FORZA AGENTE SU UN TRATTO DI FILO RETTILINEO. Dispositivo sperimentale

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1 FORZA AGENTE SU UN TRATTO DI FILO RETTILINEO 0 Dispositivo speimentale Consideiamo pe semplicità un campo magnetico unifome, le linee di foza sono paallele ed equidistanti. Si osseva una foza di oigine magnetica F, esecitata sul filo immeso nel campo magnetico pe un tatto di lunghezza l pecoso dalla coente i, che nel dispositivo speimentale è equilibata dalla foza elastica di facile misua. i N l S Speimentalmente si veifica che l intensità della foza isulta diettamente popozionale alla lunghezza del tatto di filo immeso nel campo magnetico (l), all intensità di coente (i) ed è dipendente dall angolo () fomato ta la diezione della coente e le linee di foza del campo magnetico. La constante di popozionalità (), dipendente solo dal copo magnetico, è detta induzione magnetica. L intensità della foza isulta : F = i l sen. Situazioni paticolai: =0 F = 0 Il filo è disposto nella diezione delle linee di foza. =π/2 F = i l La foza è massima se il filo isulta disposto pependicolamente alle linee di foza. La costante di popozionalità dipende solo dal campo magnetico. In pesenza di campi magnetici vaianti essa vaia da punto a punto ed è l intensità della gandezza vettoiale Vettoe induzione magnetica che descive le caatteistiche del campo magnetico. Il Vettoe induzione magnetica pesenta: Diezione : tangente alle linee di foza Veso: concode con il veso di pecoenza delle linee di foza Intensità: icavabile consideando la foza agente su di un tatto di filo disposta pependicolamente alle linee di foza F = i l A.S.2010/11 pof. Giuseppe Supano Pagina 1

2 o Unità di misua N / A m = J s / C m 2 = Volt s / m 2 = Tesla ( 1 Gauss = 10-4 Tesla) ( essendo 1 Volt s = 1 Webe 1 Volt s / m 2 = 1 Webe / m 2 ) o Fomula dimensionale [ ] = [ m t -2 i -1 ] Consideando la gandezza vettoiale ed indicando con l v un vettoe avente pe diezione e veso quello della coente ed intensità uguale alla lunghezza del conduttoe immeso nel campo magnetico,possiamo espimee la foza F mediante il seguente podotto vettoiale : F = i l. La foza F pesenta: Modulo : F = i l sen Diezione : pependicolae al piano individuato da l v e Veso : definito mediante la egola della mano sinista. i l N. : REGOLA DELLA MANO SINISTRA 1 vettoe l v : medio 2 vettoe : indice Si ha che F è appesentato dal pollice F MOMENTO MECCANICO AGENTE SU DI UNA SPIRA Consideiamo una spia ettangolae di lato: A = CD = a e AD = C = b disposta ta due poli magnetici che geneano un campo magnetico unifome: = Cost La nomale alla spia ( n ) foma un angolo con le linee di foza del campo ( ) n C A n D A.S.2010/11 pof. Giuseppe Supano Pagina 2

3 Rappesentiamo le foze agenti sui tatti ettilinei di filo, tenendo pesente la elazione vettoiale della foza F = i l F 4 F 3 C A F 2 D F 1 Analizziamo nel dettaglio le foze: F è pependicolae al piano individuato dal segmento AD e dal vettoe 2 F 4 è pependicolae al piano individuato dal segmento C e dal vettoe F 2 e F 4 pesentano la stessa intensità F = i b e isultano disposte sulla stessa etta d azione, giacente sul piano della spia, il veso delle due foze è opposto in quanto le coenti che cicolano nei tatti C e DA pesentano veso opposto. Petanto la isultante delle F 2 ed F 4 ed il loo momento isultante sono entambi nulli. N D=C A= n F3 S F 1 La foza agente sull tatto CD isulta: La foza agente sull tatto A isulta: F F 1 3 = i a = i a F 1 ed F 3 pesentato stessa intensità F = F 1 = F3, agiscono su ette paallele ed hanno veso opposto. Si è in pesenza di una coppia di foza il cui momento, diveso da zeo, pone in otazione la spia. A.S.2010/11 pof. Giuseppe Supano Pagina 3

4 F3 C d i F 1 C = b ed il baccio della coppia di foze isulta : d = b sen Il momento scalae di tale coppia di foza isulta : M = d F = i a b sen essendo la supeficie della spia S = ab, si ha: M = i S sen Situazioni paticolai: = 0 M = 0 Il momento tocente è nullo si ha quindi una posizione di equilibio stabile. = 90 M = i S Il momento tocente è massimo la spia uota veso la posizione di equilibio stabile. = 180 M = 0 Si ha una posizione di equilibio instabile ovveo se sottoponiamo la spia a piccoli spostamenti essa tende ad abbandonae la posizione di equilibio instabile uotando veso la posizione di equilibio stabile. Pe angoli 0 ed 180 la spia uota tendendo a posizionasi pependicolamente alle linee di foza in modo che il vettoe isulti disposto nel veso in cui avanza una vite destosa che si avviti nel veso della coente. La fomula M = i S sen, icavata nel caso pecedente di una spia ettangolae, ha validità geneale pe spie di qualsiasi foma. MOMENTO MAGNETICO DI UNA SPIRA PERCORSA DA CORRENTE Il momento magnetico di una spia è una gandezza vettoiale, avente: Modulo : m s = i S, con S la supeficie della spia Diezione : pependicolamente al piano della spia Veso : coincidente con quello della nomale al piano della spia; ovveo quello nel quale avanza una vite destosa quando gia nel veso della coente. Si ha quindi : m s = i S n (n è il vesoe nomale al piano della spia) i M m s Possiamo quindi espimee il modulo del momento meccanico M = i S sen nel seguente modo: M = ms sen. L espessione vettoiale del momento meccanico isulta: M m = s. A.S.2010/11 pof. Giuseppe Supano Pagina 4

5 MOMENTO MECCANICO AGENTE SU UN MAGNETE Ad ogni magnete è associato un momento magnetico va dal polo Sud al polo Nod del magnete. m s, avente la diezione Nod-Sud ed il veso che S F 2 N N S Il momento meccanico isulta: F 1 M = m µ o Il magnete tende a disposi lungo le linee di foza, tale che il vettoe sia entante nel polo Sud ed uscente nel polo Nod. TEOREMA DI EQUIVALENZA DI AMPERE Una spia di momento magnetico m s magnete il cui momento magnetico è m = m s µ 0 e si ha che: = i S (sezione S e coente elettica i) è equivalente ad un un campo magnetico esteno esecita sulla spia e sul magnete una stessa azione meccanica, poiché si ha un identico momento meccanico. il campo magnetico podotto dalla spia e quello podotto dal magnete, in punti sufficientemente lontani, sono identici. MOMENTO MAGNETICO ORITALE Ogni elettone uota intono al popio nucleo e si compota come una micospia pecosa da coente (coente elementae) la quale ha evidentemente veso opposto a quella del moto dell elettone e detemina un momento magnetico obitale µ ob. Il momento magnetico obitale è quantizzato, cioè non può assumee qualsiasi valoe, ma soltanto valoi multipli intei di una quantità elementae detta «magnetone di oh», pai a µ o = 9, A m 2. In consideazione del fatto che l elettone uota anche su se stesso (spin elettonico), esso possiede un «momento magnetico popio». Possiamo concludee che ogni elettone possiede un momento magnetico totale che è la isultante di quello obitale e di quello popio. Indicando con µ s il momento magnetico popio dell elettone dovuto alla otazione su se stesso (spin elettonico) e con µ il momento magnetico obitale si ha che ogni elettone possiede un momento magnetico totale µ T = µ + µ S Il momento magnetico atomico è dato dalla somma dei momenti obitali e di spin elativi a tutte le paticelle caiche (elettoni e potoni) costituenti l atomo. La coetta tattazione del momento magnetico popio, elativo ad un elettone giacente ento un atomo, e del conseguente momento magnetico atomico necessita dell appoto della fisica quantistica in cui il momento magnetico di spin isulta µ S =±µ o ed il momento magnetico obitale isulta µ ob =m l µ o, dove µ o è il magnetone di oh ed m l =0,±1, ±2... è il numeo quantico magnetico. A.S.2010/11 pof. Giuseppe Supano Pagina 5

6 Deteminiamo solo a titolo d esempio, con consideazioni di fisica classica, il momento magnetico di un elettone in un obita cicolae di aggio avente velocità v. Il peiodo di otazione T è dato dal appoto ta la lunghezza della ciconfeenza e la velocità: T=2π/v. L elettone in otazione si compota come una micospia pecosa da coente i=e/t la quale ha evidentemente veso opposto a quella del moto dell elettone. Il momento magnetico isulta: µ = S i = π 2 e T µ IPOTESI D AMPERE SULLA NATURA DEL MAGNETISMO Alcune espeienze condotte dal fisico e matematico fancese Ampee, non appena gli giunse la notizia della scopeta di H.C. Oested di campi magnetici ceati dalle coenti elettiche, ivelaono l equivalenza ta i magneti pemanenti e i cicuiti elettici tanto da indulo a ipotizzae che anche il magnetismo dei magneti pemanenti fosse dovuto al movimento delle caiche elettiche contenute nei magneti stessi. Ampee suppose che ogni molecola di una sostanza magnetica sia pecosa inteamente da una coente elettica, che la ende simile ad un micoscopico magnete. Quando il mateiale non è magnetizzato, ciò significa che questi minuscoli elettomagneti molecolai sono disposti disodinatamente, in modo che le loo azioni si annullano a vicenda Se invece il mateiale è magnetizzato, essi sono oientati in una sola diezione. Si hanno le coente elementai di Ampee, che danno luogo ad un magnetismo complessivo. Petanto in pesenza di un campo magnetico esteno, le «micospie» tendono ad oientasi geneando a loo volta un campo magnetico che va a sovapposi al campo magnetico esteno. Nei magneti natuali le coenti elementai di Ampee non sono oientate casualmente: i loo momenti magnetici hanno una diezione pefeenziale che oigina il campo magnetico. Questa teoia magnetica di Ampee ha un impotanza stoica in quanto pecede l idea stessa di atomo che si affemeà molto più tadi. La teoia Ampeiana è comunque accettata dai fisici modeni, che sulla base della stuttua atomica (modello atomico di Ruthefod) attibuiscono le popietà magnetiche della mateia al moto obitale degli elettoni ed alla otazione su se stessi (spin elettonico). MAGNETISMO NELLA MATERIA Il campo magnetico nel vuoto geneato da un cicuito pecoso da coente è descitto dal vettoe induzione magnetica nel vuoto: 0. In pesenza di un mezzo mateiale si ha un diffeente vettoe induzione magnetica che diffeisce da pe un fattoe µ 0 = µ A.S.2010/11 pof. Giuseppe Supano Pagina 6 0 µ è una costate adimensionale ed è detta pemeabilità magnetica elativa. Si definisce pemeabilità magnetica assoluta il podotto ta la pemeabilità magnetica del vuoto e la pemeabilità magnetica elativa µ = µ 0µ. Le elazioni individuate pe il magnetismo nel vuoto sono d immediata tasfomazione in pesenza di un mezzo mateiale mediante la semplice sostituzione di µ al posto di µ 0. Le popietà magnetiche delle divese sostanze sono dunque descitte dalla pemeabilità magnetica o, equivalentemente, dalla suscettività magnetica χ m (gandezza adimensionale) che isulta: χ m = µ 1

7 INTENSITA MAGNETICA H E INTENSITA DI MAGNETIZZAZIONE M Nello studio del campo magnetico geneato da un elettomagnete occoe consideae sia le coenti cicuitali che le coenti elementai di Ampee. Indichiamo con i la coente di conduzione ( solenoide ) i m la coente di magnetizzazione (ampeiane ) espessa pe unità di lunghezza, la sua unità di misua è AMPERE / m Il campo magnetico complessivo è descitto dal vettoe induzione magnetica. Intoduciamo due nuove gandezze: Il vettoe intensità magnetica H dipendente solo dalla coente di conduzione. o Diezione : tangente alle linee di foza o Veso: concode con il veso di pecoenza delle linee di foza o Intensità: H = n i unità di misua (AMPERE / m) Il vettoe intensità di magnetizzazione M dipendete solo dalle coenti di magnetizzazione. M è dipendente dalla natua magnetica della mateia e quindi dalla suscettività magnetica χ m = µ 1. Si ha: M = χmh o equivalentemente M = ( µ 1) H Il vettoe d induzione magnetica è dipendente sia dalle coenti di conduzione che dalla coente di magnetizzazione e isulta: = µ 0 ( H + M ) Sostituendo M = ( µ 1) H si ha: = µ H = µ H µ 0 Analizziamo le diffeenze esistenti ta il vettoe induzione magnetica ed il vettoe campo magnetico H consideando un solenoide pecoso da una coente i. Nel vuoto (assenza di mezzo mateiale) all inteno del solenoide si ha: 0 = µ 0 n i e H 0 = n i In pesenza di una sostanza magnetica intena al solenoide si ha : = µ µ 0 n i = µ 0 e H = n i = H 0 Le elazioni evidenziano che l induzione magnetica assume valoi diffeenti nei due casi mente pe l intensità magnetica H è valida la stessa elazione sia nel vuoto che in pesenza di un mezzo mateiale. A.S.2010/11 pof. Giuseppe Supano Pagina 7

8 PROPRIETA MAGNETICHE DELLA MATERIA Analizziamo gli effetti podotto da un campo magnetico sulla mateia ed al tempo stesso le vaiazioni del campo magnetico in pesenza di un mezzo mateiale. La mateia può essee suddivisa in sostanze diamagnetiche, sostanze paamagnetiche e sostanze feomagnetiche. SOSTANZE DIAMAGNETICHE hanno genealmente un numeo pai di elettoni e non hanno un momento magnetico popio; le molecole isultano magnetizzate pe defomazione (pecessione di LARMOR) e la sostanza acquista una debole magnetizzazione opposta al campo e le coenti di magnetizzazione sono opposte alle coenti elettoniche. pemeabilità magnetica elativa µ < 1 = µ 0 < 0 SOSTANZE PARAMAGNETICHE hanno genealmente un numeo dispai di elettoni e hanno un debole momento magnetico popio le molecole isultano magnetizzate pe oientamento e la sostanza acquista una magnetizzazione nella diezione del campo e le coenti di magnetizzazione sono concodi alle coenti elettoniche. pemeabilità magnetica elativa µ > 1 = µ 0 > 0 SOSTANZE FERROMAGNETICHE Esistono zone dette domini feomagnetici (domini di Weiss) nelle quali i momenti magnetici degli atomi, anche in assenza di campo magnetico esteno, sono già paalleli ta loo Nella sostanza feomagnetica non magnetizzata i domini si annullano ecipocamente Immegendo una sostanza feomagnetica in un campo magnetico, anche se debole, i domini già oientati concodemente con il campo cescono a spese degli alti Aumentando l intensità del copo magnetico esteno, tutti i domini tendono a disposi secondo la diezione ed il veso del campo stesso, fino a aggiungee la satuazione magnetica La magnetizzazione pesiste anche all annullasi del campo magnetico esteno µ >> 1 è dipendente dall intensità del campo magnetico applicata pe povocae la magnetizzazione e dipende dalla tempeatua a tempeatue supeioi al punto di CURIE (dipendente dalla sostanza) le sostanze feomagnetiche diventano paamagnetiche in quanto l aumentata agitazione temica impedisce l allineamento dei momenti magnetici degli atomi. A.S.2010/11 pof. Giuseppe Supano Pagina 8

9 CICLO D ISTERESI Le popietà delle sostanze feomagnetiche sono descitte dal ciclo d isteesi, che consiste in un diagamma di stato, in cui è ipotato, in funzione del campo H, il campo magnetico pesente all inteno del mateiale feomagnetico. Il ciclo di isteesi si cea misuando l induzione magnetica () come conseguenza delle vaiazioni imposte al campo magnetico applicato (H). Consideiamo il dispositivo schematizzato in figua. Da tale schema si vede come possiamo vaiae il valoe della coente i spostando i due cusoi del potenziometo e possiamo vaiae anche il veso della coente i, lasciando fisso il numeo di spie n. Possiamo calcolae H dalla fomula H = n i Con un alto stumento siamo in gado di misuae il valoe della induzione magnetica che si ha ta i poli magnetici dell elettomagnete pe effetto della vaiazione di H. Lo stato iniziale è quello in cui non si ha coente elettica e la sostanza è smagnetizzata. Facendo vaiae la coente elettica vaia il valoe del campo H ed otteniamo il ciclo d isteesi che è un diagamma del tipo: Analizziamo nel dettaglio il ciclo d isteesi: Stato iniziale: Sostanza smagnetizzata ( i = 0, H = i n = 0 ) La posizione nel diagamma è l oigine O Tatto 0 s : all aumentae della coente i si ha l aumento dell intensità dei vettoi H = i n e. Si osseva che il vettoe non aumenta lineamente. Si giunge alla satuazione magnetica ( s ) in cui l aumento ulteioe di i e quindi di H non causa vaiazione del vettoe. ( s è l induzione magnetica di satuazione) A.S.2010/11 pof. Giuseppe Supano Pagina 9

10 Tatto s : al diminuie della coente i si ha che l intensità dei vettoi H e diminuiscono. Si osseva che quando si aiva ad avee i = 0 non si ha = 0 in quanto la sostanza imane magnetizzata e si ha un magnetismo esiduo 0 Tatto (-H c ) Si osseva che pe avee un magnetismo nullo = 0 accoe annullae il magnetismo esiduo e bisogna quindi invetie il veso della coente fino a aggiungee una intensità magnetica H c che è detta foza coecitiva. Tatto (- H c ) (- s ) Si osseva che aumentando l intensità di coente, di veso negativo, si giunge alla situazione di satuazione opposta s. Il tatto s a s pesenta caatteistiche equivalenti alla tattazione pecedente. L aea del ciclo d isteesi fonisce una misua del lavoo speso pe magnetizzae il povino, lavoo che si tasfoma in enegia temica, in quanto, duante il pocesso il campione si iscalda. Magneti tempoanei: mateiali feomagnetici che pesentano una magnetizzazione esidua molto piccola ( feo dolce). Magneti pemanenti: mateiali feomagnetici che pesentano una elevata magnetizzazione esidua (acciaio = lega di feo e cabone) Pe smagnetizzae un magnete possiamo pocedee in modi diffeenti. innalzando la tempeatua al di sopa della tempeatua di Cuie (dipendente dalla sostanza ) il mateiale pesenta caatteistiche paamagnetiche sottoponendo il copo a ipetute sollecitazioni estene, come esempio una successione di matellate Memoie magnetiche Elettomagneti Relè elettomagnetici FORZA DI LORENTZ Consideiamo un filo pecoso da una coente elettica i, immeso in un campo magnetico. L intensità di coente (i = Q/ t) che attavesa un conduttoe di sezione S è dipendente dalla velocità di deiva v d degli elettoni che ha veso opposto ispetto a quello della coente elettica. Poiché occoe opeae con gandezze vettoiali, è oppotuno pedefinie il veso positivo, ta i dei possibili, nella diezione del filo pecoso da coente. Consideiamo come veso positivo quello della velocità di deiva v d, ispetto al quale hanno veso opposto la coente elettica i ed il vettoe l, avente lo stesso veso di i ed intensità uguale alla lunghezza del filo pecoso da coente. In questo caso occoe inseie un segno negativo nella elazione della foza che il campo magnetico esecita sul filo ettilineo pecoso da coente e si ha : F = i l S l = vd t Detto N il numeo di elettoni contenuti nel cilindetto di sezione S ed altezza l = vd t, la caica elettica che fluisce attaveso la sezione S isulta: A.S.2010/11 pof. Giuseppe Supano Pagina 10

11 Essendo t = e la foza F l v d 19 Q = e N con e = 16, 19 C si ha che intensità di coente isulta: i l Q vd i = = e N t l = che il campo magnetico esecita sul filo ettilineo pecoso da coente isulta: v F = e N l d l poiché v d ed l hanno stessa diezione e veso opposto possiamo scivee: Consideata l F = e N vd ovveo F = N ( e vd ) l f = e v la foza esecitata dal campo magnetico su ogni elettone si ha: F N f d =. Possiamo, quindi, affemae che la foza agente sul conduttoe è la somma di tante piccole foze agenti sui singoli elettoni. La foza di oigine magnetica esecitata sulle caiche in moto in un campo magnetico è detta foza di 19 Loentz e pe un elettone si ha: f = e vd, dove e = 16, 19 C è la caica dell elettone. Nel caso di una qualsiasi caica elettica q in moto in un campo magnetico con la velocità v la foza di Loentz agente sulla caica q isulta: f = q v f v La foza di Loentz ha: Intensità : f = q v sen dove è l angolo fomato ta il vettoe velocità v ed il vettoe induzione magnetica ; Diezione : pependicolae al piano su cui giacciono il vettoe v e Veso : definito mediante la egola della mano sinista. Situazioni paticolai: = 0 f=0 v La foza di Loentz è nulla se il moto della caica avviene lungo una linea di foza = π/2 f = q v La foza di Loentz pesenta intensità massima. La foza di Loentz f è sempe pependicolae alla velocità v petanto essa non compie lavoo, non si ha alcuna vaiazione di enegia cinetica ( L = E cinetica ) e la velocità si mantiene costante in modulo. Essa è una foza di natua solo deflettente e l acceleazione acquisita dalla caica isulta pependicolae alla velocità, cioè è centipeta. f 90 v A.S.2010/11 pof. Giuseppe Supano Pagina 11

12 Moto di una caica immessa in un campo magnetico con velocità V pependicolae a v f = q v f Consideiamo una caica q in moto in un campo magnetico con velocità pependicolai alle linee di foza. La foza di Loentz ( f = q v ) è pependicolae alla taiettoia e quindi il moto della caica saà cicolae unifome. 2 v Il moto cicolae unifome è caatteizzato dalla foza centipeta che isulta: f = m. Uguagliando quest ultima elazione alla foza di Loentz si ha Da cui possiamo icavae: il aggio della taiettoia cicolae la fequenza del moto f ϖ π = 2 f è indipendente dalla velocità. m v = q v = 2π isulta q 2 v v = m q f = 2π m q v = m Nel caso in cui la velocità v della caica immesa nel copo magnetico, pesenta sia componente pependicolae alle linee di foza V che una componente V nella diezione del vettoe, il moto isulta essee di tipo elicoidale. La componente V pependicolae a oigina un moto otatoio cicolae sul piano pependicolae a. La componente V paallelo a non viene modificata ed oigina un moto taslatoio nella diezione del campo magnetico, la componente del moto nella diezione delle linee di foza è ettilineo unifome. La composizione delle due componenti oigina il moto elicoidale. Foza agente su di una caica elettica soggetta sia ad un campo magnetico che a un campo elettico La isultante delle foze di natua elettica e di natua magnetica isulta: f = q E + q v Se la velocità v è nulla oppue è paallelo a si ha la sola foza di natua elettica f = q E A.S.2010/11 pof. Giuseppe Supano Pagina 12