Esercizi 6: limiti di funzioni e applicazioni. Calcolare i seguenti limiti. Esercizio 1. lim x x. 2 x. Soluzione. 0. Esercizio 2.
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- Arrigo Sacchi
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1 Matematica ed Informatica+Fisica ESERCIZI Modulo di Matematica ed Informatica Corso di Laurea in CTF - anno acc. 2013/2014 docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it Calcolare i seguenti limiti. Esercizio 1. lim x x 2 x Esercizio 2. lim x 3 x+2 x+3 Esercizio 3. lim x 2 x 2 Esercizio 4. lim x 2 + Esercizi 6: limiti di funzioni e applicazioni 3x x 2 ( 1 x ) Esercizio 5. lim x 1 ln x+4 Esercizio 6. lim +ex+2 x 1 Esercizio 7. lim ex+2 x 1 Esercizio 8. lim Soluzione. 1 2 x x 7 Esercizio 9. lim x Soluzione. 1 x 2 +1 x+1 1
2 2 ( 2x+5 ) Esercizio 10. lim ln x+1 Soluzione. ln 2 ( x 2 Esercizio 11. lim ln 5x ) x 1 x Esercizio 12. lim x ln( x3 4x 2 +2) Esercizio 13. lim Esercizio 14. lim 2 +1 x ex 3 +2 ex x 2 1 Esercizio 15. lim x 3 x 2 8x+15 Esercizio 16. lim x 5 x x 3 6x 2 +7 Esercizio 17. lim x 8x 3 +x 3 Soluzione. 5 8 Esercizio 18. lim x 2 x 2 +5x+6 x 2 +4x+4 6x 3 x 2 +7 Esercizio 19. lim 8x 3 2x 2 + Soluzione. 3 4 Esercizio 20. lim x 3 + x 2 +5x+6 x 2 +6x+9
3 3 Esercizio 21. lim x Esercizio 22. lim 6x 3 x x 4 2x 3 +9x 2 1 3x 3 5x 2 2 5x 3 2x 2 7 Soluzione. 3 5 Esercizio 23. lim x 0 x 3 +3x 2 +x x 2 4x Soluzione. 1 4 Esercizio 24. lim x 4 x 2 7x+12 x 2 +x 20 Soluzione. 1 9 Esercizio 25. lim Esercizio 26. lim x 7x 3 2x 2 +x 8 9x 4 3x 3 +10x 2 2 4x 3 +6x x 3 4x 2 9x 5 Soluzione. 2 5 Esercizio 27. lim x 0 2x 3 +6x 2 5x 3x 2 4x Soluzione. 5 4 Esercizio 28. lim x 5 x 2 +x 30 x 2 13x+40 Soluzione Esercizio 29. lim 4x 3 x 2 +2x+2 7x 2 +3
4 4 Esercizio 30. lim x x 2 +4x+3 1 x Esercizio 31. lim ( x 2 +4x+1 x) Soluzione. 2 Esercizio 32. lim x ( x 2 +6x x 2 3) Soluzione. 3 Esercizio 33. lim ( 4x 2 +1 x) Esercizio 34. lim x ( 3 x 1 x) tgx Esercizio 35. lim x 0 x Soluzione. 1 sinx 3 Esercizio 36. lim x 0 + x 4 Esercizio 37. lim x 0 + sin x 3 x Soluzione. 1 3 sin 2 x Esercizio 38. lim x 0 x sinx Esercizio 39. lim x 0 x 4 ( sin6x Esercizio 40. lim x 0 3x x2) Soluzione. 2 3x+5sinx Esercizio 41. lim x 0 4x+7sinx
5 5 Soluzione Esercizio 42. lim x ( x ) 6x Soluzione. e 6 ( Esercizio 43. lim 1+ 1 ) x porre t = x+2 x x+2 Soluzione. e ( Esercizio 44. lim 1 4 ) x+2 x x+3 Soluzione. e 4 ( Esercizio 45. lim 1+ 1 ) 3x x x 5 Soluzione. e 3 Esercizio 46. lim x 0 ln(1 7x) x Soluzione. 7 ln 2 (x+1) Esercizio 47. lim x+2 Esercizio 48. lim e x 3 x 4 +3 e x +1 Esercizio 49. lim e x Soluzione. 1 Esercizio 50. lim x 2 + ( ) x 3 Esercizio 51. lim x 0 ln 1 x2 1+x 2 Esercizio 52. lim ln 1+x2 x 2 1
6 6 1+x2 Esercizio 53. lim ln x x 2 1 sin(2x) Esercizio 54. lim x 0 xcosx Soluzione. 2 Esercizio 55. lim x 1 Soluzione e x 5 Esercizio 56. lim 1+4e x Soluzione e x 5 Esercizio 57. lim x 1+4e x Soluzione. 5 ( 1 Esercizio 58. lim x 1 2 ( 1 Esercizio 59. lim x )1 3x 1 x )1 3x 1 x 2x 2 x 6 Esercizio 60. lim x 2 x 2 Soluzione. 7 Esercizio 61. lim Esercizio 62. lim lnx 2 e x 3e 4 +x e x 2 3 Esercizio 63. lim x 3 +7
7 7 Esercizi sulla continuità e sui limiti Esercizio 1. Determinare le costanti a, b in modo che ( x 2 ) +2 lim +ax+b = 2 Esercizio 2. La funzione è continua nel punto x = 0? (x+1) 2, x 0 f(x) = x, x > 0 Esercizio 3. Utilizzando il teorema di esistenza degli zeri, mostrare che esistono soluzioni delle seguenti equazioni: a) x 5 3x+4 = 0 in [ 2, 1]; b) ln(x 2 9) 5x+100 = 0 in [20,25]. Esercizio 4. Determinare, se è possibile, il massimo e minimo assoluto delle seguenti funzioni nell intervallo indicato a fianco: x3 a) f(x) = e x 2 4 in [0,1]; b) f(x) = sen(x) in [ π 4, 2π 3 c) f(x) = x+3 in [0,1]. ] ; Enunciare il teorema che assicura l esistenza dei punti precedenti. Esercizio 5. Data la funzione x 2 +2, x < 0 f(x) = a ln(x+2)+b, 0 x < 10 15, x 10 trovare per quali valori di a,b è continua. Studio parziale del grafico di una funzione Determinare il dominio, le eventuali intersezioni con gli assi, il segno, le eventuali simmetrie particolari e gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni (gli asintoti delle funzioni sono specificati nelle varie soluzioni). Esercizio 1. y = x x 2 4 Soluzione. x = 2, x = 2 asintoti verticali; y = 0 asintoto orizzontale.
8 8 Esercizio 2. y = 3x2 +7 x 2 5x+6 Soluzione. x = 2, x = 3 asintoti verticali; y = 3 asintoto orizzontale. Esercizio 3. y = x2 4x 1 x Soluzione. x = 1 asintoto verticale; y = x+3 asintoto obliquo Esercizio 4. y = x2 5x+4 x 5 Soluzione. x = 5 asintoto verticale; y = x asintoto obliquo. Esercizio 5. y = 2x2 2x+3 x+2 Soluzione. x = 2 asintoto verticale; y = 2x 6 asintoto obliquo Esercizio 6. y = 4x2 8x 5 3x+6 Soluzione. x = 2 asintoto verticale; y = 4 3 x 16 3 asintoto obliquo. Esercizio 7. y = x e x Soluzione. y = 0 asintoto orizzontale per x +. Esercizio 8. y = e x+1 2x 2 Soluzione. x = 1 asintoto verticale destro; y = e asintoto orizzontale. Esercizio 9. y = x x 2 2x Soluzione. y = 1 asintoto orizzontale per x + ; y = 2 asintoto obliquo per x. Esercizio 10. y = 2x x 2 4 Soluzione. y = x asintoto obliquo per x + ; y = 3x asintoto obliquo per x. Determinare il dominio, le eventuali intersezioni con gli assi, il segno, le eventuali simmetrie particolari e gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni (senza soluzioni). Esercizio 11. y = x 2 +x 2 Esercizio 12. y = ex 1 e x +1
9 9 Esercizio 13. y = ln x 2 +4 Esercizio 14. y = ln x 2 4 Esercizio 15. y = x 2 6x Esercizio 16. y = 3 x 2 6x Esercizio 17. y = 2 x 3 x+2 Esercizio 18. y = ( )x+2 1 x 8 3 Esercizio 19. y = 1+lnx lnx Esercizio 20. y = lnx 2 x 4 Esercizio 21. y = x+5 lnx e x Esercizio 22. y = x 2 4x+3 Derivate (sfruttando la definizione) Calcolareilrapportoincrementaledelleseguentifunzioninelpuntox 0 enell incremento h segnato a fianco di ciascuna. Esercizio 1. y = 2x x 3 (x 0 = 1, h = 1) Soluzione. 5 Esercizio 2. y = 2 x+1 (x 0 = 0, h = 1) Soluzione. 3 2 Esercizio 3. y = e 2 (x 0 = 1 2, h = 1 4 ) Soluzione. 4( e 1) Esercizio 4. y = 3+ x 3 (x 0 = 3, h = 1) Soluzione. 1
10 10 Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata delle seguenti funzioni nel punto x 0 segnato a fianco di ciascuna. Esercizio 5. y = x 2 +1 (x 0 = 0) Esercizio 6. y = x (x 0 = 4) Soluzione. 1 4 Esercizio 7. y = e 2x +1 (x 0 = 0) Soluzione. 2 Esercizio 8. y = 2x 3 (x 0 = 1) x Soluzione. 3
= x 2ex +3 ( sinx) = = 3+ 4 x 2ex 3 sinx
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