modulo D I ponti La verifica di stabilità dell arco di Navier-Méry Dimensionamento di massima

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1 1 ESERCIZIO SVOLTO La verifica di stabilità dell arco di Navier-Méry Effettuare il progetto di massima e le verifiche del ponte ad arco destinato al solo transito pedonale, da realizzare in conci di materiale lapideo, per il superamento di un canale di irrigazione con larghezza di 6,00 m in corrispondenza dei cigli laterali e che costituisce la luce del manufatto. Sono noti i seguenti elementi: quota del piano stradale +70,00 m; quota massima dell acqua +66,45 m; quota del fondo canale +64,0 m; larghezza della strada,00 m; resistenza del terreno σ Ed,t 0,5 MPa. Il manufatto verrà realizzato con le seguenti caratteristiche: pavimentazione stradale: sarà costituita dalla massicciata in ghiaia e pietrisco rullati, sulla quale verrà steso il binder di collegamento formato da una miscela di pietrisco e bitume, e quindi sarà realizzato il tappeto di usura in calcestruzzo bituminoso ottenuto con bitume e inerti di piccola dimensione; lo spessore complessivo sarà di 5 cm, con un peso volumico γ s = 18,00 kn/m ; riempimento: verrà realizzato con una miscela di terra e ghiaia a strati innaffiati e costipati, con uno spessore in chiave di 0,40 m e un peso volumico γ t = 16,00 kn/m ; rinfianco e cappa: il rinfianco verrà eseguito in calcestruzzo cementizio dosato a,50 kn/m di impasto, con un peso volumico di kn/m, sul quale sarà realizzata la cappa di protezione con lo spessore di 10 cm, la cui superficie avrà la pendenza di circa il 15% a protezione del rinfianco, ottenuta con malta cementizia e superiore strato di asfalto; muri andatori: vengono previsti in calcestruzzo semplice con uno spessore da 0 cm alla sommità e variabile da 5 cm a 80 cm alla base; arco: per il materiale lapideo dei conci, di peso volumico γ c = 4 kn/m, verrà considerata la resistenza caratteristica a compressione f bk = 7,50 N/mm e la malta impiegata sarà del tipo M5; viene fissato il ribassamento di 1/5 con una freccia f = 1,0 m; considerando la luce l = 8,00 m, abbastanza modesta, l arco viene progettato a spessore costante; spalle: sono previste in calcestruzzo semplice con altezza H =,00 m dal piano della risega di fondazione a quello di imposta all intradosso dell arco [fig. f]. I calcoli di verifica vengono sviluppati considerando 1,00 m di larghezza della volta. Dimensionamento di massima Spessore in chiave Formula di Lesguiller: sc = 0, , 0 c = 0, , 0 6, 00 0, 59 m Formula di Sejourné: f f sc = (, , l ) l l = (, +,, ) 4,, ,, 058, Formula di Leveillé: 1 c sc = + 0, 10 1 = + 0, 10 6, 00 05, m m In base ai valori ottenuti viene fissato uno spessore costante della volta s c = 60 cm. = U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 011

2 Raggio di intradosso [fig. a]: r i = c + f f 00, + 10, = 10, = 45, m per cui: c α = arctg arctg r f = 00, 4, 60 < 60 45, 10, Spalle Formula di Lesguiller: l S = + + H l H f sc h 055, 00, 0, 04 f + s c + [ 0, 0185 ( + + )] = = , 00, 600, 004, 00, + 600, 1, 0 0, [ 0, 0185 (, , 0 + 0, 60) ] 0, 75, 70 m Formula di Leveillé: S= (, 0 + 0, 1 l) H l = ( f + s ) ( H + s + h) c c = (, 0 + 0, 1 6, 00) 00, 600, ( 1, 0 + 0, 60) (, , , 75) 4m, Formula del Genio Civile Italiano: l S= 0, 05 H + 0, 0 l+ ( 0, , 005 l)= f = ,,,,, ( 0, , 005 6, 00), 00 m 10, In base ai valori ottenuti viene fissato un valore della spalla S =,40 m. Essendo il ponte simmetrico e simmetricamente caricato, viene considerata solo metà volta compresa fra le sezioni in chiave e all imposta per la larghezza di 1,00 m. a U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 011

3 Dopo aver tracciato la metà volta con i relativi strati sovrastanti, la volta stessa viene suddivisa in conci ideali, in questo caso sei [fig. b], e dai punti di estradosso dei giunti si innalzano le verticali che delimitano i volumi dei vari strati, i quali sono costituiti di materiali diversi con pesi volumici differenti, e analogamente si ha per il carico variabile dovuto al traffico. Per una semplificazione dei calcoli, le varie altezze reali h r degli strati in corrispondenza dei giunti vengono trasformate in altezze ideali h i riferite al peso volumico γ c del materiale costituente la volta, per cui gli strati reali, compreso il carico variabile, vengono trasformati in altri ideali equipesanti, immaginando di realizzarli con lo stesso materiale della volta. Indicando genericamente con γ il peso volumico del materiale di uno strato e con q il carico variabile, deve quindi sussistere l uguaglianza: h i γ c = h r γ da cui: γ h i = h r =h r c γ c b Analisi dei carichi Permanente strutturale [figg. a e b] Ogni concio ideale viene assimilato a un prisma con altezza di 1,00 m a basi trapezoidali di altezza uguale allo spessore s c della volta e basi curve assimilabili a trapezi di lunghezza uguale a 1/6 degli sviluppi di intradosso Sv i e di estradosso Sv e che risultano: π r Sv i = i α π 4,5 4,60 =,1 m π (r Sv e = i + s c ) α π (4,5 + 60) 4,60 =,77 m Il peso di ogni concio, applicando il coefficiente parziale di sicurezza γ G1 = 1,5, risulta:,1 +,77 G c = 1 0,60 1,00 m 4 kn/m 1,5 11,48 kn 6 e il vettore che lo rappresenta viene applicato nel baricentro di ogni concio [fig. c]. Permanente non strutturale In tabella 1 sono riportate le diverse altezze reali h r, misurate sul grafico [fig. b], e le relative altezze ideali h i. Le diverse strisce sono prismi con altezza orizzontale di 1,00 m e basi assimilabili a trapezi con basi corrispondenti alle altezze ideali h i,p. U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 011

4 4 c Tabella 1 Giunto Pavimentazione Rinfianco e cappa Riempimento e massicciata,00 16,00 18,00 c = ª 0,96 c = ª 0,67 c = ª 0,75 4,00 4,00 4,00 h r h i h r h i h r h i h i,p = S h i 0 0,10 0,096 0,40 0,68 0,5 0,188 0,55 1 0,10 0,096 0,4 0,88 0,5 0,188 0,57 0,1 0,15 0,5 0,55 0,5 0,188 0,668 0, 0,11 0,6 0,415 0,5 0,188 0, ,40 0,84 0,7 0,48 0,5 0,188 1, ,65 0,64 0,8 0,550 0,5 0,188 1,6 6 0,98 0,941 0,90 0,60 0,5 0,188 1,7 Il calcolo dei pesi delle varie strisce, applicando il coefficiente parziale di sicurezza γ M = 1,5, è riportato in tabella. Carico variabile per traffico Viene considerato lo schema di carico 5 con intensità q = 5 kn/m gravante sulla superficie pedonabile per la larghezza di 1,00 m, corrispondente all altezza ideale: q 5,00 h i,var = = 0,08 m γ c 4,00 I pesi del sovraccarico, omogeneizzato al materiale della volta, relativi a ogni striscia, applicando il coefficiente di sicurezza γ Q = 1,5, sono riportati in tabella. Le altezze ideali totali h i,tot = h i,p + h i,var di tabella 4 vengono riportate sulle corrispondenti verticali a partire dall estradosso della volta [fig. c] e la spezzata congiungente le loro estremità definisce il diagramma del carico omogeneizzato che grava sulla volta. I pesi dei conci e delle relative strisce sovrastanti sono riportati in tabella 5. U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 011

5 5 Tabella Striscia Volume (m ) [a] Peso volumico g M (kn/m ) [b] Peso (kn) [a b] 0,55 + 0,57 G1 S 0,6 1,00 ª 0,54 0,57 + 0,668 G S 0,61 1,00 ª 0,78 0, ,814 G S 0,60 1,00 ª 0,445 0, ,054 G4 S 0,55 1,00 ª 0,514 1, ,6 G5 S 0,54 1,00 ª 0,65 1,6 + 1,7 G6 S 0,48 1,00 ª 0,74 4,00 1,5 1,74 4,00 1,5 1,61 4,00 1,5 16,0 4,00 1,5 18,50 4,00 1,5,47 4,00 1,5 6,75 Tabella Striscia Volume (m ) [a] Peso volumico g Q (kn/m ) [b] Peso (kn) [a b] Q 1 Q Q Q 4 Q 5 Q 6 0,08 0,6 1,00 ª 0,11 0,08 0,61 1,00 ª 0,17 0,08 0,60 1,00 ª 0,15 0,08 0,55 1,00 ª 0,114 0,08 0,54 1,00 ª 0,11 0,08 0,48 1,00 ª 0,010 4,00 1,5 4,00 1,5 4,00 1,5 4,00 1,5 4,00 1,5 4,00 1,5 4,4 4,1 4,05,69,6, Tabella 4 Giunto h i,p (m) h i,var (m) h i,tot (m) Tabella G S 1 = 1,74 G S = 1,61 G S = 16,0 G S 4 = 18,50 G S 5 =,47 G S 6 = 6,75 Q 1 = 4,4 Q = 4,1 Q = 4,05 Q 4 =,69 Q 5 =,6 Q 6 =, 0,55 0,57 0,668 0,814 1,054 1,6 1,7 G 1 = 16,98 G = 17,7 G = 0,07 G 4 =,17 G 5 = 7,10 G 6 = 9,98 0,08 0,08 0,08 0,08 0,08 0,08 0,08 0,760 0,780 0,876 1,0 1,6 1,570 1,940 Permanente non Variabile da Permanente strutturale (kn) traffico (kn) G i = G s + Q k (kn) strutturale (kn) Pesi parziali (kn) [a] [b] [c = a + b] [d] [c + d] P 1 = 8,46 P = 9,1 P = 1,55 P 4 =,65 P 5 = 8,58 P 6 = 41,46 S G i = 14,0 N d =SP = 0,91 U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 011

6 6 Calcolo delle spinte in chiave H e all imposta S I vettori che rappresentano i pesi G i delle strisce e G c dei conci vengono applicati nei relativi baricentri [fig. c] e quindi graficamente vengono determinati i baricentri g di ogni figura formata dal concio e striscia sovrastante, per i quali passa la linea di azione dei relativi pesi P, con le intensità riportate in tabella 5. Con il poligono funicolare a, b, c,..., g ottenuto proiettando i vettori che rappresentano i pesi P dal polo C 1 [fig. e] si ottiene la posizione della risultante totale R =ΣP dei pesi del semiarco considerato [fig. d]. La risultante R dei pesi si scarica in parte sull altro semiarco attraverso la sezione in chiave tramite la spinta H, la cui linea di azione, essendo l arco simmetrico e simmetricamente caricato, è perpendicolare alla sezione in chiave e passa per l estremo superiore del nocciolo, e in parte sulla spalla attraverso la sezione di imposta tramite la spinta S, con linea di azione passante per l estremo inferiore del nocciolo di tale sezione e, per l equilibrio, per il punto O di intersezione della H con la R. Le intensità delle due spinte H ed S vengono determinate scomponendo la retta delle forze, con intensità uguale alla R, secondo due componenti parallele alle rette di azione della H e della S che, lette sul grafico nella scala forze assunta, presentano i valori: H 180 kn S 71 kn d e U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 011

7 7 La curva delle pressioni Si deve ora verificare che anche lungo tutto lo sviluppo dell arco non si abbiano sforzi di trazione, e ciò viene controllato completando il procedimento del Mèry per cui, assumendo il punto C di intersezione della H con la S nel poligono di equilibrio come nuovo polo di proiezione, si proietta la retta delle forze e si traccia un secondo poligono funicolare [figg. d ed e] che rappresenta la poligonale delle pressioni in quanto i suoi lati sono paralleli ai raggi proiettanti, ognuno dei quali è la risultante di tutte le forze precedenti. Affinché la verifica risulti positiva è necessario che la poligonale delle pressioni, come si verifica in questo Esercizio, sia tutta contenuta entro il terzo medio dell arco, assicurando così che tutte le sezioni siano soggette unicamente a tensioni di compressione. Verifica delle tensioni nella volta L analisi statica dell arco viene completata controllando ancora che le resistenze di calcolo a compressione e a scorrimento presentino in ogni sezione un valore inferiore a quello della resistenza di progetto; se l arco presenta uno spessore variabile, tali verifiche sono necessarie per le sezioni in chiave, all imposta e in altre intermedie, mentre se lo spessore è costante, ci si può limitare alle due sezioni di estremità. Per queste verifiche la spinta S, inclinata rispetto al piano della sezione, viene scomposta nelle due componenti N 6 e V 6 rispettivamente perpendicolare e parallela al piano della sezione di imposta, le cui intensità graficamente risultano: N 6 70 kn V 6 kn Ponendo che vengano utilizzati per la costruzione della volta elementi resistenti di categoria II, con classe di esecuzione, il coefficiente parziale di sicurezza è γ M =. In base alle caratteristiche del materiale impiegato si ha: resistenza di progetto a compressione (vedi tabella 5 a pag. 505 del Volume 4): f f d = k 4,10 = 1,7 N/mm γ M resistenza di progetto a taglio (vedi tabella 7 a pag. 507 del Volume 4): N σ n = = 6 =0,45 N/mm A f vk0 = 0,10 N/mm f vd = f vk0 + 0,4 σ n = 0,10 + 0,4 0,45 = 0,8 N/mm Sezione in chiave La spinta H, perpendicolare al piano della sezione, è applicata all estremo del terzo medio della sezione stessa che è quindi soggetta a sola compressione; si ha quindi: eccentricità strutturale: e s1 = 0 e s = 10 cm per cui: e s = e s1 + e s = 10 cm eccentricità per tolleranze di esecuzione: 00 e a = =1,50 cm 00 eccentricità dovuta al vento: e v = 0 in quanto l azione del vento si considera trascurabile; eccentricità convenzionale: e = e s + e a = ,50 = 11,50 cm 6 e 6 11,50 coefficiente di eccentricità: m = = =1,15 t 60 h 00 coefficiente di riduzione: dalla tabella 9 a pag. 518 del Volume 4, per 0 = =5 si ricava Φ = 0,50. t 60 U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 011

8 8 Lo sforzo di compressione massimo che può sopportare la sezione risulta: N Rd = Φ f d A = 0,50 1, = 41, N = 41,644 kn > H Sezione di imposta La sezione è soggetta a compressione dalla componente N 6 applicata all estremo del terzo medio, con una resistenza di progetto N Rd = 41,644 kn > N 6 = 70 kn. La componente V 6 produce scorrimento; lo sforzo di scorrimento resistente è: V Rd = β A f vd = ,8 = N = 168 kn > V 6 Verifiche di stabilità della spalla [fig. f] Analisi dei carichi Si procede alla trasformazione delle altezze reali in altezze ideali; le due somme delle altezze ideali parziali vengono riportate sulle verticali per A e B a partire da tali punti. Carico per traffico: Massicciata: Riempimento: Cappa: h s = q γ c = 5,00 4,00 0,08 m h m = c 0, 5 = 0, 75 0, 5 0, 188 m h r = c 1, 5 = 0, 67 1, 5 0, 88 m A h r = c 0, 90 = 0, 67 0, 90 0, 60 m B h c = c 0, 10 = 0, 96 0, 10 = 0, 096 m f U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 011

9 9 Altezze ideali totali: h A = 0,08 + 0, ,88 + 0,096 =1,0 m h B = 0,08 + 0, ,60 + 0,096 =1,095 m Con procedimento analogo a quanto è stato fatto per la volta, viene calcolato, in funzione delle altezze ideali h A e h B, il peso della striscia, comprensiva del carico per traffico, soprastante la spalla, applicando il vettore che lo rappresenta nel suo baricentro. Si calcola ora il peso della spalla in calcestruzzo, che viene scomposta in due trapezi per la profondità di 1,00 m: 4 00 =, +, 0, 40 1, 00 m 4 kn/m 0, 86 kn G =, +,, 00 1, 00 m 4 kn/m 58, 94 kn G I vettori che rappresentano tali pesi vengono applicati nei baricentri dei corrispondenti trapezi che distano dalle relative basi maggiori delle quantità: 0, 40 (, 4+, 00) d 1 = 0, 196 m (, 4+, 00), 00 ( 5, , 6) d = 0, 998 m ( 5, , 6) A tutti i carichi vengono applicati i coefficienti parziali di sicurezza. Le verifiche della spalla a ribaltamento, a schiacciamento e a scorrimento sono analoghe a quelle già studiate per i muri di sostegno, per cui vengono qui tralasciate, e devono essere effettuate sia a livello del piano di imposta della spalla sulla fondazione, sia a livello del piano di appoggio di quest ultima sul terreno. Le verifiche della spalla devono essere svolte per le condizioni di carico limite, per cui si devono considerare situazioni di carico diverse, e precisamente: a) spinta S dell arco, considerata tramite le sue componenti R e H, e spinta idrostatica S i dovuta all acqua al livello massimo; b) spinta S t del terrapieno con relativo sovraccarico e pesi G 1 e G ; c) spinta S dell arco e spinta S t del terrapieno e relativo sovraccarico con i pesi G 1 e G. U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 011

10 10 VERIFICA La volta ribassata in muratura di mattoni pieni (f bk = 5 N/mm, γ m = 16 kn/m ) e malta M5, in classe, per un ponte pedonale presenta lo spessore costante di 70 cm e la luce netta fra gli appoggi l = 8,00 m; le sue caratteristiche sono riportate in figura a. I pesi P dei conci e delle strisce sovrastanti, comprensivi dei coefficienti parziali di sicurezza, sono risultati i seguenti [fig. b]: P 1 9,85 kn, P 0,5 kn, P,85 kn, P 4 7,5 kn, P 5 41,85 kn, P 6 44,85 kn. Dopo aver determinato la risultante dei carichi, calcolare le intensità delle spinte in chiave H e all imposta S; verificare quindi che la volta risulti tutta compressa ed effettuare la verifica a taglio in corrispondenza della sezione di imposta. a b 0,58 0,67 0,74 0,8 0,85 0,90 4,65 P 6,65 0,5 7 P 5,65 0,0 6,045 0, P 4 5 P 4 1,65 0,75 P 1,445 0,8 P 1 1,95 0,465 1 [f d = 1,10 N/mm ; f vd = 0,5 N/mm ; H 145 kn; S 60 kn; V 6 1,50 kn; N 6 57,50 kn; V Rd 175 kn] U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 011