Fasci di Coniche. Salvino Giuffrida. 2. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per A (1, 0) con tangente

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2 Fasci di Coniche Salvino Giuffrida 1. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per O = (0, 0), con tangente l asse y, e per i punti (1, 0), (1, ). Determinare vertice e asse della parabola p di Φ. Nel fascio Φ ci sono due coniche spezzate distinte (caso della tangenza) che usiamo per determinarne l equazione Φ : x(x 1) + hy(x y) = 0 x + hxy hy x = 0. Siccome conosciamo i punti base e le coniche spezzate del fascio (che si trovano per h = 0, ), caratterizziamo le coniche irriducibili mediante A = h 1. A > 0 h < 1 ELLISSI. Non ci sono circonferenze; A < 0 h > 1 IPERBOLI. Per h = 1 si ha l iperbole equilatera x +xy y x = 0; A = 0 h = 1 PARABOLA p : (x y) x = 0. La parabola p ha punto improprio (1, 1, 0); secando col fascio di rette ortogonali a questo punto e determinando la tangente otterremo il vertice { y = h x (x h) x (h + 1)x + h = 0 = (h + 1) 16h = 8h + 1 = 0 x = 0 quindi la retta tangente si trova per h = 1 1, il vertice è il punto (, 3 ), l asse ha equazione x y 1 = 0.. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per A (1, 0) con tangente x + y 1 = 0 e per B (3, 0) con tangente x y 3 = 0. Studiare la parabola p di Φ determinandone vertice, fuoco, direttrice. Per determinare l equazione di Φ usiamo le sue due coniche spezzate: la prima è l unione delle due tangenti: (x + y 1)(x y 3) = 0; la seconda è la retta congiungente i punti di tangenza, contata due volte: y = 0. Φ : (x + y 1)(x y 3) + hy = 0 Φ : x + (h 1)y x y + 3 = 0 Questo fascio contiene due sole coniche spezzate distinte, quelle che abbiamo adoperato, che si trovano per h = 0 e per h =. Studiamo le coniche irriducibili di Φ. Da A = h 1 otteniamo: A > 0 h > 1 ELLISSI. Per h = si ha la circonferenza x + y x y + 3 = 0; A < 0 h < 1 IPERBOLI. Non ci sono iperboli equilatere;

3 A = 0 h = 1 PARABOLA p : y = 1 x x + 3. Siccome la parabola trovata ha asse di simmetria parallelo all asse y, il suo studio è particolarmente semplice: vertice V (, 1 ), fuoco F (, 0), asse x = 0, direttrice y + 1 = Determinare la parabola p che ha vertice V (1, 1), come asse la bisettrice del primo quadrante e passante per il punto (3, 1). Determinare la circonferenza c di centro O e raggio. Studiare il fascio di coniche generato da p e da c, determinandone in particolare i punti base e le coniche spezzate. L asse di p è la prima bisettrice x y = 0, quindi la tangente nel vertice V è la retta x + y = 0. Nel fascio (siamo nel caso della bitangenza) di coniche (x y) + k(x + y ) = 0 imponendo il passaggio per il punto (3, 1) si ha + h = 0, quindi h = : p : x xy + y x y + = 0. La circonferenza c ha equazione x + y = 0 quindi il fascio da studiare ha equazione ϕ : (1 + h)x xy + (1 + h)y x y + = h 1 1 B = h 1 B = h 3 + 3h = (h 1) (h + ) 1 1 h Per h = 1 Si ottiene la conica x (y + 1)x + y y + 1 = 0 = 3(y 1) < 0 spezzata in due rette immaginarie coniugate. Per h = si ha la conica (x + y) + (x + y) 8 = 0 (x + y + 1) 9 = 0 spezzata nelle rette x+y = 0, x+y + = 0. Secando con queste rette la circonferenza c si hanno i punti (1, 1) doppio, ( ± i 3, 3). Per studiare le coniche irriducibili di ϕ consideriamo A = h + h A > 0 h <, h > 0. ELLISSI. Per h = si trova la circonferenza c. A < 0 < h < 0. IPERBOLI. Per h = 1 si ha l iperbole equilatera xy+x+y 3 = 0. A = 0 h =, 0. Per h = 0 si trova la parabola p.. studiare il fascio Φ di coniche di equazione Φ : x + hxy + y h = 0 determinandone in particolare i punti base e le coniche spezzate. Studiare l iperbole equilatera Γ Φ determinandone gli asintoti, gli assi, i vertici ed i fuochi. 3

4 Dalla matrice associata alla generica conica di Φ si ha h 1 0 B = 1(h + )(h ) B = h h A = 1 h quindi le coniche spezzate distinte si ottengono per h = e per h = (radice doppia): h = : (x + y) = 0 (x + y )(x + y + ) = 0; h = : (x y) = 0. Secando queste coniche si ottengono i punti base { x = y x + y = 0 (1, 1) doppio; { x = y x + y + = 0 ( 1, 1) doppio. Osserviamo che per h = si ottiene l iperbole equilatera Γ : xy 1 = 0. Classifichiamo le coniche irriducibili del fascio A > 0 < h < ELLISSI. Per h = 0 si ha la circonferenza x + y = 0; A < 0 h <, h > IPERBOLI. Per h = si trova Γ; A = 0 h = ± non ci sono parabole. L iperbole equilatera Γ ha un equazione ben nota: è riferita ai propri asintoti che quindi sono gli assi cartesiani. Gli assi di simmetria sono la prima bisettrice x y = 0 (asse trasverso) e la seconda bisettrice x + y = 0 (asse non trasverso); i vertici (±1, ±1) si ottengono secando Γ con x y = 0 ed il semiasse reale (cioè la distanza di un vertice dal centro) è a =. Siccome l eccentricità è e =, la distanza focale è c =, quindi i fuochi hanno coordinate (±, ± ). 5. Studiare il fascio di coniche Φ : x + hxy + y + hx + hy + h = 0 determinandone in particolare i punti base e le coniche spezzate. Studiare la parabola di Φ. Consideriamo la matrice associata alla generica conica di Φ B = h h 1 h h 1 h h h B = h, A = 1 ( h ) Le coniche spezzate si trovano per h = e per h = ; hanno equazioni h = (x + y) + x + y = 0 (x + y)(x + y + ) = 0; h = xy + x + y + 1 = 0 (x + 1)(y + 1) = 0. Intersecando a coppie queste rette si trovano i punti base ( 1, 1), (1, 1), ( 1, 1) due volte. Studiamo le coniche irriducibili di Φ. A > 0 per < h < ELLISSI. Per k = 0 si ha la circonferenza x + y = 0; A > 0 per h <, h > IPERBOLI. Non ci sono iperboli equilatere; A = 0 per h = ±. Per h = si ha la parabola p : (x y) x y = 0. Lo studio di p è molto semplice perché questa conica ha come asse di simmetria la prima bisettrice x y = 0 (scambiando le variabili l equazione non cambia); quindi il suo vertice

5 è il punto ( 1, 1). Dagli invarianti B =, β = si ricava δ =, quindi si ottiene l equazione canonica p : y = x In particolare la distanza focale è si considerino i punti O, A (, 0), B (0, ). Detta Γ la circonferenza passante per O, A, B, determinare il punto C (k, k) in modo tale che C Γ. Studiare il fascio di coniche Φ avente come punti base O, A, B, C. Si trova facilmente che Γ ha equazione x + y x y = 0. Imponendo che C Γ si ha k 8k + 8 = 0 (k ) = 0 k = C (, ). Per determinare il fascio richiesto usiamo due (delle tre) coniche spezzate: x(x ) = 0, y(y + ) = 0; il fascio ha equazione Φ : x + hy x hy = 0. Le due coniche spezzate che abbiamo usato si ritrovano per h = 0 e h = ; la terza si trova per h = 1 (basta imporre il passaggio per (1, 1)) ed è: (x y)(x + y ) = 0. Usando A = h avremo: h > 0 ELLISSI. Per h = 1 si trova la circonferenza Γ; h < 0 IPERBOLI. Non ci sono iperboli equilatere. 7. Studiare il fascio Φ delle coniche che passano per O, per i punti A (0, ) e B (, ) con tangente la retta x+y = 0. Determinare la conica C luogo dei centri di simmetria delle coniche di Φ. Precisare la natura di C. Il fascio Φ contiene due coniche spezzate (siamo nel caso della tangenza), la prima è spezzata nella tangente e nella retta OA, la seconda nelle congiungenti OB, AB. Quindi Φ : hx(x + y ) + (x y)(y ) = 0 Φ : hx + (h + 1)xy y (h + 1)x + y = 0 Le coniche spezzate del fascio si trovano per h = 0, h =, quindi consideriamo le coniche irriducibili. h+1 A = h h+1 1 = 1 (h + 6h + 1) = 0 h = 3 ± A > 0 per 3 < h < 3 + ELLISSI. Per h = 1 si ha la circonferenza x + y x y = 0; A < 0 per h < 3, h > 3+ IPERBOLI. Per h = 1 si ha l iperbole equilatera x + xy y 6x + y = 0 5

6 A = 0 per h = 3 ± PARABOLE. Dal sistema lineare associato alle prime due righe della matrice B { hx + h+1 y h + 1 = 0 (y 1) h+1 x y + 1 = 0 h = x eliminando il parametro h si trova l equazione dell iperbole equilatera C : x xy y x + 5y = Studiare il fascio di coniche Φ : x hxy + y x + 1 = 0 determinandone in particolare le coniche spezzate ed i punti base. Determinare asse e vertice della parabola di Φ ottenuta per h = 1. Dalla matrice associata alla generica conica di Φ si trova 1 h 1 h 1 0 B = h A = 1 h quindi per h = 0 si trova la conica spezzata (con molteplicità ) (x 1) + y = 0 (x 1 + iy)(x 1 iy) = 0. La terza conica spezzata si trova per h = : xy = 0. Secando queste coniche si trovano i punti base (0, ±i) e (1, 0) due volte. Per le coniche irriducibili si ha A > 0 1 < h < 1 ELISSI. Non ci sono circonferenze. A < 0 h < 1, h > 1 IPERBOLI. Non ci sono iperboli equilatere. A = 0 h = ±1 PARABOLE di equazione x ± xy + y x + 1 = 0. Consideriamo la parabola x +xy +y x+1 = 0, che ha punto improprio P (1, 1, 0). Secando questa parabola col fascio di rette ortogonali a P si trova { y = x h (x h) x + 1 = 0 x (h + 1)x + h + 1 = 0 = h 3 = 0 h = 3 quindi, per questo valore di h, si trovano il vertice V ( 5, 1 ) e l asse x + y 1 = Studiare il fascio Φ di coniche di equazione x + hxy + y h = 0 determinando in particolare le coniche spezzate ed i punti base di Φ. Verificare che le ellissi di Φ sono tutte reali. 6

7 partiamo dalla matrice B B = h 1 0 h h B = ( + h)(1 h ) = 1 (h + ) (h ) A = (1 h ) = 1 ( + h)( h) Quindi nel fascio ci sono due sole coniche spezzate distinte,per h = ±. h = : (x y) = 0; h = : (x + y + )(x + y ) = 0. I punti base si trovano intersecando queste due coniche e si trovano i punti (1, 1), ( 1, 1) ciascuno con molteplicità. Per h = si trova l iperbole equilatera xy 1 = 0. Studiamo le coniche irriducibili di Φ. A > 0 < h < ELLISSI. Per h = 0 si ha la circonferenza x + y 1 = 0; A < 0 h <, h > IPERBOLI. Per h = si ha un iperbole equilatera. A = 0 h = ± coniche spezzate. Non ci sono parabole. Per verificare che le ellissi ( < h < ) di Φ sono tutte reali basta osservare che i punti base sono reali, quindi tutte le coniche di Φ sono reali. In alternativa, riferendoci all equazione ridotta αx + βy = γ, basta osservare che α, β = 1 ± h e γ = + h sono concordi. 10. studiare il fascio di coniche Φ : x + (h 1)y hx + h 1 = 0 determinando in particolare i punti base e le coniche spezzate di Φ. Determinare assi, vertici, fuochi della generica ellisse di Φ. Calcoliamo gli invarianti ortogonali 1 0 h B = 0 h 1 0 h 0 h 1 B = h 3 + 3h 3h + 1 = (h 1) 3 A = h 1 quindi si ha una sola conica spezzata (contata tre volte) per h = 1: x x + 1 = 0, (x 1) = 0. Per trovare i punti base sechiamo questa conica con un altra conica, ad esempio con quella che si ha per h = 0 { x = 1 x y (1, 0) con molteplicità. = 1 Riguardo alle coniche irriducibili di Φ si ha: A > 0 per h > 1 ELLISSI. Per h = si ha la circonferenza x + y x + 3 = 0; A < 0 per h < 1 IPERBOLI. Per h = 0 si ha l iperbole equilatera x y = 1; per h = si ha la parabola y x + = 0. Per studiare le ellissi di Φ supponiamo h > 1. Gli autovalori di A sono 1, h 1, entrambi positivi; inoltre γ = (h 1)3 = (h 1) > 0. Quindi le ellissi del fascio sono tutte reali. h 1 Le equazioni ridotta e canonica delle coniche sono x + (h 1)y = (h 1) 7 x (h 1) + y h 1 = 1

8 Gli assi di simmetria delle ellissi sono le parallele agli assi cartesiani passanti per il centro di simmetria (h, 0); inoltre se (h 1) > h 1, cioè se h >, l asse focale è l asse x, se 1 < h < l asse focale è la retta y = h. Inoltre la distanza focale è (h 1)(h ). 11. studiare il fascio Φ di coniche di equazione (h + 1)x xy + (1 h)y x y = 0 determinandone in particolare le coniche spezzate ed i punti base. Trovare la conica Γ luogo dei centri di simmetria delle coniche di Φ. Verificare che Γ è una parabola, determinandone vertice ed asse di simmetria. Consideriamo la matrice associata alla generica conica di Φ h B = 1 1 h 1 B = A = h di conseguenza, l unica conica spezzata del fascio è quella che si ottiene per h = : x y = 0. Secando questa conica con un altra conica del fascio, ad esempio con quella che si ottiene per h = 0, si trovano i punti base: { x + y = 0 (x y) O (0, 0) contato volte (x + y)t = 0 { x y = 0 (x y) (x + y)t = 0 O (0, 0), P (1, 1, 0) Osservato che A = h 0, vediamo che per h 0 si trovano iperboli (mai equilatere) mentre per h = 0 si trova la parabola che abbiamo già considerato. Infine, dal sistema dei centri di simmetria { (h + 1)x y = 1 h = 1 + y 1 Γ : x xy + y + x + y = 0. x + (1 h)y = 1 x Γ è una parabola di punto improprio P (1, 1, 0). Secandola col fascio di rette ortogonale a P avremo il vertice: { (x y) + x + y = 0 x + y = k (x k) + k = 0 = k k k = 0 k = 0 quindi il vertice è l origine, l asse di simmetria è la prima bisettrice. 1. Studiare il fascio di coniche Φ che ha punti base P (0, 1), Q (1, 0), R ( 1, ), S (, 1). Studiare la parabola p di Φ. Scegliamo due delle tre coniche spezzate del fascio (P Q) (RS) : (x + y 1)(x + y 3) = 0 ; (P S) (RQ) : (y 1)(x + y ) = 0 8

9 Φ : x + (h + 1)xy + (h + 1)y (h + )x ( + 3h)y h = 0 Le due coniche spezzate che abbiamo usato per generare il fascio si trovano per h = 0, h = ; per trovare il valore di h che determina la terza conica spezzata, scegliamo un punto della retta (P R) (che ha equazione 3x + y 1 = 0), ad esempio il punto (1, ) e cerchiamo la conica di Φ passante per questo punto. Si trova h =. Classifichiamo le 3 oniche irriducibili del fascio. A = 1 h + 1 h + 1 h + 1 = h(h + 1) A > 0 1 < h < 0 ELLISSI. Non ci sono circonferenze; A < 0 h < 1, h > 0 IPERBOLI. Per h = iperbole equilatera x xy y +y 1 = 0 A = 0 h = 1, 0. Per h = 1 si ha la parabola p : y = x x + 1. La parabola p ha asse parallelo all asse y, vertice (1, 0), asse x 1 = 0, fuoco (1, 1), direttrice y + 1 = Siano c la circonferenza di centro (1, 0) e di raggio 1, p la parabola passante per i punti (1, ±1), (, ±). Studiare il fascio Φ di coniche generato da c e da p, determinandone in particolare i punti base e le coniche spezzate. Detta Γ Φ la conica passante per il punto (, 0), determinare gli assi, i vertici ed i fuochi di Γ. La circonferenza c ha equazione x + y x = 0. Per determinare la parabola consideriamo la conica spezzata nella retta x 1 = 0 (che congiunge i punti (1, 1) e (1, 1)) e nella retta x = 0 (che congiunge i punti (, ), (, )) e la conica spezzata nella retta x 3y + (che congiunge i punti (1, 1), (, )) e nella retta x + 3y + (che congiunge i punti (1, 1), (, )). Queste coniche definiscono il fascio di equazione (x 3y+)(x+3y+)+λ(x 1)(x ) = 0 (1+λ)x 9y +( 5λ)x+(1+λ) = 0 nel quale per λ = 1 si trova una sola parabola, p : y x = 0. Possiamo considerare il fascio Φ : x + y x + h(y x) = 0 x + (h + 1)y ( + h)x = h+ B = 0 h h B = 1 (h + 1)(h + ), A = h + 1 Nel fascio ci sono due sole coniche spezzate distinte, e sono: h = 1: x x = 0 x(x 1) = 0; h = : x y = 0 (x y)(x + y) = 0. Secando queste coniche si trovano i punti base O (0, 0) doppio, (1, ±1). Per gli altri valori di h studiamo le coniche irriducibili. A > 0 h > 1 ELLISSI. Per h = 0 si trova la circonferenza c; A < 0 h < 1 IPERBOLI. Non ci sono iperboli equilatere. A = 0 h = 1 SPEZZATA. L unica parabola del fascio è p che si trova per h =. Imponendo il passaggio per il punto (, 0) si ha h = quindi si ha l ellisse Γ : x + 3y 9

10 x = 0. Siccome nell equazione manca il termine misto, per trovare l equazione canonica di Γ basta operare la traslazione che porta l origine nel centro di simmetria C (, 0) { x = X + (X +) +3Y (X +) = 0 X +3Y = X y = Y + Y = 1 3 Quindi gli assi sono le rette y = 0 e x = ; i vertici sono i punti (0, 0), (, 0), (, ± 3 ); 3 infine siccome la distanza focale è c = 6 i fuochi hanno coordinate ( ± 6, 0) studiare il fascio Φ di coniche di equazione Φ : x + (k + )xy + y x y = 0 determinandone in particolare le coniche spezzate ed i punti base. Studiare la parabola di Φ trovandone asse, vertice, fuoco. osserviamo che le coniche del fascio sono simmetriche rispetto alla prima bisettrice. Consideriamo la matrice associata alla generica conica di Φ h+ 1 1 B = h B = h A = h +h le coniche spezzate si trovano per h = 0 e h = : h = 0 : x + xy + y x y = 0 (x + y)(x + y 1) = 0 h = : xy = 0 Intersecando le coniche spezzate si trovano facilmente i punti base (0, 1), (1, 0), (0, 0) doppio. Siamo nel caso della tangenza. Studiamo le coniche irriducibili di Φ. A > 0 < h < 0 ELLISSI. Per h = si trova la circonferenza x + y x y = 0; A < 0 h <, h > 0 IPERBOLI. Non ci sono iperboli equilatere. A = 0 h =, 0. Per h = si trova la parabola p : x xy + y x y = 0. Come abbiamo visto, p ha per asse la prima bisettrice x y = 0 e quindi ha vertice nell origine. Per calcolare la distanza focale p occorre determinare l equazione canonica di p. Partendo dall equazione ridotta βy = δx, poiché β = e δ =, si trova l equazione canonica quindi il fuoco è F ( 1 8, 1 8 ). p : y = x p = 15. Studiare il fascio di coniche Φ : x + hxy + y (h + 1)x + h = 0 determinando, in particolare, le coniche spezzate ed i punti base di Φ. 10

11 Consideriamo la matrice B associata alla generica conica di Φ 1 h 1 h B = (h + 1)(h + 1) B = h h 0 h A = 1 h quindi il fascio contiene tre coniche spezzate distinte, una sola delle quali è reale, per h = 1. Si tratta della conica (x y 1)(x y + 1) = 0. Per trovare i punti base sechiamo questa conica con un altra conica di Φ, ad esempio con quella ottenuta per h = 0 { y = x 1 x + y x = 0 (1 ±, ± ) { y = x + 1 x + y x = 0 (±i, 1 ± i ) Caratterizziamo le coniche irriducibili di Φ A > 0 per 1 < h < 1 ELLISSI. Per h = 0 si ha la circonferenza x + y x = 0. A < 0 per h < 1, h > 1 IPERBOLI. Per h = si ha l iperbole equilatera xy x+1 = 0. A = 0 per h = ±1. Per h = 1 si ha la PARABOLA x + xy + y x + 1 = Determinare e studiare il fascio Φ di coniche avente i punti base O, A (1, 1), B (, 0), C (1, 3). Determanare vertice ed asse della parabola di Φ. Consideriamo le tre coniche spezzate del fascio: 1) OB : y = 0; AC : x 1 = 0; y(x 1) = 0; ) OA : x + y = 0; BC : x + y = 0 (x + y)(x + y ) = 0; 3) OC : 3x y = 0; AB : x 3y = 0 (3x y)(x 3y ) = 0. Per scrivere l equazione del fascio usiamo le prime due di queste coniche: (x + y)(x + y ) + hy(x 1) = 0 Φ : x + ( + h)xy + y x ( + h)y = 0 Due coniche spezzate si trovano per h = 0 e h = ; per trovare il valore di h che individua la terza conica spezzata imponiamo il passaggio per un suo punto, ad esempio per il punto (, 6). Si trova h = 16. Per studiare le coniche irriducibili usiamo l invariante 3 quadratico A = 1 h(h + ): A > 0 < h < 0 ELLISSI. Per h = si ha la circinferenza x +y x y = 0; A < 0 h <, h > 0 IPERBOLI. Non ci sono iperboli equilatere; A = 0 h =, 0 per h = si ha la parabola p : (x y) x = 0. La parabola ha punto improprio (1, 1, 0); secandola con la generica retta ortogonale all asse si ha { y = k x (x k) x = 0 per cui x (k + 1)x + k = 0 x = 1, V (1, 3 ) con asse x y = 1 = 8k + = 0 k = 1 11

12 17. studiare il fascio Φ delle coniche che passano per O con tangente la retta x + y = 0 e per (1, 1) con tangente la retta x + y = 0. Determinare asintoti, assi, vertici e fuochi dell iperbole equilatera di Φ. Φ è un fascio di coniche bitangenti; una conica spezzata `data dalle due rette tangenti, (x+y)(x+y ) = 0, l altra è la congiungente i punti di tangenza al quadrato (x y) = 0, quindi Φ : (x + y)(x + y ) + h(x y) = 0 (1 + h)x + (1 h)xy + (1 + h)y x y = 0 Siccome conosciamo i punti base e le coniche spezzate di Φ, caratterizziamo le sue coniche irriducibili. ( ) 1 + h 1 h A = A = h 1 h 1 + h A > 0 h > 0 ELLISSI. Per h = 1 si ha la circonferenza x + y x y = 0 ; A < 0 h < 0 IPERBOLI. Per h = 1 si ha l iperbole equilatera θ : xy x y = 0; A = 0 h = 0 SPEZZATA. Φ non contiene parabole. Per studiare θ osserviamo che mediante la traslazione che porta l origine nel centro di simmetria C ( 1, 1 ) l equazione diverrà del tipo XY = k { x = X + 1 y = Y + 1 θ : XY = 1 Gli asintoti sono le parallele agli assi passanti per C, x 1 = 0, y 1 = 0 ; gli assi sono le parallele alle bisettrici passanti per C, x y = 0, x+y 1 = 0 ; i vertici (reali) si trovano secando θ con l asse trasverso x y = 0, e si trovano i punti V 1 (0, 0), V (1, 1); il semiasse reale è a = CV 1 = quindi la distanza focale è c = a = 1 ed i fuochi hanno coordinate ( 1±, 1± ). 1