STATISTICA A D (72 ore)

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1 STATISTICA A D (72 ore) Marco Riani mriani@unipr.it Elementi che fanno variare l ampiezza dell intervallo di confidenza (p. 70) s.q.m. dell universo σ Più σ è elevato, maggiore è la variabilità della v.a. media campionaria stima meno precisa Livello di confidenza 1-α Aumentando 1-α, si riduce α si incrementa z(α), t(α) (l intervallo aumenta) 1

2 Elementi che fanno variare l ampiezza dell intervallo di confidenza Numerosità del campione n Per dimezzare l ampiezza occorre quadruplicare n Se n è piccolo non vale più il teorema centrale del limite t(α/2) sostituisce z(α/2) σ ignoto fattore correttivo (n/(n-1)) 0,5 Significato della probabilità associata all intervallo di confidenza Formulazione deduttiva Principio del campionamento ripetuto distribuzione campionaria di 2

3 Formulazione induttiva µ è una costante (non una v.a.) come si può attribuire una probabilità ad un affermazione che riguarda µ? Principio del campionamento ripetuto gli estremi dell intervallo sono v.a. (v. esempio pp ) Stima della frequenza relativa (grandi campioni) V.a. Frequenza relativa campionaria, P: E(P) = π Teorema centrale del limite 3

4 Intervallo di conf. della frequenza relativa Intervallo di confidenza di livello 1 α per la frequenza relativa dell universo π, nel caso di grandi campioni: Esempio: stima della quota di mercato n = 400 consumatori; 82 acquirenti p = 82/400 = 0,205 20,5% (stima campionaria di π) Calcolare l intervallo di confidenza di π al livello di confidenza di 0,95 4

5 Esempio: stima della quota di mercato n = 400 consumatori; 82 acquirenti p = 82/400 = 0,205 20,5% (stima campionaria di π ) errore standard della v.a. P: s(p) = = 0,020 1 α α=0,95 z(0,025) = 1,96 0,205±1,96 0,020 Esempio: stima della quota di mercato n = 400 consumatori; 82 acquirenti p = 82/400 = 0,205 20,5% (stima campionaria di π) Calcolare l intervallo di confidenza di π al livello di confidenza di 0,99 5

6 1 α = 0,99 z(0,01) = 2,58 0,205 ± 2,58 0,020 Intervalli ampi (stima poco precisa) aumentare n Cosa succede se n è piccolo? Piccoli campioni Relazione inversa tra σ(p) e : Il teorema centrale del limite non è applicabile occorre fare riferimento alla distribuzione esatta della v.a. P: distribuzione binomiale 6

7 Riassunto delle puntate precedenti sulla stima per intervallo X v.c. che denota la distribuzione del fenomeno nell universo X~ distribuzione qualsiasi (µ, σ 2 ) µ< σ < per n elevato (>30) (sia nel caso in cui σ sia noto sia nel caso in cui σ sia stimato con s cor ) 7

8 Se n<30 e Il fenomeno presenta distribuzione normale nell universo Se σ 2 è noto X~N(µ, σ 2 ) per qualunque n (anche n=1) Se σ 2 ignota e viene stimato con s cor allora distribuzione t di Student con n-1 gradi di libertà Stima della frequenza relativa (grandi campioni) X~ fenomeno nell universo distribuzione Bernoulliana con parametro π P = frequenza relativa campionaria= numero di successi /n = stimatore di π 8

9 Caratteristiche della v.a. P (e confronto con v.a. media campionaria) Forma di distribuzione Esatta binomiale: P=S/n B(n, π)/n Se n>100 si può applicare il Teorema centrale del limite: 17 Il direttore di un centro commerciale vuole modificare l orario di apertura del centro. In un campione casuale di 300 clienti, 246 si sono dichiarati favorevoli al nuovo orario proposto. Si determini l intervallo di confidenza della frequenza relativa dell universo con probabilità 0,95 con probabilità 0,995 e si commentino in termini comparati i suddetti intervalli 9

10 n = 300 p = 246/300 = 0,82 Z(P) ~ N(0,1) teorema centrale del limite Intervallo di confidenza al 95% z(α/2) = ± 1,96 0,82 ±1,96 0,022 Pr{0,777 π 0,863} = 0,95 0,025 0,025 0,95 z(α/2) -1,96 z(α/2) 1,96 n = 300 p = 246/300 = 0,82 Z(P) ~ N(0,1) teorema centrale del limite Intervallo di confidenza al 99,5% (0,995) 0,0025 0,0025 0,9950 z(α/2) z(α/2) -2,81 2,81 F(2,81)=0,9975 Pr{0,758 π 0,882} = 0,995 10

11 Confronto tra i due intervalli di confidenza Pr{0,777 π 0,863} = 0,95 Pr{0,758 π 0,882} = 0,995 La deviazione standard della statura degli studenti iscritti ad una università è 5,8 cm. Quanti studenti si devono estrarre a sorte dalla popolazione se si vuole con probabilità del 90% che l errore di stima della media non superi i 2 cm. 11

12 Soluzione: informazioni note X~(µ 5,8 2 ) Se l intervallo di confidenza è al 90% si ottiene Se vogliamo che l errore di stima della media non superi i 2 cm Esercizi da svolgere 12

13 : stima della percorrenza media delle vetture diesel di un certo modello al primo guasto n=400 = Km; s cor =9000 Km Calcolare l intervallo di confidenza di µ al 95% e al 99% I dati che seguono si riferiscono alla durata (in migliaia di Km) di una cinghia da automobile in un campione di 15 osservazioni 115,4 85,2 89,1 118,3 88,4 109,3 104,3 69,3 105,5 106,8 103,1 101,6 102,9 89,6 109,3 Facendo le opportune ipotesi, si costruisca un intervallo di confidenza per la media al 99% 13

14 Di seguito sono riportati i Km percorsi in un giorno da un campione di taxi operante in una grande città Sulla base di questo campione assumendo che la popolazione generatrice sia normale è stato determinato il seguente intervallo di confidenza (116,55 144,7). Si calcoli il livello di confidenza su cui è stato calcolato Variante al precedente esercizio Se i dati di base fossero stati i seguenti: Quale sarebbe stato il livello di confidenza dell intervallo (116,55 144,7)? 14

15 Nella seguente distribuzione di frequenze è riportato il numero di dipendenti di 50 aziende tessili operanti in una determinata provincia. Numero di dipendenti Frequenze assolute Si calcoli l'intervallo di confidenza al 99% della media dell'universo del numero di dipendenti commentando i risultati ottenuti (con o senza il valore anomalo) Un azienda produce rotoli di stoffa della lunghezza di 70m. Tali rotoli possono presentare difetti di diversa natura. L azienda è interessata a stimare il numero medio di difetti presenti nei rotoli prodotti. In un campione casuale di 85 rotoli si è trovata la seguente distribuzione n. difetti Frequenza Si determini l intervallo di confidenza al 99% per la media dei difetti presenti nei rotoli di stoffa 15

16 Con riferimento all esercizio precedente, si consideri che un rotolo risulta vendibile se presenta un massimo di 3 difetti. Sulla base dello stesso campione di cui all esercizio precedente, si costruisca un intervallo di confidenza al 95% per la proporzione di rotoli considerati vendibili Nel processo di controllo del peso delle confezioni di un determinato prodotto l azienda esamina un campione di 800 confezioni e trova che 15 di esse hanno un peso fuori norma. Si determini l intervallo di confidenza al 97% della proporzione di pezzi fuori norma. Se la proporzione di pezzi fuori norma nell'universo fosse uguale a 1,5%, effettuando cinque estrazioni si calcoli la probabilità di trovare esattamente due pezzi fuori norma; si scriva e si calcoli l'espressione che consente di calcolare la probabilità di ottenere un numero di pezzi fuori norma compreso tra due e quattro (estremi compresi). rappresentare graficamente la densità 16

17 Data una scheda telefonica da 5 euro di cui non si sa se sia mai stata usata e nel caso sia stata usata non si conosce l ammontare ancora disponibile, è ragionevole ipotizzare per tale ammontare X la seguente funzione di densità f(x)=1/5 per [0 x 5] Verificare che f(x)=1/5 per [0 x 5] sia una densità e rappresentarla graficamente Calcolare il credito residuo atteso (E(X)) Calcolare la varianza del credito residuo (VAR(X)) Devo fare una telefonata da 2 calcolare la prob che la scheda sia sufficiente per fare la telefonata Ho 60 schede tutte con un ammontare che si distribuisce come descritto sopra. Qual è la prob che l ammontare complessivo sia superiore a

18 La durata di un macchinario si distribuisce secondo una distribuzione normale di media 2 anni e scarto quadratico medio 0,5 anni. Si determini: 1. prob che il macchinario duri più di 28 mesi. 2. l intervallo di ampiezza 2 anni al quale corrisponde la massima prob di contenere la durata effettiva del macchinario. Calcolare tale probabilità. 3. Se il costo di acquisto del macchinario è di 1000 euro e il costo del suo funzionamento è stimato in 150 euro all anno, si calcolino la media e la varianza del costo complessivo del macchinario. Sia X 1, X n un campione casuale estratto da un universo X con la seguente distribuzione di Cauchy (T di student con un solo grado di libertà) 18

19 Richieste Verificare che f(x; θ, d) è una densità Rappresentare graficamente f(x; θ, d) Calcolare la funzione di ripartizione F(x) Calcolare la mediana di X Calcolare E(X) Illustrare se in presenza di un campione casuale estratto da questa densità è possibile applicare il teorema centrale del limite Continua Verificare che 6,314 (ossia il numero all incrocio della prima riga e della prima colonna della tabella di p. 150 del testo di inferenza) è quantile che lascia alla sua sinistra una probabilità pari a 0,95 Trovare il quantile 0,995 (ossia il valore che lascia alla sua destra una probabilità pari a 0,005). Verificare che tale numero risulta uguale a 63,656 (v. tabella di p. 150 del libro di inferenza) 19

20 Si consideri una popolazione distribuita secondo il seguente modello X Si elenchino tutti i campioni di ampiezza 3 che si possono estrarre con ripetizione da tale popolazione assegnando a ciascun campione la relativa probabilità Si determini la distribuzione campionaria della media e la si rappresenti graficamente Si calcoli il valore atteso e la varianza della media campionaria Si determini la distribuzione campionaria della mediana ed il suo valore atteso Pi Il tempo impiegato da un meccanico in un negozio di biciclette per assemblare un certo tipo di bicicletta può essere considerato una v.c. normale con media 32 minuti e deviazione standard 3,5 minuti. Si calcoli la probabilità che il tempo medio per assemblare 10 biciclette Non superi 33 minuti Sia compreso tra 28,5 e 31,5 minuti 20

21 Sia f(x)=1/2-1<x<1 Si calcoli E(X) E(X+2) E(X 2 ) σ 2 E(X/4+7) Una lotteria mette in palio uno scooter del valore di 3000 Euro. Vengono venduti biglietti al prezzo di 1. Se si acquista un biglietto qual è il guadagno atteso? Qual è il guadagno atteso se si comperano 100 biglietti. SI confronti la varianza del guadagno nei due casi 21

22 : il gioco dell intruso (odd man game) 3 persone giocano all «odd man game». Ciascuno lancia una moneta. Chi ottiene una faccia diversa da quella degli altri due è l intruso («odd man») e perde. Qual è la probabilità che via sia un intruso in un determinato turno di gioco assumendo che le monete non siano truccate? Qual è la probabilità che siano necessari un numero di turni pari di gioco per determinare il perdente («l odd man»)? : il gioco dell intruso (odd man game) Si risponda ai quesiti dell esercizio precedente assumendo stavolta che il numero dei giocatori sia uguale a 4 (in questo caso «l odd man» è quello che ottiene una faccia diversa da quella degli altri 3). 22

23 : il gioco dell intruso (odd man game) Si risponda ai quesiti dell esercizio precedente assumendo stavolta che il numero dei giocatori sia uguale a n (in questo caso «l odd man» è quello che ottiene una faccia diversa da quella degli altri n-1). Does this seem like a feasible game as n gets large? 23