/3)(1) In generale per n coppie: (1/(2n-1))(1/(2n-3))(1/(2n-5)).(1/5)(1/3)(1)

16 PROBABILITA :Cellule e radiazioni Calcolare la probabilità che: a) Si riformi per ogni coppia la configurazione originale; SOLUZIONE:CALCOLO COMBINATORIO:I casi possibili sono 20! (pensando di disporre i 20 pezzi su 20 posti); i casi favorevoli sono: basta pensare, ad esempio, ai soli pezzi lunghi, affinché ce ne sia uno solo per ogni coppia, ci sono 10! Modi di sistemarli fra le 10 coppie e per ogni coppia due scelte (primo pezzo o secondo) quindi in tutto 2 10 casi favorevoli; dunque la probabilità richiesta è data da: ! 20! in generale 2 n n! (2n)!

17 PROBABILITA :Cellule e radiazioni Calcolare la probabilità che: b) tutte le parti più lunghe si accoppino con le parti più corte. SOLUZIONE: LEGGE DELLE PROBABILITA COMPOSTE: Per la prima coppia la probabilità che si unisca un pezzo lungo con uno corto è 10/19, per la seconda coppia la probabilità è 9/17, così via per le altre; dunque l evento richiesto ha probabilità: 10! , in generale n! (2n-1) (2n-3) 5 3 1

18 PROBABILITA :Cellule e radiazioni Calcolare la probabilità che: b) tutte le parti più lunghe si accoppino con le parti più corte. SOLUZIONE:CALCOLO COMBINATORIO: Come nel caso precedente i casi possibili sono 20! I casi favorevoli comprendono per ogni configurazione anche la permutazione dei pezzi corti (non si ha più il vincolo della coppia originale, basta mettere insieme un lungo e un corto) quindi sono !10! Dunque la probabilità è data da..

19 PROBABILITA :Cellule e radiazioni !10! 20! = !! " "# $ %%&, in generale 2 n n!n! (2n)! = 2 n 2n n!! " "# $ %%&