Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica

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1 Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}). 2) Nello spazio vettoriale R 3 sul campo R, sia A = a, b, c, d} R 3, dove a = (1, 2, 3), b = (6, 0, 7), c = (8, 4, 13), d = (32, 4, 41). Trovare una base e la dimensione di Span(A). 3) Nello spazio vettoriale M(2; R) delle matrici quadrate di ordine 2 su R, si considerino i sottospazi vettoriali ( ) } x y W 1 = M(2; R) : x + 2t = 0, y + 4t = 0 z t dove W 2 = Span(A, B, C) A = ( ) 2 4, B = 0 1 Determinare basi e dimensioni di W 1 e W 2. 4) Stabilire se i sottoinsiemi ( ) ( ) , C = W 1 = (x, y, z, t) R 4 : x + y z t = 0} W 2 = (x, y, z, t) R 4 : x y z + t = 0, x + 2t = 1} sono sottospazi vettoriali di R 4. In caso affermativo determinarne una base e la dimensione. 5) Calcolare la dimensione del sottospazio vettoriale di R 4 W = Span((1, 0, 0, 2), (0, 3, 4, 2), (2, 3, 4, 2), (3, 6, 8, 2)) 6) Provare che l insieme W = A M(3; R) : A + t A = 0} è un sottospazio vettoriale di M( ; R). Trovare una base e la dimensione di W. 1

2 ( ) x y 7) Determinare la matrice tale che z t ( ) ( ) 1 2 x y = 5 12 z t ( ) ) Date le matrici A = B = determinare una matrice X M(3; R) tale che AX = B ) Data la matrice A = 1 0 1, calcolare A 2 A 2I ) Determinare tutte le matrici A M(3; R) tali che AB = BA, dove B = Provare che l insieme di queste matrici costituisce un sottospazio vettoriale di M(3; R) e calcolarne la dimensione. 11) Risolvere con il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan i seguenti sistemi lineari: x + 2y 2z + 3t = 1 x + 3y 2z + 3t = 0 I) 2x + 4y 3z + 6t = 4 x + y z + 4t = 6 z + 2t = 3 II) 2x + 4y 2z = 4 2x + 4y z + 2t = 7 3x + 4y z 3t = 2 x + y z 2t = 0 III) x y + z + 4t = 2 x y z + t = 0 2

3 12) Sia f : R 3 R 3 l applicazione definita da f((x, y, z)) = (2x + y, x + 2y, z) a) Provare che f è lineare. b) Determinare basi e dimensioni di ker f e di Im f. c) Determinare la matrice A associata ad f rispetto le basi canoniche. 13) Sia ϕ : M(2; R) R 2 l applicazione lineare definita da (( )) x y ϕ = (t x, z + y). z t a) Trovare basi e dimensioni di ker ϕ e Im ϕ. b) Determinare la matrice A associata a ϕ rispetto alle basi ordinate (( ) ( ) ( ) ( )) B =,,, e B = ((1, 0), (1, 2)). 14) Determinare le equazioni dell applicazione lineare f : R 2 R 4 avente come matrice associata 1 3 A = rispetto la base B = ((1, 3), ( 2, 8)) di R 2 e la base B = ((1, 1, 0, 0), (1, 2, 0, 3), ( 1, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 5)) di R 4. 15) Determinare il rango e il segno della permutazione ( ) p = ) Calcolare i determinanti delle seguenti matrici ( ) A = B = C = D =

4 17) Calcolare il determinante della matrice A M( ; C) i 2 3 i A = 2 3i i i 1 i ) Calcolare le inverse delle seguenti matrici A = B = C = D = ) Stabilire per quali valori del parametro reale λ esiste la matrice inversa della matrice λ 1 0 A(λ) = 0 λ ) Stabilire se i seguenti sistemi lineari sono di Cramer e, in caso affermativo, risolverli: x + y 2z + 3t = 1 2x y + 5t = 1 I) x 2y + z + t = 4 2x + y + z + t = 1 x + y 2z + 3t = 0 2x y + 5t = 0 II) x 2y + z + t = 0 2x + y + z + t = 0 x + y 2z = 1 III) 2x + 2y z = 1 x + 3y 3z = 0 4

5 21) Calcolare il rango della matrice A = ) Calcolare il rango della seguente matrice dipendente dal parametro reale k: k A = 5 k k k k k ) Nello spazio vettoriale R 4 sul campo R si consideri il sottospazio vettoriale U k = Span(u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) dove u 1 = (1, 0, 0, k), u 2 = (0, 1, 1, k), u 3 = (k, 1, 0, 1), u 4 = (1, 1 + k, 0, 1), u 5 = (1, 0, 1, 0), k R. (a) Calcolare la dimensione di U k al variare di k. (b) Dato il vettore u = (1, k, k 1, 1), stabilire per quali valori di k il vettore u appartiene a U k. 24) Discutere e, nei casi possibili, risolvere i seguenti sistemi lineari, al variare del parametro reale a: ax + y z = a ax + y + z + t = a x + az = 1 2x + ay + 3z at = 0 2x + 2y + z = a 1 ax + 3y + 3(a 2)z = a 2x + ay = 2 3x + 2y + 4z = a y 2z = a (a 2)x + (a 2)y + z = 1 ay z + 3t = 2 25) Stabilire se le matrici A = B = C = sono diagonalizzabili per similitudine. In caso affermativo trovare le matrici di trasformazione. 5

6 26) Nello spazio vettoriale R 3 sul campo R, si consideri il prodotto scalare (x 1, x 2, x 3 ) (y 1, y 2, y 3 ) = x 1 y 1 +x 2 y 1 +x 1 y 2 +2x 2 y 2 +2x 3 y 2 +2x 2 y 3 +5x 3 y 3 (a) Rispetto al prodotto scalare considerato, la base canonica di R 3 è ortogonale? È ortonormale? (b) Stabilire se i vettori a = (1, 1, 0) e b = ( 1, 2, 1) costituiscono una base ortogonale per il sottospazio U = Span(a, b). 27) Siano P 1 (3, 2), P 2 (1, 1) e P 3 (5, 1) tre vertici consecutivi di un parallelogramma del piano euclideo E 2. Trovare: (a) le equazioni dei lati del parallelogramma; (b) il quarto vertice P 4 ; (c) le equazioni delle diagonali e il loro punto di intersezione. 28) Data la retta r di equazione x + 2y + 3 = 0, trovare, (a) la retta s perpendicolare a r e passante per P (0, 1); (b) la retta t parallela a r e passante per Q (1, 0); (c) il punto B appartenente a r tale che l area del triangolo ABC sia 28, con A ( 3, 0) e C = s t. 29) Nel piano euclideo E 2 si considerino le rette r) x + 3y + 1 = 0, r ) 3x + 4y 2 = 0. Nel fascio di rette da esse individuato determinare: (a) le equazioni delle rette parallele agli assi coordinati; (b) l equazione della retta parallela alla retta t) 3x y + 3 = 0; (c) l equazione della retta perpendicolare alla retta p) 4x 3y + 1 = 0; (d) le equazioni delle rette aventi distanza 1 dall origine O del riferimento. 30) Trovare le equazioni cartesiane della retta dello spazio euclideo E 3 (a) contenente i punti A (1, 0, 1) e B (1, 2, 3); x + y + 2 = 0 (b) contenente il punto A (1, 0, 1) e parallela alla retta r x y z + 3 = 0 (c) contenente il punto A (1, 0, 1) e perpendicolare al piano σ) x + 2y 3z + 5 = 0. ; 31) Trovare il piano dello spazio euclideo E 3 (a) contenente i punti A (1, 2, 0), B (0, 0, 3) e C (2, 0, 1); (b) contenente il punto A (1, 2, 0) e parallelo al piano σ) 2x 3y +7z 3 = 0; 6

7 x y + 7 = 0 (c) contenente il punto A (1, 2, 0) e perpendicolare alla retta r x + y + z 3 = 0 x + y z + 3 = 0 (d) contenente il punto A (1, 2, 0) e la retta s. 2x z 5 = 0 32) Nello spazio euclideo E 3 si considerino le due rette 2x + y z = 2 2x + 2y = 2 r s x + 2z = 1 y 2z = 2. ; (a) Stabilire la posizione di r e s. (b) Calcolare la distanza tra r e s. (c) Scrivere le equazioni della retta t passante per P (1, 0, 0) e ortogonale a r e a s. 33) È data, nello spazio euclideo E 3, la retta s passante per il punto A ( 1, 3, 0) ed avente coefficienti direttori (1, 2, 2). (a) Stabilire, al variare del parametro reale λ, la mutua posizione tra s e la retta λx 2y + (λ 1)z + 7 = 0 r λ : 2x y + (λ 2)z 2 = 0 (b) Determinare, se esistono, i valori del parametro λ tali che s ed r λ siano tra loro ortogonali. 34) Nello spazio euclideo E 3 si considerino le rette r(α) e s(α) al variare di α R (3 α)x 3y + 5z = 3 α 3y + 2z = α r(α) s(α) x + y + 3z = 1 (1 α)x 2y + (1 + α)z = 1 α (a) Studiare la posizione delle due rette al variare di α. (b) Nei casi in cui r(α) e s(α) sono distinte e complanari, scrivere l equazione del piano che le contiene. 35) Studiare, al variare del parametro reale λ la mutua posizione della retta 3(λ 2)x + 3y + λz = λ r(λ) x + 2y + 2z = λ 1 e del piano π(λ) di equazione x+(λ 2)y +(λ 2)z = 1 dello spazio euclideo E 3. 7

8 Posto λ = 4, determinare (a) il piano contenente r e ortogonale a π; (b) il piano contenente r e parallelo a π. 36) Nello spazio euclideo E 3, si considerino i piani π 1 ) x + y z = 0 π 2 ) x y 2z = 1 (a) Si determini il piano π 3, parallelo al piano α) 4x 6z 3 = 0 ed appartenente al fascio F individuato da π 1 e π 2. (b) Si calcoli la distanza dall origine del riferimento dalla retta r, asse del fascio F. 37) Nello spazio euclideo E 3 si considerino i punti A (1, 0, 0) e B (1, 0, 1) e la retta r) x + 2 = y = z 1. (a) Scrivere l equazione del piano α passante per A e per B e parallelo ad r. (b) Determinare i punti C della retta r che formano con A e B un triangolo di area 3/2. 38) Nello spazio euclideo E 3 si considerino le rette x + y = 2 y = z + 2 r : s : x y = 2z x y = z (a) Stabilire la posizione di r e s. (b) Detti R e S i punti di intersezione di r e s rispettivamente con i piani coordinati xz e xy, determinare il volume del tetraedro OP RS, con O (0, 0, 0) e P (1, 1, 1). 8

9 Soluzioni 1) c / Span(a, b}); d Span(a, b}). 2) dim(span(a)) = 2; una base è ( B = a, b}. ) ( )} ) dim W 1 = 2, una base di W 1 è, ; dim W = 2, una ( ) ( )} base di W 2 è, ) dim W 1 = 3, una base di W 1 è (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)}. W 2 non è un sottospazio vettoriale. 5) dim W = ) dim W = 3; una base è 1 0 0, 0 0 0, ( ) 6 1 7) 5/2 1/ ) X = ) A 2 A 2I 3 = a b c 10) W = A = 0 a b : a, b, c R ; dim W = a 11) (1, 1, 2, 2) ; 2 soluzioni; (1, 0, 1, 0). 12) Ker f = (0, 0, 0)}, Im f = R 3, quindi f è iniettiva e suriettiva; A = ( ) ( )} ) dim Ker ϕ = 2; una base di Ker ϕ è, ; dim Im ϕ = ( 1/2 0 5/2 3/2 e Im ϕ = R 2, quindi ϕ è suriettiva e non iniettiva. A = 1/2 1 1/2 3/2 ( ) 34x + 2y 47x + 11y 2x 4y 73x + 41y 14) f(x, y) =,,, ) ν(p) = 3, sgn(p) = 1. 16) det(a) = 11, det(b) = 15, det(c) = 38, det(d) = ) det(a) = 4. ). 9

10 18) vedi libro esercizi, p ) Esiste l inversa per ogni λ R \ 1}. 20) (-14/5,13/5,54/25,46/25); (0,0,0,0); (1/2,-1/6,-1/3) (vedi libro esercizi p. 155) 21) ν(a) = 3 22) ν(a) = 3 per ogni k R 23) dim U k = 3 se k = 1; dim U k = 4 per ogni k R \ 1}. Il vettore u appartiene a U k per ogni k R. 24) Primo sistema: impossibile a R \ 0}; sistema determinato (di Cramer) per a = 0 con soluzione (1, 0, 0). Secondo sistema: determinato a R \ 1, 19/4}; possibile con 2 soluzioni per a = 1; impossibile per a = 19/4. Terzo sistema: determinato a R \ 3, 4}; impossibile per a = 3 e per a = 4. 25) A e C non sono diagonalizzabili per similitudine. B è simile alla matrice diagonale D = (si veda libro esercizi, pp. 295, 298, 300) ) La base canonica non è ortogonale (e quindi neanche ortonormale) rispetto al prodotto scalare considerato. I vettori a e b formano una base ortogonale per il sottospazio U. 27) (a)p 1 P 2 : x 2y + 1 = 0; P 2 P 3 : x + 2y 3 = 0; P 1 P 4 : x + 2y 7 = 0; P 3 P 4 : x 2y 7 = 0. (b) P 4 (7, 0). (c) 3x + 2y 13 = 0; x + 6y 7 = 0; (4,1/2). 28) (a) 2x y+1 = 0. (b) x+2y 1 = 0. (c) B 1 ( 31, 14), B 2 (25, 14). 29) (a) y + 1 = 0; x 2 = 0. (b) 3x y 7 = 0. (c) 3x + 4y 2 = 0. (d) y + 1 = 0; 4x + 3y 5 = 0. x 1 = 0 x + y 1 = 0 2x y 2 = 0 30) (a). (b). (c). y z + 1 = 0 x y z = 0 3x + z 4 = 0 31) (a) x + y z 3 = 0. (b) 2x 3y + 7z + 4 = 0. (c) x + y 2z 3 = 0. (d) 5x + y 3z 7 = 0. 32) (a) rette sghembe. (b) d = 2 2x z 2 = 0. (c) t). 5 y = 0 33) (a) rette sghembe λ R \ 2, 23/2}, parallele e distinte per λ = 2, incidenti per λ = 23/2. (b) 7/2, ) (a) rette sghembe α R \ 0, 13}, coincidenti per α = 0, incidenti per α = 13. (b) 6x + y 7z 6 = 0. 35) La retta e il piano sono incidenti in un punto λ R \ 3, 4}, la retta è contenuta nel piano per λ = 3, la retta e il piano sono paralleli e disgiunti 10

11 per λ = 4. (a) 34x 13y 4z + 24 = 0. (b) x + 2y + 2z 3 = 0. 36) (a) 2x 3z + 1 = 0. (b) 21/98. 37) (a) x y = 1. (b) C 1 ( 2, 0, 1); C 2 (1, 3, 4). 38) (a) rette sghembe. (b) Volume=2/3. 11