COS E UN EQUIVALENZA. È un UGUAGLIANZA tra DUE ESPRESSIONI che usano UN UNITÀ DI MISURA per la quale si

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2 COS E UN EQUIVALENZA È un UGUAGLIANZA tra DUE ESPRESSIONI che usano UN UNITÀ DI MISURA per la quale si cercano i valori da attribuire affinché sia vera IN ALTRE PAROLE SIGNIFICA: Scrivere la stessa quantità in 2 modi diversi. Esempio Se una piastrella misura 20 cm, possiamo anche dire che misura 2 dm, oppure 0,2 m, infatti stiamo esprimendo la stessa quantità. Ricorda: ciò che è scritto prima dell'uguale deve esprimere la stessa misura di ciò che è presente dopo.

3 Unità di misura Per comprendere le equivalenze occorre avere chiare le unità di misura, senza le quali non sapremo come convertire i valori richiesti, vediamo insieme le principali scale di grandezza. La scala rappresenta le unità di misura da quella più grande a quella più piccola. Con la barra rossa viene indicata l'unità di misura di riferimento. Ma elenchiamole in dettaglio.

4 Sistema metrico decimale: chilometro (km), ettometro (hm), decametro (dam), metro (m), decimetro (dm), centimetro (cm), millimetro (mm) Scala dei liquidi: ettolitro (hl), decalitro (dal), litro (l), decilitro (dl), centilitro (cl), millilitro (ml) Scala dei pesi: chilogrammo (kg), ettogrammo (hg), decagrammo (dag), grammo (g), decigrammo (dg), centigrammo (cg), milligrammo (mg)

5 Vediamo anche altre unità di misura. Scala delle superfici: chilometro quadrato (km 2 ), ettometro quadrato (hm 2 ), decametro quadrato (dam 2 ), metro quadrato (m 2 ), decimetro quadrato (dm 2 ), centimetro quadrato (cm 2 ), millimetro quadrato (mm 2 ) Scala dei volumi: chilometro cubo (km 3 ), ettometro cubo (hm 3 ), decametro cubo (dam 3 ), metro cubo (m 3 ), decimetro cubo (dm 3 ), centimetro cubo (cm 3 ), millimetro cubo (mm 3 )

6 Come si svolgono le equivalenze Come si fanno le equivalenze? Partendo dalle scale appena viste, possiamo dire che per convertire un'unità di misura in un'altra occorre contare quanti gradini le separano, e verificare se i gradini sono in discesa o in salita. Vediamo subito un esempio di conversione da chilometri a metri. Contiamo quanti gradini separano le due unità, il primo da km a hm, il secondo da hm a dam, il terzo da dam a m. I gradini sono tre e sono in discesa.

7 Ora vi chiederete, qual è la differenza se li contiamo in salita o discesa? Bene, se i gradini sono in discesa dobbiamo moltiplicare il valore iniziale, se sono in salita dobbiamo dividere il valore iniziale. Moltiplicare significa spostare la virgola (del nostro valore) verso destra, dividere significa spostare la virgola verso sinistra.

8 Di seguito convertiremo 125 centimetri in metri Convertire il valore in metri è semplice, occorre spostare la virgola in corrispondenza dei metri cioè di due posti verso sinistra. abbiamo il nostro valore: 1,25 metri. 125 cm = 1,25 m

9 Convertiamo 6,7 metri in ettometri Come prima scriviamo 6,7 nella tabella, e spostiamo la virgola in corrispondenza degli ettometri (due posti a sinistra). In questo caso avremo due caselle vuote: quella degli ettometri e quella dei decametri. All'interno di queste scriviamo 0 (zero). Il valore trovato è 0,067 ettometri. 6,7 m = 0,067 hm

10 Virgola con altre unità Per convertire però altre scale di misura come la scala delle superfici e quella dei volumi il procedimento è leggermente diverso. Se per spostare abbiamo moltiplicato o diviso per 10, ora faremo in modo diverso: Scala delle superfici: per passare ad un unità di misura precedente o successiva, devo dividere o moltiplicare per 100 (spostare la virgola di due posti) Scala dei volumi: per passare ad un unità di misura precedente o successiva, dividere o moltiplicare per 1000 (spostare la virgola di tre posti)

11 Scala delle superfici: per passare ad un unità di misura precedente o successiva, dividere o moltiplicare per 100 (spostare la virgola di due posti) Le unità di misura della scala delle superfici si riferiscono a due dimensioni. Questo significa che per svolgere le equivalenze sulla scala delle superfici la virgola va spostata di due posti a destra o sinistra. otteniamo 0,153 ettometri quadrati. 15,3 dam 2 = 0,153 hm 2

12 Scala dei volumi: per passare ad un unità di misura precedente o successiva, dividere o moltiplicare per 1000 (spostare la virgola di tre posti). Convertiamo 29,3 metri cubi in decimetri cubi Il risultato è decimetri cubi. 29,3 m 3 = dm 3 Le unità di misura della scala dei volumi si riferiscono a tre dimensioni. Questo significa che per svolgere le equivalenze sulla scala delle superfici la virgola va spostata di tre posti a destra o sinistra.

13 Equivalenze tra misure di superfici Il Sistema Internazionale adotta come unità di misura della superficie il metro quadrato, indicato con il simbolo m². Dunque, svolgere le equivalenze tra misure di superficie del SI corrisponde a convertire multipli e sottomultipli del metro quadrato in altri suoi multipli e sottomultipli. Nella vita di tutti i giorni e negli esercizi avrete a che fare principalmente con: chilometro quadrato (Km²), ettometro quadrato (hm²), decametro quadrato (dam²), metro quadrato (m²), decimetro quadrato (dm²), centimetro quadrato (cm²) e millimetro quadrato (mm²).

14 Per risolvere le equivalenze tra misure di superfici del Sistema Internazionale comprese tra il km² e il mm² possiamo ricorrere alla scala del metro quadrato. Si tratta di disegnare una vera e propria scala e di riportare su ogni gradino i multipli e i sottomultipli del metro quadrato dal chilometro quadrato al millimetro quadrato, in modo ordinato, proprio come mostrato nell immagine

15 Fatto questo basterà contare il numero di gradini che separano le due unità di misura tra cui vogliamo svolgere l equivalenza e : DIVIDERE PER 100 elevato al numero di gradini se siamo in salita MOLTIPLICARE PER 100 elevato al numero di gradini se siamo in discesa Esempi di equivalenza tra misure di superficie con la scala del metro quadrato Convertiamo 47,5 metri quadrati (m²) in millimetri quadrati (mm²). Disegniamo la scala del metro quadrato e contiamo il numero di gradini che separano il m² dal mm² 1) NUMERO GRADINI= 3 in discesa 2) SPOSTO LA VIRGOLA DI 3 POSTI= ) MOLTIPLICO PER 100= mm²

16 A quanti chilometri quadrati (km²) equivalgono 7540 decametri quadrati (dam²)? 1) NUMERI GRADINI= 2 in salita 2) SPOSTO VIRGOLA DI DUE POSTI= 75,4 3) DIVIDO PER 100= O,754 km² Per rispondere dovremo dividere per 100² = Infatti sulla scala del metro quadrato abbiamo due gradini in salita tra il dam² e il km² dam² = (7540: ) km² = 0,754 km² L utilizzo della scala del metro quadrato per svolgere le equivalenze con misure di superficie SI permette di non dover ricordare a memoria il legame tra un unità di misura ed un altra; dobbiamo solo limitarci al disegnino di una scala ed al semplice conteggio dei gradini

17 Equivalenze tra misure di volume Per esprimere le misure di volume il Sistema internazionale utilizza il metro cubo, indicato con il simbolo m³. Quindi, svolgere le equivalenze tra misure di volume vuol dire convertire multipli e sottomultipli del metro cubo in altri suoi multipli e sottomultipli. I multipli e i sottomultipli del metro cubo si ottengono elevando al cubo tutti i multipli ed i sottomultipli del metro, ma di norma negli esercizi avrete a che fare solamente con il kilometro cubo (km³), l ettometro cubo (hm³), il decametro cubo (dam³), il metro cubo (m³), il decimetro cubo (dm³), il centimetro cubo (cm³) e il millimetro cubo (mm³).

18 Usando al scala del metro cubo, per risolvere le equivalenze tra misure di volume del Sistema Internazionale, sarà sufficiente disegnare una scala e riportare su ogni gradino i multipli ed i sottomultipli del metro cubo. Contiamo i gradini che separano l unità di misura di partenza dall unità di misura d arrivo, e: Se siamo in salita, moltiplichiamo per 1000 elevato al numero di gradini se siamo in discesa, moltiplichiamo per 1000 elevato al numero di gradini

19 Qualche esempio di equivalenza con la scala del metro cubo Per convertire 0,231 decametri cubi (simbolo dam³) in decimetri cubi (dm³) dovremo moltiplicare per 1000², in quanto sulla scala del metro cubo ci sono 2 gradini in discesa tra dam³ e dm³. 0,231 dam³ = (0,231 x 1000²) dm³ = dm³ Volendo sapere a quanti metri cubi equivalgono millimetri cubi, dovremo dividere per 1000³. Questo perché sulla scala del metro cubo ci sono tre gradini in salita che separano i mm³ dai m³ mm³ = ( : 1000³) m³ = 0, m³

20 Convertire le misure di volume in volume di capacità Sebbene i multipli e i sottomultipli del metro cubo siano unità di misura atte ad esprimere sia misure di volume che le misure di capacità, nella vita di tutti i giorni per misurare la quantità dei liquidi di usa il litro. A volte quindi capita di dover passare dalle misure di volume alle misure di capacità, cioè di dover convertire multipli e sottomultipli del metro cubo in multipli e sottomultipli del litro. Basta ricordare che 1 dm³ = 1 l

21 Ricordando questa relazione, per svolgere le equivalenze tra unità di misura del volume e unità di misura della capacità basta procedere come segue: Si converte l unità di misura di volume assegnata in decimetri cubi Si esprimono i decimetri cubi in litri Si passa dai litri all unità di misura di capacità desiderata, riconducendo così ad un equivalenza tra misure di capacità.

22 Esempi di equivalenze tra misure di volume e misure di capacità Supponiamo di volere convertire 658 centimetri cubi (cm³) in decilitri (simbolo dl). Passiamo prima dai centimetri cubi ai decimetri cubi. Per fare questo dovremo dividere per 1000¹ = 1000, in quanto sulla scala del metro cubo c è un solo gradino in salita tra cm³ e dm³. 658 cm³ = (658 : 1000) dm³ = 0,658 dm³ Esprimiamo poi i decimetri cubi in litri 0,658 dm³ = 0,658 l Per completare l equivalenza dobbiamo convertire 0,658 litri in decilitri, e per farlo moltiplicheremo il risultato appena ottenuto per 10. Infatti sulla scala del litro c è solo un gradino tra i litri e i decilitri e siamo in discesa 658 cm³ = 0,658 dm³ = 0,658 l = (0,658 x 10) dl = 6,58 dl

23 A quanti ettolitri equivalgono 31 metri cubi? 31 m³ = (31 x 1000) dm³ = dm³ dm³ = l l = ( : 100) hl = 310 hl

24 Equivalenze tra misure di CAPACITÀ con la scala del litro Per esprimere le misure di capacità, ossia per misurare la quantità di qualsiasi tipo di liquido, utilizziamo il litro insieme a seguenti multipli e sottomultipli: kilolitro (kl), ettolitro (hl), decalitro (dal), decilitro (dl), centilitro (cl) e millilitro (ml). Svolgere le equivalenze tra misure di capacità significa quindi convertire qualsiasi multiplo o sottomultiplo del litro in altri suoi multipli e sottomultipli. Ricorrendo alla scala del litro, la disegniamo dove su ciascun gradino, si riportano i simboli dei multipli e dei sottomultipli del litro. Se siamo in salita, si divide per 10 elevato al numero di gradini se siamo in discesa, si moltiplica per 10 elevato al numero di gradini

25 Qualche esempio: 1) Volendo convertire 62decilitri (dl) in millilitri (ml) dobbiamo moltiplicare per 10² = dl = (62x10² ) ml = 6200 ml Questo perché sulla scala del litro tra decilitro e millilitro ci sono due gradini in discesa. 2) Per sapere a quanti ettolitri (simbolo hl) equivalgono 5420 centilitri (cl) divideremo la misura di partenza per 10 4, in quanto partendo dai centilitri si devono salire 4 gradini per raggiungere gli ettolitri 5420 cl = (5420 : 10 4 ) hl = 0,542 ml

26 Convertire le misure di CAPACITÀ in misure di VOLUME Nonostante il litro sia tra le unità di misura più usate, esso non fa parte del Sistema Internazionale che invece ricorre al metro cubo per esprimere sia le misure di capacità, sia quelle di volume. Per svolgere le equivalenze tra le misure di capacità e le misure di volume, cioè per passare da multipli e sottomultipli del metro cubo procediamo come segue: Passare dall unità di misura di capacità assegnata ai litri con la scala del litro Ricordando che 1 litro equivale ad 1 decimetro cubo (1 l = 1 dm³) esprimere i litri in decimetri cubi Con la scala del metro cubo convertire i decimetri cubi nell unità di misura d arrivo. COSI FACENDO ABBIAMO RICONDOTTO L EQUIVALENZA AD UN EQUIVALENZA TRA MISURE DI VOLUME

27 ESEMPI di equivalenze tra misure di capacità e misure di volume A quanti centimetri cubi (simbolo cm³) equivalgono 13 centilitri (cl)? Passiamo dapprima dai centilitri ai litri dividendo per 10² = 100, in quanto sulla scala del litro ci sono 2 gradini in salita tra i centilitri e i litri. Esprimiamo poi questo risultato in decimetri cubi. 13 cl = (13 : 10²) l = 0,13 l 0,13 l = 0,13 dm³ Per concludere convertiamo i decimetri cubi in centimetri cubi moltiplicando per cl = 0,13 l = 0,13 dm³ 0,13 dm³ = (0,13 x 1000) cm³ = 130 cm³

28 Per convertire 1250 kilolitri (kl) in decametri cubi (simbolo dam³) facciamo 1250 kl = (1250 x 10³) l = l l = dm³ dm³ = ( : 1000²) dam³ = 1,25 dam³

29 Equivalenze tra unità di misura del TEMPO Tra le unità di misura di tempo più comunemente utilizzate (come ore, minuti e secondi), l unica che rientra nel Sistema Internazionale è il secondo. Quindi svolgere le equivalenze tra misure di tempo del Sistema Internazionale vuol dire convertire multipli e sottomultipli del secondo in altri suoi multipli o sottomultipli. Per non sbagliare quando ci troviamo di fronte ad un equivalenza tra due unità di tempo del Sistema Internazionale convertiamo dapprima l unità di misura di partenza in secondi e, successivamente, i secondi nell unità di misura d arrivo.

30 Qualche esempio Per sapere a quanti millisecondi corrispondono 3,5 kilosecondi passeremo dai ks ai secondi moltiplicando per ,5 ks = (3,5 x 1000) s = 3500 s Per poi convertire i secondi in millisecondi moltiplicando ancora un volta per s = (3500 x 1000) ms = ms Il risultato è 3,5 ks = 3,5 x 10 6 ms

31 Equivalenze tra misure di TEMPO Nel quotidiano le unità di misura del tempo usate sono: secondi, minuti, ore, giorni, settimane, mesi ed anni. Come si svolgono le equivalenze tra le misure di tempo che usiamo quotidianamente: Secondi minuti ed ore rientrano nel sistema sessagesimale, cioè, per passare dai secondi ai minuti o per convertire i minuti in ore si moltiplica per 60: 1 minuto = 60 secondi 1 ora = 60 minuti = 3600 secondi Poi: 1 anno = 365 giorni, 366 se bisestile 1 mese= 30, 31, 28 o 29 giorni a seconda del mese e dell anno in cui si trova 1 settimana = 7 giorni, dove ogni giorno è inteso come giorno solare medio 1 giorno solare medio = 24 ore

32 Qualche esempio quanti minuti ci sono nel mese di marzo? Il mese di marzo è formato da 31 giorni e poiché ogni giorno ha 24 ore, ciascuna composta da 60 minuti, si ha: 31 giorni = (31 x24) ore = (744 x 60) minuti = minuti quante ore ha il mese di febbraio di un anno bisestile? In un anno bisestile il mese di febbraio ha 29 giorni, ciascuno di 24 ore. Pertanto nel mese di febbraio di un anno bisestile vi sono 29 x 24 = 696 ore quanti lustri vi sono in un millennio? Un lustro indica un periodo di tempo di 5 anni, mentre un milennio equivale a 1000 anni. Pertanto in un millennio vi sono 1000:5= 200 lustri

33 Equivalenze tra unità di misura della MASSA del Sistema Internazionale Spesso le unità di misura della massa sono chiamate unità di misura di peso. Svolgere le equivalenze tra misure di massa del SI vuol dire convertire multipli e sottomultipli del chilogrammo in altri suoi multipli e sottomultipli, infatti nel Sistema Internazionale il chilogrammo è l unità di misura fondamentale per la massa Distinguiamo due modi diversi di procedere nello svolgimento delle equivalenze tra unità di misura della massa nel SI

34 1 Metodo (scala del grammo) Se le unità di misura di partenza e d arrivo sono comprese tra il kilogrammo (simbolo kg) ed il milligrammo (indicato con il simbolo mg), Disegniamo una scala e su ogni gradino, partendo dal kg, si riportano in modo ordinato i sottomultipli del chilogrammo fino al mg. Questa scala è conosciuta come scala del grammo: dividere per 10 elevato al numero di gradini, se i gradini sono in salita Moltiplicare per 10 elevato al numero di gradini, se i gradini sono in discesa

35 ESEMPI 1) A quanti centigrammi (cg) equivalgono 15,6 ettogrammi (hg)? Per risolvere l equivalenza proposta usiamo la scala del grammo e contiamo i gradini che separano gli hg dai cg Avendo percorso 4 gradini in discesa, per convertire 15,6 ettogrammi in centigrammi dovremo moltiplicare per 10 4, dunque 15,6 hg = (15,6 x 10 4 ) cg = cg

36 Volendo sapere a quanti decagrammi (dag) equivalgono 278,63 decigrammi (simbolo dg) basterà dividere per 100, infatti per raggiungere i dag si percorrono, sulla scala, due gradini in salita e quindi bisogna dividere per 10 2 = ,63 dg = (278,63 : 100) dag = 2,7863 dag 1 2 : 10

37 Equivalenze tra misure agrarie Un altra importante classe di misure di superficie sono le misure agrarie. Le più usate sono ara (simbolo a), centiara (ca) ed ettaro (ha). Svolgere le equivalenze tra unità di misura agrarie è molto semplice se si ricorda il legame tra ciascuna misura agraria e le misure di superficie del Sistema Internazionale: 1 ara = 1 decametro quadrato 1 centiara = 1 metro quadrato 1 ettaro = 1 ettometro quadrato

38 Per passare da un unità di misura ad un altra si può usare ancora una volta la scala del metro quadrato, evitando così di dover ricordare il fattori di conversione. Ad esempio, passare dalle are agli ettari equivale a convertire i decametri quadrati (dam²) agli ettometri (hm²), per cui basterà dividere per 100 (un solo gradino in salita). Invece, per convertire gli ettari in centiare moltiplicheremo per 100² = , in quanto tra hm² (ettaro) e m² (centiara) ci sono 2 gradini in discesa.

39 Fattori di conversione per le unità di misura agrarie 1 ETTARO = 100 are = centiare 1 CENTIARA = 0,01 are = 0,0001 ettari 1 ARA = 100 centiare = 0,01 ettari