Meccanica newtoniana Newton: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

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1 II liceo scientifico Meccanica newtoniana Newton: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Christian Ferrari Liceo di Locarno

2 Oggetto di studio della meccanica 1 La meccanica è lo studio del moto e del riposo di sistemi materiali caratterizzati da osservabili spazio temporali. La cinematica è la parte della meccanica che si occupa dello studio dei moti (o movimenti) osservati indipendentemente dalle cause che li provocano. La dinamica s interessa invece alle cause del moto. I sistemi studiati dalla meccanica sono chiamati sistemi meccanici e sono definiti come un insieme di punti materiali sottomessi a delle forze. Il punto materiale (PM) è una comoda astrazione per descrivere il moto: è un oggetto la cui quantità di materia resta costante, resta identificabile durante il moto, le sue dimensioni sono trascurabili se comparate alle distanze percorse.

3 Struttura generale 2 L osservatore per studiare un qualsiasi fenomeno fisico deve: scegliere il sistema che desidera studiare; scegliere delle osservabili; possedere delle informazioni sul sistema ossia lo stato ad ogni istante (e le proprietà del sistema); Le grandezze che non cambiano durante l evoluzione temporale, non rientrano nella descrizione dello stato, sono dette proprietà del sistema. Per la meccanica ad esempio: Sistema: una particella (PM) che si muove nello spazio. Osservabili: posizione x (grandezza vettoriale), velocità v (vettoriale), energia cinetica E cin (scalare), quantità di moto p (vettoriale). Stato: in cinematica ( x, v), in dinamica ( x, p); Proprietà del sistema: massa m.

4 L evoluzione temporale 3 Conosciuto lo stato ρ del sistema all istante t 0 e le interazioni con l esterno è possibile determinare in modo unico lo stato per ogni t > t 0 : è il principio del determinismo. ρ(t 0 ) evoluzione temporale Esempio in cinematica (MUA): ρ(t) x(t) = x 0 + v 0 (t t 0 )+ 1 2 a 0(t t 0 ) 2 v(t) = v 0 + a 0 (t t 0 ) a(t) = a 0 dove ρ(t 0 ) = ( x 0, v 0 ) con x 0 = x(t 0 ) e v 0 = v(t 0 ) e dove F a 0 = m è legata all interazione con l esterno.

5 Spazio e tempo 4 L esperienza mostra che: spazio: continuo tridimensionale euclideo. tempo: continuo unidimensionale orientato.

6 Sistemi di riferimento 5 Gli alberi a lato di una strada sembrano muoversi incontro a chi guida ma appaiono fermi per l autostoppista seduto sul ciglio. Allo stesso modo il cruscotto della macchina è fermo per l autista ma è in moto per l autostoppista. La nozione di movimento è intrinsecamente legata a quella di sistema di riferimento. Per definizione un sistema di riferimento, notato R, è un insieme di N punti (N 4), non complanari, le cui distanze rispettive restano costanti. La scelta del sistema di riferimento è quindi la prima cosa da fare per lo studio della meccanica!

7 Punto coincidente e sistema di coordinate 6 Sia P un PM, ad ogni stante t I Ê esiste un punto P t fissato in R che coincide con il punto P del sistema a questo istante. Per definizione P t è chiamato punto coincidente (con P all istante t). È importante osservare che il punto P si sposta con il variare del tempo t, mentre i punti coincidenti {P t } t I in R sono immobili rispetto ad R. Essi rappresentano dei punti del sistema di riferimento che è uno spazio euclideo e definiscono la traiettoria del PM. Avendo scelto un sistema di riferimento R, si chiama sistema di coordinate all istante t una parametrizzazione dei punti del sistema di riferimento per mezzo di tre numeri reali (q 1, q 2, q 3 ) a questo istante. Non confondere le nozioni di sistema di riferimento e di sistema di coordinate!

8 Sistema di coordinate cartesiane 7 Coordinate cartesiane (x 1, x 2, x 3 ): sistema di assi cartesiani diretto O123 fissato ad un sistema di riferimento R, definito da un origine O e tre assi ortogonali, orientati in modo diretto. Possiamo reperire un punto P di R grazie a (x 1, x 2, x 3 ). Al sistema di assi cartesiani diretto O123 si associa una base ortonormata { e 1, e 2, e 3 } legata al punto O in modo così che per ogni vettore w = 3 w i e i i=1 dove w i = w e i è chiamata componente di w nella direzione i.

9 Sistema di coordinate cartesiane 8 Il punto P può quindi essere reperito dal suo vettore luogo OP = x = 3 x i e i i=1 3 x 3 P O x 2 2 x 1 1 R

10 Vettore posizione 9 Il vettore posizione del punto P all istante t è OP t = x(t) le sue coordinate cartesiane {x i (t)} i=1,2,3 sono tali che 3 OP t = x(t) = x i (t) e i. i=1 3 P t x(t) P t0 e 3 x(t 0 ) O e 1 e R

11 Vettore velocità 10 Il vettore velocità (del punto P rispetto ad R) all istante t è P t P t+ t x v(t) = lim = lim t 0 t t 0 t = d x dt. v(t) è un vettore legato al punto P t tangente alla traiettoria. R e 3 O e 1 e 2 x(t) x(t+ t) P t x v(t) P t+ t

12 Due moti semplici 11 Moto rettilineo uniforme (MRU) Il moto di un PM è rettilineo ed uniforme se il vettore velocità è costante: v(t) = v 0. Un moto è rettilineo ed uniforme se e solo se l accelerazione è nulla: a = 0; l evoluzione temporale è data da { x(t) = x 0 + v 0 (t t 0 ) v(t) = v 0 Moto uniformemente accelerato (MUA) Il moto di un PM è uniformemente accelerato se l accelerazione è costante: a(t) = a 0 ; l evoluzione temporale è data da { x(t) = x 0 + v 0 (t t 0 )+ 1 2 a 0(t t 0 ) 2 v(t) = v 0 + a 0 (t t 0 )

13 Primi concetti di meccanica (dinamica): massa 12 La massa intesa con come quantità di materia (notata M) è un concetto associato al numero di particelle in un sistema, essa è direttamente proporzionale al volume V ed il coefficiente di proporzionalità è la densità. Per i sistemi omogenei si ha la relazione M = ρv. Questa definizione corrisponde a quella data da Newton egli definisce la quantità di materia come la misura del contenuto intrinseco di un corpo; è la prima definizione che troviamo nei Principia La quantità di materia si misura con la densità e il volume presi assieme.

14 Primi concetti di meccanica (forza): forza 13 La forza è un azione dell esterno sul sistema, che conduce o a una deformazione o a una modifica del moto. Essa è un concetto indipendente dal sistema di riferimento e matematicamente è una grandezza vettoriale. Si nota F A B la forza esercitata da A su B, e si rappresenta come il vettore con origine in B. Il dinamometro è l apparecchio di misura per l intensità della forza, esso si basa sul principio che lo sforzo necessario per allungare una molla aumenta con l allungamento. Questa ipotesi è giustificata se per il dinamometro vale la legge di Hooke: per piccole deformazioni l intensità della forza F esercitata per deformare è direttamente proporzionale all allungamento l F = k l dove k è chiamata costante elastica.

15 Massa inerziale 14 Carrellino su binario orizzontale trainato da dei pesetti Relazione accelerazione - forza applicata 0,06 0,05 0,04 F [N] 0,03 0,02 0, ,05 0,1 0,15 0,2 0,25 a[m/s 2 ] Possiamo concludere che F a.

16 Massa inerziale 15 Introduciamo una nuova grandezza, caratteristica del corpo, definita come il fattore di proporzionalità tra la forza e l accelerazione, che ci dice quanto restio è il corpo alla variazione di velocità. Questa costante è chiamata massa inerziale (notata m). Quindi F = m a Poiché maggiore è la quantità di materia di un corpo più difficile sarà accelerarlo M m scegliendo in modo appropriato le unità di misura si ha l uguaglianza numerica M = m. È possibile misurare M tramite il rapporto F/a.

17 Quantità di moto 16 Un oggetto in movimento ha la possibilità di provocare il movimento di un altro oggetto, cioè trasferirgli una parte del suo movimento. Scopo: associare a un corpo in movimento una grandezza estensiva e conservata, che può essere trasferita durante un urto. Urto elastico tra due carrellini A e B (di sostanze differenti). La massa di B è costante, quella di A è modificata nel corso delle diverse esperienze. A v A B v B = 0 inizio v A A B v B fine

18 Quantità di moto 17 L esperienza mostra che per ogni velocità iniziale di A c è un trasferimento integrale della quantità di moto se e solo se m A = m B. Per due carrellini A di stessa massa e stessa velocità, ma di sostanze differenti si ottengono gli stessi risultati. Quindi questa quantità di moto dipende solo dalla massa e dalla velocità. Caso A che si muove verso B = A fermo. Dopo l urto A resta agganciato a B e proseguono assieme. Misurando il valore delle velocità iniziale e finale di A osserviamo che esso è dimezzato.

19 Quantità di moto 18 0,5 0,4 v[m/s] 0,3 0,2 0,1 0 4,5 5 5,5 6 t[s] Abbiamo v B = 0, v A = v B e m A = m B. Abbiamo quindi inizio {}}{{}}{ p(m A, v A)+p(m B, v B) cons = p(2m }{{} A, v A/2) est = 2p(m A, v A/2). =0 fine

20 Quantità di moto 19 Possiamo ripetere l esperimento con un corpo A che si muove verso B = A A. A m A v A B m B = (k 1)m A v B = 0 inizio A B m A B = km A v fine Il valore della velocità si divide per tre come pure l intensità della quantità di moto. Quindi in generale (k N ) p(m A, v A) cons = p(km A, v A/k) est = kp(m A, v A/k)

21 Quantità di moto 20 Dall uguaglianza p(m A, v A ) = kp(m A, v A /k) possiamo concludere che se la velocità (di A) è divisa per un fattore k allora anche la quantità di moto (di A) è divisa per lo stesso fattore: l intensità della quantità di moto è dunque direttamente proporzionale al valore della velocità p v m = costante. Dall uguaglianza (ponendo v A = v A /k) p(km A, v A) = kp(m A, v A) possiamo concludere che se la massa (di A) è moltiplicata per un fattore k allora anche la quantità di moto (di A) è moltiplicata per lo stesso fattore: l intensità della quantità di moto è dunque direttamente proporzionale alla massa p m v = costante. Questa conclusione può essere dedotta considerando due

22 Quantità di moto 21 Possiamo quindi concludere che l intensità della quantità di moto è direttamente proporzionale al prodotto mv e le esperienze mostrano che il coefficiente di proporzionalità vale 1, dunque p = mv. In conclusione la quantità di moto è la grandezza estensiva, conservata, vettoriale data da p = m v

23 I legge di Newton 22 La I legge di Newton, o principio di inerzia afferma (Principia): Ciascun corpo persevera nel proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, salvo che sia costretto a mutare quello stato da forze. Prima legge di Newton La quantità di moto p di un punto materiale resta costante durante l evoluzione temporale se e solo se la risultante delle forze che agiscono su di lui è uguale a zero: F α = 0 = p = costante = v = costante α

24 Sistemi di riferimento inerziali 23 La I legge non enuncia unicamente qualcosa sul moto dei corpi, ma definisce pure quali sistemi di riferimento sono ammissibili e possono essere utilizzati per descrivere la meccanica. Questi sistemi di riferimento particolari, chiamati sistemi di riferimento inerziali, sono tali che rispetto ad essi un corpo sufficientemente lontano da tutti gli altri (sistema isolato) possiede un moto rettilineo ed uniforme. R traiettoria R traiettoria R PM isolato PM isolato v(t) = v 0 traiettoria PM isolato v(t) = at (a) (b) (c)

25 Sistemi di riferimento inerziali 24 Tutti i sistemi di riferimento che hanno un MRU rispetto ad un sistema di riferimento inerziale R sono anch essi sistemi di riferimento inerziali. Infatti se v ) è la velocità del corpo rispetto ad R e u è la R velocità di un sistema di riferimento R rispetto ad R, allora la velocità v ) del corpo rispetto ad R è R v ) R = v ) R u R R u v ) R v ) R PM isolato

26 Sistemi di riferimento inerziali 25 In pratica in molti casi si sceglie un sistema di riferimento quasi inerziale. In prima approssimazione è possibile scegliere la Terra (sistema di riferimento terrestre). È possibile scegliere un sistema di riferimento più inerziale, chiamato sistema di riferimento geocentrico definito dal centro della Terra e tre stelle molto lontane (stelle fisse). Si può continuare così e trovare dei sistemi di riferimento sempre più inerziali. Sperimentalmente un sistema di riferimento è inerziale se le leggi di Newton sono verificate nel limite della precisione degli apparecchi di misura a disposizione.

27 III legge di Newton 26 La III legge di Newton, anche conosciuta come principio di azione-reazione afferma (Principia): L azione è sempre uguale e contraria alla reazione: cioè le mutue azioni di due corpi sono sempre uguali e dirette in senso opposto. Terza legge di Newton Se F 1 2 rappresenta la forza esercitata dal sistema 1 sul sistema 2, allora F 1 2 = F 2 1

28 III legge di Newton 27 Se un cavallo tira una pietra legata ad una fune, il cavallo per così dire è ritratto dalla pietra con forza eguale: perocchè la corda che li unisce e che è tesa fra di essi, compie uno sforzo eguale per tirare la pietra verso il cavallo, e il cavallo verso la pietra; e tanto impedisce il progresso dell uno, quanto promuove quello dell altra. F atr Σ T T F F s Fp La pietra si sposterà se T è maggiore di F atr. La reazione a T, notata T, è esercitata sul cavallo, non sulla pietra. Essa non ha alcun effetto sul moto della pietra, però influenza il moto del cavallo. Se il cavallo si sposta verso destra, ci dev essere una forza F (verso destra), esercitata dal terreno sulle zampe del cavallo, la quale è maggiore di T.

29 III legge di Newton 28 Le forze che agiscono su un sistema Σ e hanno origine interamente nel sistema, sono chiamate forze interne (notate F int ). Mentre le forze che hanno origine esterna al sistema, sono chiamate forze esterne (notate F est ). Terza legge di Newton (bis): Ad ogni istante, qualsiasi sia il moto del sistema, la somma delle forze interne è nulla α F int α = 0

30 II legge di Newton 29 Se Σ è isolato allora la sua quantità di moto non cambia, essa cambia solo se vi è un azione dall esterno sul sistema. La forza, come azione dall esterno sul sistema che conduce ad una modifica del moto, dovrà essere presa in considerazione. La II legge di Newton afferma (Principia): Il cambiamento di moto è proporzionale alla forza, ed avviene lungo la linea retta secondo la quale la forza è stata impressa. Seconda legge di Newton Rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, il tasso di variazione della quantità di moto di un PM è uguale alla risultante delle forze esterne agenti su di esso: d p dt = F est = α F est α

31 Equazioni dell evoluzione temporale 30 Per determinare l evoluzione temporale degli stati, ossia trovare delle equazioni che ci dicono come cambia lo stato, in particolare come esso varia istantaneamente, serve sapere qualcosa sul tasso di variazione delle osservabili x(t) e p(t), ossia d x dt =... Dalla legge p = m v = m d x dt abbiamo Dalla II legge di Newton d x dt = p m d p dt = F est d p dt =...

32 Equazioni dell evoluzione temporale 31 Le equazioni dell evoluzione temporale dello stato ( x, p) del PM sono quindi d x p(t) (t) = dt m d p dt (t) = F est (t) dato lo stato iniziale ( x 0, p 0 ) all istante t 0, si avrà un unica soluzione ( x(t), p(t)): determinismo. Osservazione: Poiché vale d p dt = d(m v) = m d v dt dt = m a si ottiene la formulazione semplice della seconda legge di Newton m a = F est.

33 Massa gravitazionale 32 Si definisce la massa gravitazionale (notata m ) di un corpo comparandola, per mezzo di una bilancia a piatti ad una massa di un cilindro in una lega di platino ed iridio chiamato kilogrammo standard. l l Le osservazioni di Galileo (caduta libera) e di Newton (oscillazione dei pendoli) mostrano che la massa inerziale m e la massa gravitazionale m sono dei concetti equivalenti. Se definiamo l unità di misura della forza, ossia il Newton, come 1N = 1kg m/s 2 possiamo porre Principio di equivalenza. m = m

34 Forza peso 33 Per definizione, la forza peso di un corpo è la forza esercitata dalla Terra sul corpo sulla sua superficie o nelle sue immediate vicinanze. F p = m g g è il vettore campo gravitazionale la cui intensità vale g = 9,81N/kg. g Σ di massa m F p = F Terra Σ Terra

35 Legge della gravitazione universale 34 Legge della gravitazione universale (1677) Ogni punto materiale A esercita su un punto materiale B una forza attrattiva, chiamata forza gravitazionale, della forma F A B gr = G m A m B x 2 x x, x = x B x A x = r G = 6, m 3 /(kg s 2 ) è la costante della gravitazione universale. A x B F A B gr L origine della forza di gravità nel fatto che gli oggetti hanno una massa gravitazionale! Come introdotta da Newton la forza di gravità agisce a distanza nello spazio vuoto ed istantaneamente.

36 Campo gravitazionale 35 Per eliminare l azione a distanza e istantanea si introduce il concetto di campo: esso è il mediatore dell interazione gravitazionale. Il campo gravitazionale generato da m A è definito da g = F A B gr m B dove m B è la massa di un corpo di prova. Il campo gravitazionale esiste indipendentemente dal corpo di prova, poiché traduce l influsso gravitazionale di m A sullo spazio circostante.

37 Forza elastica 36 Il concetto di forza elastica è assai generale (molle, cristallo armonico,...). In generale una forza elastica ha la proprietà di essere direttamente proporzionale al vettore posizione del sistema e di verso opposto F el = k x dove k è chiamata costante elastica ed è positiva (k > 0). Un punto materiale la cui evoluzione temporale è caratterizzata dalla forza elastica è chiamato oscillatore armonico; il modello dell oscillatore armonico può essere considerato uno dei sistemi fisici più importanti.

38 Forza di attrito viscoso 37 L attrito viscoso rappresenta l azione esercitata da un fluido su un solido, ed è un azione che si oppone al movimento del solido rispetto al fluido. Solido che si muove su una retta con una velocità v in un fluido immobile, la forza d attrito viscoso è diretta nel verso opposto a v F atr ˆv Σ v La forza di attrito viscoso è modellizzata da F atr = f(v) v v = λvnˆv n varia con la velocità e λ > 0 è il coefficiente di attrito.

39 Forza di attrito viscoso 38 Si può misurare la forza di attrito misurando la forza esterna che bisogna applicare al solido per mantenere la velocità v costante F atr Σ ˆv F est Dall equazione F = m a, dove qui F = F est + F atr, deduciamo F est = F atr. v

40 Forza di attrito viscoso 39 Basse velocità La forza di attrito è data dalla legge di Stokes F atr = kηvˆv = kη v dove k è un coefficiente che dipende dalla geometria (sfera di raggio R: k = 6πR); η è il coefficiente di viscosità (grandezza caratteristica del fluido). Velocità più elevate La forza di attrito è proporzionale al quadrato della velocità: F atr = 1 2 C xρ fl Sv 2ˆv dove ρ fl è la densità del fluido, S la proiezione del solido su un piano perpendicolare alla velocità e C x un parametro che dipende dalla forma del solido, chiamato coefficiente di traino.

41 Forza di attrito viscoso 40 sfera proiezione della sfera su Π v S Π piano perpendicolare Π C x = 1.32 C x = 0.45 C x = 0.04

42 Forza di attrito viscoso 41 I due regimi si distinguono dal comportamento del fluido al passaggio del solido: se il fluido non presenta una perturbazione al passaggio del solido si parla di regime laminare legge di Stokes; se il fluido presenta delle turbolenze al passaggio del solido si parla di regime turbolento la legge per velocità più elevate. La transizione tra i due regini è quantificata dal numero di Reynolds R e definito nel modo seguente R e = ρ fld η v dove d è un parametro geometrico del solido (sfera di raggio R: d = 2R). Regime laminare (basse velocità) R e < 1. Regime turbolento (alte velocità) R e > 2400.

43 Forza di attrito radente 42 L attrito radente rappresenta l azione di una superficie rigida su un solido, ed è un azione che si oppone al movimento del solido rispetto alla superficie. N F atr F atr N F F p α F p F S Σ F p, N F p, α F p F atr La parte parallela alla superficie di F S Σ è la forza di attrito radente F atr ; quella perpendicolare è la forza di reazione normale N.

44 Forza di attrito radente 43 Possiamo misurare la forza di attrito radente misurando la forza esterna che bisogna applicare al solido per mantenere la velocità costante. L esperienza mostra che bisogna trattare separatamente i casi v 0 e v = 0. Caso v 0 Vale la legge di Coulomb (attrito dinamico): F atr = µ c Nˆv µ c > 0 è il coefficiente di attrito cinetico. Caso v = 0 Vale la legge di Coulomb (attrito statico): F atr F atr,max = µ s N se v = 0 µ s > 0 è il coefficiente di attrito statico. Fin tanto che l intensità della forza esterna F est è inferiore a F atr,max, chiamata forza di strappo, il corpo resta immobile.

45 Potenza e lavoro 44 Consideriamo una forza F che agisce su un PM dato dal vettore posizione x e di velocità v R O x(t) F(t) α v(t) La potenza sviluppata dalla forza F all istante t è la grandezza scalare definita da P = F v = F v cosα = 3 F i v i i=1 dove α [0,π] è l angolo tra F e v.

46 Potenza e lavoro 45 Il lavoro effettuato dalla forza F durante l intervallo di tempo (t i, t f ) è definito da P(t) W(t i, t f ) = tf t i P(t) dt t i t f t Se l angolo α = π 2 possiamo notare che, per le forze perpendicolari alla velocità del loro punto di applicazione, la potenza sviluppata è nulla. Una forza è detta passiva se il lavoro durante l evoluzione temporale è nullo, una forza è detta attiva nel caso contrario.

47 Potenza e lavoro 46 Caso particolare in cui F è costante W(t i, t f ) = F x = F [ x(t f ) x(t i )] Caso unidimensionale con F = F 1 e 1 costante F 1 (x 1 ) F 1 W(t i,t f ) x 1,i x 1,f x 1 Caso unidimensionale in cui F dipende solo da x F 1 (x 1 ) F 1 (x 1 ) W(t i,t f ) x 1,i x 1,f x 1 x 1,i x 1,f x 1

48 Energia cinetica 47 L energia cinetica di un PM è la grandezza positiva, scalare ed estensiva definita da E cin = 1 2 mv2 L energia cinetica è un osservabile, dato lo stato ( x, p) si ottiene E cin = p2 2m Teorema dell energia cinetica La variazione di energia cinetica durante l intervallo di tempo (t i,t f ) è uguale alla somma del lavoro effettuato da tutte le forze esterne ed interne: E cin (t i,t f ) = W est (t i,t f )+W int (t i,t f )

49 Forze conservative 48 Consideriamo due punti A e D, di vettore posizione x A e x D, e due possibili traiettorie γ e δ per andare da A a D A A δ 1 B γ F atr F atr Fatr δ 2 F F atr D D Forza d attrito radente F atr : W(γ) W(δ) W(δ) = W(δ 1 )+W(δ 2 )+W(δ 3 ) = W(δ 1 )+W(γ)+W(δ 3 ) = W(γ)+2W(δ 1 ) Forza costante F da A verso D: W(γ) = W(δ) W(δ) = W(δ 1 )+W(δ 2 )+W(δ 3 ) = W(δ 1 )+W(γ)+W(δ 3 ) = W(γ) δ 3 C

50 Forze conservative 49 Esistono delle forze per le quali il lavoro sviluppato non dipende dalla traiettoria per andar da A a D, ma unicamente dalla posizione iniziale e dalla posizione finale. Una forza è detta conservativa se il lavoro che effettua dipende unicamente dalla posizione iniziale x i e dalla posizione finale x f e non dalla traiettoria specifica, ciò per ogni possibile posizione iniziale e finale. Nel caso contrario la forza è detta non conservativa. Ecco una classificazione: Nome Forza F conservativa Forze costanti F sì Forza peso m g sì Forza elastica k x sì Forza d attrito viscoso λ v, λv 2ˆv no Forza d attrito radente µn ˆv no

51 Energia potenziale 50 Per le forze conservative F = F( x) è possibile associare una funzione E pot = E pot ( x) tale che il lavoro generato dalla forza soddisfa la relazione W (c) (t i,t f ) = E pot (t i,t f ) La funzione E pot è chiamata energia potenziale associata alla forza F. L energia potenziale è definita salvo una costante infatti W (c) (con Ẽpot ) = Ẽpot = (E pot +C) = E pot C }{{} =0 = W (c) (con E pot ).

52 Energia potenziale 51 Espressioni per l energia potenziale di alcune forze Forza costante F Forza elastica F = k x E pot ( x) = F x E pot ( x) = 1 2 kx2. F 1 (x 1 ) x 1,i x 1,f W (c) x 1 W (c) = 1 2 F 1(x 1,f )(x 1,f x 1,i ) = 1 2 ( kx 1)x 1 = 1 2 kx2 1 = 1 2 kx2 W (c) = E pot = 1 2 kx2 = (E pot ( x) E pot ( 0) ) }{{} =0

53 Energia meccanica 52 PM che subisce delle forze conservative (lavoro W (c) ), e delle forze non conservative (lavoro W (nc) ). Dal teorema dell energia cinetica e, poiché W (c) = E pot E cin = W = W (c) +W (nc) E cin = E pot +W (nc) = (E cin +E pot ) = W (nc) L energia meccanica è definita da E mec = E cin +E pot Teorema dell energia meccanica La variazione di energia meccanica durante l intervallo di tempo (t i,t f ) è uguale alla somma del lavoro effettuato da tutte le forze che non contribuiscono all energia potenziale: E mec (t i,t f ) = W (nc) (t i,t f )

54 Energia meccanica 53 Caso particolare: Se tutte le forze attive sono conservative, l energia meccanica è costante durante l evoluzione temporale: E mec (t) = E mec (t 0 ) In questo caso, la variazione di energia cinetica, durante l intervallo (t i,t f ), è l opposto alla variazione di energia potenziale E cin = E pot.

55 Urti 54 Si chiama urto ogni interazione tra due o più sistemi che si effettua in un intervallo di tempo limitato: prima e dopo l urto le forze tra i vari sistemi sono trascurabili. Nello studio degli urti ci si interessa unicamente allo stato iniziale e allo stato finale e non al dettaglio dell evoluzione temporale, che durante l urto può essere molto complessa. I problemi tipici in cui intervengono gli urti sono le collisioni (a,b) e le disintegrazioni (c) di un sistema in più sottosistemi. t f t i (a) (b) (c)

56 Urti 55 Se il sistema totale è isolato allora la quantità di moto totale e l energia totale sono delle costanti del moto. La costanza dell energia totale non corrisponde alla costanza dell energia cinetica, parte dell energia cinetica può essere convertita in altre forme di energia. Abbiamo la seguente classificazione degli urti: se E cin = 0 allora l urto è detto elastico; se E cin 0 allora l urto è detto anelastico; se dopo l urto la velocità dei sistemi è la stessa (e quindi i sistemi proseguono attaccati) si parla di urto completamente anelastico. Per risolvere i problemi di urti in un sistema isolato si avrà e nel caso degli urti elastici dove se t i = 0 allora t f. p tot (t i ) = p tot (t f ) E cin tot(t i ) = E cin tot(t f )