UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE. DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE Sezione geotecnica SPINTA DELLE TERRE

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1 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE SINT DELLE TERRE CorsodiFondamentidiGeotecnica Scienze dell Ingegneria Edile,.. 005\006 Dott. Ing. Johann Facciorusso

2 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE Introduzione METODO DI COULOMB E DI RNINE La determinazione della spinta esercitata dal terreno contro un opera di sostegno è un problema classico di ingegneria geotecnica che viene affrontato utilizzando due teorie storiche : la teoria di Rankine (857) la teoria di Coulomb (776). Entrambi i metodi assumono superfici di scorrimento piane, ma per effetto dell attrito fra la parete e il terreno: le reali superfici di scorrimento sono in parte curvilinee i risultati che si ottengono applicando i metodi classici sono spesso non cautelativi. È pertanto opportuno riferirsi al metodo di Caquot e érisel (948) che è il più noto e applicato metodo fra quelli che assumono superfici di scorrimento curvilinee Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 /3

3 τ UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE TEORI DI RNINE IOTESI: terreno omogeneo (γ costante con la profondità) superficie piana, orizzontale ed infinitamente estesa terreno incoerente (c 0) terreno asciutto (u 0, v v ) validità del criterio di rottura di Mohr- Coulomb (τ n tg φ ) Stato tensionale assial-simmetrico h0 3 * * per 0 < (terreni NC o debolmente OC) φ Cerchio O h0 Κ 0 γ h0 γ Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 3/3 0 γ

4 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE IOTESI: SINT RIOSO vengono inserite due pareti verticali ideali, cioè tali da non modificare lo stato tensionale nel terreno (assenza di attrito) Stato tensionale a riposo La spinta orizzontale S 0 che si esercita sui due lati di ciascuna parete dalla superficie ad una generica profondità H, vale: S H 0 h0 d γ H 0 0 La profondità 0 della retta di applicazione di S 0, vale: h0 h0 S 0 /3 H 0 H H h0 d 0 0 H S0 3 0γ H 0γ H Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 4/3

5 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE SINT TTIV Stato tensionale limite attivo Supponiamo ora di allontanare gradualmente le due pareti: nel punto permangono condizioni di simmetria (le tensioni verticale ed orizzontali sono ancora principali); la tensione verticale γ non varia la tensione orizzontale efficace si riduce progressivamente. ha Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 5/3

6 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE SINT TTIV τ τ f O Il valore minimo della tensione orizzontale, ha, compatibile con l equilibrio è detto tensione limite attiva, e corrisponde alla tensione principale minore del cerchio di Mohr tangente alla retta di inviluppo a rottura. Essendo: R ½ ( - ha ) OC ½ ( + ha ) Si ha: R FC OC senφ ha ha ( ) ( + ) ha ( + senφ) senφ + senφ tan ha ( senφ) π 4 senφ φ Cerchio Cerchio O Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 6/3 ha F R ha vo senφ + senφ C tan π 4 π/4+ ϕ / φ φ Coefficiente di spinta attiva

7 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE SINT TTIV La tensione tangenziale critica, il cui valore τ f è l ordinata del punto F di tangenza del cerchio di Mohr con la retta di inviluppo a rottura, agisce su un piano che forma un angolo di π φ + con la direzione orizzontale. 4 π/4+ φ / π/4+ φ / τ f ha f Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 7/3

8 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE SINT TTIV La spinta orizzontale S che si esercita sui due lati di ciascuna parete dalla superficie ad una generica profondità H, vale: S H 0 h γ H La profondità 0 della retta di applicazione di S 0, vale: H 3 d 0 ha /3 H S H γ H Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 8/3

9 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE SINT SSIV Stato tensionale limite passivo Supponiamo ora di avvicinare gradualmente le due pareti: nel punto permangono condizioni di simmetria (le tensioni verticale ed orizzontali sono ancora principali); la tensione verticale γ non varia la tensione orizzontale efficace cresce progressivamente. hp Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 9/3

10 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE SINT TTIV Il valore massimo della tensione orizzontale compatibile, pa, compatibile con l equilibrio è detto tensione limite passiva, e corrisponde alla tensione principale maggiore del cerchio di Mohr tangente alla retta di inviluppo a rottura. Essendo: R ½ ( hp - ) OC ½ ( + h ) Si ha: R FC OCsenφ hp hp ( ) ( + ) h ( senφ) + senφ senφ hp ( + senφ) senφ τ π φ tan + 4 τ f O Cerchio O π/4- φ / hp vo + senφ π φ tan + senφ 4 Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 0/3 C F R C φ hp Coefficiente di spinta passiva Cerchio

11 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE SINT TTIV La tensione tangenziale critica, il cui valore τ f è l ordinata del punto F di tangenza del cerchio di Mohr con la retta di inviluppo a rottura, agisce su un piano che forma un angolo di π φ con la direzione orizzontale. 4 π/4 - φ / π/4 - φ / hp τ f f Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 /3

12 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE SINT TTIV La spinta orizzontale S che si esercita sui due lati di ciascuna parete dalla superficie ad una generica profondità H, vale: S H 0 h d γ H La profondità 0 della retta di applicazione di S 0, vale: H 3 0 S hp /3 H H I coefficienti di spinta attiva,, e passiva,, rappresentano i valori limite, rispettivamente inferiore e superiore, del rapporto tra le tensioni efficaci orizzontale e verticale: h Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 /3 γ H

13 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE Le deformazioni di espansione necessarie per far decadere la pressione orizzontale dal valore al h0 valore limite inferiore ha, sono piccole, e comunque molto inferiori alle deformazioni di compressione necessarie per far elevare la pressione orizzontale dal valore h0, al valore limite superiore hp. In genere si considera l angolo di resistenza al taglio di picco per il calcolo della spinta attiva, e l angolo di resistenza al taglio a volume costante per il calcolo della spinta passiva. Sabbia densa Rotazione del muro, Y/H Sabbia densa Stato passivo Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 3/3 Rapporto tra pressione orizzontale e verticale, Stato attivo a Sabbia sciolta Sabbia compatta Terreno Rotazione Y / H Decompressione (Stato attivo) Incoerente denso 0,00 0,00 Incoerente sciolto 0,004 0,060 Coesivo consistente 0,00 0,00 Coesivo molle 0,00 0,040 0 Compressione (Stato passivo) Sabbia sciolta p

14 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE Effetto dell inclinazione della superficie del deposito La tensione limite attiva nel caso di pendio inclinato di un angolo β rispetto all orizzontale vale: OCcos β OC a OCcos β + OC cos β γ cos β cos β + a p γ cosβ γ cosβ senφ senφ senβ senβ cos β cosφ cos β cosφ con cos β cos β + con cos β γ cos β cos β + cos β + cos β cos β cos β cos β cos β cosφ cosφ cosφ cosφ cosφ cosφ e e + cos β + cos β S S γ cos β γ cos β γ cos β er la condizione di spinta a riposo, staticamente indeterminata, si assume in genere: 0 0,i ( + senβ) ( senφ ) ( + senβ) Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 4/3

15 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE Diffusione delle tensioni Fondamenti di Geotecnica Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 5/3 5/3 Si suppone che il deposito sia dotato anche di coesione oltre che di attrito, ovvero ha resistenza al taglio definita dal criterio di rottura di Mohr-Coulomb: Effetto della coesione tan c φ + τ O c φ τ C R F 3 c tan ϕ tan 4 tan 3 φ π φ π c 4 tan 4 tan 3 φ π φ π c,a h c 4 tan c 4 tan γ φ π φ π γ,p h c 4 tan c 4 tan + γ φ + π + φ + π γ

16 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE Effetto della coesione h,a γ tan π 4 φ π c tan 4 φ γ c valida per > c, essendo c la profondità critica per la quale risulta ha 0 (il terreno non ha resistenza a trazione): c γ c mentre per < c si assume ha 0 c a c C γ a S W OSS. Nella fascia di spessore c il terreno sarà interessato da fessure verticali di trazione che possono riempirsi di acqua. Si tiene conto di tale possibilità considerando, per il calcolo della spinta, anche un triangolo di pressione idrostatica di altezza c e base γ w c /3 ( - ) C S γ w Ζ c Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 6/3 ()

17 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE Effetto della coesione S π φ π φ γ tan + + c tan ( ) S, + S, c + γ h,p ( S ) S, + S, S ( ) 3 γ / + c c p /3 S () S () () hp Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 7/3

18 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE Effetto della coesione Con riferimento a condizioni non drenate (a breve termine), come ad esempio nel caso di uno scavo a parte verticale, il criterio di rottura di Mohr-Coulomb viene applicato in termini di tensioni totali (c c u ; ϕ 0). La tensione limite attiva e passiva diventano rispettivamente: h,a γ c u τ h,p γ + c u ϕ 0 c u π/4 π/4 O ha ha hp Le superfici di rottura sono inclinate di 45 rispetto all orizzontale. Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 8/3

19 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE Effetto della eterogeneità Si suppone che il deposito sia costituito da strati orizzontali omogenei La spinta totale esercitata sulla parete verticale è la somma dei contribuiti di ciascuno strato. Il diagramma delle pressioni orizzontali competenti a ciascuno strato in condizioni di spinta attiva è un trapezio: H ha ha ( i ) (i ),i ci, i 0 H ha ( i ) (i ),i ci, i 0 H i i- i ( ) ha i- S,i ( i ) i i γ H i ( ) ( ) + γ H j i i i i+ ( ) ha i Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 9/3

20 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE Effetto della eterogeneità Il diagramma delle pressioni orizzontali competenti a ciascuno strato in condizioni di spinta passiva è un trapezio: hp H H i- ( ) hp i- hp hp ( i ) (i ),i + ci, i ( i ) (i ),i + ci, i ( i ) i i γ H i ( ) ( ) + γ H j i i i 0 0 H i i S,,i i+ ( ) hp i Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 0/3

21 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE TEORI DI COULOMB Teoria di Coulomb Il problema della determinazione della spinta esercitata dal terreno su un opera di sostegno è stato anche affrontato con un metodo basato sull equilibrio delle forze in gioco (METODO DELL EQUILIBRIO LIMITE). IOTESI: terreno omogeneo (γ costante con la profondità) superficie piana, orizzontale ed infinitamente estesa terreno incoerente (c 0) terreno asciutto (u 0, v v ) validità del criterio di rottura di Mohr- Coulomb resistenza al taglio (τ v tg φ ) costante parete verticale assenza di attrito tra parete e terreno superficie di scorrimento piana Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 /3

22 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE SINT TTIV Teoria di Coulomb In condizioni di equilibrio limite attivo le forze che agiscono sul cuneo, sono: il peso proprio, che agisce in direzione verticale W γ H cot η la risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie di scorrimento, che è inclinata di un angolo φ rispetto alla normale alla superficie C, con componente tangente diretta verso l alto, ovvero tale da opporsi al movimento incipiente del cuneo la spinta attiva, che agisce in direzione orizzontale per l ipotesi di assenza di attrito tra parete e terreno. H tan η B C B C R η φ W H W Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 /3 η R φ

23 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE Teoria di Coulomb er l equilibrio è: W tan( η φ) γ H SINT TTIV cot η tan ( η φ ) f ( η) La spinta attiva si ottiene in corrispondenza del massimo della funzione: 0 η η crit π 4 φ + γ H tan π 4 φ SOLUIONE DI RNINE γ H Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 3/3

24 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE SINT SSIV Teoria di Coulomb In condizioni di equilibrio limite passivo (superiore) le forze che agiscono sul cuneo, sono: il peso proprio, che agisce in direzione verticale W γ H cot η la risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie di scorrimento, che è inclinata di un angolo φ rispetto alla normale alla superficie C, con componente tangente diretta verso il basso, ovvero tale da opporsi al movimento incipiente del cuneo la spinta passiva, che agisce in direzione orizzontale per l ipotesi di assenza di attrito tra parete e terreno. W η+φ R H H tan η Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 4/3 B B W η φ C R C

25 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE SINT SSIV Teoria di Coulomb er l equilibrio è: W tan( η + φ) γ H cot η tan ( η + φ ) f ( η) La spinta passiva si ottiene in corrispondenza del minimo della funzione: 0 η η crit π 4 φ γ H tan π 4 + φ SOLUIONE DI RNINE γ H Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 5/3

26 IOTESI: UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE TEORI DI COULOMB Teoria di Coulomb Si rimuovono alcune delle ipotesi ma non quella di superficie di scorrimento piana: terrapieno delimitato da una superficie inclinata di un angolo β sull orizzontale parete inclinata di un angolo λ sulla verticale presenza di attrito tra parete e terreno, con coefficiente d attrito tanδ er la condizione di spinta attiva: cos γ H λ cos ( λ + δ ) cos + ( φ λ) sen( δ + φ ) sen( φ β ) cos( λ + δ ) cos( λ β ) H λ W δ φ Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 6/3 η R β

27 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE TEORI DI COULOMB Teoria di Coulomb er la condizione di spinta passiva: γ H cos λ cos ( λ + δ ) cos ( φ + λ) sen( δ + φ ) sen( φ + β ) cos( λ + δ ) cos( λ β ) β H δ λ W φ R η Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 7/3

28 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE Teoria di Coulomb La teoria di Coulomb è più versatile della teoria di Rankine, ed è alla base del più diffuso metodo pseudo-statico di calcolo della spinta in condizioni sismiche. Il metodo, basato sulle equazioni di equilibrio alla traslazione, non consente tuttavia di determinare la quota di applicazione delle forze in gioco, ma solo modulo, direzione e verso. Sia la teoria di Rankine che quella di Coulomb ipotizzano superfici di scorrimento piane. Tale ipotesi non è verificata a causa dell interazione fra la parete dell opera di sostegno ed il terreno. b) C π/4 - φ / C π/4 + φ / H H/3 B δ π/+ φ D δ > 0 H δ D π/ - φ δ < 0 Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 8/3 H/3 B

29 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE TEORI DI CQUOT E ERISEL Teoria di Coulomb La soluzione fu ottenuta per via numerica da Caquot e érisel (948) ed è riportata in grafici e tabelle in termini di coefficienti di spinta attiva,, e passiva,, al variare dell angolo : di resistenza al taglio ϕ, di attrito parete-terreno δ, di inclinazione della parete rispetto alla verticale λ, di inclinazione del piano che delimita il terrapieno rispetto all orizzontale β +β Esempio: terrapieno orizzontale (β 0 ) e parete verticale (λ 0 ) +λ +δ φ δ 0,8 0,65 0,53 0,44 0,37 0,3 0,6 0, 0,9 0,6,6,66,0 3,04 4,6 6,56 0,7 8, 35,0 75,0 φ δ 0,8 0,66 0,54 0,44 0,36 0,30 0,5 0,0 0,6 0,3,4,59,06,7 3,6 5,5 8,00,8,0 4,0 φ 3 δ 0,8 0,67 0,56 0,45 0,37 0,30 0,5 0,0 0,6 0,3,,5,89,38 3,03 4,0 5,55 8,0,0 9,0 φ 3 δ 0,84 0,70 0,59 0,49 0,4 0,33 0,7 0, 0,7 0,3 0,9,4,70,04,46 3,00 3,70 4,60 5,80 7,50 φ Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 9/3

30 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE CONFRONTI TR LE TEORIE DI COULOMB E CQUOT E ERISEL Teoria di Coulomb Il metodo di Coulomb impone la forma della superficie di scorrimento piana, ma i valori di e di, rispettivamente ottenuti dalle condizioni di massimo e di minimo della funzione (η), con η angolo di inclinazione della superficie di rottura rispetto all orizzontale, non sono il massimo ed il minimo assoluti, ovvero per qualunque ipotetica forma della superficie di scorrimento. In particolare, ipotizzando una superficie di scorrimento curvilinea (Caquot e érisel): (Coulomb) < (Caquot e érisel) (Coulomb) > (Caquot e érisel) (Coulomb) non è massimo assoluto (Coulomb) non è minimo assoluto Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 30/3

31 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENE DIRTIMENTO DI INGEGNERI CIVILE CONFRONTI TR LE TEORIE DI COULOMB E CQUOT E ERISEL Teoria di Coulomb OSS.. Le differenze con il metodo di Coulomb, in termini quantitativi, sono tanto più rilevanti quanto più la superficie ipotizzata si discosta da quella piana. Nel caso di spinta attiva, nella maggior parte dei casi pratici, ovvero per β, λ e δ positivi, le differenze sono modeste 3. Nel caso di spinta passiva, invece, le differenze possono essere molto sensibili 4. In entrambi i casi, essendo la spinta attiva in genere un azione destabilizzante e la spinta passiva un azione resistente, il metodo di Coulomb non è mai conservativo Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile.. 005/006 3/3