Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno A)

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1 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio 1. Siano dati, al variare del parametro k R, i piani: π 1 : x 2y + 2z = 2, π 2 : z = 5, π 3 : kx y = Determinare i valori di k per cui π 1 π 2 π Determinare, se possibile, una retta passate per l origine e ortogonale a π 1 e π 2.

2 Esercizio 2. Siano A 1 = ( ) 1 2 3, A = ( ) 0 1 0, A = ( ) È possibile scrivere ogni matrice in M 2 3 (R) come combinazione lineare di A 1, A 2, A 3? Giustificare la risposta. 2. Stabilire se A 1, A 2, A 3 sono linearmente indipendenti.

3 { ( 3 Esercizio 3. Siano B = 2π ) ( ) 0 }, e B 1 = { ( ) π, 0 Sia L : R 2 R 2 l applicazione lineare definita da ( ) ( ) x πx L =. y 2x y 1. Determinare M B,B e M B,B. 2. Determinare M B,B (L) e M B,B (L). ( ) 0 } due basi ordinate di R 1 2.

4 Esercizio 4. Si consideri la matrice A = M 3 3 (K), 2 0 (K = R, o K = C). 1. Discutere, nei due casi K = R e K = C, la possibilità o meno di diagonalizzare A. In caso affermativo, diagonalizzare la matrice A. 2. Nel caso K = R, stabilire se le colonne di A formano una base ortonormale rispetto al prodotto scalare standard di R 3.

5 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno B) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio 1. Siano dati, al variare del parametro k R, i piani: π 1 : z = 5, π 2 : x 2y + 2z = 2, π 3 : kx y = Determinare i valori di k per cui π 1 π 2 π Determinare, se possibile, una retta passate per l origine e ortogonale a π 1 e π 2.

6 Esercizio 2. Siano A 1 = ( ) 3 2 1, A = ( ) 0 1 0, A = ( ) È possibile scrivere ogni matrice in M 2 3 (R) come combinazione lineare di A 1, A 2, A 3? Giustificare la risposta. 2. Stabilire se A 1, A 2, A 3 sono linearmente indipendenti.

7 { ( 3 Esercizio 3. Siano B = 2π ) ( ) 0 }, e B 1 = { ( ) π, 0 Sia L : R 2 R 2 l applicazione lineare definita da ( ) ( ) x πx L =. y 2x + y 1. Determinare M B,B e M B,B. 2. Determinare M B,B (L) e M B,B (L). ( ) 0 } due basi ordinate di R 1 2.

8 Esercizio 4. Si consideri la matrice A = M 3 3 (K), 2 0 (K = R, o K = C). 1. Discutere, nei due casi K = R e K = C, la possibilità o meno di diagonalizzare A. In caso affermativo, diagonalizzare la matrice A. 2. Nel caso K = R, stabilire se le colonne di A formano una base ortonormale rispetto al prodotto scalare standard di R 3.

9 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 12 Luglio A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio 1. Siano dati il punto P = (2, 1, 2) e la retta r di equazioni { x y + z = 2, x 4 = Determinare un equazione cartesiana per il piano π contenente r e P. 2. Determinare un equazione parametrica per la retta passante per P e parallela a r.

10 Esercizio 2. Siano dati i sottospazi W 1 = {(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) T R 5 x 1 = 0, 3x 2 + 2x 3 3x 4 3x 5 = 0}, W 2 = {(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) T R 5 x 1 x 2 + 6x 3 9x 4 9x 5 = 0}. 1. Determinare una base e la dimensione di W 1 W Determinare una base e la dimensione di W 1 + W 2.

11 Esercizio 3. Si consideri il prodotto scalare g di R 2, rappresentato dalla matrice ( ) 4 2 A = 2 2 rispetto alla base canonica di R 2. (( ) ( )) Calcolare g, Determinare lo spazio ortogonale al sottospazio W = {(x 1, x 2 ) T R 2 3x 1 = 2x 2 }, rispetto al prodotto scalare g.

12 Esercizio 4. Si consideri l applicazione lineare L : R 3 R 3 che è rappresentata dalla matrice , k R, 3 7 k rispetto alla base canonica di R 3, presa come base di partenza e di arrivo. 1. Determinare, al variare del parametro k R, una base per ogni autospazio di L. 2. Stabilire per quali valori di k R l applicazione L è diagonalizzabile.

13 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 12 Luglio B) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio 1. Siano dati il punto P = (2, 1, 2) e la retta r di equazioni { y z = 2, x 4 = Determinare un equazione cartesiana per il piano π contenente r e P. 2. Determinare un equazione parametrica per la retta passante per P e parallela a r.

14 Esercizio 2. Siano dati i sottospazi W 1 = {(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) T R 5 x 1 x 2 + 6x 3 9x 4 9x 5 = 0}, W 2 = {(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) T R 5 x 1 = 0, 3x 2 + 2x 3 3x 4 3x 5 = 0}. 1. Determinare una base e la dimensione di W 1 W Determinare una base e la dimensione di W 1 + W 2.

15 Esercizio 3. Si consideri il prodotto scalare g di R 2, rappresentato dalla matrice ( ) 4 2 A = 2 2 rispetto alla base canonica di R 2. (( ) ( )) Calcolare g, Determinare lo spazio ortogonale al sottospazio W = {(x 1, x 2 ) T R 2 3x 1 = 2x 2 }, rispetto al prodotto scalare g.

16 Esercizio 4. Si consideri l applicazione lineare L : R 3 R 3 che è rappresentata dalla matrice , k R, 3 7 k rispetto alla base canonica di R 3, presa come base di partenza e di arrivo. 1. Determinare, al variare del parametro k R, una base per ogni autospazio di L. 2. Stabilire per quali valori di k R l applicazione L è diagonalizzabile.

17 Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 17 settembre A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio 1. Nello spazio R 3, si considerino le rette x = 1 t s 1 : y = 1 z = 3t, s 2 : x = 0 y = t z = Specificare la posizione rispettiva delle due rette. 2. Determinare equazioni cartesiane della retta r passante per P = (0, 1, 2) e incidente s 1 e s 2.

18 Esercizio 2. In R 4, si considerino i vettori w 1 = (2, 1, 0, 1) T, w 2 = ( 1, 2, 1, 3) T, w 3 = ( 4, 3, 2, 5) T. 1. Scrivere un sistema di equazioni cartesiane per il sottospazio W generato da w 1, w 2, w Trovare una base per lo spazio ortogonale a W, rispetto al prodotto scalare standard di R 4.

19 Esercizio 3. Sia data la matrice A = , 1. Stabilire se la matrice A è diagonalizzabile su R e in tal caso trovare una matrice invertibile P e una matrice diagonale D, tali che A = P DP Calcolare la potenza A 17.

20 Esercizio 4. Si consideri l applicazione lineare L : R 3 R 3 definita da x 1 x 1 x 2 + x 3 L x 2 = x 1 + x 2 + x 3. x 3 2x 1 + 2x 3 1. Determinare una base per il nucleo e una base per l immagine di L. 2. Stabilire se il vettore (1, 0, 2) T appartiene all immagine di L. 3. Calcolare la controimmagine tramite L del vettore (0, 2, 2) T.