ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2007 Sessione suppletiva

Transcript

1 ESAME DI STAT DI LIE SIENTIFI RS DI RDINAMENT 7 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Rispetto a un sistema di assi cartesiani ortogonali () si consideri il punto A(; ).. Si scriva l equazione del luogo dei punti del piano che verificano la condizione: P PA 8, controllando che si tratta di una circonferenza di cui si calcolino le coordinate del centro e il raggio.. Si determini l ampiezza dell angolo acuto formato dalla retta B con la tangente alla circonferenza in B, essendo B il punto della curva avente la stessa ascissa di A e ordinata positiva.. Si scriva l equazione della parabola cubica a b c d che presenta, nell origine, un flesso con tangente orizzontale e passa per B; si studi tale funzione e si tracci il suo grafico.. Si calcoli l area della regione finita di piano limitata dal segmento B e dall arco B della suddetta parabola cubica. PRBLEMA Si consideri la funzione: f () e e e.. Si studi tale funzione e si tracci il suo grafico, su un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali ().. Si determinino le coordinate del punto A, in cui la curva incontra la curva rappresentativa dell equazione e.. Si scrivano l equazione della tangente alla curva nell origine e l equazione della tangente alla curva nel punto A.. Si calcoli l area della superficie piana, delimitata dalla curva, dall asse e dalla retta di equazione ln. Zanichelli Editore, 8

2 QUESTINARI Si calcoli il limite della funzione c os, sen quando tende a. Si determini il campo di esistenza della funzione arcsen (tg ), con Si calcoli il valore medio della funzione tg, nell intervallo. Si provi che per la funzione f () 8 nell intervallo, sono verificate le condizioni di validità del teorema di Lagrange e si trovi il punto in cui si verifica la tesi del teorema stesso. Fra tutti i triangoli isosceli inscritti in una circonferenza di raggio r, si determini quello per cui è massima la somma dell altezza e del doppio della base. Si consideri la seguente proposizione: «Il luogo dei punti dello spazio equidistanti da due punti distinti è una retta». Si dica se è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta. Sia data la funzione: arctg per f () per Si dica se essa è continua e derivabile nel punto di ascissa. Si determini l area della regione piana limitata dalla curva di equazione e, dalla curva di equazione e dalle rette e. Si determinino le equazioni degli asintoti della curva f (). Si risolva la disequazione 5. Durata massima della prova: 6 ore. È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema. Zanichelli Editore, 8

3 SLUZINE DELLA PRVA D ESAME RS DI RDINAMENT 7 Sessione suppletiva PRBLEMA. Sia P( ; ) un generico punto del piano cartesiano. Utilizzando la formula della distanza tra due punti si ricava: P, PA ( ), pertanto risulta: P PA 8 ( ) L equazione è del tipo a b c. Essa rap- presenta una circonferenza se a b c. Nel no- stro caso si ha a b c 6. Pertanto il luogo trovato è una circonferenza, con centro ; e raggio r 6 (figura ). Figura.. Per trovare l ordinata di B, punto della circonferenza avente la stessa ascissa di A e ordinata positiva, sostituiamo nell equazione della circonferenza il valore a. tteniamo: 6. t Poiché l ordinata di B è positiva, il punto ha coordinate B ;. Tracciamo la retta t, tangente alla circonferenza nel punto B, e la retta α B (figura ). A Per calcolare l ampiezza dell angolo rappresentato in figura, determiniamo i coefficienti angolari delle rette B e t. La retta B ha coefficiente B angolare m B. Figura. B onsiderata la retta tangente t passante per il punto B ;, il suo coefficiente angolare m t è l antireciproco del coefficiente angolare della retta passante per il raggio B, ovvero: B m B, B P P + PA = 8 A Zanichelli Editore, 8

4 pertanto m t. L angolo acuto, formato dalla retta B con la tangente t, ha tangente goniometrica: mb mt tg tg. mb mt Risulta allora che 6.. Affinché il grafico della funzione f () a b c d passi per l origine e qui presenti un flesso con tangente orizzontale, devono essere verificate le seguenti condizioni: f(), f (), f (). Poiché f () a b c e f () 6a b, tali condizioni sono verificate rispettivamente se d, c, b. L equazione si riduce a a. Determiniamo il coefficiente a sostituendo le coordinate di B ; : a a 8. L equazione della parabola cubica è quindi. B Essa è definita in tutto R, interseca gli assi nell origine che è anche l unico punto di flesso. È positiva nell intervallo ]; [, negativa in ] ; [ e sempre crescente. La concavità è rivolta verso l alto in ]; [, verso il basso in ] ; [. Il suo grafico è rappresentato in figura. Figura.. In figura è indicata la regione finita di piano di cui si richiede di calcolare l area. La retta B ha equazione, pertanto: Area d 6. B = PRBLEMA Figura.. La funzione f () e e e ha campo di esistenza R. Essa può essere scritta come f () e (e e ). Le sue intersezioni con gli assi cartesiani si trovano risolvendo i seguenti due sistemi: e (e e ) e e e / R (e )(e ) e, Zanichelli Editore, 8

5 . e (e e ) L intersezione della funzione con gli assi è (; ). Studiamo la positività: e (e )(e ) e, pertanto la funzione è positiva per, è nulla in, è negativa per. Determiniamo gli eventuali asintoti calcolando i limiti della funzione per e : lim (e e e ) lim e (e e ), lim e (e e ), lim e (e e ). Si deduce che la funzione non ha asintoti obliqui ma ha asintoto orizzontale nell intorno di. alcoliamo la derivata prima e studiamo il suo segno: f () e e e e (e e ) e e e, f () e ln. La relativa tabella del segno è riportata in figura 5. f'() f() ln + Figura 5. min La funzione ammette un minimo per ln, la cui immagine vale: f ln Studiamo infine la derivata seconda e il suo segno: f () e 8e e e (e 8e ) e e f () e ln. e, La derivata seconda si annulla per ln, è positiva f''() + per ln, è negativa per ln (figura 6). ln Pertanto la funzione presenta concavità rivolta verso l alto per ln, rivolta verso il basso per ln e un f() flesso Figura 6. flesso per ln, dove f ln Zanichelli Editore, 8

6 Indicato con M il punto di minimo e con F il punto di flesso rappresentiamo in figura 7 il grafico della funzione. ln ln F M Figura 7.. Rappresentiamo in figura 8 la curva e la curva di equazione e. 5 A ' ln( 5 ) Figura 8. alcoliamo le coordinate del punto A risolvendo il seguente sistema: e e e e e e e e (e 5)(e 5) e e e 5 ln(5 ). e 5 Il punto A ha coordinate A(ln(5 ); 5 ).. La tangente alla curva di equazione e e e nell origine (; ) ha equazione m con m (), per cui la tangente ha equazione. La tangente alla curva di equazione e in A ha equazione: m [ ln(5 )] 5 con m (ln(5 )) 5. Pertanto la tangente in A alla curva ha equazione: e (5 )[ ln(5 )] 5 (5 ) (5 )[ ln(5 )]. 6 Zanichelli Editore, 8

7 . Nella figura è rappresentata la superficie piana, delimitata dalla curva, dall asse e dalla retta di equazione ln. Il punto P di ascissa ln ha ordinata 6. Si osservi che per motivi di migliore rappresentazione il sistema cartesiano è dimetrico. 6 P = ln ln Figura. alcoliamo l area della superficie indicata: Area ln (e e e ) d e e e ln. QUESTINARI cos Il limite lim sen si presenta nella forma indeterminata. Raccogliamo sia al numeratore che al denominatore e semplifichiamo: cos lim lim cos cos lim sen sen se n Applicando il limite notevole lim sen si ottiene: lim cos sen Per stabilire il segno di osserviamo che sia nell intorno destro sia nell intorno sinistro di risulta se n sen. Pertanto in un intorno completo di vale. In particolare risulta allora: cos lim se n 7 Zanichelli Editore, 8

8 La funzione arcsen (tg ), con, è definita quando il suo argomento, in questo caso (tg ) è compreso tra e ovvero tg. È quindi necessario risolvere la disequazione tg nell insieme. Risulta: tg tg 5 7. Per il teorema della media, se f () è una funzione continua nell intervallo [a; b], esiste almeno un punto c [a; b] tale chef (c) b b f () d. Il valore f (c) si chiama valore medio della funzione nell interval- a a lo considerato. Se f () tg, nell intervallo ; risulta: f (c) tg d s c en os d cos d [tg ] os coc d s. Una funzione f () soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange in un intervallo [a; b] se è continua in [a; b] ed è derivabile nei punti interni dell intervallo. In tal caso esiste un punto c nell intervallo ]a; b [ tale che f (c) f (b ) f (a). Se consideriamo f () 8 con, le due ipotesi sono verificate in b a quanto la funzione, essendo polinomiale, è continua e derivabile in R. Vale allora il teorema di Lagrange e, poiché f (), risulta: c ( 8) ( 8) c c di cui solo c accettabile perché interno all intervallo [; ]. In conclusione, il punto in cui si verifica la tesi del teorema di Lagrange è. 5 onsideriamo un triangolo isoscele AB di base AB e altezza H rispetto alla base, inscritto in una circonferenza di raggio r e centro (figura ). Sia l angolo HĈB, con limiti geometrici. onsiderata la funzione H AB, esprimiamo i suoi termini in funzione di : H H r r cos, AB HB r sen. r A H B Figura. 8 Zanichelli Editore, 8

9 Pertanto risulta: H AB r r cos r sen, con. alcoliamo la derivata prima della funzione: r sen 8r cos r ( sen cos ). Studiamo i punti stazionari della funzione: r ( sen cos ) ; dividendo per cos che in ; si annulla per che non è soluzione, si ottiene tg e quindi: arctg. Determiniamo la derivata seconda e calcoliamola nel punto stazionario trovato: r ( cos sen ), (arctg ) r [ cos (arctg ) sen (arctg )]. Per la condizione sufficiente di esistenza di un massimo, la funzione ha massimo per l angolo arctg 8. 6 onsiderati due punti A e B nello spazio, si tracci il piano perpendicolare al segmento AB e passante per il suo punto medio M (figura ). P A M B Figura. Preso sul piano un qualsiasi punto P, i triangoli rettangoli AMP e BPM sono congruenti per il primo criterio di congruenza e, in particolare, AP BP. Pertanto, nello spazio, il luogo dei punti equidistanti da due punti A e B dati non è una retta ma il piano perpendicolare al segmento che congiunge i punti dati e che passa per il corrispondente punto medio M. La proposizione data è quindi falsa. 7 onsiderata la funzione, valutiamo la continuità nel punto calcolando il limite destro e il limite sinistro in questo punto: lim arctg, lim arctg. Poiché f () e il limite destro e sinistro coincidono con l immagine della funzione nel punto, la funzione è continua in. Zanichelli Editore, 8

10 Valutiamo ora la derivabilità nel punto confrontando il limite destro e il limite sinistro della derivata prima, dopo averla calcolata: f () arctg arctg, lim arctg, lim arctg. Essendo i due limiti diversi, la funzione non è derivabile nel punto. 8 In figura sono rappresentati i grafici delle funzioni e e, ed è evidenziata la regione piana limitata dalle loro curve e dalle rette e. = e = = Figura. L area della regione vale: A (e ) d e e e 5. La funzione f () ha campo di esistenza R { } e il suo limite per che tende a risulta: lim, lim. La funzione ha pertanto asintoto verticale destro e sinistro. Determiniamo eventuali asintoti orizzontali o obliqui m q considerando i seguenti limiti: lim, quindi non esistono asintoti orizzontali; m lim f ( ) lim, q lim ( f () m) lim lim. La funzione ha asintoto obliquo di equazione. Gli asintoti della funzione sono pertanto e. Zanichelli Editore, 8

11 La disequazione assume significato solo se è un numero naturale tale che:, N. Risolviamo la disequazione esplicitando i coefficienti binomiali: 5! 5!!( ( )( ) 5 ( )!( )! )! 6 ( )( ) 5 ( ). Essendo, possiamo dividere entrambi membri per ( ), essendo, questa, una quantità positiva: 5. Quindi la disequazione di partenza ammette come soluzioni accettabili solo i numeri naturali maggiori o uguali a 5 ovvero: 5, N. Zanichelli Editore, 8

12 Per esercitarti ancora sugli argomenti trattati nel Svolgi il Problema Problema 5 pag. L 68 Esercizio 6 pag. Quesito pag. W 67 Esercizio pag. V Esercizio pag. W 8 Problema Esercizio 7 pag. V 5 Esercizio 5 pag. V 78 Esercizio 55 pag. V 78 Esercizio 6 pag. V 75 ( parte) Esercizio pag. W 8 (punti a e b) Quesito Esercizio 6 pag. U 7 Esercizio 5 pag. U 7 Quesito Esercizio 7 pag. U 5 Esercizio 88 pag. U 6 Quesito Esercizio 76 pag. W Esercizio 77 pag. W Quesito Esercizio pag. V 7 Esercizio 5 pag. V 8 Quesito 5 Esercizio 66 pag. V Esercizio 67 pag. V Quesito 6 Esercizio pag. 7 Esercizio 8 pag. 7 Quesito 7 Esercizio 8 pag. V 5 Problema pag. V (punti a e b) Quesito 8 Esercizio pag. W 8 Esercizio pag. W 8 Quesito Esercizio 568 pag. U Quesito Esercizio pag. 5 Esercizio 6 pag. 7 Zanichelli Editore, 8