1) D0MINIO. x x 4x + 3 Determinare il dominio della funzione f (x) = x Deve essere

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1 ) DMINIO + 3 Determinare il dominio della funzione f ) + 3 Deve essere Ovviamente, inoltre: se > + 3 ) 3) quindi < o 3 se < + 3, + 3 quindi 7 Determinare il dominio della funzione f ) + 5 Deve essere + 5 se + 5 ) 5) > quindi < o > 5 se < + 5 <, + 5 > quindi < Determinare il dominio della funzione f ) + 8 Deve essere Ovviamente, inoltre: se > + 8 ) ) quindi < o se < + 8, + 8 quindi 3 7 Determinare il dominio della funzione f ) Deve essere se ) 7) > quindi < o > 7 se < <, > quindi < 3 ) SUCCESSIONE Calcolare ln n + 5 n ) n + 5 ln n + 5 n ) n + 5 ln {5 [ n + /5) n]} n + 5 lim n + n ln 5 + ln + /5) n) n + 5 ln 5 n + 5 Calcolare lim n + ln n + 5 n ) n + 5 ln n + 5 n ) n + 5 { [ ln 5 n + /5) n]} n + 5 n ln 5 + ln + /5) n) ln 5 Calcolare ln n + n ) n + ln n + n ) n + ln { [ n + /3) n]} n + lim n + n ln + ln + /3) n) n + ln 7n + Calcolare lim n + ln 7 n + n ) 7n + ln 7 n + n ) 7n + { [ ln 7 n + /7) n]} 7n + n ln 7 + ln + /7) n) 7 ln 7

2 3) LIMITI DI FUNZIONI Calcolare e cos ) lim sin ) e + +o ), cos ) + 3 +o ), sin ) +o ) e cos ) sin ) 3 + o ) + o ) 3 Calcolare lim sin cos ) e 8 sin + o ), cos ) o ), e o ) sin cos ) e 8 + o ) o ) 3 3 Calcolare e 8 cos ) lim sin e o ), cos ) o ), sin + o ) e 8 cos ) sin o ) + o ) 3 sin ) Calcolare lim cos ) e sin ) +o ), cos ) + 3 +o ), e + +o ) sin ) cos ) e + o ) 3 + o ) 3

3 ) RETTA TANGENTE Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione f ) arctan ln + e 3)) nel punto 3, f 3)) f 3) arctan ln 3 + e 3)) arctan π f ) + ln, f 3) + e 3) + e 3 La retta tangente ha equazione y π + 3) e + ln e) e e Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione f ) arctan ln + e )) nel punto, f )) f ) arctan ln + e )) arctan π f ) + ln, f ) + e ) + e La retta tangente ha equazione y π + ) e + ln e) e e Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto 3, f 3)) f 3) arctan ln 3 + e )) + 3 arctan ) π f ) + ln + ) e + 3 +, f 3) )e e e ln e La retta tangente ha equazione y π + e + 3) Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto, f )) f ) arctan ln + e )) + 3 arctan ) π f ) + ln + ) e + +, f ) )e e e + + ln e La retta tangente ha equazione y π + e + ) f ) arctan ln + e )) + 3 arctan ln + e )) +

4 5) PRIMITIVE Determinare tutte le primitive della funzione 9 arctan 5 ) sostituzione 5 t) t /5, 5 t /5, t 9/5 arctan t) 5 t /5 dt t arctan t) dt 5 { t 5 arctan t } t + t dt { t arctan t ) } dt + t {t + ) arctan t t} + c 9 arctan 5 ) d { + ) arctan 5 ) 5 } + c Determinare tutte le primitive della funzione 5 arctan 3 ) sostituzione 3 t) t /3, 3 t /3, t 5/3 arctan t) 3 t /3 dt t arctan t) dt 3 { t 3 arctan t } t + t dt { t arctan t ) } dt + t {t + ) arctan t t} + c 5 arctan 3 ) d { + ) arctan 3 ) 3 } + c Determinare tutte le primitive della funzione 7 arctan ) sostituzione t) t /, t 3/, t 7/ arctan t) t 3/ dt t arctan t) dt { t arctan t } t + t dt { t arctan t ) } dt 8 + t 8 {t + ) arctan t t} + c 7 arctan ) d 8 {8 + ) arctan ) } + c Determinare tutte le primitive della funzione 3 arctan ) sostituzione t) t /, t /, t 3/ arctan t) t / dt t arctan t) dt { t arctan t } t + t dt { t arctan t ) } dt + t {t + ) arctan t t} + c 3 arctan ) d { + ) arctan ) } + c

5 ) INTEGRALE GENERALIZZATO Stabilire il carattere dell integrale generalizzato + ) e 3/ e / d Per + si ha utilizzando la formula di Taylor): e 3/ e / )) + o l integrale converge Stabilire il carattere dell integrale generalizzato o + )) 9 ) +o ) 3 e / e 5/ d Per + si ha utilizzando la formula di Taylor): 3 e / e 5/ 3 + )) + o + 5 )) + o 7 ) + o l integrale diverge Stabilire il carattere dell integrale generalizzato + Per + si ha utilizzando la formula di Taylor): 3 e / e / )) + o l integrale converge Stabilire il carattere dell integrale generalizzato ) 3 e / e / d o + )) ) +o ) e 3/ e 5/ 3 d Per + si ha utilizzando la formula di Taylor): e 3/ e 5/ )) + o + 5 )) + o 3 7 ) + o l integrale diverge

6 7) MINIMAX ECC Determinare tutti i punti di massimo, di minimo e di flesso della funzione f ) ln + 3) + ln + 3) + 5 f è definita per > 3 e tende a + sia per 3 che per + f ln + 3) + ) e punto di minimo assoluto f + ln + 3) ) + 3) 3 + e punto di flesso Determinare tutti i punti di massimo, di minimo e di flesso della funzione f ) ln ) + 3 ln ) f è definita per > e tende a + sia per che per + f ln ) + 3 ) + e 3 punto di minimo assoluto f + ln ) ) ) 3 + e punto di flesso Determinare tutti i punti di massimo, di minimo e di flesso della funzione f ) ln ) + ln ) 3 f è definita per > e tende a + sia per che per + f ) ln ) + + e punto di minimo assoluto f ) 3 + ln ) ) + e 3 punto di flesso Determinare tutti i punti di massimo, di minimo e di flesso della funzione f ) ln + 5) + ln + 5) f è definita per > 5 e tende a + sia per 5 che per + f ) ln + 5) e punto di minimo assoluto + 5 f ) + ln + 5) + 5) 5 + e punto di flesso

7 8) FUNZIONE INVERSA Stabilire se la funzione f) e 3 è invertibile sul suo insieme di definizione) e, in caso affermativo, calcolare f ) ) f ) 3e 3 <, f è decrescente, quindi invertibile f ) quindi f ) ) f ) 5 Stabilire se la funzione f) + e 3 è invertibile sul suo insieme di definizione) e, in caso affermativo, calcolare f ) ) f ) + 3e 3 >, f è crescente, quindi invertibile f ) quindi f ) ) f ) 5 Stabilire se la funzione f) e 3 è invertibile sul suo insieme di definizione) e, in caso affermativo, calcolare f ) ) f ) e 3 <, f è decrescente, quindi invertibile f ) quindi f ) ) f ) 5 Stabilire se la funzione f) 3 + e è invertibile sul suo insieme di definizione) e, in caso affermativo, calcolare f ) ) f ) 3 + e >, f è crescente, quindi invertibile f ) quindi f ) ) f ) 5

8 9) SERIE Determinare il carattere della serie + n n n/ n! Si tratta di una serie a termini positivi quindi regolare) Applicando il criterio del rapporto si ottiene: n+) n+)/ n! n+)! n n! n + ) n/ n + ) / / )n/ n + ) n + n/ n + )! n n/ n + n + )n/ e la serie converge n + ) 3/ n Determinare il carattere della serie + n n n/3 n! Si tratta di una serie a termini positivi quindi regolare) Applicando il criterio del rapporto si ottiene: n+) n+)/3 n! n+)! n n! n + ) n/3 n + ) /3 /3 )n/3 n + ) n + n/3 n + )! n n/3 n + n + )n/3 e la serie converge n + ) /3 n Determinare il carattere della serie + n n n/5 n! Si tratta di una serie a termini positivi quindi regolare) Applicando il criterio del rapporto si ottiene: n+) n+)/5 n! n+)! n n! n + ) n/5 n + ) /5 /5 )n/5 n + ) n + n/ n + )! n n/ n + n + )n/5 e la serie converge n + ) /5 n Determinare il carattere della serie + n n n/ n! Si tratta di una serie a termini positivi quindi regolare) Applicando il criterio del rapporto si ottiene: n+) n+)/ n! n+)! n n! n + ) n/ n + ) / / )n/ n + ) n + n/ n + )! n n/ n + n + )n/ e la serie converge n + ) / n

9 ) COMPLESSI ISTITUZIONI) Siano z i, w i 3 Scrivere in forma trigonometrica il risultato di z w 3 z i cos π ) + i sin π )), w i 3 cos z w 3 cos π ) + i sin π )) ) )) 5π 5π 8 cos + i sin cos π) + i sin π)) Siano z 3 i,, w i ) 5π + i sin )) 5π Scrivere in forma trigonometrica il risultato di z w 3 z 3 i cos π ) + i sin π )), w i ) )) 3π 3π cos + i sin z w 3 cos π ) + i sin π )) ) )) 9π 9π cos + i sin π cos π ) π + i sin 3 π )) 8 cos π ) + i sin π )) 3 Siano z i, w i 3 Scrivere in forma trigonometrica il risultato di z 3 w z i cos π ) + i sin π )), w i ) )) 5π 5π 3 cos + i sin z 3 w cos 3π ) + i sin 3π )) ) )) 5π 5π cos + i sin π cos 3 3π ) 5π + i sin 3 3π )) 8 ) )) π π cos + i sin Siano z 3 i,, w i Scrivere in forma trigonometrica il risultato di z 3 w z 3 i cos π ) + i sin π )), w i cos z 3 w 8 cos π ) + i sin π )) ) )) 3π 3π cos + i sin cos π) + i sin π)) ) 3π + i sin )) 3π

10 ) Problemi di Cauchy ISTITUZIONI) Risolvere il problema di Cauchy y ) 3 e 3 y 5 y) L equazione differenziale è a variabili separabili: y 5 y 3e 3 y 5 t) y t) dt 3 t e 3t dt, y ) y ) [ te 3t ] + e 3t dt e 3 3 [e 3t ] e 3 3 e y ) e 3 e 3 +, y 3 e 3 e 3 Risolvere il problema di Cauchy y ) e y 3 y) L equazione differenziale è a variabili separabili: y 3 y e y 3 t) y t) dt t e t dt, y ) y ) [tet ] y ) e e +, y + e e Risolvere il problema di Cauchy e t dt e [et ] e e + L equazione differenziale è a variabili separabili: y 3 t) y t) dt t e t dt, y ) y ) [te t ] + y ) e y 3 y) y 3 y e y ) e e +, y e e Risolvere il problema di Cauchy L equazione differenziale è a variabili separabili: y 5 t) y t) dt 3 t e 3t dt, y ) y ) [te 3t ] e t dt e [e t ] e e + y ) 3 e3 y 5 y) y 5 y 3e 3 e 3t dt e 3 3 [e3t ] e3 3 e3 + 3 y ) e 3 e 3 +, y 3 + e 3 e 3

11 a) FUNZIONE INTEGRALE ANALISI) Disegnare su [, 3] un grafico di F ) f t) dt dove f ha il grafico riportato in figura, e dire in quali punti F ha massimi e minimi relativi ed in quali ha flessi , - F ) f t) dt F è derivabile in tutti punti in cui f è continua ed in questi punti è F ) f ) In F ha un punto angoloso con semiderivata sinistra positiva e destra negativa F cresce quando f > decresce quando f <, è convessa quando f cresce, concava quando f decresce, quindi: F cresce in, 3),, ) e in, 3), decresce in 3, ) e in, ), i punti di massimo relativo sono 3, e 3, i punti di minimo relativo sono, e F presenta un punto di flesso in è concava in, ), convessa in, ) e in, 3) Disegnare su [ 3, ] un grafico di F ) f t) dt dove f ha il grafico riportato in figura, e dire in quali punti F ha massimi e minimi relativi ed in quali ha flessi , - F ) f t) dt F è derivabile in tutti punti in cui f è continua ed in questi punti è F ) f )

12 In F ha un punto angoloso con semiderivata sinistra positiva e destra negativa F cresce quando f > decresce quando f <, è convessa quando f cresce, concava quando f decresce, quindi: F cresce in, ) e in, 3), decresce in 3, ),, ) e in 3, ), i punti di massimo relativo sono 3, e 3, i punti di minimo relativo sono, e F presenta un punto di flesso in è concava in, ), convessa in 3, ) e in, ) a) SUCCESSIONE PER RICORRENZA ANALISI) Sia { n } la successione definita per ricorrenza dalla formula n+ ) n + 5n, n α Stabilire per quali valori di α > la successione converge e, in questi casi, calcolare il limite della successione La successione converge per ogni α > ed il limite è sempre 5, unica soluzione della equazione l l + 5 ) l Se α 5 la successione è costante, se α 5 allora n+ > ) 5 per ogni n, infatti n + 5n 5 n 5 n + 5 ) n 5 ) > se n 5 n n Da in poi la successione è decrescente, infatti n+ < n se e solo se ) n + 5n < n cioè vero Sia { n } la successione definita per ricorrenza dalla formula 5 n < n cioè 5 < n ) e questo è sempre n + 3n ) n+, n α Stabilire per quali valori di α > la successione converge e, in questi casi, calcolare il limite della successione La successione converge per ogni α > ed il limite è sempre 3, unica soluzione della equazione l l + 3 ) l Se α 3 la successione è costante, se α 3 allora n+ > ) 3 per ogni n, infatti n + 3n 3 n 3 n + 3 ) n 3 ) > se n 3 n n Da in poi la successione è decrescente, infatti n+ < n se e solo se ) n + 3n < n cioè vero 3 n < n cioè 3 < n ) e questo è sempre