Impulso, quantità di moto, momento angolare e centro di massa, energia di rotazione e dinamica rotazionale

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1 Impulso Impulso, quantità di moto, momento angolare e centro di massa, energia di rotazione e dinamica rotazionale 1)Un pallone da calcio (massa 0.45 kg) arriva con una velocità pari a 5 m / s direttamente sulla testa di un difensore e, dopo la respinta, ha una velocità di 10 m / s nella stessa direzione ma nel verso opposto. Qual è l'impulso che il difensore ha conferito al pallone? Se il tempo del contatto è pari a 0.15 s, qual è la forza che il difensore ha impresso al pallone?[105n] )Una forza di 100 N agisce per due millesecondi su un certo corpo. Qual è l'impulso relativo a tale forza? [ 0, Ns ] 3)In un test d urto, un auto di massa m=1500 kg urta contro un muro. La velocità iniziale è vi = -15.0m/s e quella finale è vf=.60 m/s. Se la durata dell urto è s, determinare l impulso dovuto all urto e la forza media esercitata sull auto. [,64x10 4 Kg m /s; 1,76x10 5 N] 4)In un tipico tiro di golf, la mazza è a contatto con la palla per circa 0,0010 s. Se la pallina di massa 45 g acquista una velocità di modulo 65 m/s, stima il modulo della forza esercitata dalla mazza sulla palla. (R:, N) 5)Trova il modulo dell impulso impresso su un pallone da calcio quando un giocatore lo calcia con una forza di 150 N. Assumi che il piede del giocatore resti a contatto con la palla per 6,0x10-3 s. (R: 7,75N) 6)Un giocatore di pallavolo effettua una schiacciata, cambiando così la velocità della palla da 4,5 m/s a 3 m/s lungo un certo verso. Se l impulso rilasciato sulla palla dal giocatore è pari a 9 kg m/s, quale sarà la massa del pallone? (R: 0,3kg) 7)Una palla di 0,50 kg è inizialmente ferma sull erba. Quando la palla viene colpita da una mazza, la forza media esercitata su di essa è di 30 N. Se il modulo della velocità della palla dopo essere stata colpita è di 3, m/s, per quanto tempo la mozza è rimasta a contatto con la palla? (R: 7x10-3 s) Quantita di moto e principio di conservazione 8)Un carrello A di massa ma = 0,3 kg e velocità va = 1,0 m/s urta un carrello B avente massa mb = 0,5 kg, inizialmente fermo. Dopo l'urto il carrello A continua a muoversi a 0, m/s. Qual è la velocità assunta dal carrello B? [0,48m/s]: 9)Un corpo di massa m1 = 8 kg si muove con velocità v1 = 4 m/s ed urta un altro corpo di massa m = 0,5 kg, inizialmente fermo. I due corpi rimangono attaccati e quindi formano un unico corpo.calcola la velocità Vf dei due corpi uniti assieme dopo l urto.

2 10)Luciana Littizzetto e Giuliano Ferrara stanno pattinando sul ghiaccio, e si ritrovano entrambi fermi, l uno di fronte all altra. La Littizzetto dà uno spintone a Ferrara, il quale comincia a muoversi con una velocità vf = 0.50 m/s. Supponendo che Ferrara pesi M = 150 kg e che la Littizzetto pesi m = 45 kg: a) quanto varrà, in modulo, la velocità di rinculo di quest ultima dopo lo spintone? b) quanto varrà la velocità di allontanamento (vel. Relativa, riguarda un problema sul libro di testo) tra i due personaggi? [1,7m/s;,m/s] 11)Una palla da baseball di 0,144 kg vola verso la casa base con una velocità di modulo 43,0 m/s quando viene smorzata (colpita leggermente) con una mazza. Questa esercita una forza media di 6,50x 10 3 N sulla palla per 1,30 ms. La forza media è verso il lanciatore. Quale è il modulo della velocità finale della palla?[15,7m/s] 1)La quantità di moto di un oggetto di 1500 Kg aumenta di 9x10 3 Kg ms.qual è il modulo della forza che lo accelera, supponendo che sia costante? Di quanto è cresciuta la velocità? [ 750 N, 6 m/s ] 13)Una stecca colpisce una palla da biliardo di 00 grammi, inizialmente ferma, esercitando una forza media di 50 N per un tempo di 10 ms. Con quale velocità parte dopo l'urto? [,5 m/s ] 14)Un corpo in moto, con una massa di 10 Kg, investe ad una velocità di 0 m/s un corpo fermo, per poi proseguire nella stessa direzione ad un quarto della velocità. Se il secondo corpo ha una massa di 3 Kg, qual è la sua velocità finale? L'urto è elastico? [ 50 m/s, No ] 15)Su una slitta di 6 kg che sta correndo a 9 m/s si lascia cadere dall'alto un pacco da 1 kg. Quale sarà la nuova velocità della slitta? (oss: è un urto completamente anelastico). [ 3 m/s ] 16)Una pallottola di 3,5 grammi viene sparata orizzontalmente verso un blocco di legno di 4 kg fermo su un pavimento liscio. La pallottola si conficca nel pezzo di legno, che inizia a muoversi a 1,4 m/s. Qual era la velocità iniziale della pallottola? [ 1601,4 m/s ] 17)Un vagone merci di 3 tonnellate che viaggia a 1,5 m/s ne investe un altro di 4 tonnellate che stava viaggiando nella stessa direzione, a 0,9 m/s. Trovare la velocità dei due vagoni dopo l'urto nel caso rimangano agganciati. Qual è stata la perdita di energia cinetica? [ 1, m/s, 300 J ] 18)Due masse A e B, entrambe di due kilogrammi, si scontrano. Le velocità prima dell'urto sono: vai = (15 m/s)i+(30 m/s)j ; vbi = (-10 m/s)i+ (5 m/s)j. Dopo l'urto si ha che vaf = (-5 m/s)i + (0 m/s)j. Qual è la velocità finale di B? Quanta energia cinetica è perduta o guadagnata nell'urto? [ vbf = (10 m/s)i + (15 m/s)j, 500 j ] 19)Un palla rigida di massa m=0.5 kg è agganciata ad una fune lunga L=0.8 m., fissata all altra estremità. La palla viene abbandonata quando la fune è tesa e orizzontale. Giunta nel punto più basso della traiettoria, la palla colpisce elasticamente e istantaneamente un blocco rigido di massa M=3 kg, inizialmente fermo su una superficie scabra.

3 Si calcolino: a) la velocità della palla immediatamente dopo l urto.[ v1,f= -.83 m/s] b) la velocità del blocco immediatamente dopo l urto [v,f= 1.13 m/s] Supponendo che il blocco si metta in moto con velocità vf: c) quanto deve valere il coefficiente di attrito dinamico tra piano e corpoo affinché quest ultimo si arresti dopo aver percorso una distanza d=74cm. [0.13] 0)Due palline si scontrano frontalmente su una retta. Il loro urto è elastico. La loro massa m= 300 g, mentre le velocità sono rispettivamente di V1=,5 m/s e V= -1.8 m/s. Determina le velocità successive all'urto [vf1=-1,8m/s; Vf=,5m/s] 1)Due carrelli scorrendo su di un binario, senza attrito apprezzabile, si urtano frontalmente come indicato in figura schematicamente. Essendo le loro masse: m 1 = 500 Kg; m =.500 Kg e le loro velocità: v 1 = 1, m/s e v = 0,89 m/s. Determinare le loro velocità dopo l urto, supponendo che questo sia di tipo elastico. [Vf=-0,193m/s; Vf1= =-,8m/s] )Due carrelli si muovono senza attrito apprezzabile su di un binario secondo lo schema di figura scontrandosi e restando attaccati ma continuando a muoversi dopo l'urto. Determinare la velocità dopo l'urto in intensità e verso dell'insieme dei due carrelli. [0,5m/s] Dati: m 1 = 100 Kg; m = 300 Kg; v 1 = 5 m/s v = 1m/s 3)Due blocchi di massa Me 3M si trovano inizialmente fermi su un piano orizzontale senza attrito. Una molla di massa trascurabile è fissata a uno di essi, e i due blocchi vengono spinti l uno contro l altro, con la molla in mezzo. La fune che li tienee uniti viene bruciata, ed il blocco di massa 3M si muove verso destra con velocità,00 m/s. a) quale è la velocità del blocco di massa M? b) Trovare l energia potenziale elastica originariaa della molla se M=0.350kg. [-6,00m/s (verso sinistra); 8,40J]

4 4)Due sfere metalliche sono sospese a cavetti verticali e sono inizialmente a contatto. La sfera 1, di massa m1= 30 g, viene lasciata libera dopo essere stata tirata verso sinistra fino all altezza h1= 8.0 cm. Ritornata, cadendo, alla posizione iniziale subisce un urto elastico contro la sfera, di massa m= 75 g. Qual è la velocità v1f della sfera 1 subito dopo l urto? 1,5m/s;-0,537m/s] 5)Un proiettile di massa m1=1.0g viene sparato su un blocco di legno di m=100 g, fermo su una superficie orizzontale. Dopo l urto il blocco scivola per L=7.50m prima di fermarsi. Se il coefficiente di attrito tra blocco e superficie è μ=0.650, qual è la velocità del proiettile prima dell urto? [v=9,77m/s; V1=91,m/s] Centro di massa 6)Un sistema è formato da due sfere metalliche, rispettivamente di 1 e 4 kilogrammi, distanti mezzo metro. Dove si trova il centro di massa? [ a 40 cm dalla sfera più leggera ] 7)Nel piano vi sono tre oggetti, di uno, due e tre kilogrammi, rispettivamente nei punti:(5;- 1); (4; ); (; 0). quali sono le coordinate del centro di massa? Fare un disegno. [ (3,17; 0,5) ] 8)Un sistema di 3 particelle, inizialmente a riposo, è soggetto alle forze F1=6.0N, F=1 N ed F3=14 N, come mostrato in figura. Quale è l accelerazione del CM ed in che direzione si muove? [acm=1,m/s ] ; 7 ] 9)Determinare il centro di massa del sistema in figura[x=0,38; y=,88]

5 30)Sull asse x sono collocate tre masse: m 1 = 00 g nell origine, m = 500 g in x = 30 cm e m 3 = 400 g in x 3 = 70 cm. Si determini il loro centro di massa. R.: 0,39 m ; 31)Una sfera di massa m, situata nell origine di un sistema di coordinate, esplode in due frammenti che partono lungo l asse x in direzioni opposte. Quando uno dei frammenti (avente una massa di 0,70 m si trova nel punto x = 70 cm, dove si trova l altro frammento? R.: 6 cm 3)Una sfera di massa m, situata nell origine di un sistema di coordinate, esplode in tre frammenti equivalenti. Se in un certo istante un frammento si trova sull asse x in x = 40 cm ed un altro frammento nel punto x = 0 cm, y = 60 cm, dove si troverà il terzo frammento. R.: 60 cm ; 60 cm ; Momento angolare e conservazione Problema svolto: 33)Una giostra è fatta da un disco circolare orizzontale di massa M = 90 Kg e raggio R = 1,5 m girevole liberamente attorno al suo centro per inerzia, senza attrito e senza motore, compiendo un giro completo in T = 4 s. Due bambini di massa m 1 = 38 Kg e m = 5 Kg ciascuno, sono a d = 0 cm dal bordo esterno della giostra. Determinare: a) quanti giri n al 1' compie la giostra; b) il momento di inerzia I tot di tutto il sistema rispetto all asse di rotazione; c) il momento angolare L tot di tutto il sistema rispetto all asse di rotazione. SOLUZIONE Determiniamo innanzitutto il numero n di giri al minuto che fa questa giostra, ricordando che la frequenza ν è l inverso del periodo: ν= 1/T = 1/4 = 0,5 Hz la frequenza ν indica il numero di giri al secondo, mentre n indica il numero di giri al minuto, quindi sarà: a) n = 60 ν = 60 x 0,5 = 15 giri al minuto Il momento d inerzia di tutto il sistema I tot è dato dalla somma dei momento d inerzia I base del disco che costituisce la base della giostra più quelli, I 1 e I, dovuto alla presenza singolarmente dei due bambini, secondo le formule date dalla meccanica: I tot = I base + I 1 + I = M R / + m 1 (R d) + m (R d) = = 0,5x90x1, x(1,5 0,) + 5x (1,5 0,) = 08 Kgx m Il momento angolare ha la forma: L tot = I tot ω bisogna quindi ricavare ω dalla frequenza secondo la formula: ω = π ν = x 3,14 x 0,5 = 1,57 rad/s Quindi il momento angolare richiesto è: c) L tot = I tot ω = 08 x 1,57 = 36 Kg x m /s Adesso i due bambini si avvicinano al centro della giostra cambiando così il momento d inerzia I tot di tutto il sistema, che quindi va ricalcolato considerando che, mentre il momento della base della giostra I base rimane invariato, quello dovuto alla nuova posizione dei bambini I 1 e I si è ridotto:

6 I base = M R / = 0,5x90 x 1,5 = 101,5 Kg x m I 1 = m 1 d = 38 x 0,5 = 9,5 Kg x m I = m d = 5 x 0,5 = 6,5 Kg x m Per un nuovo valore totale di: I tot = I base + I 1 + I = 101,5 + 9,5 + 6,5 = 117 Kg x m Osserviamo che, rispetto al valore precedente di 08 Kg z m, si è quasi dimezzato. Questo fatto lascia prevedere che ci debba essere adesso un aumento della velocità di rotazione, in quanto essendo il sistema giostra, costituito dalla base più i due bambini isolato, per la ipotesi iniziale di mancanza di attriti e contatti con l esterno, a seguito del principio della conservazione del momento angolare, il momento angolare del sistema, prima e dopo lo spostamento dei due bambini, deve risultare invariato e quindi: I tot ω = I tot ω Da cui: ω = I tot ω/i' tot = 08 x 1,57/117 =,79 rad/s Per ottenere adesso il nuovo numero di giri al minuto n bisogna usare la formula: d) n = 60 ω / π = 60 x,79/6,8 = 6,7 giri al minuto Con riferimento all ultima richiesta del testo, cioè della variazione dell energia meccanica del sistema, osserviamo che, mentre il momento angolare del sistema non è cambiato a seguito dello spostamento dei bambini per il solo fatto che il sistema è isolato, l energia meccanica del sistema è aumentata perché le forze interne hanno compiuto lavoro. I I bambini, infatti, andando verso il centro mentre la giostra gira, hanno faticato contro la forza centrifuga che li spingeva verso l esterno. Il lavoro fatto da loro corrisponde all aumento di energia meccanica. Calcoliamo infatti l energia cinetica di rotazione del sistema E rot prima e dopo E rot lo spostamento dei bambini: E rot = (1/) I tot ω = 0,5 x 08 x 1,57 = 56 J E rot = (1/) I tot ω = 0,5 x 117 x,79 = 455 J La variazione di energia meccanica del sistema, cioè il lavoro fatto dai bambini contro la forza centrifuga quindi è: ΔE = E rot - E rot = = 199 J Una giostra avente raggio di m e il momento di inerzia di 500 Kgm, ruota senza attrito; essa compie 1 giro ogni 5 s. Un bambino di 5Kg seduto nel centro si sposta fino al bordo. Si trovi la nuova velocita angolare della giostra.[1/6 di giro al secondo] 34)Un uomo di massa 70Kg si trova sul bordo di una piattaforma circolare di raggio R=m e di massa M=180Kg. Il sistema ruota con velocità di 0 giri/min. Ad un certo punto l uomo decide di avvicinarsi di 50cm al centro della piattaforma. Determinare la nuova velocità angolare del sistema rotante [4,73giri/minuto]

7 Dinamica rotazionale e energia cinetica e di rotazione Problema svolto 35)Consideriamo una sfera ferma come nella figura: sappiamo che la sua energia iniziale è tutta potenziale e che l energia è pari a mgh. L energia della sfera al terminee della discesa è completamente cinetica ed è pari alla somma dell energia cinetica di traslazione e dell energia cinetica di rotolamento ed è perciò pari a: Applicando la conservazione dell energia e trascurando forze dissipative troviamo che Per la sfera sappiamo che ωr=v. Sostituendo troviamo che: e dalle equazioni della cinematicaa rotazionale che mgh 1 1 mr + 5 Semplificando m ed r (la velocità finale non dipende né dal raggio né dalla massa della sfera): v r = mv Ossia e quindi risolvendo rispetto a v : 36)Un disco di massa M=0,5Kg, raggio R=0cm rotola su un pavimento orizzontale ed il suo centro di massa ha velocita v=m/s. Determinare l energia cinetica del disco e la velocita angolare intorno all asse bari centrale perpendicolare al piano del disco Ec = E [Ec=1,5J; 10rad/s] 1 MV E traslazion e+ rotazione = cm + 1 I ω

8 37)Un disco omogeneo di massa M e raggio R è vincolato a ruotare intorno ad un asse perpendicolare al piano del disco passante per il centro. Determinare l accelerazione tangenziale di un punto sul bordo del disco quando allo stesso si applica una tensione T come in figura. 38)Due sfere puntiformi collocate agli estremi di una barretta che ruota senza attrito in un piano orizzontale. Conoscendo la velocità angolare ω determinare il momento d inerzia del sistema delle due masse e l energia cinetica. 39)Una massa m è appesa ad una funicella di massa trascurabile avvolta intorno ad un disco di massa M come in figura. Determinare l accelerazione a con cui scende la massa m eil valore della tensione T.