Filtri passivi Risposta in frequenza dei circuiti RC-RL-RLC

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1 23. Guadagno di un quadripolo Filtri passivi isposta in frequenza dei circuiti C-L-LC In un quadripolo generico (fig. ) si definisce guadagno G il rapporto tra il valore d uscita e quello d ingresso della grandezza elettrica considerata: si ha quindi un guadagno in U, in I e in P così espressi: G U (in tensione); G I 2 I (in corrente); Fig.. appresentazione simbolica di un quadripolo. G P 2 P (in potenza) [23.] In funzione del valore numerico di G si possono avere i seguenti casi: G : si ha un quadripolo attivo costituito da componenti elettronici, con G che può assumere anche valori molto elevati, in cui si parla di amplificazione della grandezza o segnale considerato; G : si ha un quadripolo passivo costituito da componenti elettrici passivi (, L, C), con G che può assumere anche valori molto piccoli, in cui si parla di attenuazione della grandezza o segnale considerato. Per non avere un G molto elevato o molto piccolo si è definita la sua unità di misura in scala logaritmica denominata decibel [db]; in origine per G in P: G db 0 lg P 2 [db] P estesa poi anche per G in U e in I: [23.2] G db 20 lg U [db]; G db 20 lg I 2 I [db] [23.3] Se non diversamente specificato si farà sempre riferimento al G in tensione. Si possono quindi avere tre possibili situazioni: G G db 0: non c è né amplificazione né attenuazione del segnale; G G db 0: si riferisce ai quadripoli attivi o amplificatori; G G db 0: si riferisce ai quadripoli passivi o filtri passivi. L uso di un unità di misura logaritmica consente di ottenere, nel caso di più quadripoli in cascata (fig. 2), un G complessivo non dal prodotto dei G dei singoli quadripoli ottenendo valori molto grandi o molto piccoli, ma dalla somma dei singoli G db : n G dbtot a [23.4] ig dbi EDIZIONICALDEINI

2 23 Filtri passivi isposta in frequenza dei circuiti C-L-LC Fig. 2. Schema con tre quadripoli in cascata e il loro quadripolo equivalente. Si è convenzionalmente stabilito di considerare nullo il valore del segnale d uscita quando si ha un attenuazione del G di 3 db rispetto al suo valore massimo: nei filtri passivi questo significa che il segnale d uscita si considera nullo quando: G db 3dB G 0,707 [23.5] 2. Filtri passivi Fig. 3. appresentazione simbolica di un filtro passivo. I filtri passivi sono quadripoli costituiti da ed elementi reattivi, L e C comunque collegati tra loro, caratterizzati da una Z eq, e nei quali si considera come segnale caratterizzante le U e (fig. 3). Il G db in U di questi quadripoli dipende dalla frequenza di U, questo significa che può avere il valore massimo uguale a U (G db 0) in corrispondenza di certe frequenze, mentre per altre frequenze si può avere che 0, essendo fortemente attenuato. Per forme d onda di U generiche, per il teorema di Fourier (vedi Scheda 2), si può avere la modifica dello spettro lineare delle armoniche (vedi Scheda 2, paragrafo 4) con la conseguenza che la forma d onda di risulta diversa da quella di U. Per questo fatto i filtri in genere, e quindi anche quelli passivi sono così classificati: filtro passa basso: in cui sono fortemente attenuati i segnali di f elevata lasciando inalterati quelli a f bassa; (curva caratteristica f-g nella figura 4); filtro passa alto: in cui sono fortemente attenuati i segnali Fig. 4. Curva caratteristica (ideale e reale) di un filtro passivo passa basso. EDIZIONICALDEINI

3 23 Filtri passivi isposta in frequenza dei circuiti C-L-LC Fig. 5. Curva caratteristica (ideale e reale) di un filtro passivo passa alto. Fig. 6. Curva caratteristica (ideale e reale) di un filtro passivo passa banda. Fig. 7. Curva caratteristica (ideale e reale) di un filtro passivo elimina banda. a f bassa lasciando praticamente inalterati quelli di f elevata; (curva caratteristica f-g nella figura 5); filtro passa banda: in cui sono lasciati inalterati i segnali con f compresa in un determinato intervallo, e fortemente attenuati quelli al suo esterno; (curva caratteristica f-g nella figura 6); filtro elimina banda: in cui sono lasciati inalterati i segnali con f esterne a un determinato intervallo, e fortemente attenuati quelli al suo interno; (curva caratteristica f-g nella figura 7). EDIZIONICALDEINI

4 23 Filtri passivi isposta in frequenza dei circuiti C-L-LC 3. Filtro passivo passa basso I quadripoli più semplici che realizzano questo filtro passivo sono: circuito -C serie in cui U è la d.d.p. applicata alla serie e U C, è la d.d.p. sulla C (fig. 8); circuito -L serie in cui U è la d.d.p. applicata alla serie e U, è la d.d.p. sulla (fig. 9). Questi circuiti sono chiamati -C e -L ritardo perché, (figg. 8b, 9b), in entrambi i casi è in ritardo rispetto a U dell angolo θ rit che vale rispettivamente: θ ritc argtan U U C argtan U argtan X C argtan argtan 2 π f C 2 π f C θ ritl argtan U L U argtan U L argtan X L argtan 2 π f L [23.6] [23.7] Dalle relazioni [23.6] e [23.7] si nota che θ rit è direttamente proporzionale alla f, quindi partendo dal valore f 0 e facendolo q, passa dal valore θ rit 0 al valore θ rit 90. Ciò significa che il vertice del vettore U, al variare di f, percorre un quarto di circonferenza con valori estremi (figg. 8b, 9b): Fig. 8. Quadripolo passivo -C serie con U C : Fig. 9. Quadripolo passivo -L serie con U : EDIZIONICALDEINI

5 23 Filtri passivi isposta in frequenza dei circuiti C-L-LC f 0 θ rit 0 U G db 0 f q θ rit 90 U b U () c (2) U [23.8] 0 G db q L () nel circuito -C; (2) nel circuito -L. Nei due circuiti si nota che U per f basse e 0 per f alte, conclusione che giustifica, per questi circuiti, il termine filtro passivo passa basso. Per convenzione si considera trascurabile il segnale d uscita quando si ha un G db 3 db che corrisponde a 0,707 cioè per θ rit 45 che significa U X C (per circuito -C serie ritardo) e X L 2 π f C 2 π f L (per circuito -L serie ritardo). La f che determina questa situazione è definita frequenza di taglio f t il cui valore è: f t (nel circuito -C) [23.9] 2 π C f t 2 π L (nel circuito -L) [23.0] Questi filtri, quindi, riportano in uscita il segnale di ingresso praticamente inalterato se ha la f f t, mentre se ha la f f t, in uscita si ottiene un segnale praticamente nullo (curva caratteristica nella figura 5). 4. Filtro passivo passa alto I quadripoli più semplici che realizzano questo filtro passivo sono: circuito -C serie in cui U è la d.d.p. applicata alla serie e U, è la d.d.p. sulla (fig. 0); circuito -L serie in cui U è la d.d.p. applicata alla serie e U L, è la d.d.p. sulla L (fig. ). Questi circuiti sono chiamati -C e -L anticipo perché, (figg. 0b, b), in entrambi i casi è in anticipo rispetto a U dell angolo θ ant che vale rispettivamente: Fig. 0. Quadripolo passivo -C serie con U : EDIZIONICALDEINI

6 23 Filtri passivi isposta in frequenza dei circuiti C-L-LC Fig.. Quadripolo passivo -L serie con U L : θ antc argtan U C U argtan U C argtan X C argtan 2 π f C argtan 2 π f C θ antl argtan U U L argtan U argtan X L argtan 2 π f L [23.] [23.2] Dalle relazioni [23.] e [23.2] si nota che θ ant è inversamente proporzionale alla f, quindi partendo dal valore f 0 e facendolo q, passa dal valore θ ant 90 al valore θ ant 0. Ciò significa che il vertice del vettore U, al variare di f, descrive un quarto di circonferenza con valori estremi (figg. 0b, b): f 0 θ ant 90 U b U () C (2) U 0 G db q c f q θ ant 0 U G db 0 [23.3] () nel circuito -C; (2) nel circuito -L. Nei due circuiti si nota che U per f alte e 0 per f basse, conclusione che giustifica, per qusti circuiti, il termine filtro passivo passa alto. Per convenzione si considera trascurabile il segnale d uscita quando si ha un G db 3 db che corrisponde a 0,707 cioè per θ rit 45 o che significa U X C 2 π f C (per circuito -C serie anticipo) e X L 2 π f L (per circuito -L serie anticipo). La f che determina questa situazione è definita frequenza di taglio f t il cui valore è: f t (nel circuito -C) 2 π C [23.4] f t (nel circuito -L) 2 π L [23.5] EDIZIONICALDEINI

7 23 Filtri passivi isposta in frequenza dei circuiti C-L-LC Questi filtri, quindi, riportano in uscita il segnale di ingresso praticamente inalterato se ha la f f t, mentre se ha la f f t, in uscita si ottiene un segnale praticamente nullo (curva caratteristica nella figura 5). 5. Filtro passivo passa banda Il quadripolo più semplice che realizza questo filtro passivo è il circuito -L-C serie in cui U è la d.d.p. applicata alla serie e U (fig. 2). Il circuito si trova in situazione di risonanza, (vedi Scheda 7, paragrafo 4), quando X LC 0, cioè quando X L X C e Z eq Z eqmin ; ciò è verificato quando U ha la f f ris : in questa situazione si ha che U e 2 π 2L C quindi G db 0. Considerando di variare la f di U partendo dalla f ris si ha: f aumenta oltre f ris : prevale la componente induttiva della X LC (X L aumenta e X C diminuisce), creando uno sfasamento ϕ rit di rispetto U (fig. 3a): per f q si ha che ϕ rit 90 e quindi 0; f diminuisce sotto f ris : prevale la componente capacitiva della X LC (X L diminuisce e X C aumenta), creando uno sfasamento ϕ ant di rispetto U (fig. 3b): per f 0 si ha che ϕ ant 90 e quindi 0. Fig. 2. Quadripolo passivo -L-C serie con U : Fig. 3. otazione di U al variare della f in un circuito -L-C serie con U : a) condizione di f f ris ; b) condizione di f f ris. EDIZIONICALDEINI

8 23 Filtri passivi isposta in frequenza dei circuiti C-L-LC Partendo dal valore f 0 (fig. 3) e facendolo q, il vertice del vettore U, al variare di f, descrive una semicirconferenza con valori estremi nulli e quindi con G db q. I valori di f per cui si ha che 0,707 determinando un ϕ 45 (d anticipo o ritardo) di rispetto a U, sono: U cos45 U U U 2 2 (X L X C ) 2 B 2 a 2 π f L 2 π f C b 2 [23.6] isolvendo la [23.6] rispetto a f si ottengono due valori, f t e f t2, simmetrici rispetto al valore di f ris tali che: (f t2 f t ) [23.7] 2 π L La [23.7] determina la banda di frequenza del segnale d ingresso per cui si ha U, mentre al di fuori di questa banda si ha 0 (curva caratteristica nella figura 6). 6. Filtro passivo elimina banda f aumenta oltre f ris : prevale la componente induttiva della X LC (X L aumenta e X C diminuisce), creando uno sfasamen- Il quadripolo più semplice che realizza questo filtro passivo è il circuito -L-C serie in cui U è la d.d.p. applicata alla serie e U LC (fig. 4). Il circuito si trova in situazione di risonanza, (vedi Scheda 7, paragrafo 4), quando X LC 0, cioè quando X L X C e Z eq Z eqmin ; ciò è verificato quando U ha la f f ris : in questa situazione si ha che 0 2 π 2L C e quindi G db q. Considerando di variare la f di U partendo dalla f ris si ha: Fig. 4. Quadripolo passivo -L-C serie con U LC : EDIZIONICALDEINI

9 23 Filtri passivi isposta in frequenza dei circuiti C-L-LC Fig. 5. otazione di U al variare della f in un circuito -L-C serie con U LC : a) condizione di f f ris ; b) condizione di f f ris. to ψ ant di rispetto U (fig. 5a): per f q si ha che ψ ant 0 o e quindi U ; f diminuisce sotto f ris : prevale la componente capacitiva della X LC (X L diminuisce e X C aumenta), creando uno sfasamento ψ rit di rispetto U (fig. 5.b): per f 0 si ha che ψ rit 0 o e quindi U. Partendo dal valore f 0 (fig. 5) e facendolo q, il vertice del vettore U, variando f, descrive una semicirconferenza con valori estremi coincidenti con e quindi con G db 0. I valori di f per cui si ha che U 0,707 determinando un ψ 45 o (d anticipo o ritardo) di rispetto a U, si ricavano dalla relazione: sin45 U U 2 2 (X L X C ) 2 B 2 a2 π f L 2 π f C b 2 [23.8] isolvendo la [23.8] rispetto a f si ottengono due valori, f t e f t2, simmetrici rispetto al valore di f ris tali che: (f t2 f t ) [23.9] 2 π L La [23.9] determina la banda di frequenza del segnale d ingresso per cui si ha 0, mentre al di fuori di questa banda si ha U (curva caratteristica nella figura 7). EDIZIONICALDEINI

10 Esercizi Esercizio. Calcolo armoniche passanti Il circuito della figura 6 con i seguenti valori dei componenti: C 70 µf 20 Ω L 2 40 mh C 2 35 µf 2 5 Ω si può considerare come formato da due filtri passivi: passa alto con segnale d ingresso U e segnale d uscita U ; passa banda con segnale d ingresso U e segnale d uscita. Si cercano le f, in condizioni ideali, di U che vengono riportate in uscita nel segnale. Fig. 6. ete elettrica relativa all esercizio. Soluzione La f t del primo filtro dalla [23.5] vale: f tcant 2 π C 3,7 Hz 6 2 π La f ris del secondo filtro vale: f rislcserie 2 π 2L 2 C 2 23 Filtri passivi isposta in frequenza dei circuiti C-L-LC 34,5 Hz 2 π La banda passante del filtro LC serie dalla [23.7] vale: 2 (f t2 f t ) LCserie 2 π L ,68 Hz 3 2 π 40 0 I valori delle frequenze di taglio che limitano la banda passante del filtro LC serie valgono: f t2lc serie f rislc serie (f t2 f t ) LC serie 2 34,5 59,68 64,35 Hz 2 f tlcserie f rislcserie (f t2 f t ) LCserie 2 34,5 59,68 04,67 Hz 2 Considerando le curve caratteristiche ideali dei filtri passivi (fig. 7), qualunque forma d onda abbia U, il segnale può avere componenti armoniche comprese tra 3,7 Hz e 64,35 Hz poiché quelle inferiori al primo valore sono filtrate dal passa alto e quelle superiori al secondo valore sono filtrate dal passa banda. Invertendo la posizione di C con e/o prendendo non su 2 ma sulla serie L 2 C 2 si possono ricavare il relativi diagrammi delle armoniche passanti con considerazioni lasciate al lettore. Assegnando un valore numerico a U e risolvendo la rete elettrica secondo quanto detto nella Scheda 9 si possono ricavare i valori di U e con i quali si può determinare il G db dei due filtri secondo la [23.3] e quello complessivo secondo la [23.4], per verificare il valore dell attenuazione effettiva di rispetto a U. Fig. 7. Spettro lineare delle armoniche passanti su relative all esercizio. 7 EDIZIONICALDEINI