Regime dinamico nel dominio del tempo

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1 egime dinamico nel dominio del empo Appuni a cura dell Ingg. Basoccu Gian Piero e Marras Luca Tuors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici A. A 3/4 e 4/5 Ulimo aggiornameno // Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici

2 Premessa Abbiamo sudiao: il regime sazionario nel quale le grandezze del sisema non variano nel empo il regime sinusoidale permanene nel quale le grandezze in esame variano nel empo manenendo cosane le ampiezze e le frequenze. In generale quando un sisema passa da un regime sazionario ad un alro o da un regime permanene sinusoidale ad un alro, queso passaggio non avviene isananeamene, ma in un empo finio durane il quale le grandezze del circuio possono variare nel empo in ampiezza, frequenza e fase. Queso funzionameno che si verifica per un empo ransiorio caraerizza il regime dinamico. Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici

3 Lo sudio dei ransiori in ingegneria elerica corrisponde allo sudio del comporameno dinamico delle sruure in alri rami dell ingegneria. Non è sufficiene sabilire il comporameno saico delle sruure e degli impiani, come la sruura di un pone, di un graacielo, di un albero di una macchina, di una diga, di un ala di un aereo delle pale di un impiano eolico ec ma è necessario conoscere anche il loro comporameno dinamico per poerli dimensionare correamene. I meodi maemaici con i quali si svolge l analisi dei sisemi elerici in regime ransiorio sono quelli raai in alri esi specifici ed uilizzabili in ui i campi dell ingegneria, quando si debbano risolvere problemi di risposa dinamica. I meodi sperimenali presuppongono la realizzazione di modelli (modellazione). Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 3

4 Problemi dinamici relaivi a sisemi non elerici possono essere risoli con modelli analoghi a quelli elerici essendo rei da equazioni differenziali di uguale sruura. La modellazione e risoluzione dei sisemi elerici in regime dinamico rappresenano delle meodologie spendibili per sudio dei regimi dinamici di problemi dinamici di naura diversa. sisono delle perfee analogie nella modellazione ra sisemi elerici sisemi meccanici sisemi idraulici sisemi ermici chimici ec Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 4

5 Analogia ermica SMPI L'analogia può essere così espressa: Sisema elerico In un corpo maeriale l'inensià di correne I fluisce dal puno a poenziale più alo al puno a poenziale più basso, è proporzionale alla differenza di poenziale V e dipende dalla naura del corpo maeriale. La cosane di proporzionalià corrispondene al rapporo ra la differenza di poenziale e l'inensià di correne è chiamaa resisenza elerica. I V/ sosiuendo le parole inensià di correne con poenza ermica e poenziale con emperaura, elerico con ermico si ha: Sisema ermico In un corpo maeriale la poenza ermica Q cond fluisce dal puno a emperaura più ala al puno a emperaura più bassa, è proporzionale alla differenza di emperaura T e dipende dalla naura fisica del corpo. La cosane di proporzionalià corrispondene al rapporo ra la differenza di emperaura e la poenza ermica è chiamaa resisenza ermica T. Q cond T / T. Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 5

6 onduzione ermica araverso una paree piana onduzione lerica in un conduore prismaico Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 6

7 Analogia meccanica La figura e la abella illusrano l analogia meccanica ra grandezze eleriche e grandezze meccaniche per la roazione Grandezze eleriche Grandezze meccaniche Nome Simbolo U.mis Nome Simbolo U.mis Tensione U V oppia J correne I A Velocià W rad/s angolare esisenza Ω oefficiene K a J*s d ario Induanza L Η Momeno di J Kg*m inerzia osane di s osane di s empo empo orrene di corocircuio Icc A Velocià a vuoo ω rad/s Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 7

8 sempio di analogia ra modelli di sisemi di naura fisica diversi Il modello del sisema elerico relaivo a un bipolo elerico lineare L serie, alimenao da un generaore di ensione e(): e() L i() dq d β m f() x() k presena delle analogie con il sisema meccanico lineare comprendene la sorgene con forza f() e i re elemeni meccanici: lo smorzaore a resisenza viscosa che oppone una forza che dipendene dalla velocià araverso il coefficiene di smorzameno β, la massa m per la quale è richiesa una forza proporzionale alla accelerazione; la molla con la cosane elasica k per la quale è richiesa una forza proporzionale allo sposameno. Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 8

9 Al circuio elerico è associabile il modello analiico dell equazione differenziale, oenua applicando il secondo principio di Kirchhoff alla maglia cosiuia dal bipolo L alimenao dal generaore e(): e() e() di L u c i() d d q dq L d d q i() dq d Al sisema meccanico corrisponde il modello analiico dell equazione differenziale oenua applicando la seconda legge di Newon: d x f() m d dx β d kx dove x è lo sposameno, che deve essere ineso misurao rispeo ad un puno fisso (riferimeno inerziale) Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 9

10 TI IN GIM DINAMIO omponeni con memoria e componeni senza memoria I circuii elerici sono cosiuii da: OMPONNTI SNZA MMOIA: come le resisenze nelle cui relazioni cosiuive non inervengono legami inegro differenziali. Per loro il valore assuno da ciascuna grandezza elerica (ensione o correne), non dipende dai valori assuni in isani precedeni dalla sessa, o da alre grandezze eleriche del circuio i() u() u( ) i( ) OMPONNTI ON MMOIA: come le induanze e le capacià nelle cui relazioni cosiuive inervengono legami inegro differenziali. i() L i() u() u( ) L di( ) d u() i( ) du( ) d Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici

11 Sono componeni con memoria anche gli induori muuamene accoppiai: i () L L i () u () u () u u ( ) ( ) L M M di ( ) M d di ( ) L d di( ) d di( ) d La presenza di operazioni di derivazione rispeo al empo compora che le grandezze eleriche dipendano da: Valori auali delle ecciazioni e dalla loro rapidià di variazione nel empo La presenza di operazioni di inegrazione compora che le grandezze eleriche dipendano da: Valori auali delle ecciazioni e anche da ui i valori che esse hanno assuno negli isani precedeni a quello auale. Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici

12 In base a quese considerazioni si può affermare che: Per i circuii senza memoria il sisema risoluivo è di ipo algebrico. Per i circuii con memoria il sisema risoluivo è di ipo inegro-differenziale. L analisi di un circuio con memoria richiede l esecuzione di due fasi successive:. Definizione del sisema inegro-differenziale. isoluzione del sisema inegro-differenziale. DFINIZION DL SISTMA INTGO-DIFFNZIAL L individuazione del sisema inegro-differenziale richiede:. Scela delle grandezze eleriche incognie e scriura delle equazioni di equilibrio in base alla prima o alla seconda legge di Kirchhoff o alri sisemi risoluivi delle rei;. spressione delle grandezze eleriche noe ed incognie nelle equazioni di equilibrio precedeni, uilizzando le relazioni cosiuive dei componeni. Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici

13 sempio di risoluzione: i c () IL GAFO DL IUITO 3 i () i u () i () coalbero u() albero 3 Lail4 Nodin3 Il nodo assuno come nodo di riferimeno è collegao a erra e ha poenziale V V. Le variabili descriive del circuio sono *l ( llai) e per risolvere il circuio occorre scrivere complessivamene *l 8 equazioni: 4 per le ensioni e 4 per le correni. 4 QUAZIONI TOPOLOGIH (Principio di Kirchhoff) iu i ic iu i uu uc u u uc n3 e l 4 n- QUAZIONI AI NODI l-(n-) QUAZIONI ALL MAGLI Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 3

14 Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 4 4 QUAZIONI OSTITUTIV Se, come accade in moli casi si deve deerminare una sola variabile, non è necessario risolvere l inero sisema, ma basa ricavare una relazione che lega la variabile u() desideraa all ingresso.. Per esempio se la variabile che si inende deerminare è u c (): Sosiuendo l espressione della correne i () in quella della ensione u(): d du u u u c c c ) ( ) ( i u d du i i u u u c c u d du u i i i i i u u c c c u c ) (

15 e ordinando i ermini della equazione differenziale così definia si ha: u( ) du c d u c Si è rovaa una relazione ra la causa u() e l effeo u c () ossia: la relazione ingresso u()- uscia u c () o relazione (inpu/oupu) I/O In generale si deermina una relazione causa effeo o ingresso uscia, dove l ingresso e l uscia possono essere sia ensioni sia correni secondo la naura dell ingresso o dell uscia. INGSSO u() TNSION TNSION ONT ONT USITA y(t) TNSION ONT TNSION ONT La relazione (inpu/oupu) I/O è un equazione differenziale ordinaria la cui soluzione può essere ricavaa sommando l inegrale generale dell omogenea associaa, all inegrale paricolare dell equazione complea. Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 5

16 La ree è visa come un quadripolo, dove ai morsei d ingresso si inserisce un generaore di segnale u(), e ai morsei di uscia si inserisce il ramo relaivo alla grandezza in uscia y(): u() T y() y( ) uc ( ) i u( ) uu ( ) ( ) d.isoluzione del sisema inegro-differenziale Nel caso in esame: c I/O TNSION /TNSION Le condizioni iniziali ci permeono di definire i parameri incognii: u ( ) per esempio: c u( ) uc uc ( ) ucp ( ) Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 6

17 Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 7 Per deerminare la risposa libera u c () si considera l omogenea associaa alla equazione differenziale: { c c c e A la d du omogenea u d du u λ λ λ λ co u ipo : soluzione sarà del : ponendo associaa, ) (

18 Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 8 Per deerminare l inegrale paricolare o risposa forzaa u p () occorre ener presene che esso sarà della sessa naura del segnale impresso u(), per cui: u cp Kcos essendo: Da cui: Il valore di u c () è indeerminao non essendo sao definio il paramero A. Per deerminare A si devono imporre le condizioni iniziali: per u c ( ) c c u d du u ) ( ) ( K d dk ) ( K ) ( K e A u u u p c c ) ( λ

19 A e λ A A per cui la ensione u c () risula : uc ( ) e Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 9

20 ei in regime dinamico In un circuio elerico ogni vola che una grandezza elerica cambia valore, o si modifica in qualche modo la configurazione della ree, si passa da un regime permanene relaivo alla condizione di funzionameno iniziale, ad un alro regime permanene araverso una fase dinamica ransioria. Per esempio nel caso semplice di un circuio a maglia unica, si voglia sudiare come si sabilizza la correne alla chiusura dell inerruore: L Occorre scrivere l equazione risoluiva del circuio e definire le condizioni di funzionameno iniziali, assumendo per l isane di chiusura. L equazione risoluiva è facilmene deducibile applicando il secondo principio di Kirchhoff all unica maglia del circuio: di( ) e ( ) i( ) L i( ) d u d () Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici c

21 ssa é una equazione inegro-differenziale nella grandezza incognia i(). Per risolvere una ree comunque complessa si possono scrivere un cero numero di equazioni inegro-differenziali applicando i eoremi risoluivi delle rei. Quando, come accade in moli casi, si vuole deerminare come varia nel ransiorio una grandezza in paricolare ra ue quelle relaive al circuio (una ensione o una correne in un solo ramo), il problema si riconduce sempre alla risoluzione di una equazione inegro differenziale di ordine n. Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici

22 . Definizione della equazione risoluiva inegro-differenziale d n y() d n y() dy() an a... a a n n d d n d d m u() d m u() du() bm bm... b bu( ) d m d m d Nell ipoesi di ree empo-invariane i coefficieni a i e b i (parameri, L,, M ) sono cosani. Per le rei empo-variani occorre ener cono del fao che quesi parameri variano nel empo e la risoluzione divena più complessa. Una vola scria l equazione inegro differenziale si passa alla seconda fase della risoluzione. Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici

23 . isoluzione della equazione inegrodifferenziale L inegrale generale della equazione inegro-differenziale d n y() d n y() dy() an a... a a n n d d n d d m u() d m u() du() bm bm... b bu( ) d m d m d è pari alla somma dell inegrale dell omogenea associaa y () e dell inegrale paricolare y p (): y( ) y( ) y ( ) con: - u() noo per > e - siano noe le condizioni iniziali: y() e le sue n- derivae in p Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 3

24 Per deerminare l inegrale generale o risposa libera dovua alla energia eleromagneica accumulaa precedenemene dagli induori e alla energia elerosaica accumulaa precedenemene dai condensaori, occorre risolvere l equazione caraerisica della omogenea associaa, che per una equazione differenziale di ordine n sarà: a n n λ a... a λ a n n λ si possono presenare 3 casi: a) adici reali disine λ, λ,..λ n y ( ) e λ λ e λn e... n b) k delle n soluzioni, sono coincideni λ y () e λ k k e... e e (... k λ λ k k- ) c) m coppie uguali di radici complesse coniugae λajb y ( ) e a m m {[ A A...A ] cos b [ B B... B ] sinb} per una coppia di radici complesse coniugae: m { Acosb Bsinb} a y ( ) e m Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 4

25 ,, n sono n cosani di inegrazione che si deerminano imponendole condizioni iniziali: y (o i ) dy, d dy,..., d n n Per deerminare l inegrale paricolare o risposa forzaa dovua alle ensioni impresse dai generaori di ensione o alle correni impresse dai generaori di correne, il procedimeno è più complicao. In generale l inegrale paricolare y p () dipende dal ipo di u() applicao. Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 5

26 Nei casi più frequeni u() è esprimibile come un generico ingresso cisoidale u( ) Uoff Ue σ cos ( ω ϕ) u ( ) con U > Nell esempio riporao nel grafico, la ensione di offse, che comporerebbe una raslazione della curva, è nulla UoffV u() U off Da quesa espressione, modificando i parameri, sono ricavabili segnali elemenari e composi. Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 6

27 Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 7

28 sempi Funzione gradino: u - () u ( ) per < per > per σ ; ω U e ϕ ; GADINO PAI A U cosφ u - () u () U cos ϕ u () Ucosφ σ ; ω ; <φ>π/ Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 8

29 OSINUSOID < φ < π/ u() u ( ) U cos( ω ϕ) u ( ) σ ; ω ; φ - π/ SINUSOID π u( ) U cos( ω ) u ( ) U sen( ω) u ( ) u() U Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 9

30 σ < ; ω ; u ( ) U e σ cos( ϕ) u ( ) SPONNZIAL DSNT u() U σ > ; ω ; SPONNZIAL SNT u ( ) U e σ cos( ϕ) u ( ) u() U Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 3

31 Poiché se u() è cisoidale y p () è anch esso cisoidale dello sesso ipo, noa la naura del segnale impresso l inegrale paricolare avrà una espressione del ipo : y p σ p ( ) y p e cos( ω ϕ p ) dove i parameri incognii saranno definii imponendo le condizioni iniziali. y( ) y( ) y ( ) La risposa complea del circuio è dovua ad un ecciazione applicaa in ingresso a cui corrisponde una risposa forzaa alle condizioni iniziali a cui corrisponde una risposa libera. Si dice che sono verificae le ipoesi di sao zero, se le ensioni iniziali ai capi di condensaori e le correni iniziali araverso gli induori sono rispeivamene uguali a zero. y( ) y( ) y ( ) p p La risposa complea del circuio è dunque la somma della: isposa con ingresso zero, (risposa libera o ermine ransiorio), dovua alle energie accumulae nelle capacià e nelle induanze e muue induanze. isposa con sao zero, (risposa forzaa o ermine permanene), dovua alle correni e alle ensioni impresse dai generaori. Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 3

32 In generale durane il ransiorio sono preseni i conribui della risposa libera e della risposa forzaa. In un sisema sabile, nella nuova condizione di regime permanene (alla fine del ransiorio), è presene la sola risposa forzaa dovua alle ensioni e alle correni impresse dai generaori Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 3

33 3.SMPI DI SISTMI DL ODIN Queso ipo di sisema è realizzao uilizzando solo una capacià o una induanza. onsideriamo ad esempio le fasi di carica e scarica di un induore mediane il seguene circuio: T I L T Ipoesi:induore scarico (ipoesi di sao zero) Inizialmene l inerruore T è apero perciò risula I (regime iniziale). Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 33

34 Dopo la chiusura dell inerruore T, si ha una fase ransioria seguia da una nuova condizione di funzionameno a regime sazionario nella quale l induanza si compora come un corocircuio e perano si ha: I (regime finale) Passando da una fase di regime sazionario ad un alra si ha una fase ransioria durane la quale la correne I varia nel empo, dal valore iniziale I a quello finale I/. Poiché durane il ransiorio, la correne I varia nel empo, occorre considerare anche gli effei dell induanza L, poiché l equazione cosiuiva di L se la correne varia è: di() u L. L d Sudiamo quindi separaamene: A) la prima fase ransioria di carica e B) la seconda fase ransioria di scarica. Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 34

35 A) Fase di carica: l inerruore T si chiude menre T è apero, l induore comincia a caricarsi. L equazione del circuio, applicando la LKT alla maglia, é: di L i d a cui corrisponde l equazione omogenea associaa: λl λ L τ L dove τ è la cosane di empo del circuio. L inegrale generale vale quindi: i O e τ L inegrale paricolare è invece del ipo: i p perciò l inegrale generale o risposa complea dell equazione differenziale del circuio è: i o p () i () i () e τ Le due cosani si deerminano imponendo le condizioni iniziali. Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 35

36 onsiderando che: () o() p() τ i i i e i i ( ) ( ) si oiene: () i e τ In eoria il ransiorio dura un empo infinio. In realà dopo un empo pari a 4 5 τ, la correne assume un valore circa uguale a / e il ransiorio si può rienere esino. arica induore iioip (Ω) L (H) τ 7 3,37 Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 36

37 Le ensioni u () e u L () saranno: τ τ u () i() u () e e e di() d τ u () L u () L e e L L d d B) Fase di scarica: l inerruore T si apre e conemporaneamene si chiude T. L induore inizialmene carico di energia eleromagneica accumulaa nella fase precedene di carica, comincia a scaricarsi, e la correne varia a parire dal valore iniziale I/ fino al valore I. L equazione del circuio, applicando la LKT alla maglia, é: τ di L i d a cui corrisponde ancora l omogenea associaa: λl λ L τ Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 37

38 L inegrale dell equazione differenziale del circuio vale quindi: i io e τ dove si deermina in base alla condizione iniziale i ( ) e quindi: Scarica induore i τ () e In eoria il ransiorio dura un empo infinio. In realà dopo un empo pari a 4 5 τ, la correne si può rienere nulla e il ransiorio esino. Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 38

39 Le ensioni u () e u L () saranno: τ τ u () i() u () e e e di() d τ u () L u () L e e L L d d Analogamene si deermina l inegrale generale relaivo alla carica e alla scarica di un condensaore: τ T u I u c T Durane la carica (T chiuso e T apero). Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 39

40 L equazione del circuio è: i u du i d du d u In maniera analoga a quano viso per la carica di un induore si rova: omogenea associaa: λ λ τ inegrale generale: u () τ O e inegrale paricolare: ( ) u P soluzione dell equazione: u () uo up e Il valore delle cosani e si rova considerando che a regime (isane iniziale e finale) il condensaore si compora come un inerruore apero e quindi i. isula perano: per u ( ) per u ( ) u u (essendo i) ( ) ( ) τ Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 4

41 e quindi: arica condensaore u () e τ La correne e la ensione ai capi del resisore, in base alle equazioni cosiuiva saranno: dv () c d τ i () ( ( e )) e d d e / τ / τ u () i() e e / / τ La fase di scarica inizia quando si commuano i due inerruori (T apre e T chiude). In queso caso si oiene: du d u perciò l omogenea associaa: λ λ τ Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 4

42 τ e l inegrale generale: u () e O inegrale paricolare: u P ( ) τ soluzione dell equazione: u () uo e Il valore della cosane si rova considerando che inizialmene il condensaore è caricao ad una ensione. isula perano: per u ( ) 5 Scarica condensaore 5 e quindi: u τ () e 5 La correne e la ensione ai capi del resisore, in base alle equazioni cosiuive saranno: duc ( ) i( ) d e u ( ) i( ) i( ) u d d ( ) e / τ e / τ e e / τ / τ Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 4

43 4.SMPIO DI SISTMA DL ODIN L ondizioni iniziali: all isane la correne che circola nel circuio è nulla (I). L equazione del circuio si oiene applicando la LKT alla maglia: di L i id d dalla quale, derivando, si oiene: L d i d di i d perano l equazione omogenea associaa assume la forma: L λ λ λ λ L L Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 43

44 Le soluzioni della equazione omogenea associaa sono: ± 4 L L L λ, ± α ± β L L L avendo poso: α L e β L L In base ai valori assuni dai re parameri, L e si possono disinguere i re casi segueni: a) adici reali e disine Si oengono quando il discriminane dell equazione è posiivo e cioè quando: > > L L L L e le soluzioni dell equazione omogenea sono: λ α β L L L Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 44

45 λ L L L α β λ λ L inegrale generale dell equazione differenziale assume quindi la forma seguene: i O ( α β ) ( α β ) α β β () e e e ( e e ) adici reali e disine io andameno sovrasmorzao La soluzione risula avere uno smorzameno eccessivo senza oscillazioni. Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 45

46 b) adici reali e coincideni Si oengono quando il discriminane dell equazione è nullo: L L L L Le soluzioni dell equazione omogenea associaa sono: λ λ α L λ λ i () e α ( ) O adici reali e coincideni io andameno sovrasmorzao criico La soluzione risula avere il massimo smorzameno senza oscillazioni. Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 46

47 Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 47 c) adici complesse coniugae Se il discriminane dell equazione è negaivo si ha: L L L L < < e le soluzioni dell equazione omogenea associaa sono: β α λ j L L j L β α λ j L L j L () ( ) e i O β β α sin cos λ λ

48 adici complesse coniugae io andameno soosmorzao In queso caso si ha una soluzione di naura oscillaoria. Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 48

49 Sudiamo ora lo sesso circuio supponendo che il generaore di ensione sia di ipo sinusoidale: All isane iniziale la correne è nulla (i). Quando l inerruore è chiuso si può scrivere: di L d e() L i id M sin ( ω ϕ) Derivando rispeo al empo e dividendo per L si rova: e ( ) ( ω ϕ) Z& M sin j ωl ω ωl γ arcg ω d i d di ω i M cos L d L L ( ω ϕ ) Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 49

50 L equazione omogenea associaa è la sessa del caso di generaore cosane, menre l inegrale paricolare sarà del ipo: i p Z M sin ( ω ϕ γ ) con Z ( ωl) Il ermine ip è il segnale che permane dopo che il ransiorio si è esaurio. A seconda dei valori assuni da, L, si poranno presenare i segueni casi: a) adici reali e disine i α β β M () i () i () e ( e e ) sin( ω ϕ γ ) o b) adici reali e coincideni i p Z Z α M () i () i () e ( ) sin( ω ϕ γ ) o p c) adici complesse coniugae i α M () i () i () e ( β sin β) sin( ω ϕ γ ) o3 p cos Z Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 5

51 Per deerminare il valore delle cosani e nei re casi diversi, si dovranno imporre le condizioni iniziali. i a) I condizione: per Z M ( ) sin( ϕ γ ) i( ) II condizione: per di d ( ) di d di d α β β α β β M () αe ( e e ) βe ( e e ) ω cos( ω ϕ γ ) Z Z M ( ) α( ) β ( ) ω cos( ϕ γ ) quindi le cosani e si deerminano dalla risoluzione del sisema: ( ϕ γ ) ( ) ( ) M α β α β ω cos ( ϕ γ ) Z M sin Z Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 5

52 adici reali e disine io ip iioip (Ω) L (H) (mf) M (V) φ (rad) γ (rad) ω (rad/s) 7 3,3 7 Si vede che nei primi isani del ransiorio si ha una sovracorrene rispeo alla risposa permanene i p () che si annulla dopo il ransiorio sesso. b) I condizione: per i Z M ( ) sin( ϕ γ ) II condizione: per di d ( ) di d di d Z α α M () αe ( ) e ω cos( ω ϕ γ ) Z M ( ) α ω cos( ϕ γ ) Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 5

53 Il sisema da risolvere sarà allora il seguene: M Z α sin ( ϕ γ ) ω Z M cos ( ϕ γ ) adici reali e coincideni 5-5 io ip iioip - -5 (Ω) L (H) (µf) M (V) φ (rad) γ (rad) ω (rad/s) ,3 7 In queso caso si può avere una sovracorrene più elevaa e pericolosa, quano più risulano vicini ra loro i picchi delle correni i o e i p. c) I condizione: per i Z M ( ) sin( ϕ γ ) di d II condizione: per ( ) Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 53

54 di d di d ω Z α α () αe ( β senβ) e β ( senβ cos β) M cos cos ( ω ϕ γ ) Z M ( ) α β ω cos( ϕ γ ) Il sisema da risolvere sarà il seguene: M sin Z α β ω Z ( ϕ γ ) M cos ( ϕ γ ) adici complesse coniugae io ip iioip - -5 (Ω) L (H) (µf) M (V) φ (rad) γ (rad) ω (rad/s) 5 3 5,6,3 7 Anche in queso caso si può avere una sovracorrene più elevaa e pericolosa, quano più risulano vicini ra loro i picchi delle correni i o e i p Appuni a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, uors del corso di LTTOTNIA per meccanici e chimici 54