Grandezze Fisiche, Sistema Internazionale e Calcolo Vettoriale

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1 Grandezze Fisiche, Sistema Internazionale e Calcolo Vettoriale Soluzioni ai Quiz 1 Il Sistema Internazionale di Unità di Misura Le grandezze fisiche di base sono sei, ognuna delle quali ha una unità di misura standard omologata dal Sistema internazionale. Ogni grandezza fisica composta (e la relativa unità di misura) è una combinazione di due o più grandezze fisiche (unità) di base. Con l eccezione del kilogrammo, tutte le altre unità sono definibili misurando fenomeni naturali. Inoltre, è da notare che il kilogrammo è l unica unità di misura di base contenente un prefisso: questo perché il grammo è troppo piccolo per la maggior parte delle applicazioni pratiche. Nonostante le misure di angoli (piani e solidi) siano ancora ampiamente utilizzati, fanno ora parte delle unità di misura derivate. Grandezza fisica unità nel SI ı Intensità di corrente ampere A l v Intensità luminosa candela cd l Lunghezza metro m m Massa kilogrammo kg mol Quantità di sostanza mole mol T Temperatura termodinamica grado kelvin K t Tempo secondo s ϑ angolo radiante rad Ω angolo solido steradiante sterad La notazione scientifica ed i prefissi utilizzati nel Sistema Internazionale per indicare multipli e sottomultipli di una determinata grandezza sono relazionati tra loro. 1

2 10 n Prefisso Simbolo yotta Y zetta Z exa E peta P tera T 10 9 giga G 10 6 mega M 10 3 kilo k 10 2 etto h 10 deca da 10 1 deci d 10 2 centi c 10 3 milli m 10 6 micro µ 10 9 nano n pico p femto f atto a zepto z yocto y 1. Nel Sistema Internazionale il prefisso Giga equivale a La risposta corretta è la c. 2. Nel Sistema Internazionale il prefisso micro equivale a La risposta corretta è la d. 3. Nel Sistema Internazionale il prefisso milli equivale a La risposta corretta è la c. 4. L unità di misura SI dell angolo piano è il radiante. La risposta corretta è la d. 5. Il volume di un litro è 1dm 3 equivalente a 10 3 m 3. La risposta corretta è la d. 6. Il secondo membro deve essere espresso in ms 2 perché tali sono le unità di misura del primo. Analizzando le unità di misura delle possibili risposte si deduce che la risposta corretta è v 2 /s. Le sue 2

3 unità di misura sono infatti m 2 s 2 m 1 = ms 2. La risposta corretta è la c. 7. La grandezza a + b non ha senso perché si possono sommare solo grandezze omogenee. La risposta corretta è la e. 8. Le unità di misura della grandezza a/b si ottengono dividendo le unità di misura di a con quella di b. Si ottiene quindi ms 1. La risposta corretta è la a.. 9. Poiché esponenti ed argomenti dei logaritmi devono sempre essere adimensionali, b deve avere come unità di misura s 1. La risposta corretta è la b. 10. Poiché l argomento del logaritmo deve essere un numero puro, c deve essere adimensionale. La risposta corretta è la d. 11. Si possono sommare soltanto grandezze omogenee e quindi, poiché la grandezza a viene espressa in metri (m), tale deve essere anche il prodotto bc. Di conseguenza, essendo b espresso in m 2, c deve essere espresso in m 1. La risposta corretta è la d. 12. Il secondo membro deve essere espresso in metri perché tali sono le unità del primo membro. Sostituendo le unità di misura si ottiene ossia (ms 1 ) q (ms 2 ) 1 = m m q 1 s 2 q = m Affinché questa relazione sia vera deve essere m q 1 = m = m 1 e s 2 q = 1 = s 0 ; e quindi, in ogni caso, si ha q = 2. La risposta corretta è la b. 2 Conversione di unità di misura 13. Consideriamo le seguenti equivalenze: 1g = 10 3 kg 1cm = 10 2 m 1cm 3 = 10 6 m 3 dividendo membro a membro: 1gcm 3 = 10 3 kgm 3 3

4 Di conseguenza gcm 3 sono equivalenti a 13546kgm 3. La risposta corretta è la d. 14. Consideriamo le seguenti equivalenze 1km = 10 3 m dividendo membro a membro: 1h = 3600s = s 1kmh 1 = 1ms Quindi in questo caso: 72kmh 1 = 72ms = 20ms 1 La risposta corretta è la e. 15. Per ottenere un intervallo temporale di 365 giorni espresso in secondi occorre tenere presente che 1h = s 1y = 365d = s 1d = 24h = s = s Si ha quindi In notazione scientifica con tre cifre significative si ha 1y = s La risposta corretta è la b. 16. Consideriamo le seguenti equivalenze 1l = 10 3 m 3 1min = 60s Dividendole membro a membro si ottiene: 1lmin 1 = m3 s Quindi si ha 5lmin 1 = 5m3 s ossia, in notazione scientifica e con tre cifre significative 5lmin 1 = m 3 s 1 La risposta corretta è la b. 4

5 17. Poiché1cm 3 = 10 6 m 3 allora cm 3 sonoequivalentia m 3 ossia a m 3 La risposta corretta è la a. 3 Calcolo Vettoriale Un vettore è una grandezza fisica caratterizzata da 3 parametri reali: modulo (o intensità), direzione e verso. Esempi tipici di grandezze vettoriali possono essere la posizione x, la velocità v, l accelerazione a, la forza F ecc... Alla definizione di vettore si contrappone quella di grandezza scalare, definita solo attraverso l ausilio di un parametro reale. Uno scalare non dipende dal sistema di riferimento scelto. Esempi tipici di grandezze scalari sono la massa m, il modulo x ecc Rappresentazione cartesiana di un vettore Si dicono componenti di un vettore le proiezioni del vettore sugli assi cartesiani. In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale in due dimensioni, ove il vettore considerato, con modulo a parte dall origine ed arriva in un generico punto (a x,a y ) se denominiamo ϑ l angolo compreso tra l asse delle ascisse ed il vettore stesso, possiamo dire che: La componente lungo x del vettore a vale a x = acos ϑ La componente lungo y del vettore a vale a y = asin ϑ Il modulo a del vettore a vale a = a 2 x +a 2 y L angolo ϑ vale ϑ = arctan ( ay a x ) (1) (2) 5

6 a 18. α x a x y a y Un vettore di modulo a = 40 che forma un angolo α = 135 con l asse positivo delle ascisse, ha componenti cartesiane date da a x = acos α a y = asin α a x = 28.3 a y = 28.3 La risposta corretta è la d. 19. Il segmento orientato che rappresenta il vettore ha origine nel punto (0, 0) ed estremità il punto con coordinate cartesiane coincidenti con le componenti ed del vettore stesso (a x,a y ). Di conseguenza il modulo si ottiene con: a = (a 2 x +a 2 y) Nel nostro caso abbiamo: a = ( ) = 20 La risposta corretta è la d. 20. La componente di un vettore lungo un asse di riferimento è la misura del segmento orientato ottenuto proiettando il vettore lungo tale asse. Poiché il vettore è parallelo all asse,e orientato in verso opposto, tale misura è il modulo del vettore preceduto dal segno negativo, ovvero in questo caso 5. La risposta corretta è la a. 3.2 Somma di Vettori La composizione di vettori (la somma) può essere effettuata solo conoscendo l orientazione relativa dei vettori stessi, sommando algebricamente le singole componenti lungo ogni direzione e calcolando il modulo alla fine. Se denominamo s il vettore somma s = a+ b e α l angolo compreso 6

7 tra i vettori a e b, possiamo scrivere: La componente lungo x di s vale La componente lungo y di s vale Il modulo s di s vale L angolo ϑ relativo ad s vale s x = a x +b x s y = a y +b y s = a 2 +b 2 +2abcos α ( ) sy ϑ s = arctan s x (3) (4) 21. Non si conosce l angolo formato dalle direzioni dei vettori e quindi non si può valutare la loro somma. La risposta corretta è la e. 22. La somma di due vettori aventi la stessa direzione e versi opposti si effettua come la sottrazione di segmenti appartenenti alla stessa retta in geometria. Il modulo del vettore somma è quindi il modulo della differenzadeimoduli deidue vettori. I vettori a e b hannomoduli 3 e 4 rispettivamente e quindi il modulo della somma vettoriale è a+ b = 1. Alternativamente, fissato un asse di riferimento avente la stessa direzione dei due vettori ed orientato ad esempio come il vettore, i vettori a e b possono essere rappresentati come a = 3î e b = 4î. Di conseguenza la somma vettoriale ha solo componente lungo î che vale 3 4 = 1. La risposta corretta è la c. 23. Il vettore somma è l ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono i due vettori di modulo 3 e 4. Di conseguenza si ha a+ b = a 2 +b 2 Che nel nostro caso vale: a+ b = = 5 La risposta corretta è la b. Si noti che la la formula necessaria a ricavare il modulo della somma vettoriale a+ b nel caso in cui siano tra loro perpendicolari è solo un caso particolare della formula più generale: a+ b = a 2 +b 2 +2( a b) = a 2 +b 2 +2abcos ϑ in cui si ha ϑ = π 2 cos ϑ = 0 7

8 24. La somma di due vettori aventi la stessa direzione e lo stesso verso si effettua come la somma di segmenti appartenenti alla stessa retta in geometria. Il modulo del vettore somma è quindi il modulo della somma dei moduli dei due vettori. I vettori a e b hanno moduli 3 e 4 rispettivamente e quindi il modulo della somma vettoriale è 7: a+ b = 7. Alternativamente, fissato un asse di riferimento avente la stessa direzione dei due vettori ed orientato ad esempio come il vettore, i vettori a e b possono essere rappresentati come a = 3î e b = 4î. Di conseguenza la somma vettoriale ha solo componente lungo î che vale 3+4 = 7. La risposta corretta è la c. La risposta corretta è la a. 25. Note le componenti cartesiane (a x,a y ) e (b x,b y ) di due vettori a e b, per ottenere il modulo della somma si devono calcolare le componenti di a+ b sommando le componenti relative allo stesso asse e successivamente applicare l equazione (1) per ottenere il modulo. (a+b) x = a x +b x (a+b) y = a y +b y Per cui il modulo vale: a+ b = (a+b) 2 x +(a+b) 2 y = (a x +b x ) 2 +(a y +b y ) 2 = (5 2) 2 +( 3 1) 2 a+ b = 5 = 9+16 = 5 La risposta corretta è la c. 3.3 Prodotto Scalare È possibile combinare tra loro due vettori in modo tale da ottenere una grandezza scalare, attraverso una operazione nota come prodotto scalare o prodotto interno. Il prodotto scalare è denotato dal simbolo e, come ogni altra operazione tra vettori, necessita sia del modulo degli operandi che della loro orientazione relativa. 8

9 Se denominamo c il risultato del prodotto scalare c = a b e α l angolo compreso tra i vettori a e b, possiamo scrivere: c = abcos α (5) c = a x b x +a y b y (6) Si noti che il risultato del prodotto scalare è appunto uno scalare e quindi è caratterizzato da un solo parametro. Dalle equazioni (5) e (6) è semplice dimostrare che il prodotto scalare gode della proprietà commutativa 1 : c = a b = b a. Per i casi particolari di vettori tra loro paralleli, antiparalleli o perpendicolari, è sufficiente calcolare il coseno per ottenere: Perpendicolari Se α = π 2 oppure α = 3 2 π a b = 0 Parallele Se α = 0 a b = ab Antiparallele Se α = π a b = ab (7) (8) (9) 26. Ricordando che l espressione del prodotto scalare tra due vettori e formanti un angolo α è c = abcos α e poiché nel caso in esame si ha a = 4, b = 5, α = 60 si ha c = 10. La risposta corretta è la c. 27. I due vettori avendo la stessa direzione e versi opposti formano un angolo α di 180. α = 180 a b Il loro prodotto scalare risulta a b = ab poiché cos(180 ) = 1. Si ha quindi: a b = 5 4 = 20. La risposta corretta è la a. 1 Provate ad esplicitare la dimostrazione! 9

10 28. a α = 90 b I due vettori formano un angolo di 90 e, di conseguenza il loro prodotto scalare è nullo poiché cos(90 ) = 0 ossia a b = 0. La risposta corretta è la b. 29. α = 0 a b Risulta, nel nostro caso: a b = 4 5 = 20. La risposta corretta è la d. I due vettori avendo la stessa direzione e lo stesso verso formano un angolo di 0 e di conseguenza il loro prodotto scalare è, per definizione a b = ab, poiché cos(0 ) = Poiché non si conosce l angolo formato dalle direzioni dei due vettori non si può valutare il loro prodotto scalare. La risposta corretta è la e. 31. Note le componenti cartesiane (a x,a y ) e (b x,b y ) dei vettori, dalla (6) il loro prodotto scalare risulta: a b = ax b x +a y b y che nel caso in questione vale a b = 3 6+( 4 5) = 2 La risposta corretta è la e. 10

11 3.4 Prodotto Vettoriale L ultima operazione tra vettori che v = a b introduciamo è il prodotto vettoriale o prodotto esterno. Come suggerito dal nome, tale operazione genera b un vettore, caratterizzato da tre paramenti reali (modulo, direzione e verso). α Il prodotto vettoriale è denotato dal ˆk a simbolo oppure dal simbolo. Come ogni altra operazione tra vettori, necessita sia del modulo degli operandi che della loro orientazione relativa. In generale la direzione del risultato di un prodotto vettoriale è ortogonale al piano che contiene i due vettori (ovvero è ortogonale ad ognuno dei due operandi) e si ottiene con la regola della mano destra. La regola della mano destra consiste nell immaginare di ruotare il primo vettore sul secondo, avvolgendo appunto la mano destra. La direzione indicata dal pollice è la direzione della risultante. In altre parole, per un angolo α compreso tra i due vettori (con α < 180 ) se la rotazione del primo sul secondo è antioraria il verso della risultante è uscente; viceversa se la rotazione è oraria il verso è entrante. Denominamo v il risultato del prodotto vettoriale v = a b, α l angolo compresotraivettori ae b,e ˆkilversore 2 condirezioneperpendicolaread entrambi i vettori e verso dato dalla regola della mano destra, possiamo sempre scrivere: v = absin α ˆk v = (a x b y a y b x ) ˆk (10) (11) Dalle equazioni (10) e (11) è semplice dimostrare che il prodotto vettoriale NON gode della proprietà commutativa, bensì è anticommutativo 3, ovvero a b = b a 2 Si dice versore un vettore di modulo 1, utilizzato al solo scopo di specificare direzione e verso. È denotato dal simbolo ˆ sopra la lettera. 3 Provate ad esplicitare la dimostrazione! 11

12 Per i casi particolari di vettori tra loro paralleli, antiparalleli o perpendicolari, è sufficiente calcolare il seno per ottenere: Perpendicolari Se α = π 2 a b = abˆk (12) Se α = 3 2 π a b = abˆk Parallele Se α = 0 a b = 0 Antiparallele Se α = π a b = 0 (13) (14) (15) 32. Poiché non si conosce l angolo formato dalle direzioni dei due vettori non si può valutare il loro prodotto vettoriale. La risposta corretta è la e. 33. L angolo formato dai vettori e aventi la stessa direzione e verso opposto è di 180 e quindi il modulo del loro prodotto vettoriale è a b = absin(180 ) = 0. La risposta corretta è la a. 34. I due vettori formano un angolo di 90 e quindi, per definizione, il modulo del loro prodotto vettoriale è a b = absin(90 ) = ab. In questo caso ab = 9 3 = 27 La risposta corretta è la c. 35. I due vettori avendo la stessa direzione e lo stesso verso formano un angolo di 0. Dato che sin(0 ) = 0 il modulo del prodotto vettoriale è nullo. La risposta corretta è la b. 36. Note le componenti cartesiane di e si ha dalla (11) a b = (ax b y a y b x )ˆk e nel nostro caso a b = ( )ˆk = 8ˆk La risposta corretta è la a. 12