LA DISTANZA DA CENTRO RAPPRESENTA IL RAGGIO CISCUNA DELLE DUE PARTI IN CUI E DIVISA UNA CIRCONFERENZA SI CHIAMA ARCO
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- Pasquale Carrara
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1 LA CIRCONFERENZA LA CIRCONFERENZA E IL LUOGO DEI PUNTI EQUIDISTANTI DA UN PUNTO FISSO DETTO CENTRO LA DISTANZA DA CENTRO RAPPRESENTA IL RAGGIO UN SEGMENTO CHE CONGIUNGE DUE PUNTI DELLA CIRCONFERENZA SI CHIAMA CORDA CISCUNA DELLE DUE PARTI IN CUI E DIVISA UNA CIRCONFERENZA SI CHIAMA ARCO LA CORDA CHE PASSA DA CENTRO SI CHIAMA DIAMETRO (CORDA MASSIMA) ARCO DI CIRCONFERENZA QUANDO TRACCIO UNA CORDA LA CIROCNFERENZA VIENE DIVISA UN DUE ARCHI (ARANCIONE E VIOLA) POICHÉ A E B SONO GLI ESTREMI DI ENTRAMBI GLI ARCHI NEI QUALI RISULTA DIVISA LA CIRCONFERENZA DALLA CORDA, PER EVITARE CONFUSIONI SI NOMINA UN ULTERIORE PUNTO APPARTENENTE ALL'ARCO. L'ARCO ARANCIONE VIENE INDICATO CON IL SEGUENTE SIMBOLO: L'ARCO VIOLA VIENE INDICATO CON IL SEGUENTE SIMBOLO: IL DIAMETRO DIVIDE LA CIRCONFERENZA IN DUE ARCHI UGUALI CHE CHE HANNO COME ESTREMI, GLI ESTREMI DEL DIAMETRO. OGNUNO DEGLI ARCHI AB SI CHIAMA SEMICIRCONFERENZA CIRCONFERENZE PER 1, 2, 3 PUNTI PER UN PUNTO PASSANO INFINITE CIRCONFERENZE PER DUE PUNTI PASSANO INFINITE CIRCONFERENZE AVENTI IL CENTRO SULLA STESSA RETTA PER TRE PUNTI PASSA UNA SOLA CIRCONFERENZA
2 PROPRIETÀ DELLA CORDA 1 LA PERPENDICOLARE CONDOTTA DAL CENTRO DI UNA CIRCONFERENZA AD UNA CORDA LA DIVIDE A METÀ AOB È UN TRIANGOLO ISOSCELE (HA SICURAMENTE DUE LATI UGUALI CHE COINCIDONO CON I RAGGI) E OH RAPPRESENTA SIA L ALTEZZA CHE LA MEDIANA PERCHÉ NEL TRIANGOLO ISOSCELE ALTEZZA E MEDIANA COINCIDONO. QUINDI OH È PERPENDICOLARE ALLA BASE AB E LA DIVIDE A METÀ 2 DUE CORDE CONGRUENTI HANNO UGUALE DISTANZA DAL CENTRO E, VICEVERSA, DUE CORDE CHE HANNO L ASTESSA DISTANZA DAL CENTRO SONO CONGRUENTI LE BASI DEI DUE TRIANGOLI AOB E COD SONO CONGRUENTI DATO CHE ALL'INIZIO ABBIAMO DISEGNATO DUE CORDE CONGRUENTI. INOLTRE OA = OB = OC = OD perché RAGGI DELLA CIROCONFERENZA DI CONSEGUENZA, I DUE TRIANGOLI AOB E COD SONO CONGRUENTI. SE I DUE TRIANGOLI SONO CONGRUENTI, ANCHE LE LORO ALTEZZE OH E OK SONO CONGRUENTI
3 CIRCONFERENZE E RETTE RETTA ESTERNA AD UNA CIRCONFERENZA LA RETTA ESTERNA AD UNA CIRCONFERENZA: NON HA ALCUN PUNTO IN COMUNE CON LA CIRCONFERENZA LA DISTANZA h TRA LA RETTA E IL CENTRO È MAGGIORE AL RAGGIO RETTA SECANTE AD UNA CIRCONFERENZA LA RETTA SECANTE AD UNA CIRCONFERENZA: HA DUE PUNTI IN COMUNE CON LA CIRCONFERENZA: PUNTO P E PUNTO Q LA DISTANZA h TRA LA RETTA E IL CENTRO È MINORE DEL RAGGIO r ETIMOLOGIA SECANTEM È PARTICIPIO PASSATO DI SECARE = TAGLIARE. SECANTE = LINEA CHE TAGLIA IN PIÙ PARTI UNA CIRCONFERENZA RETTA TANGENTE AD UNA CIRCONFERENZA LA RETTA TANGENTE AD UNA CIRCONFERENZA: HA SOLO UN PUNTO IN COMUNE CON LA CIRCONFERENZA: PUNTO P LA DISTANZA h TRA LA RETTA E IL CENTRO È CONGRUENTE AL RAGGIO r ETIMOLOGIA TANGENTEM È PARTICIPIO PRESENTE DI TANGERE = TOCCARE, CHE TOCCA. TANGENTE = LINEA CHE TOCCA UNA CIRCONFERENZA) PROPRIETÀ DELLE TANGENTI IL RAGGIO r CONDOTTO DAL CENTRO AL PUNTO DI TANGENZA (PUNTO A) È PERPENDICOLARE ALLA RETTA TANGENTE I SEGMENTI DI TANGENZA AP E BP SONO I TRIANGOLO OAP È UGUALE AL TRIANGOLO OBP CONGRUENTI OAP E OBP SONO TRIANGOLI RETTANGOLI AP = BP
4 POSIZIONI RECIPROCHE DI DUE CIRCONFERENZE DUE CIRCONFERENZE POSSONO ESSERE: SECANTI; UNA ESTERNA ALL'ALTRA O UNA INTERNA ALL'ALTRA; TANGENTI INTERNAMENTE O ESTERNAMENTE; CONCENTRICHE. 1 CIRCONFERENZE SECANTI DUE CIRCONFERENZE SI DICONO SECANTI SE HANNO DUE PUNTI IN COMUNE. INDICHIAMO: LA DISTANZA TRA I CENTRI DELLE DUE CIRCONFERENZE CON OO'; IL RAGGIO r DELLA CIRCONFERENZA C, CON OA IL RAGGIO r DELLA CIRCONFERENZA C, CON O A POSSIAMO AFFERMARE CHE: OO' < r + r' DUE CIRCONFERENZE SONO SECANTI SE LA DISTANZA DEI LORO CENTRI È MINORE DELLA SOMMA DEI LORO RAGGI 2 CIRCONFERENZE ESTERNE DUE CIRCONFERENZE SI DICONO ESTERNE SE NON HANNO NESSUNO PUNTO IN COMUNE INDICHIAMO: LA DISTANZA TRA I CENTRI DELLE DUE CIRCONFERENZE CON OO' IL RAGGIO r DELLA CIRCONFERENZA C, CON OA IL RAGGIO r DELLA CIRCONFERENZA C, CON O A POSSIAMO AFFERMARE CHE: OO' > r + r' DUE CIRCONFERENZE SONO ESTERNE SE LA DISTANZA DEI LORO CENTRI È MAGGIORE DELLA SOMMA DEI LORO RAGGI 3 CIRCONFERENZE INTERNE INDICHIAMO: LA DISTANZA TRA I CENTRI DELLE DUE CIRCONFERENZE CON OO' IL RAGGIO r DELLA CIRCONFERENZA C, CON OA IL RAGGIO r DELLA CIRCONFERENZA C, CON O A POSSIAMO AFFERMARE CHE: OO' < r - r' DUE CIRCONFERENZE SONO INTERNE SE LA DISTANZA DEI LORO CENTRI È MINORE DELLA DIFFERENZA DEI LORO RAGGI
5 4 CIRCONFERENZE TANGENTI DUE CIRCONFERENZE SI DICONO TANGENTI SE HANNO UN SOLO PUNTO IN COMUNE CIRCONFERENZE TANGENTI ESTERNAMENTE INDICHIAMO: LA DISTANZA TRA I CENTRI DELLE DUE CIRCONFERENZE CON OO' IL RAGGIO r DELLA CIRCONFERENZA C, CON OA IL RAGGIO r DELLA CIRCONFERENZA C, CON O A POSSIAMO AFFERMARE CHE: OO' = r + r' DUE CIRCONFERENZE SONO TANGENTI ESTERNAMENTE SE LA DISTANZA DEI LORO CENTRI È UGUALE ALLA SOMMA DEI LORO RAGGI CIRCONFERENZE TANGENTI INTERNAMENTE INDICHIAMO: LA DISTANZA TRA I CENTRI DELLE DUE CIRCONFERENZE CON OO' IL RAGGIO r DELLA CIRCONFERENZA C, CON OA IL RAGGIO r DELLA CIRCONFERENZA C, CON O A POSSIAMO AFFERMARE CHE: OO' = r - r' DUE CIRCONFERENZE SONO TANGENTI INTERNAMENTE SE LA DISTANZA DEI LORO CENTRI È UGUALE ALLA DIFFERENZA DEI LORO RAGGI 5 CIRCONFERENZE CONCENTRICHE DUE CIRCONFERENZE SI DICONO CONCENTRICHE SE HANNO LO STESSO CENTRO LA PARTE DI CERCHIO COMPRESA TRA DUE CIRCONFERENZE CONCENTRICHE SI CHIAMA CORONA CIRCOLARE
6 ANGOLI AL CENTRO E ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA ALL INTERNO DI UNA CIRCONFERENZA SI POSSONO DISEGNARE: - ANGOLI IL CUI VERTICE COINCIDE CON IL CENTRO DELLA CIRCONFERENZA (ANGOLI AL CENTRO) - ANGOLI IL CUI VERTICE SI TROVA IN UN PUNTO QUALSIASI DELLA CIRCONFERENZA (ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA) AD OGNI ANGOLO CORRISPONDE UN ARCO E NEL LINGUAGGIO SPECIFICO SI DICE CHE: L ANGOLO INSISTE SULL ARCO QUINDI, GUARDANDO LE FIGURE A FIANCO POSSIAMO DIRE CHE: L ANGOLO L ARCO INSISTE SULL ARCO È L ARCO CORRISPONDENTE DELL'ANGOLO AL CENTRO L ANGOLO L ARCO INSISTE SULL ARCO È L ARCO CORRISPONDENTE DELL'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA
7 ANGOLI AL CENTRO L ANGOLO AL CENTRO È UN ANGOLO AVENTE IL VERTICE NEL CENTRO DI UNA CIRCONFERENZA ESISTE UN SOLO ANGOLO AL CENTRO CHE INSISTE SU UN DATO ARCO. O OVVERO L ANGOLO AL CENTRO CHE HA IL VERTICE IN O E CHE CORRISPONDE ALL ARCO È SOLO UNO DISEGNIAMO: - DUE ARCHI UGUALI E E QUINDI 2 CORDE UGUALI AB E CD - GLI ANGOLI AL CENTRO CHE INSISTONO SU TALI ARCHI: E OTTENIAMO 2 TRIANGOLI ISOSCELI CONGRUENTI PERCHÉ: HANNO LE BASI CONGRUENTI AB = CD I LATI OBLIQUI CONGRUENTI AO = BO = DO = CO PERCHÉ SONO TUTTI RAGGI DELLA CIRCONFERENZA SE I TRIANGOLI SONO CONGRUENTI ALLORA ANCHE = POSSIAMO CONCLUDERE CHE: ANGOLI AL CENTRO CHE INSISTONO SU ARCHI CONGRUENTI SONO TRA LORO CONGRUENTI. ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA L ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA È UN ANGOLO AVENTE IL VERTICE SULLA CIRCONFERENZA P CI SONO INFINITI ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA CHE INSISTONO SU UN DATO ARCO E HANNO TUTTI LA STESSA AMPIEZZA CIOÈ: SE DISEGNIAMO DIVERSI ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA (VEDI DISEGNO A FIANCO) CHE CORRISPONDONO TUTTI ALL ARCO, CI RENDIAMO CONTO CHE: 1. POSSIAMO DISEGNARNE INFINITI 2. HANNO TUTTI LA STESSA AMPIEZZA
8 RELAZIONE TRA ANGOLI AL CENTRO E ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA CONSIDERIAMO UN ANGOLO AL CENTRO UN ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA SE MISURIAMO I DUE ANGOLI NOTEREMO CHE È IL DOPPIO DI P IN CONCLUSIONE: OGNI ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA È LA METÀ DELL'ANGOLO AL CENTRO CHE INSISTE SULLO STESSO ARCO. CONSIDERIAMO UN ANGOLO AL CENTRO CHE INSISTE SULLA SEMICIRCONFERENZA (ARCO ) E UN ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA CHE INSISTE SULLO STESSO ARCO SAPPIAMO CHE È IL DOPPIO DI QUINDI: POICHÉ =180 SEGUE CHE = 90 DI CONSEGUENZA IL TRIANGOLO APB È UN TRIANGOLO RETTANGOLO CON L'IPOTENUSA CHE COINCIDE CON IL DIAMETRO DELLA CIRCONFERENZA. IN CONCLUSIONE: UN TRIANGOLO INSCRITTO ALL INTERNO DI UNA SEMICIRCONFERENZA È SEMPRE UN TRIANGOLO RETTANGOLO CONSIDERIAMO LA MEDIANA OP RELATIVA ALL'IPOTENUSA. (RICORDIAMO CHE LA MEDIANA DI UN TRIANGOLO È IL SEGMENTO CHE UNISCE UN VERTICE AL PUNTO MEDIO DEL LATO OPPOSTO) NOTIAMO CHE LA MEDIANA OP DEL TRIANGOLO NON È ALTRO CHE IL RAGGIO. DATO CHE L'IPOTENUSA DEL TRIANGOLO È UGUALE AL DIAMETRO DELLA CIRCONFERENZA, POSSIAMO DIRE CHE LA MEDIANA È LA META' DELL'IPOTENUSA. IN CONCLUSIONE: NEL TRIANGOLO RETTANGOLO LA MEDIANA È LA META' DELL'IPOTENUSA.
9 IL CERCHIO IL CERCHIO È COSTITUITO DA TUTTI I PUNTI INTERNI ALLA CIRCONFERENZA. SETTORE CIRCOLARE A settore circolare O B IL SETTORE CIRCOLARE È LA PARTE DI CERCHIO DELIMITATA DA: - DA UN ARCO - DAI DUE RAGGI OA E OB SEGMENTO CIRCOLARE SEGMENTO CIRCOLARE A UNA BASE IL SEGMENTO CIRCOLARE A UNA BASE È LA PARTE DI CERCHIO COMPRESA TRA UNA CORDA E UN ARCO SE LA CORDA CHE DISEGNIAMO È IL DIAMETRO, IL CERCHIO RISULTA DIVISO IN DUE PARTI UGUALI OGNUNA DELLE QUALI SI CHIAMA SEMICERCHIO: SEGMENTO CIRCOLARE A DUE BASI IL SEGMENTO CIRCOLARE A DUE BASI È LA PARTE DI CERCHIO COMPRESA TRA LE DUE CORDE PARALLELE
10 LUNGHEZZA DELLA CIRCONFERENZA E AREA DEL CERCHIO LUNGHEZZA DELLA CIRCONFERENZA c = d OPPURE c = 2r FORMULE INVERSE: RAGGIO r DIAMETRO: c 2 d c AREA DEL CERCHIO A = r 2 π FORMULA INVERSA: RAGGIO r A
11 LUNGHEZZA DI UN ARCO DI CIRCONFERENZA α 360 C : lunghezza della circonferenza REGOLA TRA UN ANGOLO AL CENTRO L ARCO CORRISPONDENTE ESISTE UNA RELAZIONE DI PROPORZIONALITÀ DIRETTA PROPORZIONE LA PROPORZIONE CHE LEGA QUESTE GRANDEZZE È LA SEGUENTE l : c = α : 360 FORMULE l = C x α C = l x 360 α = l x α c
12 AREA DEL SETTORE CIRCOLARE α 360 REGOLA TRA UN ANGOLO AL CENTRO L AREA DEL SETTORE CIRCOLARE ESISTE UNA RELAZIONE DI PROPORZIONALITÀ DIRETTA PROPORZIONE LA PROPORZIONE CHE LEGA QUESTE GRANDEZZE È LA SEGUENTE As: Ac = α : 360 FORMULE As = Ac x α Ac = As x 360 α = As x α Ac
13 AREA DEL SEGMENTO CIRCOLARE AREA DELLA CORONA CIRCOLARE C1 C1 AREA CORONA CIRCOLARE = A C2 A C1 A CORONA = (r 2 2 r 12 )
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