LEZIONE 7. k definiamo prodotto scalare di v e w il numero. = v x w x + v y w y + v z w z. w z

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1 LEZINE Prodotto scalare. Fissiamo un sistema di riferimento ı j k in S 3. Dati i ettori geometrici = ı + y j + k e w = w ı + j + k definiamo prodotto scalare di e w il numero, w = ( y ) w = + y +. Ricordando la Formula (6.3.1) otteniamo =,. Esempio Si considerino i ettori ı = 1 ı + 0 j + 0 k, j = 0 ı + 1 j + 0 k, k = 0 ı + 0 j + 1 k. Allora ı, ı = j, j = k, k = 1, ı, j = j, ı = ı, k = k, ı = j, k = k, j = 0. Si considerino poi i due ettori = ı + j + k e w = 3 ı j k. Allora, w = ( 1) + 1 ( 1) = 1. La definizione algebrica di prodotto scalare implica la seguente Proposizione Valgono le seguenti proprietà: (PS1) per ogni, w V n () si ha, w = w, (il prodotto scalare è commutatio); (PS) per ogni u,, w V n () si ha u, + w = u, + u, w (il prodotto scalare è distributio rispetto alla somma); (PS3) per ogni α R e, w V n () si ha α, w = α, w ; (PS4) per ogni V n () \ { 0 } si ha, > 0 (il prodotto scalare è definito positio). Si noti che le componenti di un ettore rispetto ad un sistema di riferimento possono essere descritte facilmente in termini di prodotti scalari. 1 Typeset by AMS-TEX

2 7.1. PRDTT SCALARE Infatti se = ı + y j + k allora si possono considerare i coefficienti di Fourier di rispetto al sistema di riferimento ı j k =, ı, y =, j, =, k : si ha perciò la decomposizione =, ı ı +, j j +, k k. In particolare questo è un metodo relatiamente semplice per determinare la decomposizione di un ettore rispetto ad un nuoo sistema di riferimento. Esempio Per esempio si consideri nel piano un sistema di riferimento ı j e sia = ı + y j. Fissato un nuoo sistema di riferimento ı j ruotato di un angolo ϕ in senso antiorario rispetto a ı j, ogliamo determinare la decomposizione di tale ettore = ı + y j rispetto a tale nuoo sistema. y ' y' ϕ Figura Chiaramente, poiché l estremo libero di ı ersore dell asse si troa sulla circonferenza di raggio 1, esso ha coordinate (cos ϕ, sin ϕ), quindi ı = cos ϕ ı + sin ϕ j : similmente j = sin ϕ ı + cos ϕ j. Poiché =, ı = cos ϕ + y sin ϕ, y =, j = sin ϕ + y cos ϕ, concludiamo che =, ı ı +, j j = ( cos ϕ + y sin ϕ) ı + ( sin ϕ + y cos ϕ) j. Si noti che le componenti di rispetto al sistema di riferimento ı j sono legate a quelle rispetto al sistema di riferimento ı j dalla relazione ( ) ( ) ( ) cos ϕ sin ϕ =. sin ϕ cos ϕ y La seguente interpretazione geometrica mostra che il prodotto scalare è indipendente dal sistema di riferimento scelto ma dipende solo dai ettori coinolti. A tale scopo introduciamo la definizione di angolo fra ettori (si eda la Figura 7.1.5). y

3 LEZINE 7 3 Definizione Siano, w V n () ettori non nulli. i) Se w definiamo angolo fra e w la misura w ]0, π[ in radianti dell angolo del piano indiiduato dai ettori e w ed aente per lati le semirette contenenti i due ettori e w. ii) Se w sono concordi definiamo w = 0. iii) Se w sono discordi definiamo w = π w ^ w Figura Con tale nozione possiamo enunciare la seguente Proposizione Dati, w V 3 () o almeno uno dei due ettori è nullo, e si ha, w = 0, o sono entrambi non nulli e si ha, w = w cos( w). Dimostrazione. Siano = ı + y j + k e w = w ı + j + k. Se almeno uno dei due ettori, ad esempio, sia nullo. Allora applicando la definizione di prodotto scalare, w = = 0. Se i ettori sono paralleli, in base alla definizione, è facile erificare la tesi. Supponiamo allora che i ettori, w V 3 () non siano paralleli come in Figura y A -w ^ w w B Figura Per il Teorema di Carnot, ricordando il significato geometrico di differenza di

4 PRDTT SCALARE ettori applicati, si ha che w = + w w cos( w), quindi ( ) w cos( w) = 1 ( + w w ). Siano = ı + y j + k e w = w ı + j + k. Ricordando la Formula (6.3.1) = +y+z, w = w+yw+z w, w = ( w ) +(y y w ) +(z z w ). Sostituendo le espressioni sopra nella Formula ( ) otteniamo w cos( w) =, w che si estende anche al caso di ettori paralleli o nulli. Alla luce di questa proposizione discende immediatamente che ı, ı = j, j = k, k = 1, ı, j = j, ı = ı, k = k, ı = j, k = k, j = 0 come già erificato nell Esempio Facciamo ora alcune osserazioni. Una prima osserazione importantissima è che il prodotto, w è nullo se e solo se o almeno uno dei due ettori è nullo oppure se cos( w) = 0, cioè se w = π/, cioè, w = 0: per questo motio introduciamo la seguente Definizione I ettori, w V 3 () si dicono perpendicolari o ortogonali, e scrieremo w, se e solo se, w = 0. Inoltre, se e w non sono nulli, cos( w) =, w w, quindi il segno di, w è esattamente il segno di cos( w): in particolare, w > 0 se e solo se w [0, π/[, cioè se e solo se e w formano un angolo acuto, mentre, w < 0 se e solo se w ]π/, π], cioè se e solo se e w formano un angolo ottuso. Esempio Si considerino i ettori e w dell Esempio Poiché, w = 1 i due ettori formano un angolo acuto: precisamente essendo = 3, w = 11 si ha cos( w) = 1/ 33. Inece i ettori = 3 ı + j k e w = ı j + k sono perpendicolari: infatti, w = ( 1) + ( 1) = 0. Poiché la funzione coseno è limitata in modulo da 1 abbiamo anche la disuguaglianza di Cauchy Schwartz, w w in cui ale l uguaglianza se e solo se i ettori e w sono paralleli. Si considerino ora due ettori, w V 3 (). Allora, applicando le proprietà (PS1) e (PS) della Proposizione w = + w, + w =, + w + w, + w = =, +, w + w, + w, w = +, w + w +, w + w + w + w = ( + w ).

5 LEZINE 7 5 Poiché + w e + w sono quantità non negatie, la catena di diseguaglianze di cui sopra dimostra la disuguaglianza triangolare + w + w doe l uguaglianza ale se e solo se o e w sono paralleli e concordi o almeno uno di loro è nullo. sserazione Il prodotto scalare è legato alla nozione di proiezione ortogonale. Infatti, come è facile edere in Figura , H ^ w w P Figura , w non è altro che il prodotto della lunghezza di per la lunghezza della proiezione di w lungo la direzione di (o iceersa). In particolare se si desidera determinare il ettore w = H proiezione di w lungo la direzione di (si eda la Figura ) è sufficiente applicare la formula w = w cos( w) ers( ) = w cos( w) =, w =, w, w =,. Si noti che il triangolo HP è rettangolo in H, dunque, ricordando il significato geometrico di differenza di ettori, il ettore w = w w è perpendicolare a w : in particolare questo ci dà un metodo per decomporre un ettore lungo due direzioni perpendicolari di cui fissata, poiché w = w + w. Per esempio si considerino i ettori = ı + j k e w = ı j +3 k e determiniamo la proiezione w di w lungo la direzione di : si ha w = ı j + 3 k, ı + j k ı + j k, ı + j k ( ı + j k ) = 4 3 ( ı + j k ). Si noti che w = w + w oe w = w w = 1 3 (7 ı j + 5 k ) w.

6 6 7.. PRDTT VETTRIALE 7.. Prodotto ettoriale. Fissiamo un sistema di riferimento ı j k in S 3. Dati i ettori geometrici = ı + y j + k e w = w ı + j + k definiamo prodotto ettoriale di e w il ettore di V 3 () w = ( y ) ı ( ) j + ( y ) k. La formula di cui sopra è un po difficile da ricordare. Un artificio utile può essere quello di utilizzare la nozione di determinante scriendo w = y ı j + y k. Si noti che i coefficienti possono essere ottenuti considerando i determinanti delle matrici ottenute da ( y ) cancellando ia ia le colonne. Spesso, ricordando la definizione di determinante di una matrice 3 3, si utilizza anche la notazione ı j k w = y. Esempio Riprendiamo in considerazione i ettori dell Esempio Poiché ı = 1 ı + 0 j + 0 k, j = 0 ı + 1 j + 0 k, k = 0 ı + 0 j + 1 k si ha ı ı = ı j k = 0, ı j = ı j k = k, ı k = ı j k = j. Si erifichi in modo analogo che j j = k k = 0, j k = ı, k j = ı, j ı = k, k ı = j. Si considerino poi i due ettori = ı + j + k e w = 3 ı j k. Allora w = ı j k = 0 ı 4 j 4 k. Si erifichi per esercizio che w = 4 j + 4 k = w. Una conseguenza quasi immediata della definizione algebrica di prodotto ettoriale è la seguente

7 Proposizione 7... Valgono le seguenti proprietà: LEZINE 7 7 (PV1) per ogni, w V n () si ha w = w (il prodotto ettoriale è anticommutatio); (PV) per ogni u,, w V n () si ha ( u + ) w = u w + w (il prodotto ettoriale è distributio rispetto alla somma a destra); (PV3) per ogni u,, w V n () si ha u ( + w) = u + u w (il prodotto ettoriale è distributio rispetto alla somma a sinistra); (PV4) per ogni α R e, w V n () si ha α( w) = (α ) w = (α w). Si noti che il prodotto non è associatio: infatti, ad esempio, ( ı ı ) j = 0 j = ı k = ı ( ı j ). Le proprietà del prodotto ettoriale sopra elencate e la tabella di moltiplicazione dei ettori ı, j, k determinata nell Esempio 7..1, ci permette calcolare il prodotto ettoriale di due ettori anche senza ricordarne la definizione Esempio Siano dai i ettori = ı + j 3 k e w = ı + j + k. Allora w = ( ı + j 3 k ) ( ı + j + k ) = ı ı + ı j + ı k + + j ı + j j + j k 3 k ı 3 k j 3 k k. Poiché ı ı = j j = k k = 0 e ı j = k = j ı, ı k = j = k ı, j k = ı = k j, segue che w = k j k + ı 3 j + 3 ı = 4 ı 5 j + k. Anche in questo caso abbiamo definito la nozione utilizzando le componenti dei ettori in termini di coordinate. In realtà il prodotto scalare è indipendente dal sistema di riferimento scelto ma dipende solo dai ettori coinolti. Proposizione Dati, w V 3 () o w, e si ha w = 0, o w e w è definito come segue: i) la sua direzione è perpendicolare al piano contenente i due ettori e w; ii) il suo erso è tale che la terna ordinata (, w, w) sia orientata secondo la regola della mano destra; iii) w = w sin( w). Dimostrazione. Siano = ı + y j + k e w = w ı + j + k Se i ettori sono paralleli allora in base alla definizione è facile erificare la tesi. Supponiamo allora che i ettori siano entrambe non nulli ed iniziamo a dimostrare iii) nell ipotesi che i ettori non siano nulli. Si ha che w = yw z y + zw y + zw zw w z+ + w z + w y y + yw.

8 8 7.. PRDTT VETTRIALE Tenendo conto della definizione geometrica del prodotto scalare, si ha w sin ( w) = w w cos ( w) = w, w = = yw z y + zw y + zw zw w z+ + w z + w y y + yw. Poiché i quadrati delle quantità non negatie w e w sin( w) coincidono segue iii). Dimostriamo ii), cioè che w, w. A tale scopo è sufficiente erificare che, w = w, w = 0. Risulta, ad esempio,, w =, y = y ı y j + + y k = = 0. Per esercizio erificare in modo analogo che w, w = 0. La dimostrazione di ii) iene omessa in quanto coinolge la nozione di matrice di passaggio fra due basi che esula dai limiti del corso. y La proposizione precedente è bene illustrata dalla seguente figura. w w Figura 7..5 Come per il prodotto scalare, anche nel caso del prodotto ettoriale, alla luce della precedente proposizione, discende immediatamente che ı j = k = j ı, j k = ı = k j, k ı = j = ı k e ı ı = j = j j = k k = 0 come già erificato nell Esempio Facciamo alcune osserazioni. Come nel caso del prodotto scalare anche l annullarsi del prodotto ettoriale w dà informazioni sulla posizione relatia dei due ettori e w: infatti w = 0 se e solo se w = 0 se e solo se o almeno uno dei due ettori è nullo oppure se sin( w) = 0, cioè se w = 0, π, cioè se e solo se w (però utilizzare questo metodo per erificare il parallelismo di ettori è senza dubbio più oneroso che applicare la Proposizione 4.3.3).

9 Più interessante è la seguente LEZINE 7 9 sserazione Il prodotto ettoriale, o meglio il suo modulo, è legato alla nozione di area. Infatti si considerino tre punti non allineati A, B, C S 3 e si consideri il triangolo aente tali punti come ertici. y B A c α b C B-A C-A Figura Allora è noto dalla trigonometria elementare che la sua area è Area(ABC) = 1 (bc sin α) oe b e c sono le lunghezze dei lati opposti ai ertici B e C rispettiamente ed α è l angolo interno con ertice A. D altra parte sappiamo che il triangolo ABC è congruente al triangolo aente lati B A e C A sicché b = B A, c = C A e α = (B A), (C A): concludiamo allora che Area(ABC) = 1 (7..6.) bc sin α = 1 B A C A sin (B A), (C A) = = 1 (B A) (C A). Per esempio se ci restringiamo a triangoli nel piano di ertici A = ( A, y A ), B = ( B, y B ), C = ( C, y C ) otteniamo (B A) (C A) = B A y B y A C A y C y A k = = (( B A )(y C y A ) ( C A )(y B y A )) k, dunque si ottiene la formula, nota ad alcuni, (7..6.3) Area(ABC) = 1 B A y B y A C A y C y A = 1 A y A 1 B y B 1 C y C 1.

10 PRDTT MIST La Formula (7..6.3) è alida solo nel caso di triangoli nel piano: per triangoli nello spazio non è corretta e si dee applicare la Formula (7..6.) per ottenere il alore corretto dell area, come mostriamo nel seguente esempio numerico Si considerino i punti A = (1, 1, 1), B = (, 1, 3), C = ( 1, 0, 1). Allora B A = ı j + k, C A = ı j : tali ettori non sono proporzionali, quindi i tre punti non sono allineati, dunque definiscono un triangolo. Poiché (B A) (C A) = 1 0 ı 1 0 j k = ı 4 j 5 k si ha Area(ABC) = 1 ı 4 j 5 k = = Prodotto misto. Siano dati i tre ettori geometrici u,, w V 3 () definiamo prodotto misto di u, e w il numero u, w. Fissiamo un sistema di riferimento ı j k in S 3. Se u = u ı + u y j + u z k, = ı + y j + k e w = w ı + j + k, tenendo conto delle formule che permettono di calcolare il prodotto scalare ed il prodotto ettoriale, otteniamo u, w = u y u y + u z y = u u y u z y. Siano ora u,, w V 3 (). Chiaramente se w allora u, w = 0: in tal caso u,, w sono oiamente complanari. Supponiamo ora che w, sicché w 0. Ricordando la Proposizione 7..4 e la Definizione deduciamo che u, w = 0 se e solo se u è perpendicolare a w, cioè se e solo se u, e w sono complanari. sserazione Il prodotto misto, o meglio il suo modulo, è legato alla nozione di olume. Infatti si considerino quattro punti non complanari A, B, C, D S 3 e si consideri il tetraedro aente tali punti come ertici. Allora è noto dalla geometria elementare che il suo olume è Volume(ABCD) = 1 3 Area(ABC)h oe h è l altezza relatia al ertice D (si eda la Figura ).

11 LEZINE 7 11 z D A C D-A B B-A C-A y Figura D altra parte che Area(ABC) = 1 (B A) (C A) (si eda l Esempio 7..6) e h non è altro che la lunghezza della proiezione del ettore D A lungo la direzione perpendicolare al triangolo ABC, che è la direzione del ettore (B A) (C A): quindi h = D A cos ϕ oe ϕ è l angolo formato dai due ettori D A e (B A) (C A). In particolare Volume(ABCD) = D A (B A) (C A) cos ϕ = = 1 D A, (B A) (C A). 6 Per illustrare quanto isto sopra con un esempio numerico si considerino i punti A = (1, 1, 1), B = (, 1, 3), C = ( 1, 0, 1), D = (3, 3, 3). Allora B A = ı j + k, C A = ı j, D A = ı + j + k : poiché R 3 R 3 R R 3 R 3 +4R 1 1 0, segue che i quattro punti non sono complanari, dunque definiscono un tetraedro e si ha Volume(ABCD) = 1 D A, (B A) (C A) = 6 = = = = 7 3.