Superfici e solidi di rotazione. Cilindri indefiniti

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1 Superfici e solidi di rotazione Consideriamo un semipiano α, delimitato da una retta a, e sul semipiano una curva g; facendo ruotare il semipiano in un giro completo attorno alla retta a, la curva g descrive una superficie, detta superficie di rotazione ( e il solido da essa determinato solido di rotazione). La retta a è l asse di rotazione e la curva g la generatrice della superficie. I luogo di punti descritto da P è una circonferenza di centro O che sta su un piano perpendicolare all asse di rotazione. Le circonferenze descritte dai punti di g si dicono paralleli della superficie e si possono anche definire come le intersezioni della superficie con i piani perpendicolari all asse. L intersezione della superficie di rotazione con un piano passante per l asse di rotazione si definisce meridiano. Cilindri indefiniti Se P è un punto qualunque di g si conduca la perpendicolare PO all asse a. 1 Se la generatrice g è una retta parallela all asse di rotazione, la superficie che si ottiene è una superficie cilindrica circolare indefinita (e il solido si dice cilindro circolare indefinito). 2

2 Equivalentemente: una superficie cilindrica illimitata è il luogo dei punti dello spazio che hanno distanza r da una fissata retta a (raggio della superficie). Piani non paralleli all asse: I paralleli in questo caso sono circonferenze uguali avente per raggio il raggio della superficie, mentre i meridiani sono coppie di rette parallele equidistanti dall asse. Sezioni piane di un cilindro indefinito piani paralleli all asse: (dimostrazione alla fine della lezione) Si definisce cilindro circolare retto (superficie.) il solido (la superficie ) che si ottiene intersecando un cilindro indefinito (la superficie cilindrica ) con due piani perpendicolari all asse. 3 4

3 Un cilindro circolare retto si può ottenere dalla rotazione di un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati Un cilindro è equilatero se ha l altezza uguale al diametro delle basi. Un prisma retto è inscritto (risp. circoscritto) in un cilindro se le sue basi sono inscritte (risp. circoscritte) nelle basi di un cilindro e in questo caso gli spigoli laterali del prisma sono generatrici del cilindro (risp. le facce laterali del prisma sono tangenti alla superficie laterale del cilindro lungo alcune generatrici). Coni indefiniti La superficie che si ottiene dalla rotazione di una semiretta g di origine O attorno ad una retta a passante per O è una superficie conica circolare indefinita (e il solido si dice cono circolare indefinito). O è il vertice. Equivalentemente: una superficie conica indefinita è il luogo delle semirette dello spazio uscenti da uno stesso punto di una retta (asse) che formano con essa un angolo costante (semiapertura della superficie). I meridiani sono coppie di generatrici simmetriche rispetto all asse. 5 6

4 I paralleli in questo caso sono circonferenze di raggio variabile secondo il: Sezioni piane di un cono indefinito piani passanti per il vertice: Teorema: I raggi dei paralleli di una superficie conica sono proporzionali sia alle distanze dei piani corrispondenti dal vertice, sia alle distanze dei punti dei paralleli dal vertice stesso. Un piano passante per il vertice di una superficie conica ha in comune con essa il solo vertice o una generatrice o due generatrici a seconda che l angolo che l asse forma con il piano sia maggiore, uguale o minore della semiapertura della superficie conica. 7 8

5 Piani non paralleli all asse: lo vediamo con i coni a due falde. Si definisce cono circolare retto (superficie.) il solido (la superficie ) che si ottiene intersecando un cono indefinito (la superficie conica ) con un piano perpendicolare all asse, non passante per il vertice. I segmenti di generatrice compresi tra il vertice e la base sono tutti uguali tra loro (hanno uguali proiezioni sul piano: il raggio della circonferenza sezione) e si chiamano apotemi del cono. Un cilindro circolare retto si può ottenere dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno ad un cateto, che diventa l altezza del cono. L altro cateto è il raggio della base e l ipotenusa l apotema. 9 Un cono è equilatero se ha l apotema uguale al diametro della base ( e dunque il triangolo sezione con una piano che passa per l asse è equilatero). Una piramide retta è inscritta (risp. circoscritta) in un cono se il suo vertice è il vertice del cono e la sua base è inscritta (risp. circoscritte) nella base del cono. In questo caso gli spigoli laterali della piramide sono apotemi del cono (risp. le facce laterali della piramide sono tangenti alla superficie laterale del cono lungo alcune generatrici). 10

6 Superficie conica a due falde: La superficie che si ottiene dalla rotazione di una retta g attorno ad una retta a passante per un suo punto è una superficie conica circolare indefinita a due falde (e il solido si dice cono circolare indefinito a due falde). Il punto di intersezione della generatrice con l asse è il vertice. Sezioni piane di un cono indefinito a due falde piani passanti per il vertice: Un piano passante per il vertice di una superficie conica a due falde ha in comune con essa il solo vertice o una generatrice (tangente) o due generatrici (secante) a seconda che l angolo che l asse forma con il piano è maggiore, uguale o minore della semiapertura della superficie conica. Sezioni piane di un cono indefinito a due falde piani non passanti per il vertice: 1 tagliamo la superficie conica con un piano α che forma con l asse un angolo maggiore della semiapertura. Se β è il piano parallelo ad α passante per il vertice, esso non contiene nessuna generatrice del cono e 11 12

7 pertanto il piano α interseca tutte le generatrici del cono nei punti di una ellisse (circonferenza se il piano è perpendicolare all asse). 2 tagliamo la superficie conica con un piano α che forma con l asse un angolo uguale alla semiapertura. Se β è il è piano parallelo ad α passante per il vertice, esso è tangente alla superficie e contiene una generatrice del cono g. Pertanto il piano α interseca tutte le generatrici del cono tranne una, la g, a cui risulta parallelo. La curva intersezione è una parabola. Se β è il è piano parallelo ad α passante per il vertice, esso è secante la superficie e contiene due generatrici del cono g 1 e g 2. Pertanto il piano α interseca tutte le generatrici del cono tranne due, g 1 e g 2, a cui risulta parallelo. La curva intersezione è un iperbole di cui g 1 e g 2 danno la direzione degli asintoti. 3 tagliamo la superficie conica con un piano α che forma con l asse un angolo minore della semiapertura

8 Sfera Sezioni piane di una sfera La superficie sferica è la figura generata dalla rotazione di una semicirconferenza g attorno alla retta individuata dal suo diametro. Equivalentemente: è il luogo dei punti dello spazio equidistanti da un punto fisso, il centro. La distanza dal centro di un qualsiasi punto della sfera è il raggio. La sfera è l insieme dei punti di una superficie sferica e dei suoi punti interni. I meridiani di una superficie sferica sono circonferenze aventi il centro e il raggio della superficie. Un piano passante per il centro si chiama diametrale ed una corda per il centro si chiama diametro. 15 Teorema: un piano ha in comune con una superficie sferica una circonferenza, un solo punto o nessun punto se e solo se la sua distanza dal centro é minore, uguale o maggiore del raggio. Vediamo il caso in cui la distanza sia minore del raggio: 16

9 se il piano passa per il centro della circonferenza (piano diametrale) l intersezione è un circonferenza di raggio uguale al raggio della sfera perché è il luogo dei punti sul piano che hanno distanza dal centro uguale a r. se il piano α non passa per il centro, supponiamo che la distanza OH di α da O sia minore di r. Consideriamo un qualsiasi piano passante per OH. Questo interseca la superficie sferica secondo una circonferenza di centro O e raggio r e il piano α lungo una retta la cui distanza da O è minore di r. Questo implica che la circonferenza e la retta si intersechino in due punti A e B equidistanti da H che stanno sulla superficie sferica. Pertanto OA=OB=r. Se nel piano α si considera la circonferenza di centro H e raggio HA, tutti i suoi punti distano OA=r da O e quindi stanno sulla superficie sferica. Questa è l intersezione della superficie con α. Corollario Ogni piano tangente a una sfera é perpendicolare al raggio nel punto di contatto e viceversa, il piano perpendicolare a un raggio nel suo estremo é tangente alla sfera