(l'uguaglianza degli angoli indica il parallelismo delle rette)

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1 SESTA LEZIONE-teoria delle parallele Riprendiamo la discussione del teorema degli angoli alterni interni. Questo teorema è alla base della teoria delle parallele. Da esso discendono i criteri di parallelismo. Due rette a e b e una secante comune c definiscono gli angoli alterni interni 1 e 2. Dall'uguaglianza o meno di questi due angoli vogliamo dedurre il parallelismo delle rette a e b. Il teorema si divide in due parti (che sono le Proposizioni 26 e 27 di Euclide, l'una inversa dell'altra): Parte 1: se 1=2 allora a // b (l'uguaglianza degli angoli indica il parallelismo delle rette) Si ragiona per assurdo, negando la validità della tesi; si dimostra che si arriva ad una contraddizione. Se a non fosse parallela a b, le due rette si intersecherebbero in un punto, diciamo a destra della secante, formando con essa un triangolo. Devo immaginare la figura seguente In questa situazione 1 è diventato angolo esterno al triangolo ABC; dunque per il teorema dell'angolo esterno sarebbe maggiore di ogni angolo interno non adiacente. Perciò se ne dovrebbe concludere che: 1>2. Quindi negare la tesi porta ad una condizione contraria all'ipotesi. Valendo l'ipotesi 1=2, non si può negare la tesi e quindi bisogna ammettere che a // b. Parte 2: se a // b allora 1=2 (il parallelismo di a e b implica l'uguaglianza degli angoli alterni interni formati da una qualsiasi secante comune). Questo è un punto cruciale nello sviluppo della geometria di Euclide: per la prima volta Euclide usa il postulato delle parallele (o quinto postulato). Ricordiamo che il postulato riguarda gli "angoli coniugati" formati da una qualsiasi secante c delle rette a e b.

2 Afferma che se la somma degli angoli 2 e 3 è minore di due angoli retti, le rette a e b necessariamente si intersecano (e quindi non possono essere parallele) dalla parte della coppia di angoli coniugati che soddisfano la diseguaglianza predetta. (si può fare vedere che questo postulato è equivalente all'affermazione che per un punto A non appartenente alla retta a passa una ed una sola parallela ad a). Ancora una volta si ragiona per assurdo: Supponiamo che 1>2: introduco l'angolo 3 adiacente ad 1 rispetto all'obliqua c di a. Per il teorema degli angoli adiacenti: = 2 retti. Di conseguenza la diseguaglianza ammessa 2<1 implica < = 2 retti Quindi la secante c forma con le rette a e b angoli coniugati che sommano meno di due retti: per il quinto postulato queste due rette devono intersecarsi. Ciò è in contraddizione con l'ipotesi che a sia parallela a b. La negazione della tesi è incompatibile con l'ipotesi. La tesi è perciò vera: gli angoli 1 e 2 sono necessariamente uguali. se a // b allora 1 = 2

3 Un semplice corollario riguarda gli angoli corrispondenti e gli angoli coniugati: 1 e 2 : alterni interni 4 e 2: corrispondenti 2 e 3: coniugati Da 1=2 (alterni interni) segue che 4=2 (uguaglianza degli angoli corrispondenti) e che 2+3=2 retti (gli angoli coniugati si comportano come angoli adiacenti). Spiegazione: perché 4 e 1 sono opposti al vertice e 1 e 2 sono alterni interni = = 2 retti perché 4 e 3 sono adiacenti Le tre condizioni (fra loro equivalenti): 1. gli angoli alterni interni sono uguali 2. gli angoli corrispondenti sono uguali 3. gli angoli coniugati hanno somma pari a due angoli retti costituiscono i criteri di parallelismo (Proposizione 28 di Euclide). Punto 5: Applicazioni ai triangoli Dai due risultati precedenti Euclide deduce una catena di notevoli proprietà soddisfatte dai lati e dagli angoli di un qualsiasi triangolo. Enunciamo le tre proprietà che sono una diretta conseguenza del teorema dell'angolo esterno e che hanno quindi la forma di diseguaglianze (le possiamo chiamare diseguaglianze triangolari sugli angoli e sui lati di un triangolo). Proposizione 17 (diseguaglianza sugli angoli): in ogni triangolo la somma di due angoli interni è minore di due retti. Proposizioni 18 e 19 (diseguaglianza lato-angolo): in ogni triangolo a lato maggiore si oppone l'angolo maggiore e viceversa. Proposizione 20 (diseguaglianza triangolare sui lati): in ogni triangolo la somma di una coppia di lati è maggiore del terzo lato. Se utilizziamo il teorema degli angoli interni possiamo essere più precisi sulla somma degli angoli interni ad un triangolo:

4 Proposizione 32: in ogni triangolo la somma dei tre angoli interni è pari a due angoli retti. Spiegazione: per sommare gli angoli interni penso di trasportare gli angoli 1 e 2 da A e B in C. Per questo uso la tecnica delle parallele che mi assicura che gli angoli alterni interni e gli angoli corrispondenti sono uguali (le parallele forniscono un metodo di trasporto degli angoli). Prolungo la base BC nella retta BD; poi mando da C la parallela CE al lato BA. Considero l'angolo 2 alterno interno di 2 e l angolo 1 corrispondente di 1: per i criteri di parallelismo abbiamo che e. Perciò : perché adiacenti. (La filosofia della dimostrazione è importante : per sommare o confrontare cose distanti si applica il trasporto per parallelismo). Esempio di geometria non euclidea: nel triangolo equilatero sulla sfera i cui lati sono un meridiano che dal polo scende fino all equatore, un arco di 90 di equatore e il secondo meridiano che dall equatore ci riporta al polo la somma degli angoli interni è 270. Questo esempio mostra che la somma degli angoli interni ad un triangolo sferico è diversa da 180. Ciò è possibile perché sulla sfera non vale il postulato delle parallele. Punto 6: Applicazioni ai parallelogrammi. Abbiamo visto l'importanza delle parallele per trasportare e quindi confrontare angoli e segmenti. Da qui segue che il parallelogramma diventa uno strumento essenziale nella geometria di Euclide (così fondamentale da essere lo strumento base nella dimostrazione dei teoremi di Pitagora e Talete). Usando i risultati noti, Euclide dimostra rapidamente la seguente proposizione, che semplicemente enunciamo:

5 Proposizione: in ogni parallelogramma i lati opposti sono uguali e paralleli, gli angoli opposti sono uguali e le diagonali si bisecano. La nostra attenzione è ora rivolta ad un'altra proprietà dei parallelogrammi: l'uguaglianza in estensione, distinta dall'uguaglianza in forma. Esistono figure di forma diversa che hanno la stessa estensione in quanto composte dalle medesime parti montate in maniera diversa. Ad esempio