(x, y) R, x, y A. def

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1 1 F0 RELAZIONI DI EQUIVALENZA 1. Proprità ll rlzioi i u isim Si him rlzio i u isim A, o vuoto, ogi R A. S (x, y) R, iimo h «x è ll rlzio R o y». Normlmt, ll'sprssio (x, y) R si prfris l'sprssio xry, ismt più omo. Poimo, llor: U rlzio R i A si i: xry f (x, y) R, x, y A riflssiv simmtri tisimmtri trsitiv f f f f x A xrx x, y A xry yrx x, y A xry yrx x = y x, y, z A xry yrz xrz S l'isim A è fiito, l proprità i R si rioosoo filmt l suo grfo. L tll h sgu mtt ofroto l proprità i R o l proprità orrispoti l grfo. PROPRIETA' GRAFO Riflssiv Tutti i vrtii ho u ppio (spigolo o i vrtii oiiti): x Simmtri S 'è uo spigolo l vrti x l vrti y, 'è uo y x: x y Atisimmtri Trsitiv Du vrtii istiti soo ollgti l più uo spigolo. S 'è uo spigolo l vrti x l vrti y uo y z (spigoli osutivi), 'è uo x z (spigolo risultt): y x z Ioltr, s i soo spigoli x y y x, i soo ppi i x i y: x y

2 ESEMPI L rlzio i fig.1 è riflssiv, simmtri trsitiv. L rlzio i fig. è tisimmtri trsitiv. L rlzio i fig. è riflssiv tisimmtri. A A A (fig.1) (fig.) (fig.) EP F0 / 1 1 Ii l proprità ll sguti rlzioi ll'isim A = {1,, }. R 1 = {(1,), (,)}, R = {(1,), (,), (1,), (,1), (1,1)}, R = {(,), (,), (,), (,)}, R = {(1,1)}, R 5 = {(1,1), (,), (,), (,1), (,)}, R = {(1,), (,1), (,), (,), (,)}, R 7 = {(1,1), (,), (,)}, R = {(1,), (,1)}. Ii l proprità ll rlzioi ll'isim A = {,,,, } fiit i grfi h sguoo. (1) () () () (5) () Ii l proprità ll rlzio R = {(x, y) A / p(x, y)} i isuo i si h sguoo. (1) A = {,,, 5,, 7, }, p(x, y) = «x è ivisiil pr y» () A = {1,,,, 5}, p(x, y) = «xy è ivisiil pr» () A = {,,, 5}, p(x, y) = «x è primo o y» () A = {0}, p(x, y) = «x + y =» (5) A = {0}, p(x, y) = «x + y = 10» Si A l'isim i tutt l prso vivti oggi. Ii l proprità ll rlzio R = {(x, y) A / p(x, y)} i isuo i si h sguoo. (1) p(x, y) = «x m y» () p(x, y) = «x è il mrito i y» () p(x, y) = «x è più lto i y» () p(x, y) = «x y ho lo stsso om» (5) p(x, y) = «x è pr i y» () p(x, y) = «x è frtllstro i y»

3 (7) p(x, y) = «x y ho lmo u oi i omu» () p(x, y) = «x y ho gli stssi gitori» 5 Si I = {A, B, C} l'isim 'isimi l igrmm lto. Ii l proprità ll rlzio i I: R = {(X,Y) / X Y }. Si A l'isim ll prti i u isim to. Ii l proprità ll sguti rlzioi i A. A B C R 1 = {(X, Y) / X = Y}, R = {(X, Y) / X Y}, R = {(X, Y) / X Y}, R = {(X, Y) / X Y = }, R 5 = {(X, Y) / X Y = }. SOLUZIONE DI ALCUNI ESERCIZI 1 R 1 è tisimmtri trsitiv; R o vrifi lu proprità; R è simmtri trsitiv; R è simmtri, tisimmtri trsitiv; R 5 è riflssiv tisimmtri; R è simmtri; R 7 è riflssiv, simmtri, tisimmtri trsitiv; R è simmtri. (1) tisimmtri trsitiv; () trsitiv; () tisimmtri; () ssu; (5) ssu; () riflssiv. (1) riflssiv, tisimmtri trsitiv; () riflssiv, simmtri trsitiv; () simmtri; () simmtri; (5) tisimmtri. (1) ssu; () tisimmtri trsitiv; () tisimmtri trsitiv; () riflssiv, simmtri trsitiv; (5) tisimmtri; () simmtri; (7) riflssiv simmtri ; () riflssiv, simmtri trsitiv. 5 Riflssiv simmtri. R 1 è riflssiv, simmtri, tisimmtri trsitiv; R è riflssiv, tisimmtri trsitiv; R è tisimmtri trsitiv; R è simmtri; R 5 è riflssiv, simmtri, tisimmtri trsitiv.. Rlzioi i quivlz U rlzio R i u isim A si i rlzio i quivlz s solo s è riflssiv, simmtri trsitiv. Prsi u lmti x, y A, s R è u rlzio i quivlz i A, iimo h «x è quivlt y» srivimo x y i luogo i xry. Poimo llor: Vimo tr smpi sigifitivi. x y f xry, x, y A 1 Ugugliz Diimo h «x è ugul y» srivimo x = y, s solo s x, y rpprsto lo stsso lmto i u qulsisi isim A o vuoto. L'ugugliz è u rlzio i quivlz i A. Iftti, pr qulsisi x, y, z A, ll fiizio sgu suito h: x = x x = y y = x x = y y = z x = z

4 Cogruz moulo Fissto u itro positivo mggior i 1 pr ogi x, y, iimo h «x è ogruo y moulo» srivimo x y, s solo s x y è ivisiil pr. A smpio, fissto =, è, prhé = è ivisiil pr. Fissto = 5, è 1 prhé 19 = 5 è ivisiil pr 5. Altri smpi: 1 0, 7 7, 9 L ogruz moulo è u rlzio i quivlz i. Iftti, pr qulsisi x, y, z, si h: 5, , 5 x x Dim. E' smpr xx = 0. Quii xx è ivisiil pr. x y y x Dim. S xy è ivisiil pr, h yx = (xy) è ivisiil pr. x y y z x z Dim. S xy è ivisiil pr yz è ivisiil pr, h l loro somm (xy) + (yz) = = xy + yz = xz è ivisiil pr. Equivlz i frzioi Si l'isim i tutt l frzioi. I simoli: = { /, 0 } Diimo h «è quivlt» srivimo, s solo s =. L'quivlz i frzioi è u rlzio i quivlz i. Iftti, pr qulsisi,, f, si h: Dim. Risult = quluqu sio i umri itri rltivi (pr l proprità ommu ttiv ll moltiplizio i umri itri). Dim. S =, pr l proprità simmtri ll'ugugliz, è pur =, ui sgu =. f f Dim. Si = f =. Moltiplio mmro mmro l prim ugugliz pr f l so pr, si otti f = f f =, ui, pr l proprità trsitiv ll'ugugliz, si u f =. D qust, llo, sgu f =. Itrouimo or u ozio molto importt, qull i prtizio i u isim. Dto u isim A, o vuoto, si i prtizio i A u isim i sottoisimi i A tli h: (1) ssuo i sottoisimi è vuoto; () i sottoisimi soo u u isgiuti; () l'uio i sottoisimi è ugul A. ESEMPIO L'isim ll lssi i u suol ostituis u prtizio ll'isim A gli lui ll suol, i quto tli sottoisimi i A soo o vuoti, u u isgiuti l loro uio è ugul A.

5 5 Assgt u rlzio i quivlz i u isim A, si him pssggio l quozit il sgu t prosso: Prso u A, ostruimo l'isim [ ] i tutti solo gli lmti i A quivlti o, om si us ir, l lss 'quivlz ll'lmto. I simoli: [ ] = {x / x }. Prso u A tl h [ ], ostruimo poi l lss [ ] = {x / x }. Sussivmt, prso u A tl h [ ] [ ], ostruimo l lss [ ] = {x / x }. E osì vi, pro ogi volt u uovo lmto o otuto ll lssi prti, fio surir gli lmti i A. L'isim {[ ], [ ], [ ], } ll lssi ottut pr il om i isimquozit i A risptto vi iito, i grl, o A/. Il prosso sritto port ll sgut fomtl proposizio, ot om priipio i otrzio: L'isim A/ è u prtizio i A. Dim. Nssu ll lssi è vuot. Iftti, sso priò, s A, llor. Quii l lss [ ] Alogmt pr l ltr lssi. Du lssi istit soo isgiut, ossi:, A [ ] [ ] [ ] [ ] =. Pr ssuro, suppoimo h sist u t [ ] [ ]. E' t t N sgu Si or x [ ] Poihé x ovvro, pr l proprità simmtri,, pr l proprità trsitiv., ioè x. u rlzio i quivlz, è riflssiv, o è vuot prhé oti lmo. t t, or pr l proprità trsitiv, è x Prtto, s x [ ], llor x [ ]. Quii [ ] [ ] Alogmt si prov h [ ] [ ] ( 1 ). Dll ( 0 ) ( 1 ) ogiutmt sgu [ ] = [ ]. ( 0 ).., ioè x [ ]. L'uio ll lssi è l'isim A. Iftti, l prosso i pssggio l quozit, ogi l mto i A è ssgto u ll lssi [ ], [ ], [ ] Quii [ ] [ ] [ ] = A., t [ ] [ ] Ritorimo ll rlzioi i quivlz gli smpi 1, vimo l lssi h ss trmio. 1 Ugugliz Ogi lmto i u isim A è ugul solo s stsso. Prtto, ll rlzio i ugugliz i A, ogi lss 'quivlz è ostituit u lmto soltto (l lssi soo i «sigoltti gli lmti i A»). A smpio, il grfo i fig. rpprst l rlzio i ugugliz i A = {1,,,, 5} risult: A/= = { {1}, {}, {}, {}, {5} }. A 1 5 (fig.)

6 Cogruz moulo L'isim vi riprtito ll rlzio i lssi i quivlz. L'isim quozit vi omumt iito o. Pr =, l lssi soo: (ogruz mo. ) [ 0 ] = {,,,, 0,,,, }, [ 1 ] = {,5,,1, 1,, 5, 7, }. pr = : = { [ 0 ], [ 1 ] } [ 0 ] = {,9,,, 0,,, 9, }, [ 1 ] = {,,5,, 1,, 7, 10, }, E' itrsst otr h: [ ] = {,7,,1,, 5,, 11, }. = { [ 0 ], [ 1 ], [ ] }. Gli lmti i u stss lss o tutti lo stsso rsto ll ivisio pr. L lssi, pr qusto motivo, vgoo himt lssi rsto moulo. Vi soo tt lssi quti soo i possiili rsti ll ivisio pr. To prst h o possoo ssri ltri rsti h 0, 1,,, 1, si può olu r h l lssi rsto mo. soo i umro i. Equivlz i frzioi L'isim ll frzioi, = { /, 0 }, vi riprtito ll rlzio A smpio: i lssi i quivlz. Ogu i qust lssi si i u umro rziol. [ ] = { è l lss i quivlz ll frzio ; [ ] = {,,,, 9, 9, 1 } 1, è l lss i quivlz ll frzio.,,,, 9 9, } I grl, s è u frzio qulsisi riott i miimi trmii, il umro rziol [ ] è fiito : [ ] = {, L'isim quozit, iito o E' itrsst otr h:,,,,, }., si i isim i umri rzioli. Ogi x può ssr rpprstto u qulsisi ll frzioi h pprtgoo ll lss 'quivlz h fiis x. Così, s primo x = [ ], è pur x = [ ], prhé [ ] = [ ]. Di solito l prfrz sull frzio riott i miimi trmii pprtt ll lss. Covimo ioltr, quo o vi si possiilità i quivoo, i srivr i luogo i [ ]. Allor, mtr ll'isim è, smpio,, ll'isim è I luogo i [ 1 ] srivrmo smplimt, pr ogi. =. Quii, i u rto sso, possimo ffrmr h ( è iluso proprimt i ).

7 7 NOTA SUI SIMBOLI Si suol iir o + l'isim gli itri positivi, o l'isim gli itri + gtivi. Si po, ioltr, 0 = + {0}, himto isim gli itri o gtivi. Ossrvimo h l'isim { +, {0}, } è u prtizio i. Alogo sigifito ho i simoli + +, 0. L'isim { +, {0}, } è llor u prtizio i. EP F0 / 1 Dti gli isimi Ω = {,,,,, f, g, h}, A = {, }, B = {,, } C = {,, f}, ii quli i sguti isimi soo prtizioi i Ω. I 1 = { A, A B, A B }, I = { A B, A B, C B }, I = { B A, A B, (A B) }, I = { A B, B C, C, (A B C) }, I 5 = { A, B C, B C, (A B C) }. Complt opportumt l sguti rlzioi i moo ottr rlzioi i quivlz. Dsrivi poi i loro isimi quozit. (1) R = { (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, ), (0, ), (, ), (, ), (, ), (, ) } i A = { 0, 1,,, } () A () 1 5 A Nll'isim A = {,, i, o, u } è fiit u rlzio i quivlz R. Si: A/R = { {, i}, {, o, u} }. Dsrivi l rlzio R rpprst il grfo. Cosirimo l'isim {0} (isim gli itri o ulli). L rlzio R = {(x, y) / x y ho lo stsso sgo}, i {0}, è i quivlz? I so ffrmtivo srivi l'isimquozit. 5 Tri il grfo srivi l'isimquozit i isu ll sguti rlzioi i quivlz. (1) Nll'isim A = {gufo, luio, flo, igu, spigol, vipr, rp, iio, pito}, si: R = {(x, y) / x pprti ll stss spi i y}. () Nll'isim A = {,,,, 1, 1,,, 1, 1}, si: R = {(x, y) / il prootto ll ifr i x è ugul l prootto ll ifr i y}. () Nll'isim i isimi I l igrmm qui sotto, si: R = {(X, Y) / X Y }. A A 1 A A A 5 Si A = { x / 5 x 5 } R = { (x, y) A / xy è pri }. Vrifi h R è u rlzio i quivlz srivi l'isim A/R.

8 7 Dto l'isim A = {,, }, trmi tutt l rlzioi i quivlz i A, tri il grfo, srivi i loro isimiquozit. Cosirimo l fuzio f i A = { x / 0 x 7 } i B = { x / 1 x 5 } fiit : f = { (0, 1), (1, ), (, ), (, 1), (, 1), (5, ), (, ), (7, 5) } Vrifi h l rlzio R = { (x 1,x ) A / f(x 1 ) = f(x ) } è i quivlz srivi l'isim A/R. 9 Dimostr h l rlzio R = { (x 1,x ) A / f(x 1 ) = f(x ) } è i quivlz, quluqu si l'p plizio f : A B, o A B isimi qulsisi o vuoti. Sussivmt, srivi l'isim A/R i isuo i si h sguoo. (1) A = { x / x }, B =, f(x) = x () A = { x / 5 x 5 }, B =, f(x) = x x 10 Ii quli ll sguti proposizioi soo vr quli fls. (1) () 1, () 1 5, () 17 1, (7) 1 15, () , () 9 5, (5) 0, 11 Dsrivi l sguti lssirsto lo lui lmti. 9 (9) 1, 11 (10) 15, 7. (1) {x / x (5) {x / x }, 7 1}, () {x / x () {x / x }, 0}, 9 () {x / x (7) {x / x }, }, 5 () {x / x () {x / x }, }. 1 1 Dtrmi gli isimi quozit, 5,. 1 Dtrmi il più piolo itro positivo, > 1, h vrifihi l sguti proposizioi prt. (1) 15 15, () 1 9, () 9 (5) 1 7, () 19 1, 0, 1 Ii quli ll sguti proposizioi soo vr quli fls. (1), () 1, () () () 10, () 15, (7) 1, () , (5) Dsrivi l lss i quivlz i isu ll sguti frzioi lo lui lmti. 5 (1), (), () 1, (), (5), () , SOLUZIONE DI ALCUNI ESERCIZI 1 Soo prtizioi gli isimi I 1 I. (1) R { (1, 1), (, 1), (, 0), (, ) }, { {, }, {0, 1, } }. Sì, ( {0}) / R = { +, }. 7 Vi soo iqu rlzioi i quivlz i A. A/R = { {0,, }, {1, 5}, {}, {}, {7} }. 10 Soo fls l proposizioi (7) (10). 1 (1) () 7 () () 17 (5) 5 () Soo fls l proposizioi () (5). 15 () [ ] = [ ] = {,,, ,, 9 1 1, }.