Regime dinamico nel dominio del tempo

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1 egime dinamico nel dominio del empo Appuni a cura dell Ingg. Basoccu Gian Piero e Marras Luca Tuors del corso di A. A 3/4 e 4/5 Ulimo aggiornameno 4//9

2 Premessa egime sazionario Un sisema elerico è in regime sazionario quando le grandezze del sisema non variano nel empo egime sinusoidale Un sisema elerico è in regime sinusoidale permanene quando le grandezze in esame variano nel empo manenendo cosane le ampiezze e le frequenze. egime dinamico Quando un sisema elerico reale passa da un regime sazionario ad un alro o da un regime regime permanene sinusoidale ad un alro, queso passaggio non avviene isananeamene, ma in un empo finio durane il quale le grandezze del circuio possono variare nel empo in ampiezza, frequenza e fase. Il funzionameno che si verifica per un empo ransiorio caraerizza il regime dinamico.

3 Lo sudio dei ransiori in ingegneria elerica corrisponde allo sudio del comporameno dinamico delle sruure in alri rami della fisica e in paricolare dell ingegneria. In ui i campi dell ingegneria come la sruura di un pone, di un graacielo, di un albero di una macchina, di una diga, di un ala di un aereo di una ree elerica, ec per dimensionare correamene, non è sufficiene definire il comporameno saico delle sruure, ma è necessario conoscere il comporameno dinamico. I meodi maemaici con i quali si sviluppa l analisi dei sisemi elerici in regime ransiorio sono quelli raai in alri esi specifici ed uilizzabili in ui i campi dell ingegneria, quando si debbano risolvere problemi di risposa dinamica. I meodi sperimenali presuppongono la realizzazione di modelli (modellazione). 3

4 Per quesi moivi i problemi dinamici relaivi a sisemi non elerici possono essere risoli con modelli analoghi a quelli elerici essendo rei da equazioni differenziali di uguale sruura. La modellazione e risoluzione dei sisemi elerici in regime dinamico rappresenano delle meodologie spendibili per lo sudio dei sisemi di naura diversa in regime dinamico. sisono delle precise analogie ra i modelli analiici risoluivi dei: sisemi elerici sisemi meccanici sisemi idraulici sisemi ermici ec 4

5 Analogia ermica SMPI L'analogia può essere così espressa: Sisema elerico In un corpo maeriale l'inensià di correne fluisce dal puno a poenziale più alo al puno a poenziale più basso, è proporzionale alla differenza di poenziale e dipende dalla naura del corpo maeriale. La cosane di proporzionalià corrispondene al rapporo ra la differenza di poenziale e l'inensià di correne è chiamaa resisenza elerica. sosiuendo le parole inensià di correne con poenza ermica e poenziale con emperaura, elerico con ermico si ha: Sisema ermico In un corpo maeriale la poenza ermica ( o quanià di calore) fluisce dal puno a emperaura più ala al puno a emperaura più bassa, è proporzionale alla differenza di emperaura e dipende dalla naura fisica del corpo. La cosane di proporzionalià corrispondene al rapporo ra la differenza di emperaura e la poenza ermica è chiamaa resisenza ermica. 5

6 Conduzione ermica araverso una paree piana Conduzione lerica in un conduore prismaico 6

7 Analogia meccanica La figura e la abella illusrano l analogia descria Grandezze eleriche Grandezze meccaniche Nome Simbolo U.mis Nome Simbolo U.mis Tensione U V Coppia C J correne I A Velocià W rad/s angolare esisenza W Coefficiene K a J*s d ario Induanza L Ω*s Momeno di J Kg*m inerzia Cosane di s Cosane di s empo empo Correne di corocircuio Icc A Velocià a vuoo ω rad/s 7

8 sempio di analogia ra modelli di sisemi di naura fisica diversi Il modello del sisema elerico relaivo a un bipolo elerico lineare L C serie, alimenao da un generaore di ensione e(): e() L i() dq d β m f() x() C k presena delle analogie con il sisema meccanico lineare comprendene la sorgene con forza f() e i re elemeni meccanici: lo smorzaore a resisenza viscosa dipendene dalla velocià, che ha coefficiene di smorzameno β, la massa m; la molla con la cosane elasica k. 8

9 Al circuio elerico è associabile il modello analiico dell equazione differenziale, oenua applicando il secondo principio di Kirchhoff alla maglia cosiuia dal bipolo L C alimenao dal generaore e(): e() e() di L + u c + i() d d q dq L + + d d C q i() dq d Al sisema meccanico corrisponde il modello analiico dell equazione differenziale oenua applicando la seconda legge di Newon: d x f() m d dx + β d + kx dove x è lo sposameno, che deve essere ineso misurao rispeo ad un puno fisso (riferimeno inerziale 9

10 TI IN GIM DINAMICO Componeni con memoria e componeni senza memoria I circuii elerici sono cosiuii da: COMPONNTI SNZA MMOIA: come le resisenze nelle cui relazioni cosiuive non inervengono legami inegro differenziali. Per loro il valore assuno da ciascuna grandezza elerica (ensione o correne), non dipende dai valori assuni in isani precedeni dalla sessa, o da alre grandezze eleriche del circuio i() v() v( ) i( ) COMPONNTI CON MMOIA: come le induanze e le capacià nelle cui relazioni cosiuive inervengono legami inegro differenziali. i() L i() C v( ) i( ) L L v() di( ) d v( ) + i( ) i( ) C v( ) C v() dv( ) d i( ) + v( )

11 Sono componeni con memoria anche gli induori muuamene accoppiai: i () L L i () v () v () v v ( ) ( ) L M M di ( ) d di ( ) d + M + L di( ) d di( ) d La presenza di operazioni di derivazione rispeo al empo compora che le grandezze eleriche dipendano da: Valori auali delle ecciazioni e dalla loro rapidià di variazione nel empo La presenza di operazioni di inegrazione compora che le grandezze eleriche dipendano da: Valori auali delle ecciazioni e anche da ui gli isani precedeni a quello auale.

12 In base a quese considerazioni si può affermare che: Per i circuii senza memoria il sisema risoluivo è di ipo algebrico. Per i circuii con memoria il sisema risoluivo è di ipo inegro-differenziale. L analisi di un circuio con memoria richiede l esecuzione di due fasi successive:. Definizione del sisema inegro-differenziale. isoluzione del sisema inegro-differenziale. DFINIZION DL SISTMA INTGO-DIFFNZIAL L individuazione del sisema inegro-differenziale richiede:. Scela delle grandezze eleriche incognie e scriura delle equazioni di equilibrio in base alla prima o alla seconda legge di Kirchhoff o alri sisemi risoluivi delle rei;. spressione delle grandezze eleriche noe ed incognie nelle equazioni di equilibrio precedeni, uilizzando le relazioni cosiuive dei componeni.

13 sempio di risoluzione: i c () C IL GAFO DL CICUITO 3 i () i u () i () coalbero v() albero 3 Lail4 Nodin3 Il nodo è collegao a erra e ha poenziale V V. Le variabili descriive del circuio sono *l e per risolvere il circuio occorre scrivere *l 8 equazioni. QUAZIONI TOPOLOGICH (Principio di Kirchhoff) iu + i + ic iu + i vu vc v v vc N3 e L 4 n- QUAZIONI AI NODI l-(n-) QUAZIONI ALL MAGLI 3

14 QUAZIONI COSTITUTIV v v ic v u u( ) i dv C d i c Se, come accade in moli casi si deve deerminare una sola variabile, non è necessario risolvere l inero sisema, ma basa ricavare una relazione che lega la variabile desideraa all ingresso u () vu (). Per esempio se la variabile che si inende deerminare è v c (): u( ) vc + i i iu i + ic v c + C dv d c Sosiuendo l espressione della correne i () in quella della ensione u() v dv u () v ( c c c + + C ) d 4

15 e ordinando i ermini della equazione differenziale così definia si ha: dv () c u C + + v c d Si è rovaa una relazione ra la causa u() e l effeo v c () ossia: la relazione ingresso u()- uscia v c () o relazione (inpu/oupu) I/O In generale si deermina una relazione causa effeo o ingresso uscia, dove l ingresso e l uscia possono essere sia ensioni sia correni secondo la naura dell ingresso o dell uscia. INGSSO u() TNSION TNSION CONT CONT USCITA y(t) TNSION CONT TNSION CONT La relazione (inpu/oupu) I/O è un equazione differenziale ordinaria la cui soluzione può essere ricavaa sommando l inegrale generale dell omogenea associaa, all inegrale paricolare dell equazione complea. 5

16 La ree è visa come un quadripolo, dove ai morsei d ingresso si inserisce un generaore di segnale u(), e ai morsei di uscia si inserisce il ramo relaivo alla grandezza in uscia y(): u() T y() y( ) vc ( ) C i u( ) vu ( ) ( ) d.isoluzione del sisema inegro-differenziale Nel caso in esame: c I/O TNSION /TNSION Le condizioni iniziali ci permeono di definire i parameri incognii: per v ( + c ) u () esempio vc() vc () + vcp() 6

17 Per deerminare la risposa libera v c () si considera l omogenea associaa alla equazione differenziale: dv () c u C + + v c d omogenea associaa: ( ) ( + C λ + + λ ) C la soluzione sarà del ipo: vc A e λ 7

18 8 Per deerminare l inegrale paricolare o risposa forzaa v p () occorre ener presene che esso sarà della sessa naura del segnale impresso u(), per cui: v cp Kcos essendo: Da cui: Il valore di v c () è indeerminao non essendo sao definio il paramero A. Per deerminare A si devono imporre le condizioni iniziali: per v c ( + ) c c v d dv C u + + ) ( ) ( K d dk C + + ) ( K + ) ( K + e A v v v p c c ) ( λ

19 A e λ + + A + A + + per cui la ensione v c () risula : vc ( ) e + + C 9

20 ei in regime dinamico In un circuio elerico ogni vola che una grandezza elerica cambia valore, o si modifica in qualche modo la configurazione della ree, si passa da un regime permanene relaivo alla condizione di funzionameno iniziale, ad un alro regime permanene araverso una fase dinamica ransioria. Per esempio nel caso semplice di un circuio a maglia unica, si voglia sudiare come si sabilizza la correne alla chiusura dell inerruore: L C Occorre scrivere l equazione risoluiva del circuio e definire le condizioni di funzionameno iniziali, assumendo per l isane di chiusura. L equazione risoluiva è facilmene deducibile applicando il secondo principio di Kirchhoff all unica maglia del circuio: di() e () i() + L + i() d+ v c () d C

21 ssa é una equazione inegro-differenziale nella grandezza incognia i(). Per una ree comunque complessa si possono scrivere un cero numero di equazioni inegro-differenziali applicando i eoremi risoluivi delle rei. Quando, come accade in moli casi, si vuole deerminare come varia nel ransiorio una grandezza in paricolare ra ue quelle relaive al circuio (una ensione o una correne in un solo ramo), il problema si riconduce sempre alla risoluzione di una equazione inegro differenziale di ordine n.. Definizione della equazione risoluiva inegro-differenziale d n y() d n y() dy() an + a... a a n n d d n d d m u() d m u() du() bm + bm... b bu( ) d m d m d Nell ipoesi di ree empo-invariane i coefficieni a i e b i (parameri, L, C, M ) sono cosani. Per le rei empo-variani occorre ener cono del fao che quesi parameri variano nel empo e la risoluzione divena più complessa.

22 Una vola scria l equazione inegro differenziale si passa alla seconda fase della risoluzione.. isoluzione della equazione inegrodifferenziale L inegrale generale è pari alla somma dell inegrale dell omogenea associaa e dell inegrale paricolare: y( ) y( ) + y ( ) p con: - u() noo per > e - siano noe le condizioni iniziali: y() e le sue n- derivae in +

23 Per deerminare l inegrale generale o risposa libera dovua alla energia eleromagneica accumulaa precedenemene dagli induori e alla energia elerosaica accumulaa precedenemene dai condensaori, occorre risolvere l equazione caraerisica della omogenea associaa, che per una equazione differenziale di ordine n sarà: a n n λ + a a λ + a n n λ si possono presenare re casi: a) adici reali disine λ, λ,..λ n y ( ) λ λ C e + C e C n e λ n b) k delle n soluzioni, sono coincideni y λ () C e λ k k + C e C e + e (C + C C n- k λ λ n-(k-) n-(k-) n k- ) y c) m coppie uguali di radici complesse coniugae λa+jb ( ) e a m m {[ A + A +... A ] cosb + [ B + B B ] sin b} m m 3

24 per una coppia di radici complesse coniugae: { Acosb Bsinb} a y ( ) e + A i e B i sono *m cosani di inegrazione che si deerminano imponendole condizioni iniziali: y dy + i (o ),,..., d + dy d m m + Per deerminare l inegrale paricolare o risposa forzaa dovua alle ensioni impresse dai generaori di ensione o alle correni impresse dai generaori di correne, il procedimeno è più complicao. In generale y p () dipende dal ipo di u() applicao. 4

25 I casi più frequeni sono esprimibili con l espressioni del generico ingresso cisoidale u( ) Uoff + Ue σ cos ( ω + ϕ) u ( ) con U > Nell esempio riporao nel grafico, la ensione di offse, che comporerebbe una raslazione della curva, è nulla UoffV u() Da quesa espressione, modificando i parameri, sono ricavabili segnali elemenari e composi. 5

26 sempi Funzione gradino: u - () u ( ) per < per > per σ ; ω U e ϕ ; GADINO PAI A U cosφ u - () u () U cos ϕ u () Ucosφ σ ; ω ; <φ>π/ 6

27 COSINUSOID < φ < π/ u ( ) U cos( ω + ϕ) u ( ) u() σ ; ω ; φ - π/ SINUSOID π u( ) U cos( ω ) u ( ) U sen( ω) u ( ) u() U 7

28 σ < ; ω ; u ( ) U e σ cos( ϕ) u ( ) SPONNZIAL DCSCNT u() U σ > ; ω ; SPONNZIAL CSCNT u ( ) U e σ cos( ϕ) u ( ) u() U 8

29 Poiché se u() è cisoidale y p () è anch esso cisoidale dello sesso ipo, noa la naura del segnale impresso l inegrale paricolare avrà una espresione del ipo : y p σ p ( ) y p e cos( ω + ϕ p ) dove i parameri incognii saranno definii imponendo le condizioni iniziali. y( ) y( ) + y ( ) p La risposa complea del circuio è dovua ad un ecciazione applicaa in ingresso a cui corrisponde una risposa forzaa alle condizioni iniziali a cui corrisponde una risposa libera. Si dice che sono verificae le ipoesi di sao zero, se le ensioni iniziali ai capi di condensaori e le correni iniziali araverso gli induori sono rispeivamene uguali a zero. y( ) y( ) + y ( ) p La risposa complea del circuio è dunque la somma della: isposa con ingresso zero, (risposa libera o ermine ransiorio), dovua alle energie accumulae nelle capacià e nelle induanze e muue induanze. isposa con sao zero, (risposa forzaa o ermine permanene), dovua alle correni e alle ensioni impresse dai generaori. 9

30 In generale durane il ransiorio sono preseni sia i ermini dovui alla risposa libera che quelli dovui alla risposa forzaa. Alla fine del ransiorio, nella nuova condizione di regime permanene, è presene la sola risposa forzaa dovua alle ensioni e alle correni impresse dai generaori 3

31 3.SMPI DI SISTMI DL ODIN Queso ipo di sisema è realizzao uilizzando solo una capacià o una induanza. Consideriamo ad esempio le fasi di carica e scarica di un induore mediane il seguene circuio: T I L T Ipoesi:induore scarico (ipoesi di sao zero) Inizialmene l inerruore T è apero perciò risula I (regime iniziale). 3

32 Dopo la chiusura dell inerruore T, si ha una fase ransioria seguia da una nuova condizione di funzionameno a regime sazionario nella quale l induanza si compora come un corocircuio e perano si ha: I (regime finale) Passando da una fase di regime sazionario ad un alra si ha una fase ransioria durane la quale la correne I varia nel empo, dal valore iniziale I a quello finale I/. Poiché durane il ransiorio, la correne I varia nel empo, occorre considerare anche gli effei dell induanza L, poiché l equazione cosiuiva di L se la correne varia è: di() u L. L d Sudiamo quindi separaamene: A) la prima fase ransioria di carica e B) la seconda fase ransioria di scarica. 3

33 A) Fase di carica: l inerruore T si chiude menre T è apero, l induore comincia a caricarsi. L equazione del circuio, applicando la LKT alla maglia, é: di L + i d a cui corrisponde l equazione omogenea associaa: λl + λ L τ L dove τ è la cosane di empo del circuio. L inegrale generale vale quindi: i O C e τ L inegrale paricolare è invece del ipo: i p C perciò l inegrale generale o risposa complea dell equazione differenziale del circuio è: i o p + () i () + i () C e τ C Le due cosani si deerminano imponendo le condizioni iniziali. 33

34 Considerando che: () o() p() τ i i + i Ce + C i i ( + ) ( ) si oiene: C C + C C C e () i τ Teoricamene il ransiorio dura un empo infinio, ma in realà dopo un empo pari a 4 5 τ, la correne assume un valore circa uguale a / e il ransiorio si può rienere esino. Carica induore iio+ip (Ω) L (H) τ 7 3,37 34

35 Le ensioni u () e u L () saranno: τ τ u () i() u () e e e di() d τ u () L u () L e e L L d d B) Fase di scarica: l inerruore T si apre e conemporaneamene si chiude T. L induore inizialmene carico di energia eleromagneica accumulaa nella fase precedene di carica, comincia a scaricarsi, e la correne varia a parire dal valore iniziale I/ fino al valore I. L equazione del circuio, applicando la LKT alla maglia, é: τ di L i d + a cui corrisponde ancora l omogenea associaa: λl + λ L τ 35

36 L inegrale dell equazione differenziale del circuio vale quindi: i io C e τ dove C si deermina in base alla condizione iniziale i ( + ) C e quindi: Scarica induore i τ () e In eoria il ransiorio dura un empo infinio. In realà dopo un empo pari a 4 5 τ, la correne si può rienere nulla e il ransiorio esino. 36

37 Le ensioni u () e u L () saranno: τ τ u () i() u () e e e di() d τ u () L u () L e e L L d d Analogamene si deermina l inegrale generale relaivo alla carica e alla scarica di un condensaore: τ T v I v C T C Durane la carica (T chiuso e T apero). 37

38 L equazione del circuio è: i + v dvc i C d C C dv d C + v C In maniera analoga a quano viso per la carica di un induore si rova: omogenea associaa: Cλ + λ C τ τ inegrale generale: vco () C e inegrale paricolare: v CP ( ) C soluzione dell equazione: vc () vco + vcp C e + C Il valore delle cosani C e C si rova considerando che a regime (isane iniziale e finale) il condensaore si compora come un inerruore apero e quindi i. isula perano: per - v ( C ) per v C ( ) (essendo i) v v C C ( ) C + C ( ) C C τ C 38

39 e quindi: Carica condensaore () v τ C e La correne e la ensione ai capi del resisore, in base alle equazioni cosiuiva saranno: dv () c d τ i () C C ( ( e )) e d d e / τ / τ u () i() e e / / τ La fase di scarica inizia quando si commuano i due inerruori (T apre e T chiude). In queso caso si oiene: C dv d C + v C perciò l omogenea associaa: Cλ + λ C τ 39

40 τ e l inegrale generale: vco () C e inegrale paricolare: v CP ( ) τ soluzione dell equazione: vc () vco C e Il valore della cosane C si rova considerando che inizialmene il condensaore è caricao ad una ensione. isula perano: per + v C ( + ) 5 Scarica condensaore C 5 e quindi: v C τ () e 5 La correne e la ensione ai capi del resisore, in base alle equazioni cosiuiva saranno: dv () d c i ( ) C i ( ) C e e d d e / τ / τ u ( ) i( ) u ( ) e e / τ / τ 4

41 4.SMPIO DI SISTMA DL ODIN L C Condizioni iniziali: all isane la correne che circola nel circuio è nulla (I). L equazione del circuio si oiene applicando la LKT alla maglia: di L + i + id d C dalla quale, derivando, si oiene: L d i d di + + i d C perano l equazione omogenea associaa assume la forma: L λ + λ + C λ + λ + L LC 4

42 Le soluzioni della equazione omogenea associaa sono: ± 4 L L LC λ, ± α ± β L L LC avendo poso: α L e β L LC In base ai valori assuni dai re parameri, L e C si possono disinguere i re casi segueni: a) adici reali e disine Si oengono quando il discriminane dell equazione è posiivo e cioè quando: > > L LC L LC e le soluzioni dell equazione omogenea sono: λ + α + β L L LC λ L L LC α β 4

43 λ λ L inegrale generale dell equazione differenziale assume quindi la forma seguene: i O ( α + β ) ( α β ) α β β () C e + C e e ( C e + C e ) adici reali e disine io andameno sovrasmorzao 43

44 b) adici reali e coincideni Si oengono quando il discriminane dell equazione è nullo: L LC L LC Le soluzioni dell equazione omogenea associaa sono: λ λ α L λ λ i () e α ( C C ) O + adici reali e coincideni io andameno sovrasmorzao criico 44

45 45 c) adici complesse coniugae Se il discriminane dell equazione è negaivo si ha: LC L LC L < < e le soluzioni dell equazione omogenea associaa sono: β α λ j LC L j L + + β α λ j LC L j L () ( ) C C e i O β β α sin cos + λ λ

46 adici complesse coniugae io andameno soosmorzao 46

47 Sudiamo ora lo sesso circuio supponendo che il generaore di ensione sia di ipo sinusoidale: All isane iniziale la correne è nulla (i). Quando l inerruore è chiuso si può scrivere: L e() di d + i + id M C sin L ( ) ( )ϕω+ e M sin ( ω +ϕ) Derivando rispeo al empo e dividendo per L si rova: C e ( ) ( ω +ϕ) Z& + M sin j ωl ωc ωl γ arcg ωc d i d di ω + + i M cos L d LC L ( ω + ϕ ) 47

48 L equazione omogenea associaa è la sessa del caso di generaore cosane, menre l inegrale paricolare sarà del ipo: M ip sin Z ( ω + ϕ + γ ) Il ermine ip è il segnale che permane dopo che il ransiorio si è esaurio. A seconda dei valori assuni da, L, C si poranno presenare i segueni casi: a) adici reali e disine i α β β M () i () + i () e ( C e + C e ) + sin( ω + ϕ + γ ) o b) adici reali e coincideni i p α M () i () + i () e ( C + C ) + sin( ω + ϕ + γ ) o p c) adici complesse coniugae i α M () i () + i () e ( C β + C sin β) + sin( ω + ϕ + γ ) o3 p cos I Z I Z I Z 48

49 Per deerminare il valore delle cosani C e C nei re casi diversi, si dovranno imporre le condizioni iniziali. i a) I condizione: per Z M ( + ) C + C + sin( ϕ + γ ) i( + ) II condizione: per di d ( + ) di d di d α β β α β β () αe ( C e + C e ) + βe ( C e C e ) + ω cos( ω + ϕ + γ ) ( + ) α( C + C ) + β ( C C ) + ω cos( ϕ + γ ) quindi le cosani C e C si deerminano dalla risoluzione del sisema: C ( ϕ + γ ) ( ) ( ) M α + β C + α β ω cos ( ϕ + γ ) C + C Z M sin Z Z Z 49

50 adici reali e disine io ip iio+ip (Ω) L (H) C (mf) M (V) φ (rad) γ (rad) ω (rad/s) 7 3,3 7 Si vede che nei primi isani del ransiorio si ha una sovracorrene rispeo alla risposa permanene i p () che si annulla dopo il ransiorio sesso. b) I condizione: per i Z M ( + ) C + sin( ϕ + γ ) II condizione: per di d ( + ) di d di d Z α α M () αe ( C + C ) + e C + ω cos( ω + ϕ + γ ) Z M ( + ) αc + C + ω cos( ϕ + γ ) 5

51 Il sisema da risolvere sarà allora il seguene: M C + Z αc + C sin ( ϕ + γ ) + ω Z M cos ( ϕ + γ ) adici reali e coincideni 5-5 io ip iio+ip - -5 (Ω) L (H) C (µf) M (V) φ (rad) γ (rad) ω (rad/s) ,3 7 Anche in queso caso si può avere una sovracorrene più elevaa e pericolosa, quano più risulano vicini ra loro i picchi delle correni i o e i p. c) I condizione: per i Z M ( + ) C + sin( ϕ + γ ) di d II condizione: per ( + ) 5

52 di d di d + ω Z α α () αe ( C β + C senβ) + e β ( C senβ + C cos β) M cos cos ( ω + ϕ + γ ) Z M ( + ) αc + βc + ω cos( ϕ + γ ) Il sisema da risolvere sarà il seguene: + M C + sin Z αc + βc + ω Z ( ϕ + γ ) M cos ( ϕ + γ ) adici complesse coniugae io ip iio+ip - -5 (Ω) L (H) C (µf) M (V) φ (rad) γ (rad) ω (rad/s) 5 3 5,6,3 7 5