INFINITESIMI ed INFINITI a cura di Angelica Malaspina Università degli Studi della Basilicata

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Gianfranco Fiori
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1 INFINITESIMI ed INFINITI a cura di Angelica Malaspina Università degli Studi della Basilicata In queste pagine utilizzeremo il simbolo R = [, + ]. Se x 0 R, con la scrittura x x 0 intenderemo che x x 0 R oppure x + oppure x. Sia una funzione definita in un A e x 0 R un punto di accumulazione di A. si dice infinitesima (oppure che è un infinitesimo) per x x 0 se x x 0 = 0. Si scrive anche = o(1), per x x 0 o si legge o piccolo. 1) = sin(x 2) = o(1) per x 2, poichè x 2 sin(x 2) = 0. 2) = e x è infinitesima per x +, poichè e x = 0. 3) = 1 è infinitesima per x, poichè 1 + x3 x x = 0. 3 Confronto tra infinitesimi Siano e g(x) due funzioni infinitesime per x x 0. x x 0 g(x) = 0, se f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g, 0 l < +, se f e g sono infinitesimi dello stesso ordine, ±, se f è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g,, f e g non sono infinitesimi tra loro confrontabili. 1

2 1) = 1 cos x, g(x) = x 2 sono infinitesime dello stesso ordine per 1 cos x x 0, poichè = 1 x ) = 1 cos x è infinitesima di ordine superiore rispetto a g(x) = x 1 cos x per x 0, poichè = 0. x 3) = log(x + 1) è infinitesima di ordine inferiore rispetto a g(x) = x 5 log(x + 1) per x 0, poichè = +. x 5 4) Le funzioni = x sin( 1 ) e g(x) = x sono infinitesime per x 0, ma x 1 x sin( non sono tra loro confrontabili, poichè non esiste il x ) = x = sin( 1 x ). = o(g(x)) per x x 0 g(x) 0 per x x 0 Infinitesimi equivalenti Siano e g(x) due funzioni infinitesime per x x 0 tali che x x 0 g(x) = 1. In tal caso, si dice che e g(x) sono asintoticamente equivalenti per x x 0, e si scrive f g per x x 0. 1) (1 cos x) x2 2 1 cos x per x 0, poichè x 2 /2 = 1. 2) Per ogni α R \ 0, sin(αx) αx per x 0, poichè sin(αx) αx 2 = 1.

3 tan(αx) 3) Per ogni α R \ 0, tan(αx) αx per x 0, poichè αx sin(αx) 1 αx cos(αx) = 1. = Nella seguente tabella sono riportate le stime asintotiche fondamentali. Tabella degli infinitesimi equivalenti sin(αx) αx per x 0 tan(αx) αx per x 0 1 cos x 1 2 x2 per x 0 ln(1 + x) x per x 0 e x 1 x per x 0 arcsin(x) x per x 0 arctan(x) x per x 0 Principio di sostituzione degli infinitesimi Se il rapporto di due infinitesimi per x x 0 ammette ite, il valore del ite rimane inalterato se si sostituisce ciascun infinitesimo con uno equivalente, ossia se, g(x), f 1 (x), g 1 (x) infinitesimi per x x 0 tali che f 1 (x) per x x 0, g(x) g 1 (x) per x x 0 x x0 g(x) = f 1 (x) x x 0 g 1 (x). 3

4 sin(16x) 1) sin(8x) = 16x 8x = 2. 2) 3) tan 2 x 1 cos x = x 2 x 2 2 x + sin x x + arctan x = 4) log 2 (1 + x) e x 1 = 2. x + x x + x = 1. x 2 = x = 0. e tan x 1 5) log(1 x) = tan x x = 1. Principio di esclusione degli infinitesimi di ordine superiore Se, g(x), f 1 (x), g 1 (x) sono infinitesimi per x x 0 tali che x x 0 f 1 (x) = 0 e g(x) x x 0 g 1 (x) = 0 + f 1 (x) x x0 g(x) + g 1 (x) = f 1 (x) x x 0 g 1 (x). Ovvero, si possono einare nel numeratore e nel denominatore della frazione infinitesimi d ordine superiore scelti in modo tale che le espressioni rimaste siano equivalenti a quelle iniziali. Talvolta, l utilizzo dei risultati precedentemente enunciati facilita il calcolo di iti. tan(2x) + 5x 3 1) sin(6x) + x 2 1 x cos( x) 2) + sin 2 x + x 2x + 5x 3 = 6x + x 2 ( = + = 2x x) 2 /2 x x 2 + x 1/2 6x = 1 3. = = 0. x1/2 x/2 4

5 Sia una funzione definita in un insieme A e sia x 0 R un punto di accumulazione per A. si dice infinita (oppure che è un infinito) per x x 0 se x x 0 = ±. 1) = log x è infinita per x +, poichè log x = +. 2) = log x è infinita per x 0, poichè log x =. x +0 Confronto tra infiniti Siano e g(x) due funzioni infinite per x x 0. x x 0 g(x) = 0, se f è un infinito di ordine inferiore rispetto a g 0 l < +, se f e g sono infinite dello stesso ordine ±, se f è un infinito di ordine superiore rispetto a g,, f e g non sono infiniti tra loro confrontabili. 1) = x 3 x , g(x) = 2x 3 + x 6 sono infinite dello stesso ordine x 3 x per x +, poichè 2x 3 + x 6 = ) = x 3 x è infinita di ordine superiore rispetto a g(x) = x + 8 x 3 x per x ±, poichè = +. x ± x + 8 3) = 1 + x + x 2 è infinita di ordine inferiore rispetto a g(x) = 1 + x + x x + x 2 per x ±, poichè x ± 1 + x + x =

6 4) Le funzioni = (x sin x + x) e g(x) = (2x + 2) sono infinite per x +, ma non sono tra loro confrontabili, poichè non esiste il x sin x + x (x + 1) sin x = = 1 2x + 2 2(x + 1) 2 sin x. Velocità di infiniti La funzione esponenziale = a x, a 0, a > 1, tende a più infinito più velocemente delle funzioni g(x) = log a x e h(x) = x p (p R), ossia a x log a x = + a x x p = + La funzione logaritmo = log a x, a 0, a > 1, tende a più infinito più lentamente di qualunque potenza di x, ossia log a x = 0, p R. x p Principio di esclusione degli infiniti di ordine inferiore Se, g(x), f 1 (x), g 1 (x) sono infiniti per x x 0 tali che x x 0 f 1 (x) = 0 e g(x) x x 0 g 1 (x) = 0. + f 1 (x) x x0 g(x) + g 1 (x) = f 1 (x) x x 0 g 1 (x). Ovvero, si possono einare nel numeratore e nel denominatore della frazione infiniti d ordine inferiore scelti in modo tale che le espressioni rimaste siano equivalenti a quelle iniziali. 6

7 Talvolta, l utilizzo di tale risultato rende più agevole il calcolo dei iti. 3x 5 x 2 + x 3 1) 2x 5 + x 4 6x + 2 = 2 3 x 2) 2 + x 3 x + 3 x = 3x 5 2x 5 = 3 2. x 3 = +. x 7

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