{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, }

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1 Lezione 01 Aritmetic Pgin 1 di 1 I numeri nturli I numeri nturli sono: 0,1,,,4,5,6,7,8,,10,11,1, L insieme dei numeri nturli viene indicto col simbolo. } { 0,1,,, 4,5,6,7,8,,10,11,1, } L insieme dei numeri nturli privto dello zero viene indicto col simbolo: o { 1,,, 4,5,6,7,8,,10,11,1, } } 0,,4,6,8,10,1,14, sono i numeri nturli pri, 1,,5,7,,11,1,15, sono i numeri nturli dispri. Somm di due o più numeri nturli L ddizione è l operzione che pplict due numeri (detti ddendi) f corrispondere un solo numero detto somm. Esempio I numeri d ddizionre si chimno ddendi ed il risultto che si ottiene si chim somm Le proprietà formli dell ddizione Proprietà commuttiv: + b b Proprietà ssocitiv: + ( b+ c) + b+ c ( ) Proprietà dissocitiv: L somm di due o più numeri nturli non cmbi se sostituimo d un ddendo l somm di due o più numeri che bbino come somm l ddendo sostituito. + b + c+ d se b c d ( ) Esistenz dell elemento neutro: Qulunque si il numero nturle n si h: n n n /1

2 Lezione 01 Aritmetic Pgin di 1 Il numero 0 è l elemento neutro rispetto ll ddizione L sottrzione L differenz di due numeri nturli, col primo numero mggiore o ugule l secondo, è il numero nturle che ddizionto l secondo dà come somm il primo. Nell sottrzione il primo numero si chim minuendo, il secondo sottrendo ed il risultto che si ottiene si chim differenz. L sottrzione può essere eseguit soltnto qundo il minuendo è mggiore o ugule l sottrendo. Il sottrendo è il numero che deve essere sottrtto, il minuendo è il numero di prtenz che deve essere diminuito. b c b+ c cioè l sottrzione è l operzione invers dell ddizione. si chim minuendo, b si chim sottrendo, c si chim differenz. Nell sottrzione lo zero lsci invrito il minuendo solo se esso rppresent il sottrendo. Inftti l sottrzione non gode dell proprietà commuttiv. L sottrzione gode dell proprietà invrintiv che fferm qunto segue: se ggiungo o sottrggo uno stesso numero l minuendo e l sottrendo l differenz non cmbi. Proprietà invrintiv: b ( + x) ( b+ x) ( x) ( b x) L sottrzione è l operzione invers dell ddizione. /1

3 Lezione 01 Aritmetic Pgin di 1 L moltipliczione Per indicre l moltipliczione del numero 4 per il numero usimo l seguente scrittur 4 che si legge: quttro per due. Il risultto di quest moltipliczione viene chimto prodotto. Si chim prodotto di due numeri l somm di tnti ddendi uguli l primo fttore qunte sono le unità del secondo fttore: L moltipliczione gode dell proprietà commuttiv che fferm qunto segue: cmbindo l ordine dei fttori il prodotto non cmbi L divisione Se voglimo dividere il numero 1 per il numero scrivimo: 1 : 4 1 è il dividendo è il divisore 4 è il quoziente estto Dicimo pure che 1 : 4 perché 4 1 /1

4 Lezione 01 Aritmetic Pgin 4 di 1 L divisione è l operzione invers dell moltipliczione. Inftti il quoziente è quel numero che moltiplicto per il divisore ci dà il dividendo. 6: Dicimo che il numero 6 è divisibile Se tr due numeri esiste il quoziente estto, llor: per il numero o che è multiplo del numero il primo numero si dice divisibile per il secondo numero o è multiplo del secondo numero Dicimo pure che il numero è divisore del o che il secondo numero è divisore del primo numero 6 o sottomultiplo. numero o è sottomultiplo del primo numero. Importnte: 6: ci consente di ffermre che: Il numero 6 è multiplo del numero secondo il numero Il numero è sottomultiplo del numero 6 secondo il numero L divisione con resto Voglimo eseguire l seguente divisione: 14 :.Ottenimo: 14 : 4 con r resto 14dividendo divisore 4 quoziente intero resto resto < quoziente Possimo scrivere: 144+ dividendo quoziente divisore + resto 4/1

5 Lezione 01 Aritmetic Pgin 5 di 1 Il concetto di potenz L potenz di un numero è il prodotto di più fttori uguli quel numero. Il fttore che si ripete si chim bse dell potenz ed il numero di fttori uguli prende il nome di esponente dell potenz. 5 n L operzione medinte l qule si clcol l potenz di un numero prende il nome di elevzione potenz. n volte L potenz con esponente zero di un numero qulsisi diverso d zero è sempre ugule d 1 : L prim potenz (o potenz con esponente 1) di un qulsisi numero è ugule l numero stesso 1 Proprietà delle potenze Il prodotto di due o più potenze venti l stess bse è l potenz che h per bse l stess n p q n+p+q bse e per esponente l somm degli esponenti Il quoziente di due potenze venti l stess bse è l potenz vente per bse l stess bse e per esponente l differenz degli esponenti m n m-n : 7 : L potenz di un potenz è l potenz che h per bse l stess bse e per esponente il n nm prodotto degli esponenti ( ) ( ) 5 m 5 15 L potenz di un prodotto di fttori è ugule l prodotto delle potenze con ugule n n n n n esponente dei singoli fttori ( bcd ) b c d ( ) L potenz di un quoziente è ugule l quoziente delle potenze con ugule esponente del dividendo e del divisore b n b n n /1

6 Lezione 01 Aritmetic Pgin 6 di 1 L nozione di rdice ritmetic Si dice rdice qudrt di un numero il numero x che elevto l qudrto dà come risultto il numero dto. In simboli bbimo: x x in qunto Si dice rdice cubic di un numero il numero x che elevto l cubo dà come risultto il numero dto. In simboli bbimo: x x 15 5 in qunto 5 15 Si dice rdice qurt di un numero il numero x che elevto ll qurt potenz dà come risultto il numero dto. In simboli bbimo: 4 x 4 x Si dice rdice ennesim di un numero il numero x che elevto ll potenz ennesim dà come risultto il numero dto. In simboli bbimo : n x x n Multipli e divisori di un numero Si dice che il numero b (diverso d zero) è divisore del numero se il resto dell divisione del numero per il numero b è ugule zero. Il numero si dice che è multiplo del numero b che su volt si dice sottomultiplo o divisore del numero. Definizione: dto il numero nturle, tutti i numeri nturli b per i quli risult che il quoziente k N è un numero nturle, si chimno divisori del numero. b k N k b. è multiplo del numero b secondo il numero k, b è sottomultiplo b del numero secondo il numero k o divisore del numero. dividendo, b divisore, k quoziente Criteri di divisibilità per i numeri nturli 01) Criterio di divisibilità per : Un numero è divisibile per se l su ultim cifr è pri, cioè qundo il numero termin con un delle seguenti cifre: 0,, 4, 6, 8. 0) Criterio di divisibilità per : Un numero è divisibile per se l somm delle sue cifre è divisibile per 0) Criterio di divisibilità per 5: Un numero è divisibile per 5 se termin con 0 o con 5. 6/1

7 Lezione 01 Aritmetic Pgin 7 di 1 04) Criterio di divisibilità per : Un numero è divisibile per se l somm delle sue cifre è divisibile per 05) Criterio di divisibilità per 11: Un numero è divisibile per 11 se è divisibile per 11 l differenz tr l somm delle cifre di posto pri e l somm delle cifre di posto dispri. Numeri primi e numeri composti Un numero mggiore di 1 si dice primo se è divisibile soltnto per se stesso e per l unità. un numero non primo, cioè un numero che mmette ltri divisori oltre se stesso e l unità, si dice numero composto. Scomposizione di un numero composto in fttori primi Scomporre il numero composto in fttori primi signific trovre tutti i numeri primi il cui prodotto è ugule l numero Mssimo comune divisore e minimo comune multiplo Il mssimo comune divisore ( M.C.D. ) di due o più numeri è il mggiore dei loro divisori comuni. Per clcolre il M.C.D. di due o più numeri, col metodo dell scomposizione in fttori primi, si decompongono i numeri dti in fttori primi e poi si moltiplicno fr loro i fttori primi comuni, presi un sol volt, con l esponente più piccolo , , ( 540,840,1188) 1 M C D Due numeri si dicono primi fr loro qundo hnno come M.C.D. l unità. Il minimo comune multiplo ( m.c.m. ) di due o più numeri è il più piccolo dei multipli comuni diversi d zero. Per clcolre il m.c.m. tr due o più numeri, col metodo dell scomposizione in fttori primi, si decompongono in fttori primi i numeri dti e poi si moltiplicno tr loro i fttori comuni e non comuni, presi un sol volt, ciscuno col mssimo esponente. 7/1

8 Lezione 01 Aritmetic Pgin 8 di , 4 5 7, , m. c. m. ( 0,4,60) Le frzioni Unità frzionri è un qulsisi delle prti uguli in cui è stt divis un grndezz considert come unità. Frzione è l insieme di più unità frzionrie. Il simbolo che rppresent un frzione è costituito d due numeri interi seprti d un trtto orizzontle detto line di frzione. Il numero posto l di sotto dell line di frzione si chim denomintore ed indic in qunte prti uguli è stt divis l unità. Il numero posto l di sopr dell line di frzione si chim numertore ed indic qunte di queste prti uguli sono stte considerte. Il numertore ed il denomintore si dicono termini dell frzione. Un frzione rppresent il quoziente tr due numeri interi. Un frzione di dice propri se il numertore è minore del denomintore. Un frzione propri è minore dell unità. Un frzione si dice pprente se il numertore è multiplo del denomintore. Un frzione pprente rppresent un o più unità intere. Un frzione di dice impropri se il numertore è mggiore (m non multiplo) del denomintore. Un frzione impropri rppresent un numero mggiore dell unità. In ritmetic per numero misto si intende l somm di un numero intero e di un frzione propri. Per pssre d un frzione impropri d un numero misto si procede come segue: ) si divide il numertore dell frzione per il suo denomintore. b) sino Q, R, D rispettivmente il quoziente, il resto, il denomintore dell frzione considert: Risult: N D Q + R D N R D Q 8 + Q R D 8 6 8/1

9 Lezione 01 Aritmetic Pgin di 1 Proprietà invrintiv per le frzioni Moltiplicndo o dividendo numertore e denomintore di un frzione per uno stesso numero diverso d zero si ottiene un frzione equivlente quell dt. Semplificre un frzione signific trsformrl in un ltr equivlente vente numertore e denomintore più piccoli. L semplificzione si effettu dividendo numertore e denomintore dell dt frzione per un loro divisore comune Un frzione si dice irriducibile o ridott i minimi termini qundo il suo numertore ed il suo denomintore sono primi fr loro. Per ridurre i minimi termini un frzione bst dividere il suo numertore ed il suo denomintore per il loro M.C.D. I numeri decimli e le loro frzioni genertrici L divisione tr due numeri interi può dre luogo d un numero decimle limitto o d un numero decimle periodico. In un numero decimle, il numero formto dlle cifre ll sinistr dell virgol si chim prte inter del numero decimle, quello formto dlle cifre destr dell virgol si chim prte decimle. Quindi dicesi numero decimle un qulsisi numero formto d un prte inter e d un prte decimle. Si chimno frzioni decimli quelle frzioni che hnno come denomintore un potenz del 10. Per contrpposto, si chimno frzioni ordinrie tutte le frzioni non decimli. Sono frzioni decimli : ,, I simboli, 5647, 0, 05, 6784, 5 rppresentno numeri decimli. Le cifre che precedono (seguono) l virgol rppresentno l prte inter (decimle) del numero decimle. Regol Per scrivere un numero decimle sotto form di frzione decimle, si scrive l frzione che h per numertore il numero nturle che si ottiene sopprimendo l virgol del numero decimle dto e per denomintore l unità seguit d tnti zeri qunte sono le cifre decimli del numero. 45,45, ,047, , /1

10 Lezione 01 Aritmetic Pgin 10 di 1 Regol Un frzione decimle può essere trsformt in un numero decimle trscrivendo il numertore dell frzione e seprndo con un virgol, prtire d destr, tnte cifre qunti sono gli zeri del denomintore, ggiungendo, ll sinistr del numertore, uno o più zeri qundo il numero delle cifre del numertore è inferiore l numero degli zeri del denomintore. 75 7,5 5, 0, 0, 0, N.B. Il numero delle cifre decimli deve coincidere col numero degli zeri presenti nel denomintore dell frzione decimle. Numeri decimli periodici Dicesi numero decimle periodico ogni numero formto d un prte inter (che può nche essere 0) seguit d infinite cifre decimli che, d un certo punto in poi, si ripetono gruppi sempre nello stesso ordine. L cifre o il gruppo di cifre che si ripete dicesi periodo. Il periodo può comincire, oppure no, subito dopo l virgol; nel primo cso il numero dicesi periodico semplice, nel secondo cso dicesi periodico misto. In un numero periodico misto il gruppo delle cifre decimli che precede il periodo si chim ntiperiodo. I numeri decimli periodici si rppresentno scrivendo un sol volt il periodo e soprssegnndolo, oppure mettendolo entro due prentesi rotonde. 8, ,7 8,(7),856,856() Un frzione si dice riducibile qundo il suo quoziente è un numero decimle limitto. Un frzione si dice irriducibile qundo il suo quoziente è un numero decimle illimitto. Definizione: Chimsi frzione genertrice di un numero decimle periodico, quell frzione tle che il quoziente del suo numertore per il suo denomintore è il numero periodico dto. Teorem N 4 L frzione genertrice di un numero periodico semplice è un frzione che h per numertore l differenz fr il numero stesso privto dell virgol ( e con il periodo scritto un sol volt ) ed il numero formto dlle cifre dell prte inter, e per denomintore il numero formto d tnti qunte sono le cifre del periodo. Teorem N ,1 17 0,7 L frzione genertrice di un numero decimle periodico misto è un frzione che h per numertore l differenz fr il numero stesso privto dell virgol (e con il 7 10/1

11 Lezione 01 Aritmetic Pgin 11 di 1 periodo scritto un sol volt) ed il numero formto dlle cifre dell prte inter seguit d quelle dell ntiperiodo, e per denomintore il numero formto d tnti qunte sono le cifre del periodo, seguiti d tnti zeri qunte sono le cifre dell ntiperiodo. 41,41,(41) ,18() 0, ,56 0,5(6) Operzioni con numeri decimli periodici Per eseguire le operzioni con numeri decimli periodici, bst sostituire d essi le corrispondenti frzioni genertrici ed eseguire i clcoli secondo le regole note. Operzioni con le frzioni L somm (differenz) di due frzioni venti lo stesso denomintore è l frzione vente per numertore l somm (differenz) dei numertori e per denomintore lo stesso denomintore Per ddizionre (sottrrre) due frzioni venti denomintori diversi, si riducono prim llo stesso minimo comune denomintore e poi si pplic l regol per l ddizione (sottrzione) di frzioni venti lo stesso denomintore mcm...(10,18,15) mcm...(14,1) 4 Il prodotto di due o più frzioni è l frzione vente come numertore il prodotto dei numertori e per denomintore il prodotto dei denomintori /1

12 Lezione 01 Aritmetic Pgin 1 di 1 Per effetture l divisone di due frzione bst moltiplicre l prim frzione per l invers dell second : Per elevre potenz un frzione bst elevre quell potenz si il numertore che il denomintore dell frzione Un frzione si dice termini frzionri se il suo numertore o il suo denomintore o entrmbi sono delle frzioni. esempio Un frzione termini frzionri è ugule l prodotto del numertore per il reciproco del denomintore oppure è ugule d un frzione che h come numertore il prodotto dei termini estremi e come denomintore il prodotto dei termini medi oppure: Esempi : : : + : + : + : + : /1