Studio delle oscillazioni di un pendolo fisico

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1 Studio delle oscillazioni di un pendolo fisico Materiale occorrente: pendolo con collare (barra metallica), supporto per il pendolo, orologio, righello. Richiami di teoria Un pendolo fisico è costituito da un corpo solido di forma qualsiasi soggetto alla sola forza peso e alla reazione del vincolo in grado di oscillare rispetto ad un asse fisso. Nel tuo caso il pendolo è costituito da una sbarra metallica omogenea avente un collare, di massa trascurabile rispetto a quella della sbarra, con due spille metalliche orizzontali che possono essere poggiate sul supporto come in Figura. Spostato di poco dalla posizione verticale e lasciato libero il pendolo oscilla rispetto all asse di appoggio individuato dalle spille. Il collare fissato alla sbarra con una vite può essere spostato facilmente variando in tal modo la posizione dell asse di rotazione rispetto ad un asse orizzontale passante per il CM della sbarra (coincidente con il centro geometrico). Prova a far oscillare il pendolo spostando la posizione del collare da un estremo ella sbarra verso il CM. Cosa osservi? Perché il pendolo è fermo in equilibrio quando è disposto verticalmente ed oscilla quando invece, spostato dalla posizione verticale, viene lasciato libero di muoversi? Discutine con i tuoi compagni e con l insegnante. L equazione che permette d interpretare il comportamento del sistema è proprio quella fondamentale della dinamica delle rotazioni rispetto ad un asse fisso

2 M = I α Dove M = momento risultante delle forze esterne rispetto all asse di rotazione I = momento d inerzia del sistema rispetto all asse di rotazione α = accelerazione angolare del sistema Quali sono le forze agenti sul sistema? Sul sistema agiscono due forze esterne dovute all interazione con il campo gravitazionale (forza peso applicata al CM del sistema) e reazione del supporto (applicata alla generatrice d appoggio degli spilli del collare). Solo la prima da un contributo o nullo al momento rispetto all asse di rotazione che coincide con la generatrice d appoggio degli spilli del collare, mentre la secondo di braccio nullo non contribuisce. Quando il pendolo verticale quanto vale il momento della forza peso? Discutine con i tuoi compagni. Quando il pendolo è in posizione verticale il momento della forza peso è nullo perché detta forza ha la direzione passante per l asse di rotazione (braccio del momento della forza nullo). Detto θ l angolo di cui il pendolo è deviato rispetto alla verticale (vedi la Figura) ed x la distanza dell asse di rotazione rispetto all asse parallelo passante per il CM quanto vale il momento della forza peso? Se consideriamo come positivo il verso antiorario l espressione (con segno) del momento della forza peso è: M = - mg x sen( θ ) dove m = massa del pendolo g = accelerazione di gravità x sen (θ) = braccio della forza peso applicata rispetto all asse di rotazione Dalla legge, appena richiamata sulla dinamica delle rotazione, consegue che - mg x sen( θ ) = I α Per piccoli angoli sen( θ ) è praticamente uguale a θ e questa equazione diventa: dove ω 2 = (mg x / I) α = - (mg x / I) θ = - ω 2 θ Osserva bene questa equazione: essa è mette in relazione l accelerazione angolare con lo spostamento angolare.

3 Questa equazione è simile a quella incontrata nello studio delle oscillazioni del pendolo e della molla. Pertanto il sistema spostato dalla posizione d equilibrio e lasciato oscilla con un periodo T dato da: T = 2 π /ω = 2 π I/mg x Per il teorema di Steiner il valore del momento d inerzia I = I 0 + m x 2 dove I 0 = m L 2 /12 è il momento d inerzia di una sbarra di lunghezza L rispetto ad un asse passante per il CM. Si ha pertanto: Elevando al quadrato si ha: T = 2 π L 2 /2x + x/g T 2 = a/x + bx Con a = 4π 2 L 2 /2g e b = 4π 2 /g Quali sono le implicazioni, dal punto di vista sperimentale, di questo modello teorico? Discutine con i tuoi compagni e con l insegnante. Moltiplicando il primo e secondo membro per x si ha: e posto Y = T 2 x e X = x 2 si ha T 2 x = a + bx 2 Y = a + b X In definitiva le variabili Y e X, misurabili sperimentalmente, dovrebbero essere legate fra di loro da una relazione lineare con valori dell intercetta a e pendenza b valutabili attraverso il modello teorico e la misura diretta di L. Esecuzione Prendi l asta metallica che hai a disposizione e, dopo aver sfilato il collare, misurane la sua lunghezza L e segna con un pennarello la posizione del CM e le posizioni successive a distanze dal CM 2, 4, 6, 8, 24 cm. Osserva che quando posizionerai la parte inferiore del collare allineandolo con la tacca di riferimento a distanza nota dal CM l asta avrà il punto d appoggio dell asse di oscillazione ad una distanza leggermente superiore. Utilizzando il calibro come valuteresti la quantità d aggiungere ai valori predefiniti di 2, 4, 6 24 cm? Discutine con i compagni e con l insegnante. Riporta nella Tabella sottostante i valori effettivi della distanza x dell asse di oscillazione dall asse parallelo passante per il CM. Questa è la quantità che varierai durante l esperimento e in corrispondenza della quale misurerai il periodo T di oscillazione. Porta il collare in corrispondenza della tacca più prossima al CM. Appoggia l asse al supporto e lascia oscillare la sbarra. Misura il periodo d oscillazione T valutando il tempo impiegato a compiere 10 oscillazioni complete e

4 dividendo il valore trovato per 10. Riporta il risultato della tua misura nell apposita Tabella. Ripeti le tue valutazioni di T altre 4 volte riportando ogni volta la misura in Tabella. x (cm) T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T m Errori su T m T m2 x (sec 2 cm) x 2 (cm 2 ) Aumenta la distanza del collare dal CM. Le nuove misure saranno riportate nella seconda riga della Tabella. Effettua anche in questo caso le misure di T ripetendole 5 volte e riportandole in Tabella. Ripeti le misure di T per tutte le distanze x che hai predefinito sull asta. Rappresenta su un foglio di carta millimetrata i tuoi dati sperimentali riportando sull ase verticali i valori T e su quello orizzontale i valori di x. Cosa osservi per valori piccoli di x? Cosa accadrebbe se x fosse prossimo a 0? Come interpreti quanto suggerito dai dati? Discutine con i tuoi compagni e con l insegante. Quando x = 0 cm il periodo T tende a valori molto grandi (infinito) perché la relazione teorica precedentemente discussa ha in x = 0 un asintoto verticale. Il fatto che T tenda all infinito significa che per x= 0 il sistema non oscilla ed infatti per x = 0 l asse di oscillazione passa per il CM e l asta è in una configurazione d equilibrio indifferente.

5 Prova a verificare sperimentalmente quanto osservato. Per analizzare l compatibilità dei tuoi dati sperimentali con le previsioni del modello precedentemente discusso conviene effettuare un appropriato cambiamento di vriabili. Valuta il prodotto T m2 x e il valore di x 2. Riporta i risultati dei tuoi calcoli nelle apposite colonne. In un foglio di carta millimetrata riporta sull asse verticale Y = T 2 x e su quello orizzontale X = x 2. I tuoi dati sperimentali sono interpolabili con una retta? Quanto valgono l intercetta e la pendenza della retta d interpolazione dei tuoi dati? Valuta la discrepanza percentuale della pendenza e dell intercetta sperimentale rispetto ai valori attesi in base al modello descrittivo precedentemente discusso (pendenza b = 4π 2 /g e intercetta a = 4π 2 L 2 /2g ).