la funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali.

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2 y 4 CAMPO DI ESISTENZA. Poiché data è una irrazionale con indice di radice pari, il cui radicando è un polinomio, essa risulta definita solo per i valori della per i quali il radicando è positivo, ovvero maggiore od uguale a zero, cioè: C.E. { R: 4 0} { R:, + } { R: <, + < + } + è definita non è definita è definita INTERSEZIONI CON GLI ASSI. Le intersezioni del con gli assi cartesiani si ottengono risolvendo, come di consueto, i seguenti due sistemi: 0 0 non esistono intersezioni tra e l asse y 4 4 Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali. 0 0 y 0 y 0 1, ± , ± y 0 A (, 0) e B (+, 0) sono le due intersezioni del con l asse Si osservi che, qualora si voglia eguagliare a zero un radicale, è sufficiente eguagliare a zero il suo radicando. SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in presenza di funzioni irrazionali, per lo studio del segno, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue: y > 0 4 > 0 C.E. Si osservi che tutte le funzioni irrazionali con indice di radice pari sono sempre positive all interno del campo di esistenza: per studiare la loro positività, infatti, bisognerebbe studiare la positività del radicando, cosa che già si fa nel determinare il campo di definizione del. LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. Per il calcolo dei limiti delle funzioni irrazionali, sarà sufficiente determinare il limite del radicando, tenendo bene a mente, però, che, in generale, vale la seguente proprietà: Se y f ( ), dove f() è una qualunque funzione assegnata, allora risulta: lim ± ( ) ( ) f lim f ± Nell esempio quindi si ha: ( 4 ) ( 4 ) lim y lim lim + + ± ± ± Ne segue che, per ±, la y + : dunque non ha Asintoti Orizzontali.

3 Occorre, pertanto, vedere se ammette Asintoti Obliqui della forma m + q. Si ha: f ( ) m lim lim lim 1 lim lim ± Per m + 1 risulta: + ( ) lim ( 4 ) q lim f m + che è una forma indeterminata + Si può allora studiare il limite moltiplicando e dividendo per una stessa quantità, precisamente: ( 4 )( 4 ) ( 4 ) q lim( 4 ) lim lim lim in quanto il denominatore, per che tende ad, tende anch esso ad ed i numeratore è, invece, un numero. Si osservi che è stato possibile semplificare il numeratore e ridurlo alla forma 4 perché si trattava del prodotto di una somma per la sua differenza (cfr. sezione sui polinomi). Per m 1 risulta: ( ) lim ( 4 ) q lim f m + + che è ancora una forma indeterminata Si può allora studiare il limite moltiplicando e dividendo per una stessa quantità, precisamente: ( 4+ )( 4 ) 4 4 q lim ( 4 + ) lim lim lim 0 ( 4 ) 4 4 Ne segue che m ± 1 e q 0, cioè vi sono due asintoti obliqui (la bisettrice del primo e terzo quadrante e la bisettrice del secondo e quarto quadrante). A.Ob.: ± STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Ricordando che: ( ( ) ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D f D f D f f D f f si ottiene: D( 4) D ( 4 ) Per determinare i punti di massimi e di minimo del, bisogna sempre risolvere la disequazione: D(y) > 0 cioè: > 0 4 > 0 > 0 4 > 0 CE..

4 Decrescenza m + Crescenza Derivata Prima è definita non è definita è definita C.E. Anche se dallo studio del segno della derivata prima emerge che ammette un minimo in 0, in realtà tale punto non esiste in quanto non appartiene all insieme di definizione della funzione stessa. IL GRAFICO. Unendo tutte le informazioni ottenute, si avrà il seguente grafico del: y - non è definita + 4

5 y CAMPO DI ESISTENZA. Anche in questo caso ci si trova di fronte ad una funzione irrazionale con indice di radice pari, il cui radicando è, però, una frazione. Pertanto risulta: CE.. R : 0, R : > 0, 7 10,16; ,16 R : { R : 7 < 10, + 10 <+ } > la funzione non è definita la funzione è definita la funzione non è definita la funzione è definita Ne segue che la retta di equazione 7 rappresenta un Asintoto Verticale per data. A.V.: 7 INTERSEZIONI CON GLI ASSI y + 7 y non esistono intersezioni tra e l asse y 7 y 0 0 y , ± A ( 10,0) e ( 10,0) B + sono le due intersezioni del con l asse 1, ± 10 0 SEGNO DELLA FUNZIONE. 10 y > 0 > > C.E. 5

6 LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. Si ha: lim lim lim Ne segue che, per ±, la y + : dunque non ha Asintoti Orizzontali. Si osservi, inoltre, che non è stato calcolato il limite del per che tende a in quanto in tale parte di piano essa non è definita. Per il calcolo degli asintoti obliqui si ha: ( ) f m lim lim lim 0 lim 7 ( 7) Per m 0 risulta: q lim f ( ) m lim 0 lim Poiché m 0 e q +, non ha neanche gli Asintoti Obliqui. STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Risulta: 10 D ( + 7) 1 ( 10) D ( + 7) ( + 7) 10 ( + 7) Per determinare i punti di massimi e di minimo del, bisogna pertanto risolvere la seguente disequazione: > 0 10 ( + 7) + 7 Si osservi che si tratta di un prodotto: questo risulterà positivo se e solo se entrambi i suoi fattori saranno positivi o negativi; si supponga, ad esempio, che siano entrambi positivi, cioè: 1 > 0 10 > CE. > > > 0 10 ( + 7) > 0 ( + 7) > 0 R ( + 7). CE < 7 9 1,4; > ,75 R 6

7 Decrescenza Decrescenza Decrescenza Decre- Crescenza scenza m M m Crescenza Derivata Prima la funzione non è definita la funzione è definita la funzione non è definita la funzione è definita C.E. Dall unione dei due grafici (segno della derivata prima e campo di esistenza) ne segue che il massimo non appartiene all insieme di esistenza e che i due minimi coincidono esattamente con i punti di intersezione del con l asse delle. IL GRAFICO. y non è definita 10 non è definita

8 y CAMPO DI ESISTENZA. Risulta: CE.. R : 0, 4 0 : 0, 4 0 : + R + R > 0 1 R : { R : 1 <+ } R Si ricordi che + 4, come somma di quadrati, è sempre diverso da zero; ne segue, quindi, che la funzione non ha asintoti verticali non è definita è definita INTERSEZIONI CON GLI ASSI , y B ( 1, 0) A 0, SEGNO DELLA FUNZIONE. y > > > > C.E. 8

9 LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. Si ha: lim lim 0 lim Ne segue che, per ±, la y 0: dunque la retta di equazione 0, cioè l asse, è un Asintoto Orizzontale per. A.O.: STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Risulta: ( 4) ( 1) ( ) D D D ( + 4) ( + 4) Per determinare i punti di massimi e di minimo del, bisogna pertanto risolvere la seguente disequazione: > 0 > CE. > ( + 4 4) > 0 + 4< 0 > 0 ( + 4) ( + 4) > 0 R CE. 1 5, < < , R 9

10 Crescenza Decrescenza Crescenza Decrescenza M m M 1 Derivata Prima non è definita è definita C.E. Dall unione dei due grafici (segno della derivata prima e campo di esistenza) ne segue che solo uno dei due massimi appartiene all insieme di esistenza e che il minimo coincide esattamente con il punto di intersezione del con l asse delle. Per 1+ 5 risulta: , ( ) ( 10+ 5) 10

11 IL GRAFICO. y non è definita M 0 11

12 y + 1 CAMPO DI ESISTENZA. Risulta: CE.. R : 0, 1 0 : 0, 1 0 : R R 1 1 1> 0 R R : { R : 1 < <+,1< <+ } < 1, >+ 1 Si ricordi che + è sempre positivo; inoltre, poiché il denominatore della frazione si annulla per ± 1, ne segue che ha due Asintoti Verticali. A.V.: +1, è definita non è definita è definita INTERSEZIONI CON GLI ASSI non ci sono intersezioni con l asse y y y 1 y 0 y 0 0 y non ci sono intersezioni neanche con l asse 0 mai SEGNO DELLA FUNZIONE. y > 0 + > > 0 1 C.E. 1

13 LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. Si ha: + + lim lim 1 lim Ne segue che, per ±, la y 1: dunque la retta di equazione 1 è un Asintoto Orizzontale per. A.O.: 1 STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Risulta: + D ( 1) ( + ) D ( 1 ) ( 1) + ( 1 ) 1 1 Per determinare i punti di massimi e di minimo del, bisogna pertanto risolvere la seguente disequazione: + + > 0 > > 0 + ( 1) 6 6 > 0 CE. < 0 > 0 1 ( 1) ( 1) > 0 R 1

14 Crescenza Decrescenza Crescenza Decrescenza M m M Derivata Prima C.E. è definita non è definita è definita Dall unione dei due grafici (segno della derivata prima e campo di esistenza) ne segue che il minimo non appartiene al campo di esistenza così come i due massimi, 1 ed + 1, che annullano il denominatore del. IL GRAFICO. y non è definita

15 CAMPO DI ESISTENZA. Risulta: C.E. { R: 0} { R: < 1, < + } è definita non è definita è definita INTERSEZIONI CON GLI ASSI. 0 0 non ci sono intersezioni con l asse y y 0 0 y 0 ( ) B,0 SEGNO DELLA FUNZIONE. y > 0 > 0 che è equivalente al sistema: 0 0 < ( ) < CE.. < 4+ 4 CE.. 7< 0 CE.. 7 < 15

16 è definita non è definita è definita Anche se dal primo grafico, relativo allo studio del segno, risulta che data è positiva per 7 1 e <, dal secondo grafico, relativo al campo di esistenza, segue che per 1 non è definita. Quindi: 7 y > 0 < LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. Si ha: + + ( ) lim y lim + che è una forma indeterminata Ma allora è possibile calcolare il limite moltiplicando e dividendo per una stessa quantità, precisamente: ( )( ) + lim y lim ( ) lim ( ) ( ) lim lim lim lim lim lim 1 ( ) Ne segue che, per +, la y 1: dunque la retta di equazione 1 è un Asintoto Orizzontale Destro per. A.O.: 1 16

17 Si consideri ora il caso in cui la. Risulta: ( ) lim y lim cioè non ha asintoti orizzontali sinistri. In tal caso, allora, bisogna andare a vedere se esistono quelli obliqui m + q. Si ha: f ( ) m lim lim lim 1 lim 1 lim 1+ 1 ( ( ) ) ( ) ( ) q lim f m lim lim + + ( )( ) ( ) ( ) lim lim lim lim lim cioè la retta di equazione è un Asintoto Obliquo Sinistro per. A.Ob.: STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Risulta: 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 ( ) D D + D + D Pertanto bisogna risolvere la seguente disequazione irrazionale: + 1 > 0 + 1> 0 > 1 Prima di procedere alla risoluzione di tale disequazione occorre verificare il campo di esistenza della frazione e dei suoi componenti, precisamente deve essere: > 0, 0 < 1, > +, 1, + Ne segue ora che, all interno di questo insieme di definizione, è possibile risolvere la disequazione mediante i seguenti due sistemi: 0 > e 1 < 0 > ( 1) 17

18 < 1, >+ 1 < 1, >+ 1 e < e 1 > + 1 < 1 > 0 < 1, >+ 1 e < 1 mai Poiché il secondo sistema non ha soluzioni, dal momento che la sua seconda equazione non è mai soddisfatta, ne segue che la derivata prima sarà positiva se e solo se è soddisfatto il primo sistema, cioè: + 1 < 1, >+ > 0 < SOLUZIONE DEL SISTEMA Crescenza M Derivata Prima è definita la funzione non è definita è definita C.E. Dall unione dei due grafici (segno della derivata prima e campo di esistenza) ne segue che la funzione è crescente per < 1 e decrescente altrove, sempre chiaramente all interno del campo di esistenza. Inoltre per 1 non è definita per cui il massimo non esiste. 18

19 IL GRAFICO. y (, 1) 7 A 0, - 1 (-1, ) - y

20 y 1 CAMPO DI ESISTENZA. Poiché data è una irrazionale con indice di radice dispari, il suo insieme di definizione coincide esattamente con il campo di esistenza del radicando, cioè: C.E. { R: < < + } INTERSEZIONI CON GLI ASSI. Le intersezioni del con gli assi cartesiani si ottengono risolvendo, come di consueto, i seguenti due sistemi: A (0, 1) y ( 1)( + + 1) 0 y 0 0 B (1, 0) 1 0 oppure oppure mai ( < 0) Si osservi che, trattandosi di una radice cubica, è sempre possibile portare il segno negativo fuori del simbolo di radice. SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue: y > 0 1> 0 1> 0 ( 1)( + + 1) > > > 0 > 1 R cioè: y > 0 > + 1 Si osservi che il segno di tutte le funzioni irrazionali con indice di radice dispari coincide con il segno del radicando. 0

21 LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. Per il calcolo dei limiti di questa classe di funzioni, sarà sufficiente, come per quelle con indice di radice pari, determinare il limite del radicando, tenendo, però, sempre bene a mente la seguente regola generale: Se y f ( ), dove f() è una qualunque funzione assegnata, allora risulta: lim ± ( ) ( ) f lim f ± Nell esempio quindi si ha: ( 1 ) ( 1) lim y lim lim ± ± ± ± ± Ne segue che, per ±, la y ± : dunque non ha Asintoti Orizzontali. Occorre ora vedere se essa presenta Asintoti Obliqui m + q. Si ha: f ( ) m lim lim lim 1 1 lim m 1 ( ( ) ) lim ( 1 ) q lim f m che è una forma indeterminata Per calcolare tale limite bisogna cercare di razionalizzare la radice cubica moltiplicando e dividendo per un opportuna quantità in modo tale che il numeratore sia proprio la differenza di due cubi. Ricordando, quindi, che: a b (a b)(a + ab + b ) [cfr. polinomi] e ponendo, nel caso in esame, a 1 e b, ne segue: ( 1 ) ( 1) + 1+ q lim( 1 ) lim ( 1) lim 0 lim q 0 ( 1) + 1+ ( 1) + 1+ Dunque, la retta di equazione è un Asintoto Obliquo. A.O.: STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Ricordando che: ( ( ) ) 1 ( ) ( ) ( ) D f D f D f f D f f ( ) si ottiene: D( 1 ) 1 D( 1) ( ) ( ) ( ) Per determinare i punti di massimi e di minimo del, bisogna sempre risolvere la disequazione: D(y) > 0 ( ) 1

22 cioè: 1 > 0 ( 1) > 0 1 ( 1) > 0 > 0 ( 1) ( 1) > 0 ( 1) > 0 ( 1) ( il radicando èun quadrato equindi sempre positivo) R R R Crescenza Dunque è sempre crescente e non ammette quindi né massimi né minimi.

23 IL GRAFICO. y O

24 y + 1 CAMPO DI ESISTENZA. In questo caso, l indice di radice è sempre dispari ma il radicando è una frazione, per cui risulta: C.E. { R: 1 0} { R: ± 1} { R: < < 1, 1 < < + 1, + 1 < < + } Ne segue che per ± 1 presenta due Asintoti Verticali. A.V.: 1, + 1 INTERSEZIONI CON GLI ASSI A y ( 0, ) 1,5 1 y 0 y 0 0 y mai non ci sono intersezioni con l asse SEGNO DELLA FUNZIONE. Si ha: y > 0 + > > > 0 1> R < 1, > cioè: y > 0 < 1, > LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA y > 0 y < 0 y > 0 Risulta: + + lim lim 1 1 lim ± ± 1 ± 1 Ne segue che, per ±, la y 1: dunque la retta di equazione 1 è un Asintoto Orizzontale. A.O.: 1 4

25 STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Si ottiene: + D ( 1) ( + ) D ( 1) da cui si ricava: ( 1) ( 1) 1 > > 0 6 > 0 ( 1) > 0 ( 1) ( il radicando èun quadrato equindi sempre positivo) 1 6 > 0 + ( 1) 1 R < 0 R + > Crescenza M Decrescenza Dunque il punto di massimo del, ottenuto per 0, coincide esattamente con il punto A di intersezione del con l asse y delle ordinate. 5

26 IL GRAFICO. y 1 O A M

27 y CAMPO DI ESISTENZA. C.E. { R: 1 0} { R: ± 1} { R: < < 1, 1 < < + 1, + 1 < < + } Ne segue che per ± 1 presenta due Asintoti Verticali. A.V.: 1, + 1 INTERSEZIONI CON GLI ASSI A y 7 7 ( 0, 7) 1, B ( 7, 0) SEGNO DELLA FUNZIONE. + 7 y > 0 > > > 0 > 7 1> 0 < 1, > y < 0 y > 0 y < 0 y > 0 cioè: y > 0 7 < < 1, 1 < < + LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. Risulta: lim lim 0 lim ± ± 1 ± 1 Ne segue che, per ±, la y 0: dunque la retta di equazione 0, ovvero l asse, è un Asintoto Orizzontale. A.O.: 0 7

28 STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Si ottiene: + 7 D D ( ) ( ) ( ) ( 1) + 7 ( 1) 1 1 da cui segue: 1 > > > > ( 1) > 0 ( 1) > 0 ( 1) R < 0 R ,9 < < ,07 R R Decrescenza m Crescenza M Decrescenza Ma allora risulta: Punto di minimo 7 48 Punto di massimo y y ( ) ( + ) 0, 1,90 8

29 IL GRAFICO. y m O 0 M A

30 y ( + ) + 4 CAMPO DI ESISTENZA. C.E. { R: + 4 0} { R: 4} { R: < < 4, 4 < < + } Ne segue che per 4 presenta un Asintoto Verticale. A.V.: 4 INTERSEZIONI CON GLI ASSI ( + ) A (0, 1) y 0 ( + ) ( + ) ( + ) B (, 0) 0 ( + ) SEGNO DELLA FUNZIONE. y > 0 ( + ) + 4 > 0 ( + ) + 4 > 0 ( ) + > > 0 R > cioè: y > 0 4 < < + y < y > 0 LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. Risulta: ( ) ( ) 4 4 lim y lim + + lim lim ± ± ± ± + + ±

31 Ne segue che, per ±, la y ± : dunque non ha Asintoti Orizzontali. Proviamo ora a veder se essa possiede asintoti obliqui della forma m + q. Si ha: f ( ) 1 ( + ) ( + ) m lim lim lim 0 lim 4 4 ( 4) Poiché m 0 è inutile calcolarsi q, in quanto si avrebbe: ( + ) q lim f ( ) m lim f ( ) 0 lim f ( ) lim + 4 Si osservi, quindi, che per m 0 ci si riconduce al calcolo del limite del di partenza, già calcolato nello studiare gli asintoti orizzontali. Dunque data non ha né asintoti orizzontali né quelli obliqui. STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Si ottiene: ( + ) D ( ) ( )( 4) 1 ( ) D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + 4) da cui segue: 1 > 0 ( + ) > 0 ( + ) > > 0 ( + ) ( + 4) ( 4) > 0 + > ( + 4 ) R > 0 R < 6, > R R 1

32 Crescenza M Decrescenza m Crescenza Ma allora risulta: Punto di massimo 6 y ( 6+ ) Punto di minimo 0 (il punto di minimo coincide con il punto B di intersezione del con l asse ) IL GRAFICO. y m B O A M - 4

33 ESERCIZI PROPOSTI Studiare le seguenti funzioni irrazionali: y ( 1) ( )( ) y 4 y 5 y y + 1 1

34 y + y y 5 5 y y y 1 + y + 4 ( ) 1 y + + ( ) 1 4