Capitolo 2 Le leggi del decadimento radioattivo

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1 Capolo Le legg del decadmeno radoavo. Sablà e nsablà nucleare Se analzzamo aenamene la cara de nucld, vedamo che n essa sono rappresena, olre a nucle sabl, anche var nucle nsabl. Con l ermne nsable s nende defnre un nucleo che sponaneamene subsce una rasformazone per raggungere uno sao sable (o pù sable). Così nucle che nel pano -Z hanno un eccesso d proon rspeo a quano prevso dalla curva d sablà, enderanno a rasformare un proone n un neurone, e vceversa enderanno a fare nucle con un eccesso d neuron. Le rasformazon sponanee pù comun sono: decadmeno α l nucleo emee una parcella α, coè un nucleo d Elo. L Elo è nfa molo sable, avendo un valore B/A7.07 MeV, molo alo rspeo a u gl alr nucle legger. decadmeno β - n p + e - + ν decadmeno β + p n + e + + ν caura eleronca ε p + e - n + ν Le reazon ndcae sopra rguardano rasformazon d sngol proon e neuron all nerno del nucleo: l elerone negavo o posvo (posrone) emesso s chamano parcelle bea, ma a pare l orgne nucleare, sono del uo denc all elerone o posrone aomco. ella caura eleronca, un elerone aomco (generalmene della shell K, pù nerna) avene una funzone d onda sensblmene dversa da zero nel volume del nucleo, vene caurao da un proone nucleare: le parcelle s rasformano n un neurone nucleare. La parcella che s accompagna all elerone è l neurno o l an-neurno. Vedremo nel seguo n deaglo ques decadmen: per ora voglamo solo analzzarl dal puno d vsa energeco, sablre coè medane l ulzzo delle avole delle masse qual e quando sono possbl. e con che seguono consderamo nulla la massa del neurno. decadmeno β - : n p + e - + ν A X A Z + Y Z + β + ν el blanco energeco vanno consderae le masse nuclear. Affnché la reazone avvenga deve ovvamene essere: m(z,a) m(z+,a)+m e Tuava, nella maggor pare delle abelle sono rporae le masse aomche, non quelle nuclear. Rsula qund ule ragonare n ermn d masse aomche. Se aggungamo Zm e ad enramb membr: m(z,a) + Zm e m(z+,a) + (Z+)m e ossa: Z,A) Z+,A) Inroducendo le masse aomche abbamo consderao legao anche lo (Z+)-esmo elerone (poch ev).

2 decadmeno β + : p n + e + + ν A X A Y + Z Z + β + ν Deve ovvamene essere: m(z,a) m(z-,a)+m e Se aggungamo Zm e ad enramb membr: m(z,a) + Zm e m(z-,a) + Zm e + m e m(z-,a) + (Z-)m e +m e ossa: Z,A) Z-,A) + m e Qu abbamo nvece consderao lbero un elerone che n effe è legao (poch ev). caura eleronca ε: p + e - n + ν A A Z X + e Z Y + ν Deve rsulare: m(z,a) + m e m(z-,a) Se aggungamo (Z-)m e ad enramb membr: m(z,a) + (Z-)m e + m e m(z,a) + Zm e m(z-,a) + (Z-)m e ssa: Z,A) Z-,A) decadmeno α A A Z X Z Y + He m(z,a) m(z-,a-) + m( He) Se aggungamo Zm e ad enramb membr: m(z,a) + Zm e m(z-,a-) +(Z-)m e + m( He) + m e ossa: Z,A) Z-,A-) + He) rascurando la dversa energa d legame degl eleron ne nucle X,Y ed He Rassumendo, e ndcando al solo rspevamene con M e m le masse aomche e nuclear: Z,A) Z+,A) > 0 m(z,a) m(z+,a) > m e Z,A) Z-,A) > 0 m(z,a) + m e m(z-,a) Z,A) Z-,A) > m e m(z,a) m(z-,a) > m e Z,A) Z-,A-) > He) m(z,a) m(z-,a-) > m( He) decadmeno β - possble caura eleronca ε possble decadmeno β + e caura eleronca possbl decadmeno α possble Vedamo qualche esempo. Il neurone è nsable per decadmeno bea? Dalle avole rcavamo che: m n > m p + m e e precsamene: m n MeV, m p 98. MeV, m e 0.5 MeV 5

3 perano l decadmeno bea del neurone solao è possble. In effe s osserva spermenalmene: la massma energa dell elerone emesso (per una raazone pù esesa s rmanda al capolo che descrve n maggor deaglo l decadmeno bea) è appuno par a: T emax m n - m p - m e 0.78 MeV a Può avvenre qualche decadmeno? β - : a Mg + e + ν β + + : a 0e + e + ν 9 α : a 9F 0 + α Le masse de nucld evenualmene convol sono: a ).5 MeV Mg ) 7.59 MeV 0 e ) 7.9 MeV 9 9 F ) MeV He ) 78.7 MeV 9 9 F ) + He ).99 MeV Facendo con, s vede che nessuno de decadmen è energecamene possble. Perano, come c era da aspears, l nucleo a è sable Vedamo ora con un alro soopo del sodo. a Può avvenre qualche decadmeno? β - : a Mg + e + ν β + + : a 0e + e + ν 8 α : a 9F + α Le masse de nucld evenualmene convol sono: a ) 086. MeV Mg ) 09.9 MeV 0 e ) MeV 8 9 F ) MeV He ) 78.7 MeV 8 9 F ) + He ) 09.9 MeV Facendo con, s vede che sono energecamene possbl l decadmeno β + e d conseguenza la caura eleronca ε. Terzo esempo: C 6 6

4 Da con sulle masse s rcava che l nucleo Carbono è nsable per decadmeno β - : 6 C 7 + e + ν La dfferenza delle masse vale: 6 C ) - 7 ) MeV Perano la massma energa cneca dell elerone emesso porà valere 56 kev (ved nel seguo le eora del decadmeno bea). Ulmo esempo. 0 K β : 9 K 0Ca + e + ν β : 9 K 8A + e + ν 0 ε : K e 8A + ν I valor della masse aomche sono seguen: 0 K) Ca) A) 7. Da valor rpora s verfca che sono possbl sa l decadmeno β - che la caura eleronca, che s osservano spermenalmene. Per la verà è energecamene possble anche l decadmeno β +, che però non s osserva (ved l capolo 5 sul decadmeno bea per maggor deagl).. Le legg del decadmeno radoavo Gà nel 900 era noa la radoavà naurale e Ruherford e Solvay, sudando quanavamene la varazone emporale d avà del Rado. Crookes oenne lo sesso andameno sudando la varazone d avà del Thoro (UX) rporao n fgura. Le curve rporae nelle fgure rappresenano degl esponenzal del po: X X A A e per l ThX o per l UX A A ( e ) per l Th o per l U Quese osservazon porarono a formulare una eora sul decadmeno radoavo: la radoavà rappresena un cambameno dell aomo ndvduale. S raa d un processo puramene sasco. nel senso che è mpossble prevedere n quale sane un cero nucleo s rasformerà, ma è possble prevedere quan nucle saranno decadu n meda dopo un cero nervallo d empo. Sa P () l numero d aom parens radoav presene nel campone al empo. Se decadmen sono ndpenden (nel senso che l decadmeno d un aomo non nfluenza decadmen degl alr aom della sorgene), l numero d aom che decadranno n un nervallo d empo è dao da: d P P 7

5 dove, caraersca d ogn nuclde radoavo, è dea cosane d decadmeno, ed l segno meno sa a ndcare che P () decresce con l empo. Fg.. andameno emporale delle quanà d Urano (U) e Thoro (UX) n un campone radoavo dp Separando le varabl: P che negraa dà appuno: P e P () rappresena l numero d nucle radoav parens presen al empo (non ancora decadu), essendo l numero d aom presen al empo 0. S defnsce avà d un campone l numero d decadmen sub nell unà d d() empo. Essa rsula qund: a, dove l valore assoluo è necessaro perché l avà è defna posva. Rsula perano: a e P, coè l avà è proporzonale al numero d nucle radoav presen nel campone ed alla probablà d decadmeno per unà d empo. Allo sesso modo per quano rguarda la formazone del nuovo elemeno daugher, la varazone nel empo d D / è la sessa ma d segno opposo: dd P (nfa deve ovvamene essere: d p +d D 0) Allora: dd P e che rsola con la condzone che per 0 era D 0, dà: e D () ( ) 8

6 vvamene ad ogn sane rsula: + P è dea cosane d decadmeno ed ha le dmenson dell nverso d un empo: rappresena la probablà d decadmeno per unà d empo d ogn sngolo aomo del campone τ / è la va meda, l cu sgnfcao fsco è l seguene: per τ rsula () τ e,e qund: () τ e ; n un nervallo d empo τ, l numero d aom radoav, e qund l avà del campone s rduce d un faore /e, crca. τ è dea va meda: nfa, per rovare la meda de emp d va d u gl aom, s deve calcolare: < > 0 d 0 e τ S defnsce empo d dmezzameno T / l empo nel quale l numero d aom radoav, e qund l avà s dmezza. T / T e ( ) / / T e ln /, e qund T τ /. Decadmen successv. Famgle radoave Supponamo che anche nucle forma sano radoav, e qund ess sess decadano. S porà avere un decadmeno a cascaa del po: X X X X Vedamo un caso pù semplce: X X, con X sable. Bsogna rsolvere l ssema d equazon dfferenzal seguene: d d Dalla prma s oene subo: 0e che nsero nella seconda, dà: d 0e negrando ambo membr: 0 () () 0e 0 d + ( e ) 0 0 Vedamo ora l caso: X X X, con X sable. Le equazon dfferenzal da rsolvere sono ora re: d D 9

7 d d () () 0e d 0e () d + 0e molplcando per e : d ( ) () e e + e + 0 che s può rscrvere come: d ( + ) ( e ) 0e Inegrando: ( + ) e 0e + C 0e + Ce Il valore della cosane C s rcava sapendo che per 0, 0 : C () 0 0 ( ) e e e + rcavamo ora (): d 0e + 0 ( e e ) + [ e ] ssa: 0 0 e + 0 0e () + ( ) e 0 e e el caso parcolare che per 0 sa 0 0 0: e () 0 ( e e ) 0 () + 0 e e auralmene rsula (0) 0 per qualsas valore d

8 In generale, per una caena d decadmen, s scrvono le seguen equazon dfferenzal: d d d... d Se per 0 s ha: , s può scrvere: () e C e + Ce C dove:... C... C... C ( )( ) ( ) ( )( )...( )... ( )( )...( )... ovvamene essendo 0 (nucleo sable). Consderamo d nuovo l caso: : X X X, con X sable. e supponamo che sa: << (ossa τ >> τ ). Allora: 0 ( e e ) 0e ssa: e qund: a a Se n generale nella caena radoava rsula: << +, +, - per u nucle che seguono l -esmo decadmeno vale la relazone: a () a + ( ).. a - ( ) e s dce che nucld s rovano n condzon d equlbro secolare. auralmene, se la condzone è vera a parre dal capospe, coè se: <<, per ogn ua la caena radoava s rova n equlbro secolare. Per gl elemen naural (ved Urano, Toro, Rado,..) è vera ques ulma condzone perché gl evenual caposp a va meda breve, dal momeno della loro formazone sarebbero orma decadu.

9 . Esercz su decadmen radoav L unà d msura dell avà è l Bequerel (Bq), par a un decadmeno al secondo. molo usaa u ogg è la veccha unà, l Cure (C) C dsnegrazon al secondo. L orgne sorca d queso valore è dovua al fao che l Cure è l avà d un grammo d 6 Ra Bq,7 0 - C C Bq Abbamo vso che l avà è daa da: d a Il numero d aom n un campone d massa W e peso aomco A, s rcava dal relazone: W : A : dove è l numero d ogadro. Perano: W W e: a A A Vedamo ora alcun esemp. W τa 0 69W. T A Calcolare la massa d Pb corrspondene all avà d C. Il Pb decade β - con un empo d dmezzameno T / 6.8 mn (τ 8.7 mn. 0 sec;. 0 - sec - ) 0 aa W 050. g 0ng / Vedamo ora nel caso d C d 8 U: l U-8 decade α con un empo d dmezzameno T / y (perano rsula sec - ) 0 aa W 0 g Vedamo a che massa corrsponde C d a T /.8 h,. 0-5 sec - W. 0-7 g 0. µg e a che massa corrsponde C d P: T /.5 d, sec - W g auralmene, per C d 6 Ra oenamo: Il 6 Ra decade α con un empo d dmezzameno T / 60 y (perano rsula sec - 0 aa ) W 0. g

10 Deermnare l peso n gramm d una sorgene d 60 Co da 5000 C, supponendo che sa cosua esclusvamene d aom radoav. Il 60 Co decade β - con T / 5.6 y (perano rsula:. 0-9 sec - ) 0 aa W g Trovare la varazone orara d massa d una sorgene d C d 0 Po Il 0 Po decade α n 06 Pb con T / 8. d (perano rsula sec - ). Il 06 Pb è sable. Dobbamo calcolare quan aom d 0 Po decadono n un ora. Pochè l nervallo d un ora è molo breve rspeo a T /, possamo con oma approssmazone consderare cosane l avà della sorgene durane l nervallo d un ora e scrvere: d a a Ad ogn decadmeno un nucleo d 0 Po s rasforma n un nucleo d 06 Pb pù una parcella α. La varazone d massa è par a: m M fn -M nz α)+ 06 Pb)- 0 Po) amu g coè crca /00 della massa d un proone! ( amu g) la varazone oale d massa sarà allora: M m,67 0-6, g. pg oamo che una sorgene da C d 0 Po ha una massa par a: 0 aa W 0. g la varazone d massa orara è qund d una pare su 00 mlon. Msura d va meda (o d cosane d decadmeno). Per ve mede brev è apprezzable la varazone d avà della sorgene nel empo. S effeuano qund pù (almeno due) msure d avà della sorgene, dsanzae ra loro d un cero nervallo d empo. Indcando con la duraa delle sngole msure e con C e C conegg oal regsra n esse: + + C a( ) ( ) 0e ( e ) + + C a 0e e ( ) ( ) ( ) dove e (gno) rappresenano l empo rascorso ra un sane d rfermeno e l nzo delle due msure. Facendo l rapporo:

11 C e e C e ssa: C ln C ( ) - rappresena l nervallo d empo nercorso ra le due msure. S no che, a fn della deermnazone della va meda, è suffcene conoscere l nervallo - e non emp assolu. Esempo. Una sorgene radoava vene msuraa due vole per un empo d msura 0 mnu a dsanza d - ore. S sono rcava seguen valor: C 9800 e C 780. Calcolare l empo d dmezzameno della sorgene. C ln ln 80. s C Perano: τ s, e T / d. Per ve mede lunghe, spesso non è apprezzable la varazone d avà nel empo. Allora la msura della va meda, o della cosane d decadmeno, vene effeuaa usando la relazone: d a a s deermna allora da un unca msura d avà e dalla conoscenza d Esempo: per rovare la va meda del 7 Sm s è usaa una sorgene da.000±0.00 gramm e sono sa msura a680± decadmen al secondo. Deermnare la va meda del Samaro con l suo errore W τ s 9. 0 y a aa L ndeermnazone relava su τ è: τ τ a a w + w Quano empo è duraa la msura? Supponendo nullo l errore sul empo d msura, l errore relavo sull nensà d conegg è dao propro da C/C a/a / E poché l errore assoluo d un coneggo è dao dal valore della radce quadraa del coneggo sesso (sasca d Posson), avremo: C C , ossa: C E poché Ca, l empo d msura C C C rsula essere sao: C/a.5 s. endo a dsposzone C d 6 Ra (T / 60 y), deermnare quano Rn (T / 8. d ) volale s è formao n 5 ann. Valuare la quanà d Rn sa n gramm che n cm (n condzon STP). 6 8 Ra Rn Po... T / 60 y T / 8 d. T / 60 y s

12 T / 8. d s 0 ( e e ) Ed essendo >> : a W : () A : 0 A A a 70. W In condzon STP l volume occupao è dao da: V 0 : A V : W 5 W. 0 6 V V0.. 0 l. mm A Una sorgene pesa 0 g ed ha una avà d ds/mnuo. S ha l dubbo che ale sorgene sa: 0 a) Th T 8 0 y 750. s / 0 8 b) Th T 9. 0 y s / 8 8 c) Th T 9. y 5. 0 s / rcavare l po d sorgene da da a dsposzone. Dalla sola relazone: d a a è possble rcavare la cosane d decadmeno e confronarla con valor abula: a ds/mn ds/s Se consderamo peso aomco della sorgene sempre A0 ne re cas, commeamo n ogn caso un errore nferore all % w aom A 0 a s 5 0. La sorgene è qund Th Se un cero maerale conene g d 0 K (T /. 0 9 y) e s sa che è veccho d.6 mlon d ann, quale è l massmo numero d mlllr d Argon ( 0 K β A ) che può essers accumulao nel maerale (n condzon STP)? Il numero d decadmen avvenu nel campone n un empo (.6 mlon d ann) è dao da: w n( ) a( ) ( ) e ( e ) ( e ) A 5 g 5

13 ma pochè << T / e qund << s può approssmare: w w w ln [ exp( ) ] A A A T / perano: w ln 9 n( ) aom A T / che n condzon STP occupano un volume dao dalla relazone: n V l 0.78 cm Una sorgene radoava è una msura 6 Cu (T /.8 h) e rame sable (crca 69% d 6 Cu e % d 65 Cu). La massa della sorgene e la sua avà sono rspevamene 00 mg e 8 mc. Rcavare l rapporo n peso ra gl aom radoav e gl aom sabl presen nella sorgene. 0 9 a ds/ s s a aom d 6 Cu w A wrad w 0. sab 9 g d 6 Cu 6