DISTRIBUZIONI DISTRIBUZIONE DI GAUSS

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1 DISTRIBUZIONI ESPERIENZA a: DISTRIBUZIONE DI GAUSS SCOPO: Costruzione di una distribuzione di Gauss dai valori di una grandezza fisica ottenuti da una misura dominata da errori casuali. Studio dell influenza dello strumento di misura sull errore misurato. MATERIALE: PC con sistema Windows cronometro con due fotocelle sostegno, aste, morsetto per il pendolo cronometro digitale (10 ms) INTRODUZIONE L esperienza consiste nell eseguire una serie di misure ripetute di una grandezza fisica (il periodo di un pendolo) utilizzando strumenti di misura con diversa precisione. Per ogni raccolta dati (N misure della stessa grandezza con lo stesso strumento di misura) si costruisce la distribuzione dei valori misurati in termini di istogramma delle frequenze, di valor medio e di deviazione standard e si confronta tale distribuzione con una distribuzione gaussiana. 1

2 PROCEDURA SPERIMENTALE a) Si misura il periodo del pendolo su una singola oscillazione, utilizzando inizialmente il sistema a fotocellula collegata a un cronometro con sensibilità 0.1 ms, eseguendo N misure (almeno 50), e calcolando il valore medio e la deviazione standard σ della misura. b) Si ripete la misura utilizzando lo stesso cronometro del punto a) (sensibilità 0.1 ms) ma comandato a mano (pulsante di start e di stop) invece che dalla fotocellula. Si calcola il valore medio e la σ della distribuzione ottenuta. c) Si ripete ancora la misura utilizzando questa volta un cronometro con precisione peggiore (10 o 100 ms), ancora comandato a mano. Si calcola il valore medio e la σ della distribuzione ottenuta. Il periodo del pendolo può essere scelto variando la lunghezza del filo di sospensione, che viene fissato a una coppia dei fori sull asta orizzontale del supporto. Una sua stima può essere ottenuta dalla misura della distanza dal punto di sospensione con la formula T = 2π d / g con g=9.8 m/s 2. Nei tre casi si suppone che la deviazione standard totale σ (larghezza della distribuzione misurata) sia la somma quadratica delle deviazioni standard dovute alla fluttuazione intrinseca del fenomeno (σ intr ), alla fluttuazione introdotta dallo strumento (σ strum = precisione del cronometro utilizzato) e -quando il cronometro è stato azionato a mano- a quella dovuta al tempo di risposta dello sperimentatore (σ man ): σ 2 T=σ 2 intr+σ 2 strum+σ 2 man Si osservi che nel caso a) σ man =0 e si verifichi che la fluttuazione intrinseca è dominante. Si ha quindi σ a σ intr. Nel caso b), avendo usato lo stesso cronometro, σ strum è la stessa e si può quindi ottenere una stima dell errore introdotto dal comando manuale, cioè del tempo di reazione dello sperimentatore, come σ man 2 σ b 2 - σ a 2. Infine, nel caso c) lo strumento dovrebbe introdurre una fluttuazione peggiore sia di quella intrinseca sia di quella manuale. NOTA: Attenzione a non cambiare le condizioni sperimentali durante le misure, come per esempio la lunghezza del filo. Eseguire le misure per piccole oscillazioni, in modo che il periodo sia indipendente dall ampiezza di oscillazione. Se considerate il periodo T troppo breve (per esempio 1s), eseguite la misura su un numero n di periodi a piacere e considerate come grandezza fisica da misurare il tempo t=nt di n periodi. Nel PC è possibile, ad esempio con il programma MATLAB, procedere all immissione dei valori della misura, eseguire il calcolo del valore medio e della 2

3 deviazione standard, e disegnare l istogramma delle frequenze e la curva gaussiana corrispondente al valore medio e alla deviazione standard misurati. NOTA SUL FUNZIONAMENTO DEL CRONOMETRO A FOTOCELLULA Come si usa: 1) scegliere la risoluzione (interruttore su 1 ms o su 0.1 ms) 2) scegliere il MODO di operazione MODO OFF : spento MODO GATE: registra il tempo che impiega un oggetto ad attraversare la fotocellula, oppure il tempo durante cui il tasto Start/Stop è premuto. MODO PULSE: registra il tempo che impiega un oggetto a passare tra le due fotocellule, o il tempo che impiega a passare due volte attraverso la stessa fotocellula, oppure il tempo che intercorre tra lo Start e lo Stop. MODO PENDULUM: registra il tempo che impiega un pendolo a compiere una oscillazione completa attraverso la fotocellula, ovvero il tempo che intercorre tra tre passaggi attraverso la fotocellula 2) azzerare il contatore con RESET 3) eseguire e registrare la misura. Funzione MEMORIA: permette di effettuare due misure in rapida successione 1) posizionare il tasto MEMORY su ON 2) premere RESET 3) eseguire le due misure. Lo schermo mostrerà la prima misura, che va registrata. Premendo READ si ottiene la somma delle due misure. Sottrarre la prima misura dalla somma per ottenere la seconda misura. 3

4 ESPERIENZA N. 1b: DISTRIBUZIONE DI POISSON SCOPO: Studio della distribuzione statistica delle misure di conteggio di decadimenti radioattivi. MATERIALE : contatore di Geiger-Muller cronometro digitale sorgente radioattiva (reticella per lampade a gas) INTRODUZIONE Il tubo di Geiger-Muller è un rivelatore sensibile alla radiazione ionizzante prodotta nel decadimento radioattivo. Il processo di decadimento radioattivo di un nucleo è un fenomeno puramente casuale durante il quale un nucleo (A, Z) si trasforma in un altro nucleo (in generale con A e Z differenti) emettendo nel contempo particelle alfa (radiazione alfa: le particelle alfa sono nuclei di elio cioè sono costituite da due neutroni e due protoni) o elettroni (radiazione beta) o fotoni (radiazione gamma - la radiazione gamma è una radiazione di tipo elettromagnetico emessa sotto forma di pacchetti di energia detti fotoni). Un contatore di Geiger-Muller è un rivelatore che conta il numero di radiazioni (alfa, beta o gamma) che attraversa il suo volume sensibile. Esso è costituito da un tubo riempito di gas e provvisto di due elettrodi che servono a creare un campo elettrico all interno del tubo stesso. Quando la radiazione attraversa il gas contenuto nel tubo lo ionizza producendo così una scarica elettrica: si dice che il rivelatore ha registrato un conteggio. In assenza di una specifica sorgente radioattiva il tubo di Geiger-Muller registra i conteggi dovuti alla radioattività dell ambiente in cui esso si trova: si parla del fondo di conteggi ambientale. Quando utilizzato per la misura della radioattività di una 4

5 sorgente il rivelatore misura, ovviamente, sia la radiazione emessa dalla sorgente (o meglio quella parte di radiazione che, emessa dalla sorgente, attraversa il volume del tubo) sia la radiazione di fondo che non può essere in alcun modo eliminata. Per potere valutare il conteggio netto dovuto alla radioattività della sorgente è necessario effettuare due misure: una in assenza della sorgente (misura di fondo) e una in presenza della sorgente (misura di sorgente). Il conteggio netto dovuto alla sorgente è ottenuto per sottrazione tra le due misure (ovviamente le due misure devono essere fatte nello stesso luogo poichè la radioattività di fondo cambia da ambiente ad ambiente). La posizione reciproca di sorgente e rivelatore determina la percentuale di radiazione che, emessa dalla sorgente, va a colpire il rivelatore (ed è da esso registrata). Per questo motivo nel corso di una misura sorgente e rivelatore non devono essere mai spostati. Il tubo di Geiger-Muller non registra tutta la radiazione che lo colpisce ma solo quella che ha una certa energia minima (energia minima che è differente a seconda del tipo di radiazione). Per questo motivo non è possibile risalire in modo diretto dal numero di conteggi di sorgente per unità di tempo registrati dal rivelatore al numero di decadimenti per unità di tempo della sorgente (attività della sorgente). Il parametro di conversione che consente di passare dall uno all altro è detto efficienza del rivelatore e deve essere determinato mediante apposite misure con sorgenti calibrate (sorgenti di cui sia nota l attività). PROCEDURA SPERIMENTALE Scopo di questa esperienza è di studiare quale è la distribuzione statistica che descrive il fenomeno del decadimento radioattivo. Si misura con un contatore di Geiger-Muller la radioattività di fondo (radioattività ambientale) e la radioattività di una sorgente (in questo caso una reticella per lampade a gas che é fatta di un materiale che contiene tracce di sostanze radioattive di origine naturale) procedendo nel seguente modo: 1) misura del fondo ambientale: si effettuano due gruppi di misure, un primo gruppo registrando per ~100 volte il numero di conteggi misurati dal contatore in un intervallo di tempo di 10 s, un secondo gruppo registrando per ~50 volte il numero di conteggi misurati in un intervallo di tempo di 1 m. Si confronta poi per entrambi i gruppi di misure la frequenza con cui si presentano i diversi valori di conteggio con la frequenza attesa nel caso in cui i conteggi fossero distribuiti secondo la funzione di distribuzione di Poisson o di Gauss. 2) (FACOLTATIVO) misura di sorgente: si posiziona la sorgente vicino al contatore e si registra per ~50 volte il numero di conteggi misurati in un intervallo di tempo di 1 m (durante la misura sorgente e rivelatore non devono essere mai spostati). Quindi si confronta la frequenza con cui si presentano i diversi valori di 5

6 conteggio con la frequenza attesa nel caso in cui i conteggi fossero distribuiti secondo la funzione di distribuzione di Poisson o di Gauss. NOTE - Disegnare gli istogrammi delle frequenze di conteggio misurate e di quelle attese per le due distribuzioni di Gauss e di Poisson. - Per confrontare le distribuzioni attese con quelle misurate utilizzare il test del χ 2. Giustificare i risultati ottenuti. 6